高中数学：函数的概念及其表示

高中数学：函数的概念及其表示
1．函数与映射的概念


两集合
A，B
对应
关系
f：A→B
函数
设A，B是两个________
如果按照某个对应关系f，对
于集合A中的__ ______一个
数x，在集合B中都存在
________的数f(x)与之对应
称________为从集合A到集
合B的一个函数
y＝f(x)，x∈A
映射
设A，B是两个
________
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的
________一个元素x，在集合
B中都有________ 的元素y与
之对应
称对应________为从集合A
到集合B的一个映射
f：A→B
名称
记法


2．函数的三要素
函数由________、________和对应关系三个要素构成，在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫
作自变量，x的取值范围A叫作函数的________；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的________．
3. 函数的表示法
函数的常用表示方法有：________、________、________．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的______ __，这样的函
数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

常用结论
1．常见函数定义域：
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y＝a
x
(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
??
π
(5)y＝tan x的定义域为
?
xx∈R且x＝kπ＋，k∈Z
?
.
2
??


2．基本初等函数的值域：
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
4ac－b
(2)y＝ax＋bx＋c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为
?
，＋∞
?
；当a<0时，值4a
??
2
2
4ac－b
?
域为
?
－ ∞，
.
4a
??
2

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k
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
x
(4)y＝a
x
(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝log
a
x(a>0且a≠1)的值域是R.




题组一 常识题
1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号)
①y＝±x；②y
2
＝x－1；③y＝x－2＋1－x；
④y＝x
2
－2(x∈N)．
?
?
ln x－2，x>0，
2．[教材改编] 已知函数f(x)＝
?
若f[f(e)]＝2a，则实数a＝________．
?
x＋a，x≤0，
?
3．[教材改编] 函数f(x)＝
8－x
的定义域是________．
x＋3
题组二 常错题
◆ 索引：函数概念理解不透彻；分段函数解不等式忘记范围；换元法求解析式，反解
忽视范围；函数值域理解不透彻．
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}， 下列从P到Q的各对应关系f不是函
数的是________．


11
①f：x→y＝x; ②f：x→y＝x；
23
2
③f：x→y＝x; ④f：x→y＝x.
3
?
（x＋1），x<1，
5．设函数f(x)＝
?
则使 得f(x)≥1的自变量x的取值范围为
?
4－x－1，x≥1，
_________ _____．
6．已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________．
7．若一系列 函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族
函数”，那么函数解析式为y＝ x
2
，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个．
题组三 常考题
8．[2015·重庆卷改编] 函数f(x)＝lg(x
2
＋x－6)的定义域是________．
?
1 ＋log
3
（3－x），x<1，
?
9．[2015·全国卷Ⅱ改编] 函数f(x)＝
?
2
则f(－6)＋f(2)＝________.
?
x＋2，x≥1，
?
2


探究点一 函数的定义域
考向1 求给定函数解析式的定义域

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1 (1)[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10
lg x
的定义域和
值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
1
C．y＝2
x
D．y＝
x
4－x
2
(2)[2016·山东实验中学月考] 函数f(x)＝的定义域为( )
lg（x＋1）
A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]
C．[－2，2] D．(－1，2]
________ __________________________________________________ ______________
_______________________________ _________________________________________
____ __________________________________________________ __________________
[总结反思] 对于由解析式给出的函数，其定义域可能有如 下几种情况：(1)若f(x)是分式，
则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；(2)若f (x)是偶次根式，则其定义域是使
被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合；(3)如果函数是 由一些函数通过四则运算组合
而成的，那么它的定义域是各函数定义域的交集.
式题 函数f(x)＝ln
x1
＋x的定义域为( )
x－1
2
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C. (0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
考向2 求抽象函数的定义域
2 (1)[2016·临川一中月考] 已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)
的定义域为( )
A．[－3，7] B．[－1，4]
5
0，
?
C．[－5，5] D.
?
?
2
?
(2)已知函数f(3－2x) 的定义域为[－1，2]，则函数f(x)的定义域为________．
____________ __________________________________________________ __________
___________________________________ _____________________________________
________ __________________________________________________ ______________
[总结反思] (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g (x)]中，m≤g(x)≤n，从而解得x的范
围即为f[g(x)]的定义域；(2)若f[g(x )]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即
为f(x)的定义域．
考向3 已知定义域确定参数问题
3 (1)设函数f(x)在区间[0，1]上有意义，若 存在x∈R使函数f(x－a)＋f(x＋a)有意义，
则a的取值范围为( )
111
－∞，－
?
B.
?
－，
?
A.
?
2
???
22?
111
，＋∞
?
D.
?
－∞，－
?
∪
?
，＋∞
?
C.< br>?
2
??
2
?
2
???
x－4
(2 )若函数f(x)＝
2
的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
mx＋4mx＋3

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______ __________________________________________________ ________________
_____________________________ ___________________________________________
[总结反思] 此类问题的一般解法是：根据所给定义域，将问题转化为含参数的不等式
(组)，进而求解参数范围．
探究点二 函数的解析式
4 (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2 f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝
________________．
(2)定义 在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝_______ _________．
___________________________________ _____________________________________
________ __________________________________________________ ______________
_______________________________ _________________________________________
[总结反思] 函数解析式的求法：
(1)换元法，已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(2)待定系数法，若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(3) 配凑法，由已知条件f[g(x)]＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替
代g(x)，便得f(x)的解析式；
1
?
(4)消去法，已知f(x)与f?
?
x
?
或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个
等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
式题 (1)若f(1－x)＝2x
2
－x＋1，则f(x)
_______________________________ _________________________________________.
(2 )已知f
＝
?
x＋
1
?
?
x
?
＝ x
2
＋
1
x
2
，则f(x)的解析式为
_____ __________________________________________________ _________________．
探究点三 分段函数 考向1 求分段函数的函数值
?
?
log
2
（4－x），x<4，
5 (1)[2016·广西五市二模] 已知函数f(x)＝
?
则f(0)＋f(log
2
32)＝
x
－
1
?
1＋2，x≥4，
?
( )
A．19 B．17
C．15 D．13
?
cos
π
3
x
，x≥0，
(2)[2016·湖北重点高中联考] 设函数f(x)＝
?
则f[f(－2)]＝( )
4
?
?
－
?
?
x＋
x
?
，x<0，
A．－
31
B.
22
13
C．－ D.
22
____ __________________________________________________ __________________
___________________________ _____________________________________________
__________________________________________________ ______________________
[总结反思] 求分段函数的函数值时，首先要确定 自变量的值属于哪个区间，再选定相
应的解析式代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍．

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考向2 分段函数的含参问题
2
?
?
x＋2a，x<1，
6 (1)[2016·广东韶关调研] 已知实数a<0，函数f(x)＝
?
若f(1－a)≥f(1
?
－x，x≥1 ，
?
＋a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，－1]
C．[－1，0) D．(－∞，0)
?
?
3＋l og
2
（x－1），x＞0，
(2)[2016·江南十校二模] 已知函数f(x) ＝
?
2
若f(a)＝5，则a的取
?
x－x－1，x≤0，
?
值集合为( )
A．{－2，3，5} B．{－2，3}
C．{－2，5} D．{3，5}
________________________ ________________________________________________ < br>_______________________________________________ _________________________
____________________ __________________________________________________ __
[总结反思] 给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每
一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．

























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