高中数学一对一讲义函数

高中数学函数知识点总结

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?
x
?
4?x
?lg
?
x?3
?
2
的定义域是

（答：?
0，2
?
?
?
2，3
?
?
?
3，4
?
）

函数定义域求法：
? 分式中的分母不为零；
? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
? 指数式的底数大于零且不等于一；
?
数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
? 正切函数
y?tanx

?
?
?
?
x?R,且x ?k
?
?
2
,k?
?
?
?
?

? 余切函数
y?cotx

?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?

? 反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，
函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条 件的自变量的范围，再取他们的交集，就
得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是
?
a，b
?
，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。
（答：
?
a，?a
?
）

复合函数定义域的求法： 已知
y?f(x)
的定义域为
?
m,n
?
，求
y? f
?
g(x)
?
的定义域，可由
m?g(x)?n
解
出x的范围，即为
y?f
?
g(x)
?
的定义域。
例 若函数
y?f(x)
的定义域为
?
?
1
?
?
2
,2
?
?
，则
f(log
2
x)
的定 义域为 。
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
1
x
的值域
对

2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=
x
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型 有时也可以用其他方法进行化简，
不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
b
型：直接用不等式性质
k+x
2
bx
b. y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例： y???
2
1
2
1+x
x+
x
2
x?m< br>?
x?n
?
c.. y?型 通常用判别式
x
2
?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1 1
例：y???（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1
2

4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已 学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是
三角函数的单调性。
3x?4
值域。
5x?6
e
x
?1
2sin?
?12sin
?
?1
例 求函数y=
x
，
y?
，
y?
的值域。
e?1
1?sin
?
1?cos
?

6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=

7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+

8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
2
x?5
?
log
3
x?1
（2≤x≤10）的值域
x?1
的值域。

例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，

22
y
的取值范围
x?2
(2)y-2x的取值范围
y
解:(1)令?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.

x?2

(1)
d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R
例求函数y=
例求函数 y=
(x?2)
x
2
2
+
(x?8)
x
2
2
的值域。
?6x?13
+
?4x?5
的值域
注：求两距离之和时，要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+ b≥2
ab
，a+b+c≥3
3abc
（a，b，c∈
R
?
），求函数的最值，其题型特征解析式是
和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不 过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

2
(x?0)
x

1111
=x
2
???3
3
x
2
?? ?3
xxxx
例：

x
2
?


(应用公式a+b+c?3
3
abc时，注意使3者的乘积变成常数）
x
2
(3-2x)(0x?x+3-2x
3
)?1< br>3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时，应注意使3者之和变成常数）
3

=x?x?(3-2x)?(
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=

x?2
的值域
x?3
多种方法综合运用
总 之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考
虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。


12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错
误，与到手的满分失之交臂

如：f
?
x?1?e
x
?x，求f(x).

?
13. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）


?
?
1 ?x
如：求函数f(x)?
?
2
?
?
?x

?
x?0
?
的反函数

?
x?0
?
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：
(2004.全国理)函数


A．y=x
2
－2x+2(x<1)
C．y=x
2
－2x (x<1)
y?


x?1?1(x?1)
的反函数是（ B ）
B．y=x
2
－2x+2(x≥1)
D．y=x
2
－2x (x≥1)
14. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、
2、
3、
反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C ，a?A，b?C，则f(a)=b?f
?1
(b)?a


?f
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a，f< br>?
f
?1
(b)
?
?f(a)?b

f(x )?log
3
(
4
?2)
，则方程
f
x
? 1
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04. 上海春季高考）已知函数
(x)?4
的解
x?
__________.
15 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小 关系
可以变形为求
f(x
1
)?f(x
2
)
f( x
1
)
的正负号或者与1的关系
x
1
?x
2
f(x
2
)
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同 的单调性； （特例：奇函
数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x )在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：
偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的 < br>②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变 化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化 ；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它 们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变
化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向 变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与
1
在f(x)的同号区间里反向变化。
f (x)
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈ [φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，
β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ
(β)，φ( α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
⑦若函数y ＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f(g)
增
增
减
减


16. 如何利用导数判断函数的单调性？

g(x)
增
减
增
减
f[g(x)]
增
减
减
增
f(x)+g(x)
增


减
－1
f(x)*g(x) 都是正数
增


减


如：求y?log
1
?x
2
?2x的单
2
??


在区间
?
a，b
?< br>内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如 ：已知a?0，函数f(x)?x
3
?ax在
?
1，??
?
上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）


若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称

若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一个偶函数与奇函数的乘
积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
如：若f(x)?为奇函数，则实数a?
x
2?1



2
x
又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数 ，当x?(0，1)时，f(x)?
x
，

4?1
求f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。

判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于 原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关
于原点对称，则函数为非奇非偶函 数.

二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计 算
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数
f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)
f(?x)
，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

三、

f(g)
奇
奇
偶
偶
复合函数奇偶性






g(x)
奇
偶
奇
偶
f[g(x)]
奇
偶
偶
偶
f(x)+g(x) f(x)*g(x)
偶
奇
奇
偶
奇
非奇非偶
非奇非偶
偶
18. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候， 经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推
f(x)?f(x?t)?0
?
导：
f(x?t)?f(x?2t)?0< br>?
??f(x)?f(x?2t)
，
?
同时可能也会遇到这种样子： f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关 于直线对称，
对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x), 或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线
x=a对称。

又如：若 f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x )
?
f(x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a? x)?f(2b?x)
f(x)?f(2b?x)
??
令t?2a?x,则2b?x? t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)
即f(x)?f(x?2b?2a)
所以, 函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对值
如：

19. 你掌握常用的图象变换了吗？






f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点（x,y）,(-x,y)
f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点（x,y）,(x,-y)
f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点（x,y）,(-x,-y)
f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)
f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)
f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)
左移a(a?0)个单位
y?f(x?a)

将y?f(x)图象??????????
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)

上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

???? ??????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
（这是书上的方法，虽然 我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这
么麻烦。你要判 断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，
就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：




y

y=log
2
x


O 1 x


f(x)???|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面
f(x)? ??f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面

如：f(x)?log
2
?
x?1
?

作出y?l og
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象< br>


19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
（2）反比例函数：y?
kk
?
k? 0
?
推广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a，b)
xx?a
2
的双曲线。

b
?
4a c?b
2
?
（3）二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?
?
?图象为抛物线

??
2a4a
2

?
b4ac?b
2
?
b
顶点坐标为
?
?，
?
，对称轴x??
4a
?
2a
?
2a
4a
4ac?b
2

开口方向：a?0，向上，函数y?
min

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?
4a

根的关系：x?
?b?
V

2a
bc
V
x
1
?x
2
??,x
1
?x
2
?,|x< br>1
?x
2
|?
aa|a|
f(x)?ax
2
?bx?c(一般式)
f(x)?a(x?m)?n(顶点式，（m，n）为顶点
f(x)?a (x?x
1
)(x?x
2
)(x
1
,x
2
是方程的2个根）
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)?h(函 数经过点（x
1
,h)(x
2
,h)
2
二次函数的几种表达 形式：

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
b
） fmax?f(m),fmin?f(n)
2a
b
） fmax?f(n),fmin?f(m)

区间在对称轴右边（m??
2a
b
区间在对称轴2边 （n???m）
2a
4
a
c?b
2
fmin?,fmax?max(f( m),f(n))
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大
区间在对称轴左边（n??
(只讨论a?0的情况）

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。

?
??0
?
?
b
2
如：二次方程ax?bx?c? 0的两根都大于k?
?
??k

?
2a
?
?
f(k)?0

y


(a>0)


O k x
1
x
2
x


一根大于k，一根小于k?f(k)?0

?
?? 0
?
b
?
?n
?
m??
在区间（m，n）内有2根 ?
?
2a
?
f(m)?0
?
?
?
f(n) ?0
在区间（m，n）内有1根?f(m)f(n)?0


（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?


（5）对数函数y?log
a
x
?
a?0，a?1
?

y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0
由图象记性质！ （注意底数的限定！）

（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

y








?k


O x

k








20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a
0
?1(a?0)，a
?p
?
1
(a ?0)

a
p

a
m
n
?
n
a
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)




对数运算：log
a
(M?N)?log
a
M?log
a< br>N
?
M?0，N?0
?

log
a
M1?log
a
M?log
a
N，log
a
n
M? log
a
M

Nn
对数恒等式：a
log
a
x
?x

对数换底公式：log
a
b?

log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b
log
c
am
1
log
a
x?
log< br>x
a


21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）






如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x) 为奇函数。

（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。
< br>（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?f(t·t)

∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)

∴f(?t)?f(t)……）

（3）证明单调性：f(x
2
)? f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、
2、
3、

几类常见的抽象函数
1.
2.
正比例函数型的抽象函数
幂函数型的抽象函数
f（x）＝x
a
----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（
3. 指数函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
代y=x，
令x=0或1来求出f(0)或f(1)
求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x
1

??

x
y
）＝
f(x)

f(y)

f（x）＝a
x
------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
4. 对数函数型的抽象函数
f(x)

f(y)
f（x）＝log
a
x（a>0且a≠ 1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（
5.

f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝
三角函数型的抽象函数
x
y
）＝ f（x）－f（y）
f(x)?f(y)

1?f(x)f(y)
f（x）＝cotx----- ------------------- f（x＋y）＝

f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f （y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)
在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x
2
）＝f[（x
2
－x
1
）＋x
1
]＝f（x
2
－x
1）＋f（x
1
））；再根据
区间求其值域.

例2已知函数f （x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3) ＝ 5，求
不等式 f（a
2
－2a－2）<3的解.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1） ＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1
时，f（x）∈[0，1].
（1）
（2）
（3）
判断f（x）的奇偶性；
判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
若a≥0且f（a＋1）≤
3
9
，求a的取值范围.
分析：（1）令y＝－1；
（2）利用f（x
1
）＝f（
（3）0≤a≤2.

例 4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x
1
≠x
2
， 使得f（x
1
）≠f（x
2
）；对任何x和y，
f（x＋y）＝f（ x）f（y）成立.求：
（1）
（2）

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a） f（b），a、b∈N；③f（2）
＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明 理由.
分析：先猜出f（x）＝2
x
；再用数学归纳法证明.

f（0）；
对任意值x，判断f（x）值的符号.
x
1
x
2
·x
2
）＝f（
x
1
x
2
）f（x< br>2
）；
分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝ 1，求：
（1）
（2）
f（1）；
若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b） ，那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）
是否正确，试说明理由.
分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
① x
1、x
2
是定义域中的数时，有f（x
1
－x
2
）＝分析：（1）利用3＝1×3；
f(x
1
)f(x
2
)?1
；
f(x
2
)?f(x
1
)
②
③
试问：
（1）
（2）
（3）
f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
当0＜x＜2a时，f（x）＜0.
f（x）的奇偶性如何？说明理由；
在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.
先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.
分析：（1）利用f [－（x
1
－x
2
）]＝ －f [（x
1
－x
2
）]，判定f（x）是奇函数；
对于抽象 函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应
的特 殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1）
（2）
（3）
求证：f（1）＝f（－1）＝0；
求证：f（x）为偶函数；
若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－
1
）≤0.
2
分析：函数模型为：f（x）＝log
a
|x|（a＞0）
（1）
（2）
（3）

例10已知函数f（x）对一切实数x 、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，
求证：
（1）
（2）
（3）
当x＞0时，0＜f（x）＜1；
f（x）在x∈R上是减函数.
受指数函数单调性的启发：
先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；
令y＝ －1；
由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝
f(x)
，
f(y )
进而由x
1
＜x
2
，有
f(x
1
)＝f（x
1
－x
2
）＞1.
f(x
2
)

练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（
1
）＝ f（x）
x
（C）f（
x
y
）＝ f（x）－f（y） （D）f（x
n
）＝nf（x）（n∈N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y 满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x
＞0时 ，f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x
1、x
2
都有
f（x
1
－x
2
）＝
f (x
1
)?f(x
2
)
，则f（x）为（ ）
1?f(x
1
)f(x
2
)
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y） ]，则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面
积公式吗？



R


1弧度
O R
（l??·R，S
扇
?
11
l·R??·R
2
）

22
(和三角形的
面积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)