高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案

姓 名
教 学
内 容
重 点
难 点
教 学
目 标
性 别 年 级 高一
函数与映射的概念及其函数的表示法
教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念
教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念

1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2．能够正确理解 和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域
的求法，掌握求函数解析式的思想 方法
3.了解映射的概念及表示方法
4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.
5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念
课前检作业完成情况：
查与交
流 交流与沟通
一、函数的概念

针
一、复习引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

对
设在一个变 化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的
值与它对应，那么就说x是自变量， y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做

性
函数的定义域，和自变量x的值对 应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数
的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统 定义.

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等
授
问题1：（）是函数吗？

课
问题2：与是同一函数吗？

观察对应：
A
9
4
1
(1)
A
1
-1
2
-2
3
-3
(3)
求平方
B
1< br>4
9
A
1
2
3
(4)
开平方
B3
-3
2
-2
1
-1
A
求正弦
B

教



学



过



程
30
45
0
60
0
90
0
(2)
乘以2
0
1
2
2
3
2
2
1
B
1
2
3
4
5
6
二、讲解新课：

（一）函数的有关概念 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中
的任意一个，在集合B中都有 唯一确定的数和它对应，那么就称
为从集合A到集合B的函数，记作
， xA
其中 叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应
的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做 函数y=f(x)的值域.
函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
这里 A, B 为非空的数集.
（2）A：定义域，原象的集合；：值域，象的集合,其中
B ；：对应法则 ， A ， B
（3）函数符号： 是 的函数，简记
（二）已学函数的定义域和值域
1．一次函数:定义域R, 值域R;
2．反比例函
3．二次函数
值域：当时，
:定义域, 值域
:定义域R
；当时，
;
（三）函数的值：关于函数值
例：=+3x+1 则 f(2)=+3×2+1=11
注意：1在中表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3与是不同的，前者为变数，后者为常数
（四）函数的三要素： 对应法则、定义域A、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
三、例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
① ；② ；③ .




例2 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).






例3下列函数中哪个与函数是同一个函数？

⑴

；⑵；⑶



例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①
②
③


二、函数－区间的概念及求定义域的方法
教学过程：
一、复习引入：
函 数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函
数的核心(它规定了x和y之间 的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对
应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数） ；定义域和对应法则一经
确定，值域就随之确定
前面我们已经学习了函数的概念，，现在我们来学习区间的概念和记号
二、讲解新课：
1．区间的概念和记号
在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,bR ,且a①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式ax示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条 以a和b为端点的线段来表示，在图中，
用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间 内的端点：
定 义 名 称 符 数 轴 表 示
号
闭区间 [a，
{x|axb}

b]
开区间 (a，
{x|ab)

[a，
{x|ax左闭右开区间

b]

(a，
{x|a左开右闭区间

b)


这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”

读作“负无穷大”， “+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，x>a，xb，x的实数x的集合分别表示为[a，+ ，（a，+）,(- ,b,(- ,b).
注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
2．求函数定义域的基本方法
我们知道，根据函数 的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数
的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定） ，不指明这两点是不能算给定
了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于 用解
析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函
数的定义域 就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这个约定，我们在用
解析式给出函数的对应法则的同时 也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在
这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，
对应法则不同，这样 的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个
函数.
4．复合函数：设 f(x)=2x
（或g[f(x)] =(2x3)
2
+2=4x
2
3，g(x)=x
2
+2，则称 f[g(x)] =2(x
2
+2)
12x+11）为复合函数
3=2x
2
+1
三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.
例1已知



例2已知f(x)=x
2



例3 求下列函数的定义域：
①
③
②
④

1 g(x)=求f[g(x)]

⑤

例4 若函数




例5 若函数
域






求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实
数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子
都有意义的实数集合 ；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.





求解函数解析式
例6 已知f(x)满足




例7 设二次函数满足
过点(0,3)，求的解析式.



四、练习：
且=0的两实根平方和为10，图象
，求；
的定义域为[1，1]，求函数的定义
的定义域是R，求实数a 的取值范围

1．设的定义域是[3，]，求函数的定义域




2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x1, 求f(x)的解析式




3．若,求f(x)




检测：补充：1 已知：


2 已知函数


3 若
=xx+3 求： f(x+1), f()
=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].
求f(x)


三、函数－映射
内容分析：
本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就
属于集合的知识因此，要联系前一章 的内容和函数的概念来学习本节，映
射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及 的
“原象的集合A”“象的集合B”以及 “从集合A到集合B的对应法则f”
可以更广泛的理 解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合
等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深 入，可以逐渐加深对映射
概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映
射的例子映射是现代数学的一个基本概念
教学过程：
一、复习引入：
在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）
①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系
②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应
③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应
④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应

⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应
函数的概念
本节我们将学习一种特殊的对应—映射.
二、讲解新课：看下面的例子：
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
A
9
4
1
(1)
A
1
-1
2
-2
3
-3
( 3)
求平方
B
1
4
9
A
1
2
3< br>(4)
开平方
B
3
-3
2
-2
1
- 1
A
求正弦
B
30
45
0
60
0
90
0
(2)
乘以2
0
1
2
2
3
2
2
1
B
1
2
3
4
5
6

说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中
的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
映射：设A，B是两个集合，如果 按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一
个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应 （包括集合A、
B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射
记作：
象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如果元素和元素
对应，则元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象
关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）
①“A到B”：映射是有方向的，A 到B的映射与B到A的映射往往
不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和
它对应，这 是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元
素和它 对应，这是映射的唯一性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射
的封闭性.
指出 ：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；
注意到其中（2）（4）是一 对一，（3）是多对一
思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？
回答：对于（1） ，在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之
相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的 映射
思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?
一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射

辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个
映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任 一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中
的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.
映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；
三、例题讲解
例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？

a e a e a e
b f b f b f
c g c g c g
d d
(是) （不是） （是）
是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的


例2下列各组映射是否同一映射？

a e a e d e
b f b f b f
c g c g c g



例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，
对应法则
（2）设，对应法则
（3），，
（4）设
（5）



四、练习：
，


1．设 A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘
2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）

2．设A=N*， B={0，1}，集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的
余数”和集合B中的元素对应．这个对 应是不是映射？（不是（A中没有象））

3．A=Z，B=N*，集合A中 的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B
中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）

4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a?
b=(a1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？
（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个
（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个
（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同
（D）B中的两个不同元素的原象可能相同

6．下面哪一个说法正确？
（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射
（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射
（C）如果集合 A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B
只能建立一个映射
（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能
建立一个映射

7．集合A=N，B={m|m=
f作用下，象
分析：求象





课 堂

检 测
课 后 1 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
作 业
⑴，；⑵，
,n∈ N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在
，的原象分别是多少.( 5，6.)
=求出x即可.同理可求的原象. 的原象只需解方程
；
⑶，；⑷，；
⑸， A ⑴、⑵ B ⑵、⑶ C ⑷ D ⑶、
⑸
2 函数的图象与直线的公共点数目是（ ）
A B C 或 D 或
3 已知，若，则的值是（ ）

A B 或 C ，或 D
4 设函数则实数的取值范围是
5 函数的定义域
的图象与
x
轴交于，且函数的最大6 若二次函数
值为，
则这个二次函数的表达式是
7 函数的定义域是__________________
8 函数的最小值是_________________
9 求函数的定义域
10.是关于的一元二次方程
，求的解析式及此函数的定义域
的两个实根，又


11 已知函数
、的


在有最大值和最小值，求