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高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 14:54
tags:高中数学函数

怎样轻松学好高中数学-初高中数学教学教学衔接的研究


.
高中数学函数知识点总结

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如:集合A?
中元素各表示什么?
A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A?
?
x|y?lgx
?
,B?
?
y|y?lgx
?
,C?
?
(x,y)|y?lgx
?< br>,A、B、C

?
x|x
2
?2x?3?0,B?
?
x|ax?1
?


?

若B?A,则实数a的值构成的集合为

(答:
?
?1,0,
?
?
1
?
?


3
?
显 然,这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件,可以得到a =-1,a=13. 但是, 这里千万小
心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质:
(1)集合
?
a
1
,a
2
,……,a
n
?
的所有子集的个数是2
n


要知道它的来历:若B为A的子集,则对于元素a
1
来说,有2种选择(在或者不在 )。同样,对于元素a
2
, a
3
,……a
n
,都有2种选 择,
所以,总共有
2
种选择, 即集合A有
2
个子集。
当 然,我们也要注意到,这
2
种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集 个数为
2
n
n
nn
?1
,非空真子集个数为
2n
?2

(2)若A?B?A?B?A,A?B?B;

(3)德摩根定律:
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?

C
U
?
A?B
?
?
?
C
U< br>A
?
?
?
C
U
B
?

有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。
(∵3?M,∴
a·3?5
?0
3
2
?a
a·5?5
?0
5
2
?a< br>ax?5
?0的解集为M,若3?M且5?M,求实数a

x
2
?a
5
??
?a?
?
1,
?
?
?
9,25
?

3
?
?

∵5?M,∴
注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告诉你函数f(x)=ax+bx+c(a>0) 在
(??,1)
上单调递减,在
(1,??)
2
.


.
上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到m,n实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(?),“且”(?)和“非”(?).

若p?q为真,当且仅当p、q均为真


若p?q为真,当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真,当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)

A?{x|x
满足条件
p}

B?{x|x
满 足条件
q}

若 ;则
若 ;则
p

q
的充分非必要条件
?A_____B

p

q
的必要非充分条件
?A_____B

p

q
的充要条件
?A_____B
; 若 ;则
若 ;则
p

q
的既非充分 又非必要条件
?___________

7. 对映射的概念了解吗?映射f:A →B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有n个。
如:若

m
A?{1,2,3,4}

B?{a,b,c}
;问:
A

B
的映射有 个,
B

A
的映射有 个;
A

B
的函数有 个,
A?{1,2,3}
,则
A

B
的一一映射有 个。
函数
y?
?
(x)
的图象与直线
x?a
交点 的个数为 个。
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数y?
x
?
4?x
?lg
?
x?3
?
2
的定义域是

(答:?
0,2
?
?
?
2,3
?
?
?
3,4
?


函数定义域求法:
?
?
?
?
数大于零且不等于一,真数大于零。
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底
.


.
? 正切函数
?
??
y?tanx

?
x?R,且x?k
?
?,k?
?
?

2
??
y?cotx

?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?
?
?
余切函数
反三角函数的定义域
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是,函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y=arctgx
的定义域是 R ,值域是.,函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条 件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f(x)的定义域是
?
a,b
?
,b?? a?0,则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

?
a,?a
?


x的范围,即为
义域是_____________。
(答:
复合函 数定义域的求法:已知
y?f(x)
的定义域为
?
m,n
?
,求
y?f
?
g(x)
?
的定义域,可由
m?g(x)?n
解出
y?f
?
g(x)
?
的定义域。
例 若 函数
?
1
?
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
,则
f(log
2
x)
的定义域为 。
?
2
?
分析:由函数
11
?
1
?
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
可知:
?x?2
;所以
y?f(log
2
x)
中有
?log
2
x? 2

22
?
2
?
1
?log
2
x?2

2
解:依题意知:
解之,得

2?x?4

f(log
2
x)
的定义域为< br>x|2?x?4
11、函数值域的求法
1、直接观察法
??

对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=
x
-2x+5,x
?
[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型 有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上

.
2
1
的值域
x


.
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
b
型:直接用不等式性质
k+x
2
bx
b. y?
2
型,先化简,再用均值不等式
x?mx?n
x11
例: y???
2
1
2
1+x
x+
x
2
x?m< br>?
x?n
?
c.. y?型 通常用判别式
x
2
?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一:用判别式
a. y?
法二:用换元法,把分母替换掉
例:y?
2
x
2
?x?1(x+1)?(x+1)+1 1
??(x+1)??1?2?1?1
x?1x?1x?1

4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有 界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
3x?4
值域。
5x?6
e
x
?1
2sin?
?12sin
?
?1
例 求函数y=
x

y?

y?
的值域。
1?sin
?
1?cos
?
e?1
e
x
?11?y
y ?
x
?e
x
??0
1?y
e?1
2sin
?
?11?y
y??|sin
?
|?||?1,
1?sin
?
2?y
2sin
?
?1
y??2sin
?
?1? y(1?cos
?
)
1?cos
?
2sin
?
?y cos
?
?1?y
4?y
2
sin(
?
?x)?1 ?y,即sin(
?
?x)?
1?y
4?y
2

1 ?y
4?y
2
又由sin(
?
?x)?1知?1
解不等式, 求出y,就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=

7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+

8 数形结合法
.
2
x?5?
log
3
x?1
(2≤x≤10)的值域
x?1
的值域。


.
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:已知点P(x.y)在圆x+y=1上,

22
y
的取值范围
x?2
(2)y-2x的取值范围
(1)
解:(1)令

d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R
例求函数y=
y
?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.

x?2
(x?2)
2
+
(x?8)
2
的值域。
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:[10,+∞)
例求函数y=

x
2
?6x?13
+
x
2
?4x?5
的值域
解:原函数可变形为:y=
(x? 3)
2
?
(0?2)
2
+
(x?2)
2
?
(0?1)
2


上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y
min
=∣AB∣=
故所求函数的值域为[。
43
,+∞)(3?2)
?
(2?1)
22
=
43

注:求两距离之和时,要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+ b≥2
ab
,a+b+c≥3
3abc
(a,b,c∈
R
?
),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,
解析式是积时要求和为定值,不 过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例:

.

x
2
?
2
(x?0)
x
1111
??3
3
x
2
???3
xxxx
=x
2
?
(应用公式a+b+c?3
3
abc时,注意使3者的乘积变成常数)


.



x
2
(3-2x)(0 x?x+3-2x
3
)?1
3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时,应注意使3者之和变成常数)
3

=x?x?(3-2x)?(
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数y=
x?2
的值域
x?3

1
x?2
?2 ?0?y?
1
2
x?2
x?3
x?2?0时,
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
x?2?0时,y=0
y?
?0?y ?
1
2
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、 认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调
性法和基本不等式法,然 后才考虑用其他各种特殊方法。


12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之
交臂

如:f

令t

∴x
?
x?1?e
x
?x,求f(x).

?
?x?1,则t?0

?t
2
?1


∴f(t)

∴f(x)
?e
t
2
?1?t
2
?1

?x
2
?1
?
x?0
?

?e
x
2
?1
13. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
?
?
1?x

如:求函数f(x)?
?
2
?
?
?x
?
?
x?1
(答:f
?1
(x)?
?
?
?
??x
.
?
x?0
?
的反函数

?
x?0
?

?
x?1
?



?
x?0
?


.
在更多时候, 反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:
(2004.全国理)函数
A.y=
x
-2
x
+2(
x
<1)
C.y=
x
-2
x
(
x
<1)
2
2
y?


x?1?1(x?1)
的反函数是( B )
B.y=
x
-2
x
+2(
x
≥1)
D.y=
x
-2
x
(
x
≥1)
2
2
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如果不出现 计算问题的话,答案还是可以做出来的。可惜,这个不
合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下 面请看一下我的思路:
原函数定义域为 x〉=1,那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢?
14. 反函数的性质有哪些?
反函数性质:
1、
2、
3、
反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)
反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)
反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y

?f?1
?f(x)的定义域为A,值域为C,a?A,b?C,则f(a)=b?f
?1(b)?a

?
f(a)
?
?f
?1
(b)? a,f
?
f
?1
(b)
?
?f(a)?b

f(x)?log
3
(
4
?2)
,则方程
f
x< br>?1
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
(04. 上海春季高考)已知函数
(x)?4
的解
x?
__________.
15 . 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x
1
,x
2
,找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小 关系
可以变形为求
f(x
1
)?f(x
2
)f(x
1
)
的正负号或者与1的关系
x
1
?x
2
f(x
2
)
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同 的单调性; (特例:奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于 点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c 是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x) ,f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加)
④如果正值函 数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与 f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)
和它们反向变化;(函数相乘)
⑤函数f(x)与
1
在f(x)的同号区间里反向变化。
f(x)
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ (α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=
F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x [α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[ α,
β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。(同增异减)
.


.
⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f(y)也是严格单 调的,而且,它们的增减性相同。
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x)
-1
f(x)*g(x) 都是
正数






















如:求y?log
1
?x
2
?2x的单调区 间
2
??


(设u??x
2
?2x,由u?0则0?x?


且 log
1
2
u?,u??
?
x?1
?
?1,如图:

u




O 1 2 x

2


当x?(0,1]时,u?,又log
1
2
u?,∴y?

u?,∴y?

当x?[1,2)时,u?,又log
1
2
∴……)


16. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间
?
a, b
?
内,若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

?0,函数f(x)?x
3
?ax在
?
1,??
?
上是单 调增函数,则a的最大


2
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)?0呢?


如:已知a
值是( )
A. 0
?
a
??
a
?

(令f'(x)?3x?a ?3
?
x?
??
x?
?
?0

33
????

则x??
a
或x?
3
a

3
??)上为增函数,则
a
?1,即a?3

3

由已知f(x)在[1,
∴a的最大值为3)
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
.


.
(f(x)定义域关于原点对称)

若f(?x)

若f(?x)
??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称

?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶 函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数,则实数a?

如:若f(x)?
x
2?1

(∵f(x)为奇函数,x?R,又0?R,∴f(0)

?0

a·2
0
?a?2
?0,∴a?1)


0
2?1
2
x


又如:f( x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x?(0,1)时,f(x)?
x
4?1
求 f(x)在
?
?1,1
?
上的解析式。

2
?x

(令x?
?
?1,0
?
, 则?x?
?
0,1
?
,f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x )为奇函数,∴f(x)??
?x
4?11?4
x
?
2
x< br>?
?
x

?
4?1
又f(0)?0,∴f(x )?
?
x
?
2
?
?
4
x
?1x?(?1,0)
x?0
x?
?
0,1
?




判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇(偶) 函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数 为
非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提 下,计算
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数
f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)
f(?x)
,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

.


.
三、

f(g)




g(x)




f[g(x)]




f(x)+g(x) f(x)*g(x)










18. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T
函数,T是一个周期。)

如:若f
复合函数奇偶性

非奇非偶
非奇非偶

?0),在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x),则f(x)为周 期

?
x?a
?
??f(x),则

(答:f(x)是周期函数,T?2a为f(x)的一个周期)

我们在做题的时候, 经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导:
f(x)?f(x?t)?0
?
?
??f(x)?f(x?2t)
f(x?t)?f(x?2t)?0
?
同时可能也会遇到这种样子:f(x) =f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对 称, 对称轴可以
由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说f (a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

又如:若f(x)图象有两 条对称轴x?a,x?b
即f(a?x)?f(a?x),f(b?x)?f(b?x)
?f(x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a?x)?f(2b? x)
?
f(x)?f(2b?x)
?
令t?2a?x,则2b?x?t?2b ?2a,f(t)?f(t?2b?2a)
即f(x)?f(x?2b?2a)
所以,函数f( x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对值

如:





19. 你掌握常用的图象变换了吗?

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点(x,y),(-x,y)
x轴对称
联想点(x,y),(x,-y)
原点对称
联想点(x,y),(-x,-y)

f(x)与?f(x)的图象关于

f(x)与?f(?x)的图象关于

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点(x,y),(y,x)
.


.

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点(x,y),(2a-x,y)
点(a,0)对称
联想点(x,y),(2a-x,0)
f(x)与?f(2a?x)的图象关于

将y
左移a(a?0)个单位
y?f(x?a)

?f(x)图象? ?????????
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
上移b(b?0)个单 位
y?f(x?a)?b

??????????
下移b(b?0)个单位< br>y?f(x?a)?b
(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出 来吧。对于这种题目,其实根本不用这么麻烦。你要判断函数
y-b=f(x+a)怎么由y=f(x) 得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)
注意如下“翻折”变换:

f(x)???|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面
f(x)???f( |x|)把y轴右方的图像翻到上面


如:f(x)

作出y

?log
2
?
x?1
?

?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的 图象


y

y=log
2
x


O 1 x



19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a


(1)一次函数:y?kx?b
?
k?0
?
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)

(2)反比例函数:y
的双曲线。
?
kk
?
k?0
?
推广为y?b?
?
k? 0
?
是中心O'(a,b)

xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?

(3)二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?图象为抛物线

?
?
??
2a4a
2
?< br>b4ac?b
2
?
b


顶点坐标为
?
?
?
,对称轴x??

4a
?
2a
?
2a
.


.
4ac?b
2

开口方向:a?0,向上,函数y?
min
4a

a?0,向下,y
max
?b?
2a
4ac?b
2
?
4a

根的关系:x?
x
1
?x
2
??

bc
,x
1
? x
2
?,|x
1
?x
2
|?
aa|a|
二 次函数的几种表达形式:
f(x)?ax
2
?bx?c(一般式)
f(x)? a(x?m)?n(顶点式,(m,n)为顶点
f(x)?a(x?x
1
)(x?x< br>2
)(x
1
,x
2
是方程的2个根)
f(x)?a( x?x
1
)(x?x
2
)?h(函数经过点(x
1
,h)( x
2
,h)
2

应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax
2?bx?c?0,??0时,两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点,也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间[m,n]上的最值。
b
) fmax?f(m),fmin?f(n)
2a
b
) fmax?f(n),fmin?f(m)

区间在对称轴右边(m??
2a
b
区间在对称轴2边 (n???m)
2a
4
a
c?b
2
fmin?,fmax?max(f( m),f(n))
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系, 距离越远,值越大
区间在对称轴左边(n??
(只讨论a?0的情况)

③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2

如:二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x


一根大于k,一根小于k?f(k)?0

.


.
?
??0
?
b
?
m???n< br>?
在区间(m,n)内有2根?
?
2a
x

(4)指数函数:y?a
?
a?0,a?1
?

?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
在区间(m,n)内有1根?f( m)f(n)?0

(5)对数函数y?log
a
x
?
a?0,a?1
?

y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0
由图象记性质! (注意底数的限定!)

(6)“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等式一定要注意等号成立的条件)


y







?k



O
k


x








20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a
m
n
0
?1(a?0),a
?p
?
?
m
n
1
(a?0)

a
p

a?
n
a
m
(a?0),a ?
1
n
a
m
(a?0)


对数运算:log
a
(M?N)?log
a

log
a
M?log
a
N
?
M?0,N?0
?

M1
?log
a
M?log
a
N,log
a
n
M?log
a
M

Nn
log
a
x

对数恒等式:a
.
?x


.
对数换底公式:log
a
b?

log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b
log
c
am
1
log
a
x?
log< br>x
a


21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)

如:(1)x?R,f(x)满足f(x?y)

(先令x
?f(x)?f(y),证明f(x)为奇函数。

?y?0?f(0)?0再令y??x,……)

?f(x)?f(y),证明f(x)是偶函数。

(2)x?R,f(x)满足f(xy)

(先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)

∴f(?t)
?f(t)?f(t)

?f(t)……)

(3)证明单调性:f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、
2、
3、

几类常见的抽象函数
1.
2.
正比例函数型的抽象函数
幂函数型的抽象函数

f

x
)=
x
----------------
f

xy)=
f

x

f

y
);
f

a
??

代y=x,
令x=0或1来求出f(0)或f(1)
求奇偶性,令y=—x;求单调性:令x+y=x
1


f

x
)=
kx

k
≠0)--------- ------
f

x
±
y
)=
f

x
)±
f

y

x
y
)=
f(x)

f(y)
3. 指数函数型的抽象函数

f

x
)=
a
-------------------
f

x

y
)=
f

x

f

y
);
f

x

y
)=
x
f(x)

f(y)
4. 对数函数型的抽象函数
f

x
)=lo
g
a
x

a
> 0且
a
≠1)-----
f

x
·
y
)=
f

x
)+
f

y
);
f

5.

三角函数型的抽象函数
x
y
)=
f

x
)-
f

y

f

x
)=t
gx--------------------------

f

x

y
)=
f(x)?f(y)

1?f(x)f(y)
.


.
f

x)=cot
x------------------------

f

x

y
)=

f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)
例1已知函数
f

x
)对任意实数
x

y
均有
f
x

y
)=
f

x
)+
f

y
),且当
x
>0时,
f
(
x
)>0,< br>f
(-1)= -2求
f
(
x
)在区间[-2,1]
上的值域.
分析:先 证明函数
f

x
)在R上是增函数(注意到
f

x
2
)=
f
[(
x
2

x
1
)+
x
1
]=
f

x
2

x< br>1
)+
f

x
1
));再根据区间求其值域.

例2已知函数
f

x
)对任意实数
x

y
均有
f

x

y
)+2=
f< br>(
x
)+
f

y
),且当
x
>0时 ,
f
(
x
)>2,
f
(3)= 5,求不等式
f

a
-2
a
-2)<3的解.
分析:先证明函 数
f

x
)在R上是增函数(仿例1);再求出
f
(1)= 3;最后脱去函数符号.

例3已知函数
f

x
)对任意 实数
x

y
都有
f

xy
)=
f

x

f

y
),且
f
(-1) =1,
f
(27)=9,当0≤
x
<1时,
f

x
)∈[0,
1].
(1)
(2)
(3)
判断
f

x
)的奇偶性;
判断
f

x
)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;

a
≥0且
f

a
+1)≤
3
2
9
,求
a
的取值范围.
分析:(1)令
y
=-1;
(2)利用
f

x
1
)=
f

(3)0≤
a
≤2.

例4设函数
f

x
)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在
x
1

x
2
,使得
f

x
1
)≠
f

x
2
);对任何
x

y

f

x
+< br>y
)=
f

x

x
1
x
2
·
x
2
)=
f

x
1
x
2

f

x
2
);
f

y
)成立.求:
(1)
(2)

例5是否存在函数
f

x
),使下列三个条件:①
f
(< br>x
)>0,
x

N
;②
f

a+b)=
f

a

f
(b),
a
、 b∈
N
;③
f
(2)=4.同时成立?
若存在,求出
f
x
)的解析式,若不存在,说明理由.
分析:先猜出
f

x
)=2;再用数学归纳法证明.
< br>例6设
f

x
)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足
f

x
·
y
)=
f

x
)+f

y
),
f
(3)=1,求:
(1)
(2)
x
f
(0);
对任意值
x
,判断
f

x
)值的符号.
分析:(1)令x=
y
=0;(2)令
y

x
≠0.
f
(1);

f

x
)+
f

x
-8)≤2,求
x
的取值范围.
(2)利用函数的单调性和已知关系式.
分析:(1)利用3=1×3;

例7设函数
y

f

x
)的反函数是
y

g

x
).如果
f

a
b)=
f

a
)+
f
(b),那么
g

a
+b)=
g

a
)·
g
(b)是否正确,试说明
理由.
分析:设
f

a
)=
m

f
(b)=
n
,则
g

m
)=
a

g

n
)=b,
进而
m

n

f

a
)+
f
(b)=
f

a
b)=
f
[
g

m

g

n
)]….

例8已知函数
f

x
)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件 :
.


.

x
1

x
2
是定义域中的数时,有
f

x
1

x
2
)=
f(x
1
)f(x
2
)?1

f(x
2
)?f(x
1
)


试问:
(1)
(2)
(3)
f

a
)= -1(
a
>0,
a
是定义域中的一个数);
当0<
x<2
a
时,
f

x
)<0.
f

x
)的奇偶性如何?说明理由;
在(0,4
a
)上,
f

x
)的单调性如何?说明理由.
先证明
f< br>(
x
)在(0,2
a
)上是增函数,再证明其在(2
a
,4
a
)上也是增函数.
分析:(1)利用
f
[-(
x
1

x
2
)]= -
f
[(< br>x
1

x
2
)],判定
f

x)是奇函数;
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理 解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟
悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进 行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数
f
x
)(
x
≠0)满足
f

xy
)=
f

x
)+
f

y
),
(1)
(2)
(3)
求证:
f
(1)=
f
(-1)=0;
求证:
f

x
)为偶函数;

f
x
)在(0,+∞)上是增函数,解不等式
f

x
)+
f

x

1
)≤0.
2
分析:函数模型为:f

x
)=lo
g
a
|
x
|(
a
>0)
(1)
(2)
(3)

例10已知函数
f

x
)对一切实数
x

y
满足
f
(0)≠0,
f

x

y
)=
f

x
)·
f

y
),且当
x
<0时,< br>f

x
)>1,求证:
(1)
(2)
(3)

x
>0时,0<
f

x
)<1;
先令
x

y
=1,再令
x

y
= -1;

y
= -1;

f

x
)为 偶函数,则
f

x
)=
f
(|
x
|).
f

x
)在
x
∈R上是减函数.
受指数函数单调性的启发:
分析:(1)先令
x

y
=0 得
f
(0)=1,再令
y
=-
x


f

x

y
)=
f

x

f

y
)可得
f

x

y
)=< br>f(x)

f(y)
进而由
x
1

x2
,有
f(x
1
)

f

x

x
)>1.
f(x
2
)
12
练习题:
1.已知:
f

x

y
)=
f

x
)+
f

y
)对任意实数
x

y都成立,则( )

A

f
(0)=0 (B)
f
(0)=1
(C)
f
(0)=0或1 (D)以上都不对
2. 若对任意实数
x

y
总有
f
xy
)=
f

x
)+
f

y
),则下列各式中错误的是( )

A

f
(1)=0 (B)
f

1
)=
f

x

x
n
(C)
f

x
y
)=
f

x
)-
f

y
) (D )
f

x
)=
nf

x
)(
n< br>∈
N

3.已知函数
f

x
)对一切实数
x

y
满足:
f
(0)≠0,
f

x

y
)=
f

x

f
y
),且当
x
<0时,
f

x
)>1,则当< br>x
>0时,
f

x
)的
取值范围是( )

A
)(1,+∞) (B)(-∞,1)
.


.
(C)(0,1) (D)(-1,+∞)
4.函数
f

x
)定义域关于原点对称,且 对定义域内不同的
x
1

x
2
都有
f

x
1

x
2
)=
f(x
1
)?f (x
2
)
,则
f

x
)为( )
1 ?f(x
1
)f(x
2
)

A
)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数
f

x
)对任意实数
x

y
满足
f

x

y
)+
f
x

y
)=2[
f

x
)+
f

y
)],则函数
f

x
)是( )

A
)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
参考答案:



R

1弧度
O R
.
1.A 2.B 3 .C 4.A 5.B
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?

(l??·R,S
2

?
1
2
l·R?
1
2
?·R)
(和三角形的面积公式很相似,
以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)


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