高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版

高中数学函数知识点总结
一、. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
二、. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?
x
?
4?x
?lg
?
x?3
?
2
的定义域是

函数定义域求法：
? 分式中的分母不为零；
? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
? 指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
?
?
??
正切函数
y?tanx

?
x?R,且x?k
?
?,k?
?
?

2
??
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围 ，再取他
们的交集，就得到函数的定义域。
三、. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是
?
a，b
?
，b??a?0，则函数F (x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。
复合函数定义域的求法：已知
y?f(x)
的定义域为
?
m,n
?
，求
y?f
?
g(x)
?
的定义域，可由
m?g( x)?n
解
出x的范围，即为
y?f
?
g(x)
?
的定义域。
?
1
?
例 若函数
y?f(x)
的定义域 为
?
,2
?
，则
f(log
2
x)
的定义 域为 。
?
2
?
四、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1
例 求函数y=的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 < br>例、求函数y=
x
2
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型 有时也可以用其他方
法进行化简，不必拘泥在判别式上面
1

b
型：直接用不等式性质
k+x
2
bx
b. y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例： y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型 通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1 1
例：y???（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1

4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4
例 求函数y=值域。
5x?6

5、函数有界性法 < br>直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单
调性 ，最常用的就是三角函数的单调性。
e
x
?1
2sin
?
?12sin
?
?1
例 求函数y=
x
，
y?
，
y?
的值域。
e?1
1?sin
?
1?cos
?




6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=
2


7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。


2

x?5
?
log
3
x?1
（2≤x≤10）的值域

8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P（x.y）在圆x
2
+y
2
=1上，

y
的取值范围
x?2
(2)y-2x的取值范围
(1)
解:(1)令

d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R
例求函数y=



例求函数y=
y
?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.

x?2
(x?2)
2
+
(x?8)
2
的值域。
x
2
?6x?13
+
x
2
?4x?5
的值域






9 、不等式法
利用基 本不等式a+b≥2
ab
，a+b+c≥3
3abc
（a，b，c∈
R
），求函数的最值，其题型特征解析
式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值， 不过有时须要用到拆项、添项和两边平方
等技巧。
2
例：

x
2
?(x?0)

x
?
=x
2?
1111
??3
3
x
2
???3
xxxx< br> (应用公式a+b+c?3
3
abc时，注意使3者的乘积变成常数）

x
2
(3-2x)(0x?x+3-2x
3
)?1
3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时，应注意使3者之和变成常数）
3

=x?x?(3-2x)?(
10.倒数法
3

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=
x?2
的值域
x?3
x?2
x?3
x?2?0 时，
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
y?
x?2?0时 ，y=0
?0?y?
1
x?2
?2?0?y?
1

2
1
2
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先 要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等 式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。


五、. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小 关系
可以变形为求
f(x
1
)?f(x
2
)
f( x
1
)
的正负号或者与1的关系
x
1
?x
2
f(x
2
)
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同 的单调性； （特
例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x )在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调
性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的 < br>②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变 化的。
③如果函数f
1
(x)，f
2
(x)同向变化，则函数f< br>1
(x)＋f
2
(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函 数f
1
(x)，f
2
(x)同向变化，则函数f
1
(x)f
2
(x)和它们同向变化；如果负值函数f
1
(2)与f
2
(x)
同向变化，则函数f
1
(x)f
2
(x)和它们反向变化；（ 函数相乘）
⑤函数f(x)与
1
f(x)
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ (α)]同向变
化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x [α，β]与函数y＝F(u)，u
∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化 ，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减
的。（同增异减）

f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g(
) ) )] x) x) 都是
4

增
增
减
减

增
减
增
减
增
减
减
增
增


减
正数
增


减







如：求y?log
1
?x
2
?2x的单调区间

2
??






六、.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间
?a，b
?
内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如 ：已知a?0，函数f(x)?x
3
?ax在
?
1，??
?
上是单调增函数，则a的最大
值是（ ）

七、 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一个偶函数与
奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若f(x)?
2
x
?1



2
x
，

又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数 ，当x?(0，1)时，f(x)?
x
4?1
求f(x)在
?
?1， 1
?
上的解析式。



5

八.判断函数奇偶性的方法
1、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数 的必要条件.若函数的
定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
2、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算
f(?x)
，然后根据函数的奇偶性 的定义判断其奇偶
性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数

f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)
3、复合函数奇偶性

f(g) g(x) f[g(x
)]
奇 奇 奇
奇 偶 偶
偶
偶
奇
偶
偶
偶
f(x)+g(
x)
奇
非奇非
偶
非奇非
偶
偶
f(x)*g(
x)
偶
奇
奇
偶









九、. 你熟悉周期函数的定义吗？
< br>（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x) ，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则


我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时 说这
f(x)?f(x?t)?0
?
个函数周期2t. 推导：
f(x?t) ?f(x?2t)?0
?
??f(x)?f(x?2t)
，
?
同时 可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一 个意思：函数
f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f( x)=f(2a-x),或者
说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
6

如：
又如：若f(x)图象有两条对称轴 x?a，x?b
即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)
?
f( x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a?x)?f(2b?x)f(x)?f(2b?x)
??
令t?2a?x,则2b?x?t?2b?2a,f(t) ?f(t?2b?2a)
即f(x)?f(x?2b?2a)
所以,函数f(x)以2|b?a |为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对值

十. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点（x,y）,(-x,y)

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点（x,y）,(x,-y)

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点（x,y）,(-x,-y)

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)
a(a?0)个单位
y?f(x?a)
上移b (b?0)个单位
y?f(x?a)?b

将y?f(x)图象?
左 移
???????????????????
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a )
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b


注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面

f(x)???f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面


如：f(x)?log
2
?
x?1
?

< br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象


7

y

y=log
2
x


O 1 x



(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a
十一、 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？


（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
kk
k?0推广为y?b?
???
k?0
?
是中心O'(a，b)

xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?
2

（3）二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?
?
?图象为抛物线

?
2a
?
4a
?
b4ac?b
2
?
b
，对称轴x??
顶点坐标为
?
?，

?
4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0，向下，y
max
根 的关系：x?
?b?
V
2a
4ac?b
2
?

4a

bc
V
x
1
?x
2
?? ,x
1
?x
2
?,|x
1
?x
2
|?aa|a|

8

二次函数的几种表达形式 ：
f(x)?ax
2
?bx?c(一般式)
f(x)?a(x?m)
2
?n(顶点式，（m，n）为顶点
f(x)?a(x?x
1
)(x?x2
)(x
1
,x
2
是方程的2个根）
f(x)?a(x ?x
1
)(x?x
2
)?h(函数经过点（x
1
,h)(x
2
,h)

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
b
） fmax?f(m),fmin?f(n)
2a
b
区间在对称轴右边（m??） fmax?f(n),fmin?f(m)
2a
b
区间在对称轴2边 （n???m）

2a
4
a
c?b
2
fmin?,fm ax?max(f(m),f(n))
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大
区间在对称轴左边（n??
(只讨论a?0的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2

如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x


一根大于k，一根小于k?f(k)?0

9

?
?
??0
在区间（m，n）内有2根?
?
?
?
m??
b
?
2a
?n
?
f (m)?0

?
?
f(n)?0
在区间（m，n）内有1根 ?f(m)f(n)?0
（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?


（5）对数函数y?log
a
x
?
a?0，a?1
?

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0
（6）“对勾函数”y?x?
k
x
?
k?0
?

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成
立的条件）

y








?k


O
k


x








15. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a
0
?1(a?0)，a
?p
?
1
a
p
(a?0)

m

a
n< br>?
n
a
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)


对数运算 ：log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
?
M?0，N?0
?


log
M
a
N
?log，log
n
1
a
M?log
a
Na
M?
n
log
a
M

10

对数恒等式：a
log
a
x
?x

对数换底公式： log
a
b?
log
c
b
n
?log
a< br>m
b
n
?log
a
b
log
c
am

1
log
a
x?
log
x
a

16. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）

（3）证明单调性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

??

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x，
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x
1


几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数

f< br>（
x
）＝
kx
（
k
≠0）------------ ---
f
（
x
±
y
）＝
f
（
x< br>）±
f
（
y
）
2. 幂函数型的抽象函数
< br>f
（
x
）＝
x
a
----------------
f
（
xy
）＝
f
（
x
）
f（
y
）；
f
（
3. 指数函数型的抽象函数
f
（
x
）＝
a
x
----------------- --
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x< br>）
f
（
y
）；
f
（
x
－
y
）＝
4. 对数函数型的抽象函数
x
）＝
f
（
x
）－
f
（
y
）
y
f(x)

f(y)
xf(x)
）＝
yf(y )
f
（
x
）＝lo
g
a
x
（
a< br>>0且
a
≠1）-----
f
（
x
·
y）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
）；
f
（
5.


三角函数型的抽象函数
11

f
（
x
）＝t
gx---------- ----------------

f
（
x
＋
y
）＝
f(x)?f(y)
< br>1?f(x)f(y)
f
（
x
）＝cot
x-------- ----------------

f
（
x
＋
y
）＝
f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)

例1已知函数
f
（
x
）对任 意实数
x
、
y
均有
f
（
x
＋
y< br>）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），且当< br>x
>0时，
f
(
x
)>0，
f
(－1)＝ －2求
f
(
x
)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数
f
（
x
）在R上是增函数（注意到
f
（
x
2
）＝
f
[（
x
2
－
x
1
）＋< br>x
1
]＝
f
（
x
2
－
x
1
）＋
f
（
x
1
））；再根据区间求其值域.
< br>例2已知函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y< br>均有
f
（
x
＋
y
）＋2＝
f
（x
）＋
f
（
y
），且当
x
>0时，
f
(
x
)>2，
f
(3)＝ 5，求不等式
f
（
a
2
－2
a
－2）<3的解.
分析 ：先证明函数
f
（
x
）在R上是增函数（仿例1）；再求出
f
（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
都有
f
（
xy
）＝
f
（
x
）
f
（
y
），且
f
（－1）＝1，
f
（27）＝
9，当0≤
x
＜1时，
f< br>（
x
）∈[0，1].
（1）判断
f
（
x
）的奇偶性；
（2）判断
f
（
x
）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； < br>（3）若
a
≥0且
f
（
a
＋1）≤
3
9
，求
a
的取值范围.
分析：（1）令
y
＝－1；
（2）利用
f
（
x
1
）＝
f
（
x
1
x
·
x
2
）＝
f
（
1
）
f
（
x
2
）；
x
2
x
2
（3）0≤
a
≤2.

例4设函数
f
（
x
）的定义域是（－∞，＋∞），满足条 件：存在
x
1
≠
x
2
，使得
f
（
x
1
）≠
f
（
x
2
）；
对任何
x
和
y
，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）成立.求：
（1）
f
（0）；
(2)对任意值
x
，判断
f
（
x
）值的符号.
分析：（1）令x=
y
＝0；（2）令
y
＝
x
≠0.

例5 是否存在函数
f
（
x
），使下列三个条件：①
f
（
x
）>0,
x
∈
N
；②
f
（
a
＋ b）＝
f
（
a
）
f
（b），
a
、
b∈
N
；③
f
（2）＝4.同时成立？若存在，求出
f
（
x
）的解析式，若不存在，说明理由.
x
分析：先猜出
f
（
x
）＝2；再用数学归纳法证明.

例6设
f
（
x
）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数， 满足
f
（
x
·
y
）＝
f
（
x）＋
f
（
y
），
f
（3）
＝1，求：
（1）
f
（1）；
（2） 若
f
（
x
）＋
f
（
x
－8）≤2，求
x
的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数
y
＝
f
（
x
）的反函数是
y
＝
g
（
x
）.如果
f
（
a
b）＝
f
（
a
）＋
f
（b），那么
g
（
a
＋b）＝
12

g
（
a
）·
g
（b）是否正确，试说明理由.
分 析：设
f
（
a
）＝
m
，
f
（b）＝
n
，则
g
（
m
）＝
a
，
g
（< br>n
）＝b，
进而
m
＋
n
＝
f
（< br>a
）＋
f
（b）＝
f
（
a
b）＝
f
[
g
（
m
）
g
（
n
）]….

例8已知函数
f
（
x
）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件 ：
①
x
1
、
x
2
是定义域中的数时，有
f
（
x
1
－
x
2
）＝
f(x
1
)f(x
2
)?1
；
f(x
2
)?f(x
1
)
②
f
（
a
）＝ －1（
a
＞0，
a
是定义域中的一个数）；
③ 当0＜
x
＜2
a
时，
f
（
x
）＜0.
试问：
（1）
f
（
x
）的奇偶性如何？说明理由；
（2） 在（0，4
a
）上，
f
（
x
）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用
f
[－（
x
1
－
x
2
）]＝ －
f
[（< br>x
1
－
x
2
）]，判定
f
（
x）是奇函数；
（3） 先证明
f
（
x
）在（0，2
a
）上是增函数，再证明其在（2
a
，4
a
）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函 数
问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求
特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数
f
（x
）（
x
≠0）满足
f
（
xy
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），
（1） 求证：
f
（1）＝
f
（－1）＝0；
（2） 求证：
f
（
x
）为偶函数；
1
（3） 若
f（
x
）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式
f
（
x
） ＋
f
（
x
－）≤0.
2
分析：函数模型为：
f< br>（
x
）＝lo
g
a
|
x
|（
a＞0）
（1） 先令
x
＝
y
＝1，再令
x
＝
y
＝ －1；
（2） 令
y
＝ －1；
（3） 由
f
（
x）为偶函数，则
f
（
x
）＝
f
（|
x
|）.

例10已知函数
f
（
x
）对一切实数
x
、
y
满足
f
（0）≠0，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）·
f
（
y），且当
x
＜0
时，
f
（
x
）＞1，求证：
（1） 当
x
＞0时，0＜
f
（
x
）＜1；
（2）
f
（
x
）在
x
∈R上是减函数.
分析：（1）先令
x
＝
y
＝0得
f
（0）＝1，再令y
＝－
x
；
（3） 受指数函数单调性的启发：
由
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）可得
f
（
x
－
y
）＝
f(x)
，
f(y)
进而由
x
1
＜
x< br>2
，有
f(x
1
)
＝
f
（
x
1
－
x
2
）＞1.
f(x
2
)
练习题：
1.已知：
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
）对任意实数
x
、
y
都成立，则（ ）
（
A
）
f
（0）＝0 （B）
f
（0）＝1
（C）
f
（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数
x
、
y
总有
f（
xy
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），则下列各式中错误的是（ ）
13

（
A
）
f
（1）＝0 （B）
f
（
（C）
f
（
1
）＝
f
（
x
）
x
x
）＝
f
（
x
）－
f
（
y
） （D ）
f
（
x
n
）＝
nf
（
x
）（< br>n
∈
N
）
y
3.已知函数
f
（
x
）对一切实数
x
、
y
满足：
f
（0）≠0，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）f
（
y
），且当
x
＜0时，
f
（
x< br>）
＞1，则当
x
＞0时，
f
（
x
）的取值范 围是（ ）
（
A
）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数
f
（
x
）定义域关于原点对称，且 对定义域内不同的
x
1
、
x
2
都有
f
（
x
1
－
x
2
）＝
f(x
1
)?f (x
2
)
，则
f
（
x
）为（ ）
1 ?f(x
1
)f(x
2
)
（
A
）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
满足
f
（
x
＋
y
）＋
f
（x
－
y
）＝2[
f
（
x
）＋
f
（
y
）]，则
函数
f
（
x
）是（ ）
（
A
）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数


函数典型考题
1.若函数
f(x)?(m?1)x?(m?2)x?(m?7m?1 2)
为偶函数，则
m
的值是 （ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2．已知函数
f(x)
是定义域在
R
上的偶函数，且在区间
(??,0)
上单调递减，求满足
22
f(x2
?2x?3)?f(?x
2
?4x?5)
的
x
的集合 ．
．
3.若f(x)是偶函数，它在
?
0,??
?
上 是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ ）
A. (
111
，1) B. (0，)
U
(1，
??
) C. (，10) D. (0，1)
U
(10，
??
)
101010
4.若a、b是任意实数，且a>b,则 （ ）
a
?
1
??
1
?
A. a
2
>b
2
B. <1 C.
lg
?
a?b
?
>0 D.
??
<
??

b
?
2
??
2
?
abc
5.设a,b,c都是正数，且
3?4?6
，则下列正确 的是 （ ）
ab
(A)
1
c
?
1
a
122112212
?
b
?
a
?
b
?
a
?
b
(B)
C
(C)
C
(D)
2
c
?
a
?
b

6．对于函数
f
?
x
?
?ax?bx?
?
b?1
?
（a?0
）．
2
14

（Ⅰ）当
a?1,b??2
时，求函数
f(x)
的零点；
（Ⅱ）若对任意实数
b
，函数
f(x)
恒有两个相异的零点，求实数
a
的取值范围．

6. 二次函数
y?ax?bx?c
中，
a?c?0
，则函数的零点个数是（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定
8．若函数
f
?
x
?
?x?ax?b的两个零点是2和3,则函数
g
?
x
?
?bx?ax?1
的零点是（ ）
22
2
A．
?1
和
?2
B．
1
和
2
C．
111
1
和 D．
?
和
?

233
2
9．下面四个结论：①偶 函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是
奇函 数又是偶函数的函数一定是
f(x)
＝0（x∈R），其中正确命题的个数是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
10.已知函数f(x
2
-3)=lg
x
2
,
2
x?6
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求f(x)的反函数; (4)若f[
?
(x)
]=lgx,求
?
(3)
的值。







11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ）
e
x
?e
?x
1?x
（A）y=（B）y=lg（C）y=-x
3
（D）y=
x

2
1?x






15

16