高中数学函数题型分类

高中数学函数题型分类
高中数学函数学生常见问题以及函数常见题型、解法指导
一、学生常见问题:
(一)、认知层面的问题:
这个问题就是在高一学习函数时就 一直在困扰学生的问题。我们要了解高一学生在学习数学
时产生困难的原因,首先要了解学生的数学认知 结构。即学生在对数学对象、数学知识与数学经验
感知与理解的基础上形成的一种心理结构。通俗地说: 数学认知结构就就是人们按照自己的经验与
理解,根据自己的感知、记忆、思维的特点,把数学知识在大 脑中组合而成的具有内部规律的整体
结构。数学认知结构受个体认知特点的制约,具有浓厚的认知主体性 与鲜明的个性色彩。高一新生
在学习数学时的困难正就是由于数学认知结构的特点所决定。高一新生在学 习高中数学时,碰到的
困难比如无法理解函数的概念,无法建立对应的观念,对集合的概念理解不够透彻 等问题,导致高
中数学的学习存在很大的困难。
(二)、基础知识层面的问题:
在 进行高三复习的时候,同学们普遍的反映都不太好。原因在于,同学们感觉学校老师复习得
很快。学校老 师的讲课思路就是先大致的把知识点串讲一遍,接着在课上做一些例题,课后给同学
发一些卷子以做为练 习,这些练习在做完之后老师也不一定会仔细的讲解,知识点的落实也不太扎
实。因此同学感觉老师的复 习很快。(因此这里学生会出现的问题就就是基础知识不扎实)
那么我们在具体的操作中,首先应该了 解学生复习的程度。在总复习的过程中侧重于整体性,
所以可以先了解一下学生就是否有一个整体的框架 。(框架的作用就是帮助PEC检查学生的知识
体系就是否完善)
函数被分成了两块:横轴与纵轴。(参见策略库函数基本概念第一部分)

三要素
?
定义域
?
?
值域

?
解析式
?
六大基础函数

抽象函数

复合函数

性质
?
单调性
?
?
奇偶性

?
?
对称性
?
周期性
?


图像
?
函数本身的图象
?
?
平移
?

?
?
?
图象变换
?
旋转
?
对称
?
?
?
接下来,就就是要求学生能够对这个表格里的每个点都比较了解。(框架完善了,就要瞧基础知识点就是否真的落实)
首先这六大基础函数,学生就是否都了解呢？包括:正比例函数,反比例函数,一次函数,二次
1

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函数,指数函数,对数函数。只有指数函数与对数 函数就是在高中的时候新学的,其她函数都就是以
前的时候就学过的。但就是在考试当中会结合到一起, 尤其就是二次函数。抽象函数就就是在考察
的时候只告诉函数的一些基本性质,进行一些证明等等。复合 函数就就是
f
?
g
?
x
?
?
这种形式的函 数,
因此在跟学生交流的时候,如果学生没有这样一个整体知识框架,可以让学生首先熟悉这一块的内< br>容,因为这就是属于知识层面比较基础的部分。函数性质与图像的内容,同样要瞧学生就是否都知
道,如果掌握的不就是特别清楚,那么都属于基础知识层面的问题。
(三)、(接下来)基本题型的问题
可以按照表格中体现出的顺序来考察学生基本题型的能力。
(1)定义域相关的基本题型
两类:
1、给定函数式,在函数式当中有些限定性的条件,如存在,以及对数
log
要求大于零,以及存
在分母(分母不能为零)等等基本的方式去求定义域。
2、复合 函数求定义域的问题。复合函数求定义域就是很严格的。就就是这样一层一层的函数
顺序下来要求的。如
f
?
g
?
x
1
?
?
和f
?
t
?
x
2
?
?
,首先就要求其中
g?
x
1
?
和t
?
x
2
?
必须 符合
f
?
x
?
的定义域的要求;
其次我们才去瞧
x
1
和x
2
各自要按照哪个函数要求去求定义域,
x
1
需要符合函数
g
?
x
?
的定义域要
求,
x
2
需要符合函数
t
?
x
?
的定义域要求。其实就就是两点 :首先,只要就是同一函数对应法则,括号
内的式子的范围都就是一样的。第二点就就是求定义域,就是 求最核心的自变量
x
的范围。
(2)值域相关的基本题型(其实关键的就就是几种方法)
1、二次函数的值域问题。而且这 就是最为关键的问题。简单的二次函数,就可以通过顶点与
最值等来求值域。困难的地方在于函数有参数 的问题。带有参数的二次函数值域的问题也被我们
称为限定性的二次函数求值域问题。也就就是说,自变 量
x
的取值不就是全体实数
R
,而就是在一
定范围之内,如
x?
?
a,b
?
,求函数的值域的问题。解决的办法只有一种,即分类讨论。 分类讨论时需
b
就是在a的左端、在b的右端还就是位于区间
?
a,b
?
之内,因此需要
2a
分类讨论的就就是分这三类。(这个问题只要反复的练就是可 以达到效果的)
要注意的就是,对称轴
x??
2、换元法(也就是最常用的方法), 转换成二次函数。这种题的特点就是,题目中的自变量的次
11
数关系就是倍半关系,如
x,,
2
,x
2
,都可以利用换元的方法把题目转换成上面第一类的问题。
x
x
3、利用函数的单调性求值域。当前两种办法不能用的时候,都可以考虑函数的单 调性。因此
这里存在函数就是否存在单调性的问题。有两种方式,一种就就是平时题目的积累;一种就就 是猜
测,去试这个函数的单调性(因为知道单调性要去证明单调性并不就是一个困难的问题),单调性< br>的利用其实也就是在利用函数的图像。
4、运用均值不等式。但就是均值不等式适用的范围比较 窄,且函数的形式也就是比较固定的。
11
一般来说都就是函数带有分母的。如
y?x ?或者y?x?1?
等这样的形式可以利用均值不等
xx?1
式。
5、数形 结合。这种类型的题目也就是比较特殊的。一般的形式如
y?ax
2
?bx?c?mx
2
?nx?l
,两个根号的与的形式。根号下的函数可以转化为点线的距离与
2

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两点间的距离。
6、反解法。这种方法 也就就是说这个函数的定义域就是比较清晰的,就可以写出反函数,利用
反函数来求原函数的值域。这种 方法要求原函数得存在反函数,即
y?f
?
x
?
的x与y
就 是一一对应
的。这样反函数才存在,才可以反解。
mx
2
?n
7、 “
?
”法。这种方法适用于
y?
2
这种形式的函数,“
?< br>”法就就是把分母乘到左
ax?bx?c
边去,然后整理成一个关于
x
降幂排列的方程,然后利用
??0
来求
y
的取值范围。
这些方法中,常用的就就是1、2、3、7这几种方法。其她的几种就题型也就是比较单一的。
(3)求解析式(方法比较少,考得也不多)
1、配 与 凑
利用它的形式,凑出
f
?
?
?
???k???
2
这样的形式,这要求学 生做题目比较有感觉。
2、待定系数法。即设
f
?
x
?
? ax
2
?bx?c
,再利用已知条件把
a,b,c
的取值确定。
(4)单调性、周期性、奇偶性、对称性
1、首先,得知道这几个性质的概念各自的确定的含 义。学生面临的问题就就是比较偏向于用
一个特定的数代入函数,以此来判断函数的单调性或者奇偶性等 。其实核心在于她们对于恒成立
这个概念的理解存在偏差,比较模糊。因为函数的性质就是对于定义域范 围内任意的x都成立的。
因此,在证明的过程中,不能用一些特定的数代入函数,因为这只就是猜测函数 的性质的一种方法。
2、各种性质的代数形式。
单调性:定义域内
x
1< br>?x
2
,则有f
?
x
1
?
?f
?< br>x
2
?
单调增
奇偶性:定义域内
f
?
?x
?
?f
?
x
?
为偶函数

f
?
?x
?
??f
?
x
?
为奇函数
周期性:定义域内
f
?
x?a
?
?f
?
x
?
a为周期
对称性:包括关于轴对称,关于点对称,
如关于函数关于
x?a
对称,则
f
?
a?x
?
?f
?
a ?x
?

这个可以让学生去归纳。
3、解题时,题目基本都就是抽其中的一条性质或者两条性质结合起来考查。
?
?< br>0，0）对称的，如x?
?
?1,1
?
没有奇偶性
?
1.定义域是关于原点（
?
如 说到奇偶性
?
2.f
?
? x
?
??f
?
x
?

?
1.奇函数：关于 （0，0）对称
?
3.图像
?
?
?
?
2.偶函数： 关于y轴对称
?
如周期性 在三角函数里运用的比较多
另外就对称性就跟刚才需要学生去总结的内容相同。
二、解决学生认知障碍的策略:
3

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(1)在高一新学期开始之时,做好如下几件事:一就 是要对学生进行高中数学知识结构特点与知
识系统构成的讲解,使其尽快进入角色,尽快适应高中数学知 识学习的要求。二就是要帮助学生尽
快调整相关心理结构,以尽快适应高中数学的认知结构。可以从认知 方法、认知结构及认知层次等
方面,给学生讲清初中与高中的认知差异及调整方法,从而帮助学生及早做 好心理上的准备。三就
是要从高中与初中数学的思想方法与学习方法等方面给学生讲清二者之间的差异, 让学生了解高
中数学的思想方法与学习方法,为学习高中数学知识作好思想与方法上的准备。具体可以从 初、高
中的教材教法、思想方法与学习方法的差异入手进行调整,与高中比较,初中明显存在着时间多、
形象记忆多、强化训练多,教材内容少、抽象思维少、灵活应用少;让学生了解在初中通过强化记
忆与题海战术来提高成绩就是可能的,甚至就是行之有效的方法。但将此类方法克隆到高中的学习
中则 就是行不通的,甚至就是根本不可能实现的。
(2)注重对比。从学生初中的数学知识与数学 经验与新的高中数学知识的矛盾入手帮助学
生消除数学认知障碍,尽快实现高中数学知识与初中数学知识 与知识经验的重新组织。在这方面要
充分发挥教师的主导作用,充分利用课堂教学的便利条件,在课堂教 学过程中要有意识地进行新、
旧知识与新、旧方法的对照、比较。让学生通过自己的观察、比较、反思、 总结、批判达到吸收、
消化、升华的目的。实现新的数学知识与初中的数学经验、数学知识互相促进、协 调发展。
(3)对于那些习惯于知识堆积的同学要有意识地对其进行高中数学思维特征及思想 方法
的辅导。一方面要积极发挥其直观、形象记忆好的优势,另一方面要通过课堂教学发展其抽象、形< br>式的思维方法,树立学习信心,培养学习兴趣,以期尽快消除数学认知的障碍,走出数学学习的误
区。
(4)形象直观。由数学认知结构层次不同造成的数学认知障碍,解决方法就是教师要通 过
课堂教学积极地加以引导,课堂教学要充分利用学生的直观、形象思维好的特点,在抽象性较强的概念教学时要通过创设恰当的问题情景与学习情景从实际问题与形象化入手,直观、形象的自然引
入 ,尽量避免过多的抽象性讲解,帮助学生尽可能的缩短适应高中数学认知结构的过程,减少由于
数学认知 结构的层次不同所带来的认知障碍的负面影响。
(5)针对学生由于数学认知结构的动态性 所造成的认知障碍,还就是要从动态性入手加
以解决。首先要从其心理上加以调整,要学生明确这种心理 障碍的存在就是客观事物发展的必然规
律,就是人人都必须面对的客观事实,就是每一个同学都会遇到的 必然矛盾,它的存在并不可怕。关
键就是我们如何面对。正确的态度就是认真对待、理智应对,尽快找到 解决问题的方法,尽早消除
此类认知障碍。其次在日常教育教学过程中要充分发挥数学认知结构动态能动 性的积极作用,当新
的问题情景出现的时候要积极引导学生用她们过去已有的数学认知结构对所面临的问 题进行加工
与处理,在这个过程中教师要通过创设不同的问题情景,强化新、旧知识结构与新、旧认知结 构之
间的联系,引导学生不断的补充、修正过去已有的知识结构与认知结构,加快建立新的知识结构与< br>认知结构,以尽快适应高中数学知识结构与认知结构的要求。
心理学的研究表明,认知 一致性就是人们认知结构发展的心理机制。无论就是新概念的引
入、新命题的发现,还就是新问题的解决 ,都能导致学生的数学认知结构出现失衡。而在学生的学
习过程中,通过概念的掌握、技能的形成以及数 学问题的解决,其数学认知结构将会取得新的平衡。
在旧的认知结构平衡被打破、新的认知结构平衡重新 建立的过程中,数学教师起着重要的作用,只
4

高中数学函数题型分类 < br>要我们能持之以恒,不断研究,就能够在一定程度上消除数学认知障碍,实现认知结构的平衡与与
谐,从而实现有效学习,达 到掌握学习的目的。
函数的定义域及其求法
函数的定义域及其 求法就是近几年高考考查的重点内容之一、这里主要帮助考生灵活掌握求
定义域的各种方法,并会应用用 函数的定义域解决有关问题、其中复合函数定义域的问题就就是
定义域中最复杂的问题,核心在于对函数 的定义域概念的理解。
(单纯考察定义域)例1.已知函数
f(x)?
1
1 ?x
的定义域为M,g(x)=
ln(1?x)
的定义域为N,则M∩N=
(A)
{x|x??1}
(B)
{x|x?1}
(C)
{x|?1?x?1}
(D)
?

命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式与对数的函数的定义域的求法、
解:函数
f(x)?
1
1?x
的定义域M=
?
xx?1
?
,
g(x) =
ln(1?x)
的定义域N=
?
xx??1
?
,
∴M∩N=
{x|?1?x?1}
.
故选C
(考察常见函数的定义域)例2、 函数
y?log
2
x?2
的定义域就是( )
(A)(3,+∞) (B)[3, +∞) (C)(4, +∞) (D)[4, +∞)
命题意图: 本题主要考查含有无理式与对数的函数的定义域的求法、
解:由
?
?
x?0
,故选D、
?
log
2
x?2?0
?x?4.
(复合函数的定义域)例3.
⑴若函数的定义域就是[0,1],求的定义域;
⑵若的定义域就是[-1,1],求函数的定义域;
⑶已知定义域就是,求定义域.
点评:解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它就是哪个内函数与哪个外函数复合而成的.
解答:
⑴ 函数就是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数.
函数的定义域就是[0,1],
∴B=[0,1],即函数的值域为[0,1].
∴,
∴,即,
∴函数的定义域[0,].
⑵ 函数就是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数.
的定义域就是[-1,1],
5

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∴A=[-1,1],即-1
∴
∴
,即
,
的值域就是[-3,1],
的定义域就是[-3,1].
的定义域为,则的定义域就就是不等式
的值域。
与B到C上的函数复合而成的函数.
的的集合;若已知的定点评:若已知
义域为
⑶ 函数
,则的定义域就就是函数
就是由A到B上的函数
的定义域就是[-4,5), < br>∴A=[-4,5)即
∴
又
即
就是由
的值域
∴
∴

到
,
的值域B=[-1,8)
上的函数

与B到C上的函数复合而成的函数,而,从而
∴
∴的定义域就是[1,).
的定义域. 例4.已知函数定义域就是(a,b),求
解:由题,,,
当,即时,不表示函数;
当,即时,表示函数,
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其定义域为
说明:
① 已知
已知
,
② 已知
若已知
。先利用
.
的定义域为(a,b),求
的定义域为,求
的定义域的方法:
的定义域。实际上就是已知中间变量的
求得
的定义域的方法:
,求
的范围,则
的定义域。实际上就是已知直接变量
的范围即就是的定义域。
的取值范围,即
的范围,即为
的取值范围,即
。通过解不等式
的定义 域为(a,b),求
的定义域为
求得
的定义域。
如果能够将以上的函数定义域问题都解决,高中数学函数定义域的问题对于学生而言已经没有任何问题！
函数解析式的求法综述
在高中数学学习中,会遇到求函数解析式的一类题,这里就是指已知< br>f[g(x)]
或
g[f(x)]
,求
f(x)
或
g (x)
,
或已知
f(x)
或
g(x)
,求
f[g( x)]
或
g[f(x)]
等复合函数的解析式,这些问题就是学生在学习中感到棘手的 问
题。常用的解法如下:
一、定义法:
例1:设
f(x?1)?x?3x?2
,求
f(x)
、
解 :
?f(x?1)?x?3x?2?[(x?1)?1]?3[(x?1)?1]?2

=
(x?1)?5(x?1)?6

2
22
2
?f(x)?x
2
?5x?6

例2:设
f[f(x)]?
解:设
?f[f(x)]?
x?1
,求< br>f(x)
、
x?2
x?1x?1
??
x?2x?1?11
1
1?
1?x

1

1?x
111 1
例3:设
f(x?)?x
2
?
2
,g(x?)?x
3
?
3
,求
f[g(x)]
、
xx
xx
111
解:
?f(x?)?x
2
?
2
?(x?)
2
?2?f(x)?x
2
?2

xx
x
1111< br>又
?g(x?)?x
3
?
3
?(x?)
3
? 3(x?)?g(x)?x
3
?3x

xxx
x
?f(x) ?
故
f[g(x)]?(x?3x)?2?x?6x?9x?2

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32642

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例4:设
f(cosx)?cos17x,求f(sinx)
、
解:
f(sinx)?f[cos(
?
2
?x)]?cos17(
?
2
?x)

?cos(8
?
?
?
?17x)?cos (
?
22
?17x)?sin17x
、
二、待定系数法:
例5:已知
f(x?2)?2x
2
?9x?13
,求
f(x)、
解:显然,
f(x)
就是一个一元二次函数。
设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)

则
f(x?2)?a(x?2)
2
?b(x?2)?c


?ax
2
?(b?4a)x?(4a?2b?c)

又
f(x?2)?2x
2
?9x?13

?
a?2
?
a?
比较系数得:
?
?
b?4a??9
解得:
?
2
?
b??1

?
?
4a?2b ?c?13
?
?
c?3
?f(x)?2x
2
?x?3

三、换元(或代换)法:
例6:已知
f(
1?x
x
) ?
x
2
?1
x
2
?
1
x
,
求
f(x)
、
解:设
1?x
x
?t,
则
x?
1
t?1

则
f(t)?f(
1?xx
2< br>?111
x
)?
x
2
?
x
?1?
x
2
?
1
x

?1?
1
?
1
?1?(t?1)
2
?(t?1)?
(
1
t
2
? t?1

t?1
)
2
1
t?1
?f(x)?x2
?x?1

例7:设
f(cosx?1)?cos
2
x
,求
f(x)
、
解:令
t?cosx?1,?cosx?t?1

又
?1?cosx?1,??2?cosx?1?0即?2?t?0

?f( t)?(t?1)
2
,(?2?t?0)即f(x)?(x?1)
2
,x?[ ?2,0]
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例8:若
f(x)?f(
在(1)式中以
x?1
)?1?x
(1)
x
x?1
代替
x
得
x
x?1
? 1
x?1x?1
f()?f(
x
)?1?

x?1
xx
x
x?112x?1
即
f(
(2)
)?f(?)?
xx?1x
1
又以
?
代替(1)式 中的
x
得:
x?1
1x?2
(3)
f(?)?f(x)?
x?1x?1
x?22x?1x
3
? x
2
?1
(1)?(3)?(2)得:2f(x)?1?x???

x?1xx(x?1)
x
3
?x
2
?1
?f(x)?

2x(x?1)
例9:设
f(x)满足af(x)?bf()?cx
解:
af(x)?bf()?cx
(1)
用
1
x
(其中a,b,c均不为0
，
且a??b)
,求
f(x)
。
1
x
111
来代替
x
,得
af()?bf(x )?c?
(2)
xxx
22
acx
2
? bc
由
a?(1)?b?(2)得:(a?b)f(x)?

x
?a??b
四、反函数法:
例10:已知
f(a
acx
2
?bc

?f(x) ?
22
(a?b)x
x?1
)?x
2
?2
,求f(x)
、
解:设
t?a
x?1
?0
,则
x ?1?log
a
t
即
x?log
a
t?1
< br>22
代入已知等式中,得:
f(t)?(log
a
t?1)?2?lo g
a
t?2log
a
t?3

?f(x)?log
2
a
x?2log
a
x?3

五、特殊值法:
例11:设
f(x)
就是定义在N上的函数,满足
f(1)?1
,对于任意正整数
x,y
,均有
f(x)?f(y)?f(x? y)?xy
,求
f(x)
、
解:由
f(1)?1
,
f(x)?f(y)?f(x?y)?xy

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设
y?1
得:
f(x)?1?f(x?1)?x

即:
f(x?1)?f(x)?x?1

在上式中,
x
分别用
1,2,3,?,t?1
代替,然后各式相加
可得:
f(t)?
1
2
(t?2)(t?1)?1?
11< br>2
t
2
?
2
t

?f(x)?
11
2
x
2
?
2
x(x?N
?
)

六、累差法:
例12:若
f(1)?lg
1
a
,且当x?2时,满足f(x?1)?f(x)?lga
x?1
,(a?0,x?N?)
,求
f(x)
、
解:
?f(x)?f(x?1)?lga
x?1(a?0,x?N
?
)

递推得:
f(x?1)?f(x?2)?lga
x?2

f(x?2)?f(x?3)?lga
x?3

……………………………………
f(3)?f(2)?lga
2

f(2)?f(1)?lga

以上
(x?1)
个等式两边分别相加,得:
f(x)?f(1)?lga? lga
2
???lga
x?2
?lga
x?1

?f(1)?lga
1?2???(x?2)?(x?1)

x(x?1)x (x?1)
?lg
1
?lga
22
1
a
?lga< br>?

?[
x(x?1)
2
?1]lga

七、归纳法:
例13:已知
f(x?1)?2?
1
2
f( x),(x?N?)且f(1)?a
,求
f(x)
、
解:
?f(1 )?a,f(2)?2?
1
2
f(1)?2?
11
2
a?4 ?2?
2
a

f(3)?2?
1
2
f(2)?2?
1
2
(2?
1
2
a)?4?2
0
?
1
2
2
a

f(4)?2?
1
2
f(3 )?2?
1
2
(3?
1
4
a)?4?2
?1
?
1
2
3
a

f(5)?2?
1
2f(4)?2?
1
2
(3
1
2
?
11
8
a)?4?2
?2
?
2
4
a

………………………………,依此类推,得


10

高中数学函数题型分类
f(x)?4?2
3?x
?
1
2
x?1
a

再用数学归纳法证明之。
八、微积分法:
例14:设
f
?
(sinx)?cosx,
22
22
f(1)?2
,求
f(x)< br>、
2
解:
?f
?
(sinx)?cosx?1?sinx

?f
?
(x)?1?x(|x|?1)

因此
f(x)?< br>?
f
?
(x)d?
?
(1?x)dx?x?
?1?< br>1
2
3
x?
22
1
?c?2
2
1< br>2
x?c

2
?c?
3

2
?f(1)?2
?f(x)?x?(|x|?1)

反函数
一、定义与简单说明
1.认知
高中数学对函数的研究就是以映射的观点来 进行的,回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映
射、一一映射、
若将某映射f:
映射
f
-1
:
的对应关系调转,只有一一映射能够 保证调转后的对应仍就是映射,称这一
为原映射的逆映射、
若将前述一一映射限制在数集到数集上,就可以得到我们这里研究的反函数、
定义:
y=f(x), x∈A)就是从A到B上的一一映射, 如果确定函数y=f(x),x∈A的映射 f:A→B(f:
则它的逆映射f
-1
:B→A(f
-1
:y→x= f
-1
(y), y∈B)、
所确定的函数y=f
-1
(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数、
2.反函数存在的条件
按照函数定义 ,y=f(x)定义域中的每一个元素x,都唯一地对应着值域中的元素y,如果值域
中的每一个元素y 也有定义域中的唯一的一个元素x与它相对应,即定义域中的元素x与值域中的
元素y,通过对应法则y =f(x)存在着一一对应关系,那么函数y=f(x)存在反函数,否则不存在反函数.
例如:函数y =x
2
,x∈R,定义域中的元素±1,都对应着值域中的同一个元素1,所以,没有反函数. 而y=x
2
,
x≥1表示定义域到值域的一一对应,因而存在反函数.
3.函数与反函数图象间的关系
11

高中数学函数题型分类
函数y=f(x)与它的反函数y=f
-1
(x)的图象关于y=x对称.若点( a,b)在y=f(x)的图象上,那么点(b,a)
在它的反函数y=f
-1
(x) 的图象上.
4.反函数的几个简单命题
(1)一个奇函数y=f(x)如果存在反 函数,那么它的反函数y=f
-1
(x)一定就是奇函数.
(2)一个函数在 某一区间就是(减)函数,并且存在反函数,那么它的反函数在相应区间也就
是增(减)函数.
二、说明及性质
1.由定义与f(x)存在反函数的充要条件就是它的映射为一一映射、
如f(x)=x
2
(x∈R)无反函数(非一一),g(x)=x
2
+1(x≤0)有反函数,因为 它就是到[1,+∞)上的一一
映射、
2.f(x),x∈A与f
-1
(x), x∈B互为反函数、
3.原函数的定义域就是其反函数的值域,原函数的值域就是其反函数的定义域、
4.单调函数具有反函数,因为单调一一映射有反函数、
可见函数在区间上具单调性就是它有反函数的充分不必要条件、
如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同,但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性、
5.若b=f(a), 则 a=f
-1
(b),即(a, b)在函数图象上,则(b, a)在其反函数图像上;反之也对、利用这一
点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题、
6.x∈A, f
-1
[f(x)]=x; x∈B, f[f
-1
(x)]=x、
7.原函数与反函数图象关于y=x对称、
8.单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性、
奇函数如果有反函数,则其反函数也就是奇函数、需要认识到,奇函数不一定有反函数、
如:y=x
3
-x, 当y=0时x=0, ±1,
这不就是一一映射,因此 不具有反函数、但偶函数就是不就是一定没有反函数？如y=f(x),x∈
{0}, y∈{0},其图象就就是原点、它就是偶函数,也具有反函数(即自身)、
三、求反函数的一般步骤
1.求D,因为原函数的值域R就是反函数的定义域,这定义域在结论中就是必须指出的、
2.在原函数的解析式中反求x,写成x=g(y)、
3.x, y互换,即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量、
4.下结论(注意给出反函数定义域)
四、例题、
例1.已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函数、
分析:这里要先求f(x)的范围(值域)、
解:∵0≤x≤4,

∴0≤x
2
≤16, 9≤25-x
2
≤25, ∴ 3≤y≤5,
∵ y=

∵ 0≤x≤4, ∴x=(3≤y≤5)
(3≤x≤5)、
, y
2
=25-x
2
, ∴ x
2
=25-y
2
、
将x, y互换,∴ f(x)的反函数f
-1
(x)=
例2.已知、f(x+1)=x
2
-3x+2, x∈(-∞,),求、f
-1
(x)、
分析:本题就是求函数解析式与求反函数两类问题的稼接,因此可套用相应方法分别处理、
12

高中数学函数题型分类
解:(1)求f(x)解析式(用换元法)令t=x+1, ∴t<, x=t-1,
∴ f(t)=(t-1)
2
-3(t-1)+2=t
2
-5t+6, t∈(-∞,)、

即y=f(x)=x
2
-5x+6, x∈(-∞,)、
这就是f(x)的单调区间,存在反函数、
(2)求反函数易知 y∈(-,+∞)、y=(x-)
2
-, (x-)
2
=y+,
∵ x<, x-<0,

∴ x-=-

∴ x=-(y>-)、
(y>-)、
∴ f
-1
(x)=-(x>-)、
例3.已知f(x)=






,求f
-1
(x)、
分析:求分数函数的反函数问题,应逐段求其反函数,再合并、
解:当x≥0时,y=x+1≥1,
∴y∈[1,+∞),∴ f
-1
(x)=x-1 (x≥1)
当x<0时,y=1-x
2
<1,
(y<1) ∴ y∈(-∞,1)、反解 x
2
=1-y, x=-
∴ f
-1
(x)=-

∴ 综上f
-1
(x)=、
(x<1)
例4.已知f(x)=(x≥3), 求f
-1
(5)、
分析:这里应充分理 解与运用反函数的自变量就就是原函数的函数值,所求的反函数的函数值
就就是原函数的自变量这一事实 ,转化成方程问题、
13

高中数学函数题型分类
解:设f
-1
(5)=x
0
, 则 f(x
0
)=5,即 =5 (x
0
≥3)

∴ x
0
2
+1=5x
0
-5, x
0
2
-5x
0
+6=0、
解得:x
0
=3或x
0
=2(舍)∴ f
-1
(5)=3、
例5.设点(4,1)既在f(x)=ax
2
+b (a<0,x>0)的图象上,又在它的反函数图象上,求f(x)解析式、
分析:由前面总结 的性质我们知道、点(4,1)在反函数的图象上,则点(1,4)必在原函数的图象上、
这样就有了两 个用来确定a,b的点,也就有了两个求解a,b的方程、
解: 解得、a=-, b=, ∴ f(x)=-x+、
另这个题告诉我们、函数的图象若与其反函数的图象相交,交点不一定 都在直线y=x上、这一
点好些同学弄不清楚、
例6.已知f(x)=的反函数为f
-1
(x)=,求a,b,c的值、
的反函数就就是含字母的反函数 分析:注意二者互为反函数,也就就是说已知函数f
-1
(x)=
f(x)、
解:求f
-1
(x)=的反函数,令f
-1
(x)=y有yx- 3y=2x+5、

∴ (y-2)x=3y+5
∴ x=(y≠2),f
-1
(x)的反函数为 y=、即 =,

∴ a=3, b=5, c=-2、
典型题目
题目一:(1999年全国高考试 题)已知映射f:A→B,其中,集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元
素都 就是A中元素在映射f下的象,且对任意的a∈A,在B中与它对应的元素就是{a},则集合B中
元素 的个数就是
( )、
A、4 B、5 C、6 D、7
分析:根据映射的基本概念:“映射允许集合A中的不同元素在集合B中有相同的象、”来解题、
解:已知映射f: A→B,在集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}中共有7个元素,其中两个不同元素-3, 3对应
B中相同的象|±3|=3,-2,2对应B中相同的象|±2|=2,-1,1对应B中相同的象|± 1|=1,4对应B中的象
|4|=4、故本题应选择(A)、
评述:
(1)映射就是两个集合A与B之间的一种特殊反应,它的特点就是对于集合A中任一元素,集合
B中都 有唯一元素与它对应;集合A中不同的元素在B中可以有不同的象,也可以有相同的象;集合
B中的元素 可以有原象,也可以没有原象、
(2)映射具有方向性,即从A到B的映射与从B到A的映射一般就是不同的映射、
题目二:函数y=f(x+1)与函数y=f
-1
(x+1)的图象( ) 、
A、关于直线y=x对称 B、关于直线y=x+1对称
C、关于直线y=x-1对称 D、关于直线y=-x对称
解答:y=f(x+1)与y=f
-1
(x+1)图象就是分别将y=f(x), y=f
-1
(x)的图象向左平移一个单位所得,∵
y=f(x)与y=f
-1
(x)的图象关于直线y=x对称,y=x向左平移一个单位而得y=x+1、 故选B、
14

高中数学函数题型分类
题目三:定义在R上的函数y= f(x)有反函数,则函数y=f(x+a)+b的图象与y=f
-1
(x+a)+b的图象间
的关系就是
( )、
A、关于直线y=x+a+b对称 B、关于直线x=y+a+b对称
C、关于直线y=x+a-b对称 D、关于直线x=y+a-b对称
解答:将y=x向左平移a个单位,向上平移b个单位得y=x+a+b,故选A、
题目四:求下列函数的反函数:
(1)y=x
2
+2x-2, x∈[-3,-2];
(2)y=、
解:(1)∵ y=(x+1)
2
-3, x∈[-3,-2],
∴ -2≤y≤1且(x+1)
2
=y+3、

∴ x+1=-, y=-1-,
-2≤x≤1、
、
∴ 所求反函数y=-1-
(2)若x≤0,则y=x
2
≥0, x=-
若x>0, 则 y=-x-1<-1, x=-y-1、

∴ 所求反函数y=










、
评注:求函数y=f(x)的反函数的一般步骤就是
(1)确定原函数的值域,也就就是反函数的定义域.
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f
-1
(y)、
(3)将x、y交换位置得y=f
-1
(x).
(4)求分段函数的反函数,应分别求出各段的反函数,它们联合在一起构成原函数的反函数.
的图象上,又在它反函数的图象上,求a,b. 题目五:已知点(1,2)既在y=
解:∵点(1,2)在y=

∴ 2=
上,
、、、、、、、、、、、(1)
的反函数的图象上, ∵点(1,2)在y=

∴点(2,1)在y=
∴1=
上,
、、、、、、、、、、、(2)由(1),(2)得a=-3, b=7.
评议:本题 目巧妙的运用了:若点(a,b)在y=f(x)的图象上,那么点(b,a)在它的反函数y=f
-1
(x)的图
象上.
题目六:若函数f(x)的图象过(0,1)点,则f-1
(x+4)的图象必过点___________.
分析:∵f(x)的图象过(0,1)点,∴ f
-1
(x)的图象过(1,0)点,而f-1
(x+4)的图象就是把y=f
-1
(x)的图象
向左平移4个单位 而得到的,故f
-1
(x+4)的图象过(-3,0)点.
15

高中数学函数题型分类
题目七:设y=f(x)=, y=g(x)的图象与 y=f
-1
(x+1)的图象关于y=x对称,求g(3)的值.
解:由y=f
-1
(x+1), f(y)=x+1、
∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1就是y=f
-1
(x+1)的反函数,即它们关于y= x对称.所以g(x)=f(x)-1,
∴g(3)=f(3)-1=-1=.
分析:还可以先求出f
-1
(x),然后求f
-1
(x+4),然后求出f< br>-1
(x+4)的反函数就就是y=g(x)的表达式子、
评注:灵活应用反函数的定义,显得轻盈活泼.
题目八:设y=f(x)就是单调函数,求证: f(x)的反函数y=f
-1
(x)就是单调函数,且其增减性与f(x)增
减性一致 .
证明:以y=f(x)为增函数时情况加以证明,用反证法.
设x
1
2
, y
1
=f
-1
(x
1
), y
2
=f
-1
(x
2
), 证明y
1
2
、
反之若y
1
≥y
2
, 由于f(x)就是增函数,∴f(y
1
)≥f(y
2
), 而f(y
1
)=x
1
, f(y
2
)=x
2
,

∴x
1
≥x
2
与x
1
2
矛盾,∴ y
1
2
, 即f
-1
(x)为增函数.当y=f(x)就是减函数时,同理可证.
题目九:函数y=f(x)=(1+)
2
-2(x≥-2), 求方程f(x)=f
-1
(x)的解集.
分析:若先求出反函数f
- 1
(x)=2-2(x≥-2),再求它的解集,这时由
题设有2-2=(1+)
2< br>-2、 整理得四次方程,求解有困难,但我们可利
用y=f(x)与y=f
-1
(x)的图象关系求解.
首先画出y=f(x)=(1+)
2
-2的图象, 如图所示.因为互为反函数的两
个函数的图象就是关于直线y=x对称的,故立即可画出y=f
-1
(x)的图象,
由图可见两图象恰有两个交点,且交点在y=x上,因此可由方程组: 解得 x=2或-2, 从而得方程f(x)=f
-1
(x)的解集为{-2,2}.
函数的图象与性质

函数的图象与性质就是高考考查的重点内容之一,它就是研究 与记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性
解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用、因此,读者要 掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一
般规律,能利用函数的图象研究函数的性质、此类 题目还很好的考查了数形结合的解题思想、
重点、难点:函数的构造思想、数形结合与分类思想的运用
函数与方程与不等式有紧密的联系、我们对方程不等式的研究,可以采取构造函数,利用函数图象进行直观的分析与解决问题,在这种解决问题的过程中体现了构造的思想与数形结合的思想、方
程 的问题几乎渗透到高中数学学习的每个环节,方程问题的重点就是:实系数一元二次方程根的讨
论,简单 的指数、对数方程;热点就是含参数的对数、指数方程、解决这部分内容,经常用到的解决
问题的思想与 方法有:函数思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、
典型例题:
例题1:若方程ax
2
-2x+1=0(a>0)的两根满足:x
1
<1, 12
<3, 求a的取值范围、
16

高中数学函数题型分类
分析:由一元二次方程联想到一元二次函数,利用 函数解决方程问题比较方便,一元二次方程的
根与一元二次函数与x轴的交点情况有关系、
略解:令y=ax
2
-2x+1,从图象可以得到,
解次不等式组就可以求出a的范围来(a>0)、
例题2:讨论方程|x
2
-2x-3|=a,aR的实数解的个数.
分析:通 过观察方程两边可以令为两个函数,求方程解个数的问题就转换成了求函数图象交点
个数的问题了、
解:作出函数y= x
2
-2x-3=(x-1)
2
-4的图象 ,保留其位于x轴上方的部分,将位于x轴下方的部分沿
x轴翻折到x轴上方,便可得到函数y=|x< br>2
-2x-3|的图象.












(如图)再讨论它与直线y=a的交点个数即可.
(1)当a＜0时,解的个数就是0;
(2)当a=0时或a＞4时,解的个数就是2;
(3)当0＜a＜4时,解的个数就是4;
(4)当a=4时,解的个数就是3.
点评:将方程与函数紧密联系起来,利用数形结合思想解决问题比较方便、
例题3:已知方程( 2-2k)
2
=ax(k∈N)在区间[2k-1,2k+1]上有两个不等实根,求a的取值 范围、
分析:将方程左、右两边瞧成一个二次函数与一个一次函数,画出它们的图像如图所示, 则将原
方程在区间[2k-1, 2k+1]上有两个不等实根问题,转化为两图像在此区间有两
个交点问题、
解:设f(x)=(x-2k)
2
,g(x)=ax,x∈[2k-1, 2k+1],在同一坐标系中作出二者的图
像,

则原方程在[2k-1, 2k+1]上有两个不相等的实根

等价于两图像在区间[2k-1, 2k+1]上有两个不同的交点、
所以直线l:y=ax应介于射线Ox与OB(包括OB)之间,B点坐标为(2k+1, 1)

∴k
Ox
l
≤K
OB
,即0 点评:k
Ox
,k
l,
k
OB
分别表示直线的 斜率,相当于一次函数y=kx+b中的k,过一、三象限的直线越靠
近y轴k就越大、
例题4:若方程有实数解,求的范围、
17

高中数学函数题型分类
分析:这个题目可以直接利用求解对数方程的方法去求,但就是比较烦琐,
可以考虑用构造 思想,将代数问题转化求解。
解:由,令,表示以原点为圆心,
半径为的半圆(由
,
变成,变成
的点的集合), 可以瞧成就是到原点的距离等于
如图;令y=x-a(y>0),它表示一射线(不含端点),其中 a的几何意义就是射线在x轴上的端点、由
图象可以得到当的时候,两曲线有交点,所以a的范围就是
点评:这个题目没有采用分类讨论的思想,采取数形结合的思想,避免了烦琐的代数运算,解题目的时候要灵活运用数学的思想方法、
例题5:解不等式x+a(a>0)、
分析:一种方法就是列出等价的不等式组求解;另一种方法就是在同一坐标系内分别画出左、
右两边函数 的图像,再根据图像去分析、
解一:转化为解不等式组
或 解得:-a 解二:令y=与y=x+a,在同一坐标系内作y=与y=x+a的图像如图所示,
并用解方程x+a的方法求出交点A的横坐标为-a,
由图像知原不等式的解集为:{x|-a (y=可以变形为,就是一个圆的方程)
18

高中数学函数题型分类
点评:正确绘制图形,以反映图 形中相应的数量关系、善于观察图形,以揭示图形中蕴含的数量
关系、象这一类好字母系数的不等式问题 ,通过图象求解,直观而简洁,在求交点时需要计算,而在确
定不等式解集时需要瞧图,体现数与形的结 合、
函数综合问题
函数综合问题就是历年高考的热点与重点内容之一,一般难度较大,考查内容与形式灵活多样、 这里主 要帮
助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧与方法,并 培养读者的
思维与创新能力、
例1.已知
f(x)?|x
2
?1| ?x
2
?kx.

(Ⅰ)若k = 2,求方程
f(x)?0
的解;
(Ⅱ)若关于x的方程
f(x)?0
在(0,2)上有两个解x
1
,x
2
,求k的取值范围,并证明
1
?
1
?4.

x
1
x
2
命题意图 :本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用所学知识、分类讨论等
思 想方法分析与解决问题的能力。
(I)解:当
k?2时,f(x)?|x
2
?1|?x
2
?2x?0.

分两种情况讨论:
①当
x
2
?1?1时,即x?1或x??1时
, 方程化为
2x
2
?2x?1?0,

解得x?
?1?3?1?3?1?3

.因为0??1,舍去,所以x?.
222
②当
x
2
?1?0时,即?1?x?1
, 方程化为1+2x = 0, 解得
x??
1
,
2
由①②得,

当k? 2时,方程f(x)?0的解是
?1?31
x?,或x??.
22

(II)解:不妨设
0?x
1
?x
2
?2
,
2x
2
?kx?1,|x|?1,
因为
f(x)?
?
?
?
kx?1,|x|?1,
所以
f(x)在
?
0,1
?
就是单调递函数,
故
f(x)?0在
?
0,1
?
上至多一个解,
若x
1
,x
2
?(1,2),则x
1
x
2
??
1
?0,故不符合题意,因此,x
1
?
?
0,1
?
,x
2
?(1,2).
2

由f(x
1
)?0, 得k??
由f(x
2
)?0,得k?
故当?
1
,所以k?? 1;
x
1

17
?2x
2
,所以??k??1.< br>x
2
2
7
?k??1时,f(x)?0在(0,2)上有两个解.2
方法一:
19

高中数学函数题型分类
1? k?k
2
?8
2
因为x
1
?
?
0,1?
,所以x
1
??,而方程2x?kx?1?0的两根是;
k4

因为x
2
?(1,2),所以x
2
?
?k?k
2< br>?8
,
4
1141
则???k??(k
2
?8?k) ,
x
1
x
2
k
2
?8?k
2
< br>777
而y?k
2
?8?k在(?,?1)上是减函数,则k
2
?8?k?(?)
2
?8??8,
222
11
因此??4.
x
1
x
2
方法二:
因为
x
1?
?
0,1
?
,所以kx
1
?1?0
;
因为
x
2
?(1,2),所以2x
2
2
?k x
2
?1?0
,
由①②消去k,得

2x< br>1
x
2
2
?x
1
?x
2
?0,即< br>1
①
②
x
1
?
111
?2x
2
.又因为x
2
?(1,2),所以??4.

x
2
x
1
x
2
复合函数问题
复合函数问 题,就是新课程、新高考的重点、此类题目往往分为两类:一就是结合函数解析式的求法来求复
合函数的 值、二就是应用已知函数定义域求复合函数的定义域、
例1.对于函数①
f(x)?x?2< br>,②
f(x)?(x?2)
2
,③
f(x)?cos(x?2)
,判断如下两个命题的真假:
命题甲:
f(x?2)
就是偶函数;
命题 乙:
f(x)
在
(??，?)
上就是减函数,在
(2，??)
上就是增函数;
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号就是( )
Ａ.①② Ｂ.①③ Ｃ.② Ｄ.③
命题意图: 本题主要考查利用复合函数与函数单调性等知识解决问题的能力、
解:
Qf(x)?(x?2 )
2
,?f(x?2)?x
2
就是偶函数,又函数
f(x)?(x? 2)
2
开口向上且在
(??，?)
上就是减函数,
在
(2， ??)
上就是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有
f(x)?(x?2)
2< br>.
故选Ｃ
例2.函数
f
?
x
?
对于任意 实数
x
满足条件
f
?
x?2
?
?
1
,若
f
?
1
?
??5,
则
f
?
f
?
5
?
?
?
__________、
f
?
x
?
命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形与求复合函数的值的能力、
解:由
f
?
x?2
?
?
1
,得
f
?
x?4
?
?f
?
x
?
f
?
f
?
5
??
?f(?5)?f(?1)?
1
?f(x)
,所以
f(5)? f(1)??5
,则
f
?
x?2
?
11
??
、
f(?1?2)5
例3.
①已知
②已知
求;
,求.
20

高中数学函数题型分类
例4.
①已知 ,求;
②已知
点评:
已知
已知
求复合函数
求
,求.
的解析式,直接把中的换成即可。
的常用方法有:配凑法与换元法。
中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式,再直接把换成而配凑法就就是在
得。
换 元法就就是先设
得到
例6.①已知
,最后把
,从中解出
中的直接换成
(即用表示
。
),再把(关于的式子)直接代入中消去
即得
就是一次函数,满足,求;
②已知,求.
点评:
⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法。
⑵ 若已知抽象的函数表达式,则常用解方 程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知
个等式除就是未知量外,还出现其她未知量,如
。
、
满足某个等式,这
等,必须根据已知等式再构造出其她等式组成
方程组,通 过解方程组求出
函数的单调性、奇偶性与周期性
函数的单调性、奇偶性与周期性就是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样、 这里主要帮助读者深刻 理
解奇偶性、单调性与周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象、
例1. 已知函数
f
?
x
?
?a?
1
,< br>,若
f
?
x
?
为奇函数,则
a?
_____ ___、
x
z?1
11
?a??0,

x?x
2?12?1
命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用、
常规解法:由f(x)为奇函数,所以f( x)+f(-x)=0,即
a?
1
?
11
?
11?2
x
1
应填
?a?
?
x
??.
?
??2
?
2?12
?x
?1
?
2
2
x?1
2
1
、
2
巧妙解法:因为f(x)为奇函数,所以f(0 )=0,即
a?
11
应填
1
、
?0,?a?.
2
2
2
0
?1
点评:巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f( 0)=0,这一重要结论、
21

高中数学函数题型分类
例2.
f(x)
,
g(x)
就是定义在
R
上的函数,
h( x)?f(x)?g(x)
,则“
f(x)
,
g(x)
均为偶函数” 就是“
h(x)
为偶
函数”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
D.既不充分也不必要的条件 C.必要而不充分的条件
命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件与必要条件的相关知识、
解 先证充分性:因为
f(x)
,
g(x)
均为偶函数,
所以
f(?x)?f(x),g(?x)?g(x)
,有
h(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?h(x)
,
所以
h(x)
为偶函数.
反过来,若
h(x)
为偶函数,
f( x)
g(x)
不一定就是偶函数.如
h(x)?x
2
,
f( x)?x,
g(x)?x
2
?x
,故选
B、
方法二:可以选取两个特殊函数进行验证.
故选B
点评:对充要条件的论证,一定 既要证充分性,又要证必要性,二着缺一不可.同时,对于抽象函数,有时候可以选取特
殊函数进行验证 .
例3.对于函数y=x
3
, (1)画出它的图象,(2)写出它的单调区间,并用定义证明之、
解:由图像知:y=x
3
的单调增区间为(-∞,+∞)、
证明:显然y=x
3
的定义域为(-∞,+∞),
在R内任取x
1
与x
2
, 使x
1
2
,
f(x
1
)-f(x2
)=x
1
3
-x
2
3

=( x
1
-x
2
)(x
1
2
+x
1
· x
2
+x
2
2
)=(x
1
-x
2
)[(x
1
+x
2
)
2
+x
2
2
]
∵x
1
2
,∴x
1
-x
2
<0,
又∵(x
1
+x
2
)
2
≥0, x
2
2
≥0,且(x
1
+x
2
)
2
与x
2
2
至多一个为0,

∴ f(x
1
)-f(x
2
)<0 即f(x
1
)2
),

∴函数f(x)在(-∞,+∞)内为增函数、
点评:
1.从图象上观察函数 的单调性固然形象,也必须掌握,但这不够,函数单调性的讨论还必须会用
定义来证明、
2.此题f(x
1
)-f(x
2
)的正负的讨论,易犯以下错误:
∵x
1
2
, ∴x
1
3
2
3
, ∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,
这种做法其实已经用了函 数y=x
3
在R上就是增函数的结论,所以它就是不可取的,而实现这种
判断还得靠实 数的一些基本性质、
3.用定义证明函数的增减性的一般步骤就是:
(1)设x
1
,x
2
就是给定区间的任意两个自变量的值,且x
1
2
、
(2)作差f(x
1
)-f(x
2
),并将此差式变形、(有时也用作商法)
22

高中数学函数题型分类
(3)判断f(x
1< br>)-f(x
2
)的正负,从而得出判断,(作商时判断与1的大小关系)、
例4.设f(x)就是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x
3
), 那么当x∈(-∞,0]时,求f(x)的表达式、
解:任取x∈(-∞,0], 有-x∈[ 0,+∞),∴f(-x)=-x[1+(-x)
3
]=-x(1-x
3
),
∵f(x)就是奇函数,∴ f(-x)=-f(x),∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x
3
),
即:当x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为x(1-x
3
)、
点评:在 求表达式时,要注意“问啥设啥”,直接在(-∞,0]内取x,可以明确问题的求解方向,不致于
使关 系混乱、(因为题目要求x∈(-∞,0] 时f(x)的表达式)
例2.已知f(x)=x< br>5
+ax
3
+bx-8,且f(-2)=10,求f(2)、
解:观察函数,可知f(x)+8=x
5
+ax
3
+bx为奇函数,令F(x )=f(x)+8,有F(-x)=-F(x),
∴F(2)=-F(-2)=-[f(-2)+8]=-(10+8)=-18
F(2)=f(2)+8=-18,∴f(2)=-26、
点评:此题关键在于如何处理f(x )表达式中“-8”这个“尾巴”,去掉它就可以得到一个奇函数、因
此可构造一个新的函数F(x)= f(x)+8,就能让这个问题利用奇函数的性质解决、
小结:
1.函数的单 调性与奇偶性就是函数最基本,最重要的两类性质,对这部分知识的灵活运用,首先
建立在透彻理解单调 性,奇偶性的概念上,对于其本质意义(即反映函数随自变量的变化情况)要更
深的理解、
2.对单调性,奇偶性的讨论离不开函数的图形,所以数形结合就是讨论这两种基本性质的重要
手段、
例5已知f(x)就是定义在R上的偶函数,且就是周期为2的周期函数,当x∈[2,3]时,f(x )=x, 则f(
的值就是
A、 B、 C、- D、
)
解:选B。∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),又∵ f(x)就是周期为2的函数,∴f(x+2)=f(x)。
∴ f()=f(-2)=f(-)=f()=f(+2)=f()=。
评注:对本题的思考主要集中在如何利用已知条件。
∵ [2,3],故尽量想办法把f()变成[2,3]内的一个点(为)的函数值。
例题6.设函数y=f(x) (x∈R且x≠0)对任意非零实数x
1
,x
2
恒有f(x
1
·x
2
)=f(x
1
)+f(x< br>2
)。
(1)求证:f(1)=f(-1)=0。
(2)求证:y=f(x)就是偶函数;
(3)已知f(x)为(0,+∞)上的增函数,求适合f(x)+f(x-)≤0的x的取值范围。





证明:(1)∵f(x
1
· x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
)(x
1
·x
2
≠0),令x
1
=x
2
=1,
∴ f(1)=f(1)+f(1)=2f(1), ∴f(1)=0, 又令x
1
=x
2
=-1,
得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0, ∴ f(-1)=0。
(2)令x
1
=-1, x
2
=x≠0,x就是任意的,则有f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x), ∴f(x)为偶函数。
23

高中数学函数题型分类
(3 )∵f(x
1
·x
2
)=f(x
1
)+f(x
2< br>) (x
1
·x
2
≠0),∴ f(x)+f(x-)=f(x
2
-x)。
又 ∵f(x)+f(x-)≤0, ∴ f(x
2
-x)≤0。
∵ f(x)为偶函数且f(1)=0, ∴ f(|x
2
-
∵ f(x)在(0,+∞)上就是增函数,
x|)≤f(1)。
∴ 解得≤x≤,且x≠0, x≠。
评注:特殊值法就是解抽象函数方程的一种常用方法,解抽象 函数方程注意求特殊值的函数值,
同时也注意把函数值转化为自变量。本题就是函数的性质、不等式的解 法、抽象函数方程等综合
知识的相互渗透,考查学生的逻辑思维能力。
24