高中数学函数大题培优专用(含详细解答)

高中函数大题专练

1、对定义在
[0,1]
上 ，并且同时满足以下两个条件的函数
f(x)
称为
G
函数。
① 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；
② 当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2
?1时，总有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f (x
2
)
成立。
已知函数
g(x)?x
2
与h(x)?a?2
x
?1
是定义在
[0,1]
上的函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
G
函数？并说明理由；
（2）若函数
h(x)
是
G
函数，求实数
a
的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g(2
x
?1)?h(x)?m
(m?R)
解的个数情况。












2.已知函数
f(x)?2
x
?
1
2
|x|
.
（1）若
f(x)?2
，求
x
的值；
（2）若
2
t
f(2t)?mf(t)?0
对于
t?[2,3]
恒成立，求实数
m
的取值范围.















1

?1
?
1?,
x?0;
3.设 函数
f(x)
是定义在
R
上的偶函数.若当
x?0
时，f(x)?
?

x
?
0,
x?0.
?
（1）求
f(x)
在
(??,0)
上的解析式.
（2）请你作出函数
f(x)
的大致图像.
（3）当
0?a?b< br>时，若
f(a)?f(b)
，求
ab
的取值范围.
（4）若 关于
x
的方程
f
2
(x)?bf(x)?c?0
有7个不同 实数解，求
b,c
满足的条件.










4．已知函数
f(x)?a?
b
(x?0)
。
|x|
（1）若函数
f(x)
是
(0,??)
上的增 函数，求实数
b
的取值范围；
（2）当
b?2
时，若不等式
f(x)?x
在区间
(1,??)
上恒成立，求实数
a
的取 值范围；
（3）对于函数
g(x)
若存在区间
[m,n](m?n)
，使
x?[m,n]
时，函数
g(x)
的值域也
是
[m,n]
，则称
g(x)
是
[m,n]
上的闭函数。若函数
f(x)
是某区间上的闭函数，试
探求
a,b
应满足的条件。














2

5、设
f(x)? ax
2
?bx
，求满足下列条件的实数
a
的值：至少有一个正实数< br>b
，使函数
f(x)
的定义域和值域相同。












6．对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使< br>f(x
0
)?x
0
成立，则称点
(x
0
,x
0
)
为函数的不动点。
（1）已知函数
f(x)?ax
2
?bx?b(a?0)
有不动点（1，1）和（-3，-3）求
a
与
b
的值；
（2）若对于任意实数
b
，函数
f(x)?ax?bx? b(a?0)
总有两个相异的不动点，求
a
的
取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数
g(x)
存在（有限的）
n
个不动点，求证：
n
必为奇数。



















3
2

7． 设函数
f(x)?x?
1
，(x?0)
的图象为
C
1
、
C
1
关于点A（2，1）的对称的图象为
C
2
，
x
C
2
对应的函数为
g(x)
.
（1）求函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若直线
y?b
与
C
2
只有一个交点，求
b
的值并求出交点的坐标.











8．设定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：
①对于任意正实数
a
、
b
，都有
f(a?b)?f(a)? f(b)?1
；
②
f(2)?0
；
③当
x?1
时，总有
f(x)?1
.
（1）求
f(1)及f(
1
2
)
的值； （2）求证：
f(x)在(0,??)
上是减函数.















4

9． 已知函数
f(x)是定义在
?
?2,2
?
上的奇函数，当
x?[?2,0)
时，
f(x)?tx?
常数）。
（1）求函数
f(x)
的解析式；
1
3
x
（t
为
2
（2）当
t?[2,6]
时，求
f(x)
在
?
?2,0
?
上的最小值，及取得最小值时的
x
，并猜 想
f(x)
在
?
0,2
?
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
t?9
时，证明：函数
y?f(x)
的图象上至少有一个点 落在直线
y?14
上。







10.记函数
f
?
x
?
?
定义域为B
，
（1）求
A
：
（2）若
A?B
，求
a
、
b
的取值范围










2 ?
x?7
的定义域为
A
，
g
?
x
?
?lg
?
?
2x?b
??
ax?1
?
?
?
b?0,a?R
?
的
x?2
5

a
x
?1
?
a?0,a?1
?
。 11、设
f
?
x
?
?
x
1?a
（1）求
f
?
x
?
的反函数
f
（2）讨论
f
?1
? 1
?
x
?
：
?
x
?
在
?
1.??
?
上的单调性，并加以证明：
?1
（3）令
g< br>?
x
?
?1?log
a
x
，当
?
m ,n
?
?
?
1,??
??
m?n
?
时，< br>f
?
x
?
在
?
m,n
?
上的值域是
?
g
?
n
?
,g
?
m
?
?
，求
a
的取值范围。





12．集合A是由具备下列性质的函数
f(x)
组成的：
(1) 函数
f(x)
的定义域是
[0,??)
；
(2) 函数
f(x)
的值域是
[?2,4)
；
(3) 函数
f(x)
在
[0,??)
上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数
f
1
(x)?x?2(x?0)
，及
f
2
(x)?4?6?()
x
(x?0)
是否属于集合A？并简
2
要说明理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数
f(x)
， 不等式
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
，
是否对于任意的
x?0< br>总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．







6

13、设函数f(x)=a x+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
?
2
?
f(x)(x?0)
?
?f(x)(x?0)
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)
?0
成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x
?
?
?2,2
?
时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。 < br>（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)> 0。








14． 函数f(x)=
x
(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有 一个解。
ax?b
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。


7

函数大题专练部分答案
1、 对定义在
[0,1]
上，并且同时满足以下两个条件的函数
f(x)
称为G
函数。
① 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；
② 当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2
?1时，总有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f (x
2
)
成立。
已知函数
g(x)?x
2
与h(x)?a?2
x
?1
是定义在
[0,1]
上的函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
G
函数？并说明理由；
（2）若函数
h(x)
是
G
函数，求实数
a
的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g(2
x
?1)?h(x)?m
(m?R)
解的个数情况。
解：（1） 当
x?
?
0,1
?
时，总有
g(x)?x
2
?0
，满足①， < br>当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2
?1
时，
g(x
1
?x
2
)?x
1< br>2
?x
2
2
?2x
1
x
2
?x1
2
?x
2
2
?g(x
1
)?g(x
2
)
，满足
（2）因为h（x）为G函数，由①得，h(0)
?0,由②得，h(0+0)
?
h(0)+h(0)
所以h(0)=0,即a-1=0,所以a=1；
（3）根据（２）知： a=1，方程为
4?2?m
，
xx
?
0?2
x
?1?1
由
?
得
x?[0,1]

?
0?x?1< br>1
2
1
2
令
2
x
?t?[1,2]
，则
m?t?t?(t?)?

24
由图形可知：当
m?[0,2]
时，有一解；
当
m?(??,0)?(2,??)
时，方程无解。
8．对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使< br>f(x
0
)?x
0
成立，则称点
(x
0
,x
0
)
为函数的不动点。
（1）已知函数
f(x)?ax
2
?bx?b(a?0)
有不动点（1，1）和（-3，-3）求
a
与
b
的值；
（2）若对于任意实数
b
，函数
f(x)?ax
2
?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，求
a
的
取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数
g(x)
存在（有限的）
n
个不动点，求证：
n
必为奇数。
解：（1）由不动点的定义：
f(x)?x ?0
，∴
ax?(b?1)x?b?0

代入
x?1
知a?1
，又由
x??3
及
a?1
知
b?3
。
∴
a?1
，
b?3
。
（2）对任意实数b
，
f(x)?ax?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，即是对任意的
实数
b
，方程
f(x)?x?0
总有两个相异的实数根。
∴
ax?(b?1)x?b?0
中
??(b?1)?4ab?0
，
22
即
b?(4a?2)b?1?0
恒成立。故
?
1
?(4a?2)?4?0
，∴
0?a?1
。
22
2
2
8

故当
0?a?1
时，对任意的实数
b
，方程
f(x)
总有两个相异的不动
点 。 ………...................1’
（3）
g(x)
是R上 的奇函数，则
g(0)?0
，∴（0，0）是函数
g(x)
的不动点。 若
g(x)
有异于（0，0）的不动点
(x
0
,x
0< br>)
，则
g(x
0
)?x
0
。
又
g (?x
0
)??g(x
0
)??x
0
，∴
(?x< br>0
,?x
0
)
是函数
g(x)
的不动点。
∴
g(x)
的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，
所以有2k
个（
k?N
），加上原点，共有
n?2k?1
个。即
n
必为奇数
9．设函数
f(x)?x?
1
，(x? 0)
的图象为
C
1
、
C
1
关于点A（2，1）的对 称的图象为
C
2
，
x
C
2
对应的函数为
g (x)
.
（1）求函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若直线
y?b
与
C
2
只有一个交点，求
b
的 值并求出交点的坐标.
解．（1）设
p(u,v)
是
y?x?
11
上任意一点，
?v?u?
①
xu
设P关于A（2，1）对 称的点为
Q(x,y),?
?
代入①得
2?y?4?x?
?
u?x?4
?
u?4?x

?
?
?
v?y?2< br>?
v?2?y
11
?y?x?2?

4?xx?4
? g(x)?x?2?
1
(x?(??,4)?(4,??));

x?4
?
y?b
?
2
（2）联立
?
1
?x?(b?6)x?4b?9?0,

y?x?2 ?
?
x?4
?
???(b?6)
2
?4?(4b?9)?b
2
?4b?0?b?0
或
b?4,

（1）当
b?0
时得交点（3，0）； （2）当
b?4
时得交点（5，4）.
10．设定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：
①对于任意正实数
a
、
b
，都有
f(a?b)?f(a)? f(b)?1
；
②
f(2)?0
；
③当
x?1
时，总有
f(x)?1
.
9

（1）求
f(1)及f()
的值；
（2）求证：
f(x)在(0,??)
上是减函数.
解（1）取a=b=1，则
f(1)?2f(1)?1.故f(1)?1

又
f(1)?f(2?
1
)?f(2)?f(
1
)?1
. 且
f(2)?0
.
22
1
2
得：
f(
1
)?f(1)?f(2)?1?1?1?2

2
（2）设
0?x
1
?x
2
,
则：
f(x
2
)?f(x1
)?f(
x
2
?x
1
)?f(x
1
)?[f(
x
2
)?f(x
1
)?1]
?f(x
1
)

x
1
x
1
x
2
x
2
0?x?x,可得?1
依
?f()?1
12
x
1
x
1
再依据当
x?1
时，总有
f(x)?1
成立， 可得
f(
x
2
)?1

x
1
即
f(x
2
)?f(x
1
)?0
成立，故
f(x)在(0,? ?)
上是减函数。
11． 已知函数
f(x)
是定义在
?
?2,2
?
上的奇函数，当
x?[?2,0)
时，
f(x)?tx?
常数）。
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）当
t ?[2,6]
时，求
f(x)
在
?
?2,0
?
上的 最小值，及取得最小值时的
x
，并猜想
f(x)
在
?
0,2
?
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
t?9
时，证明：函 数
y?f(x)
的图象上至少有一个点落在直线
y?14
上。
1< br>3
x
（
t
为
2
11
(?x)
3??tx?x
3
， ∵函
22
1
3
数
f(x)
是定义在
?
?2,2
?
上的奇函数，即
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，∴
?f
?
x
?
??tx?x
，即
2
11
f(x)?tx?x
3
，又可知
f
?0
?
?0
，∴函数
f(x)
的解析式为
f(x)?tx?x
3
，
22
解：（1）
x?
?
0,2
?
时，
?x?
?
?2,0
?
， 则
f(?x)?t(?x)?
x?
?
?2,2
?
；
（2）
f
?
x
?
?x
?
t?
?
?
1
1
2
?
x
?
，∵
t?[2,6]
，
x?
?
?2,0
?
，∴
t?x
2
?0
，
2
2
?
3
∵
?
f
?
x
?
?
2
1
2
1
2
??
22
x?t?x?t?x
??
3
18t
1
2
??
22
2
22
?
??x
?
t?x
?
?
?
，∴
x?t?x
，
327
2
?
?< br>2
?
?
??
??
10

即
x
2
?
6t26
2t6t
?
?
?2,0
?
)
时，
f
min
??tt
。 ,x??
(?
39
33
?
6t
?
猜想
f(x)
在
?
0,2
?
上的单调递增区间为
?
0,
?
。
3
??
（3）
t?9
时，任取
?2 ?x
1
?x
2
?2
，∵
?
1
22
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
x
1
?x
2
?
?
t?x
1
?x
1
x
2
?x
2
?
?0，
?
2
?
∴
f
?
x
?
在
?
?2,2
?
上单调递增，即
f
?
x
?< br>?
?
f
?
?2
?
,f
?
2
?
?
，即
f
?
x
?
?
?
4?2t ,2t?4
?
，
t?9
，
∴
4?2t??14,2t?4? 14
，
∴
14?
?
4?2t,2t?4
?
，∴当
t?9
时，函数
y?f(x)
的图象上至少有一个点落在直线
??< br>y?14
上。
12.记函数
f
?
x
?
?2 ?
x?7
的定义域为
A
，
g
?
x
?
?lg
?
?
2x?b
??
ax?1
?
?
?
b?0,a?R
?
的
x?2
定义域为
B
，
（1）求
A
：
（2）若
A?B
，求
a
、
b
的取值范围
x?7
??
x?3
?
?0
?
?
?
x?0< br>?
?
?
??,?2
?
?
?
3,??
?
，
x?2
??
x?2
?
b1
（2）
?
2x?b
??
ax?1
?
?0
，由
A?B
，得
a?0
，则
x?orx??
，即
2a
b
?< br>1
0??3
?
?
a?
1b
?
?
?? ??
2
。
B?
?
??,?
?
?
?
,??
?
，
?
?
?
2
1
a
??
2
??
?
?2???0
?
?
0?b?6
?
a
?
a
x
?1
?
a?0,a?1
?< br>。 13、设
f
?
x
?
?
x
1?a
?1
（1）求
f
?
x
?
的反函数
f
?x
?
：
?1
（2）讨论
f
?
x
?
在
?
1.??
?
上的单调性，并加以证明：
?1（3）令
g
?
x
?
?1?log
a
x
，当
?
m,n
?
?
?
1,??
??
m?n
?
时，
f
?
x
?
在
?
m,n?
上的值域是
?
g
?
n
?
,g
?m
?
?
，求
a
的取值范围。
x?1
?1
?
x?1或x??1
?
解：（1）
f
?
x
?
?log
a
x?1
x?1x
2< br>?12
?
x
1
?x
2
?
（2）设
1 ?x
1
?x
2
，∵
1
???0

x
1
?1x
2
?1
?
x
1
?1
??
x
2
?1
?
解：（1）
A?
?
x2?
?
?
11

?
x
1
?
? f
?1
?
x
2
?
，∴
f
?1
?< br>x
?
在
?
1.??
?
上是减函数：
a?1< br>时，
f
?1
?
x
1
?
?f
?1?
x
2
?
，∴
f
?1
?
x
?
在
?
1.??
?
上是增函数。
（3）当
0?a? 1
时，∵
f
?1
?
x
?
在
?
1. ??
?
上是减函数，
?1
?
x?1x?1
?
f< br>?
m
?
?g
?
m
?
?1?log
a
x
得
?ax
，即
ax
2
?
?
a? 1
?
x?1?0
， ∴
?
?1
，由
log
a

x?1x?1
?
?
f
?
n
?
?g
?
n
?
∴
0?a?1
时，
f
?1
?
?
??0
?< br>可知方程的两个根均大于
1
，即
?
f
?
1
?
?0
?0?a?3?22
，当
a?1
时，∵
f
?1
?
x
?
在
?
1?a
?
?1
?2a
?1
?
?
f
?
m
?
?g
?
n
?
?
m?1?amn?an
?a??1
（舍去）
?
1.??
?
上是增函数，∴
?
?1
。 综
?
?
n?1?amn?am
?
?
f
?
n
?
?g
?
m
?
?
上，得
0?a?3?22
。

14．集合A是由具备下列性质的函数
f(x)
组成的：
(1) 函数
f(x)
的定义域是
[0,??)
；
(2) 函数
f(x)
的值域是
[?2,4)
；
(3) 函数
f(x)
在
[0,??)
上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数
f
1
(x)?x?2(x?0)
，及
f
2
(x)?4?6?()(
x
x?0)
是否属于集合A？并简
2
要说明理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数
f(x)
， 不等式
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
，
是否对于任意的
x?0< br>总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
解：（1）函数
f
1
(x)?x?2
不属于集合A. 因为
f
1
(x)
的值域是
[?2,??)
,所以函数
f
1
(x)?x?2
不属于集合A.(或
当x?49?0时,f
1
(4 9)?5?4
，不满足条件.)
1
f
2
(x)?4?6?()x
(x?0)
在集合A中, 因为: ① 函数
f
2
(x)
的定义域是
[0,??)
；② 函
2
数
f
2
(x)
的值域是
[?2,4)
；③ 函数
f
2
(x)
在
[0,??)
上是增函数．
1
x
1
（2）
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)?6?()(?)?0
，
24
?不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
对于任意的x?0
总成立



?
f(x)(x?0)
14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
?

?f(x )(x?0)
?
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)
?0
成 立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x
?
?
?2,2?
时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
2
（3） （理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
解：（1）
?
f(-1)=0 ∴
b?a?1
由f(x)
?
0恒成立 知△=b
2
-4a= (a+1)
2
-4a=(a-1)
2
?
0
12

?
(x?1)
∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ∴ F(x)=
?
2
?
?(x?1)
2
2
(x?0)< br>(x?0)
2
，
（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x) =f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在
?
?2,2
?
上 是
2?k2?k
??2
或-
?2
，得k
?
-2或k
?
6 ，
22
（3）
?
f(x)是偶函数，∴f(x)= f(x)，而a>0∴
f(x)
在
?
0,??
?
上为增函数
单调函数,知-
对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x) =-F(x)，当x<0时-x>0，
F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，
∴ F(x)是奇函数且F(x)在
?
0
，
??
?
上为增函数，
?
m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 。
15．函数f(x)=
x
(a，b是非零实 常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
ax?b
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程
所以
x
=x的解， ax?b
1
=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解 为0，则
ax?b
1
b=1，所以a=。
2
2x
(2) f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x?2
2m
取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，又m= –4时，
m?2
2x2(?4?x)
?
f(x)+ f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定
x?2?4?x?2
义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x?2
2
)，设x+2=t，t≠0， 则
x?2
8
16t ?4
22
164444
|AP|
2
=(t+1)
2
+()=t+2t+2–+
2
=(t
2
+
2
)+2(t–) +2=(t–)
2
+2(t–)+10=( t–+1)
2
+
tt
ttttt
t
(3)|AP|
2
=(x+3)
2+(
9，
4
?1?17?5?17
+1=0时即t=，也就是x=时，|AP|
min
= 3 。
t
22
21?mx
16、已知函数< br>f(x)??log
2
是奇函数。
x1?x
（1）求
m
的值；
所以当t–
（2）请讨论它的单调性，并给予证明。
解（1）
?
f (x)
是奇函数，
?f(?x)?f(x)?0
；
即
(?
21?mx21?mx
?log
2
)?(?log
2
)?0
，解得：
m?1
，其中
m??1
（舍）；
x1?xx1?x
13

经验证当
m?1
时，
f(x)?
21?x
?log
2
(x?
?
? 1,0
?
?
?
0,1
?
)
确是奇函数。
x1?x
（2）先研究
f(x)
在（0，1）内的单调性，任取x
1
、x
2
∈（0，1），且设x
1
2
，则
f (x
1
)?f(x
2
)?
?(
由
1?x
1
2
1?x
2
2
?log
2
??log
2< br>x
1
1?x
1
x
2
1?x
2
222 2
?)?[log
2
(?1)?log
2
(?1)],
< br>x
1
x
2
1?x
2
1?x
1
222 2
??0,log
2
(?1)?log
2
(?1)?0,
x
1
x
2
1?x
2
1?x
1
得
f( x
1
)?f(x
2
)
>0，即
f(x)
在（0，1 ）内单调递减；
由于
f(x)
是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数
f (x)
在（－1，0）内单调递减。





14