高中数学函数专题经典.doc

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高中数学函数专题
1．已知在实数域R上可导的函数
y?f( x)
对任意实数
x
1
,x
2
都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
),
若 存在实数
a,b
，使
f(a)?0且f
?
(b)?0
， < br>求证：（1）
f(x)?0
；（2）
y?f(x)在(??,??)
上 是单调函数
xxxxx
2
证明：（1）
f(x)?f(?)?f()?f( )?[f()]

22222
xxxxxx
2
又
f(a)? f[?(a?)]?f()?f(a?)?0,?f()?0
,
?[f()]?0即f(x)? 0

222222
f(b??x)?f(b)f(b)f(?x)?f(b)f(?x )?1
（2）
f
?
(b)?lim

?lim?f(b)l im
?x?0?x?0?x?0
?x?x?x
f(?x)?1f
?
( b)f(x)[f(?x)?1]f
?
(b)
??f
?
(x)?li m?f(x)?
即
lim

?x?0?x?0
?xf(b)?xf( b)
?f(x)?0,f
?
(b)?0,f(b)?0?f
?
(x) ?0
?f(x)
在R上是单调递增函数.

2．已知抛物线C的方程为y?4x,F
为焦点，直线
l
1
:kx?y?k?0
?
k?0
?
与C交于A、
2
B两点，P为AB的中点，直线
l
2
过P、F点。
（1）求直线
l
2
的斜率关于
k
的解析式
f(k)
，并指出定义域；
(k)
；（3）求
l
1
与
l
2
的夹角
?
的取值范围。
1
??
?1
（4）解不等式
log
a
?
xf
?
x
?
?
?
?1
?
a?0,a?1
?
。 2
??
?
y
2
?4x
?
??16?16k2
?0
2
解：（1）
?
?ky?4y?4k?0?
?< br>?0?k?1

?
y?k
?
x?1
?
?k?0
2
?0
y
p
y
1
?y
2
22?k
2
k
y
p
??,x
p
??1?
2
,F
?
1,0
?

?f(k)?
k
2
?
0?k?1
?

?< br>2kk
k
2?k1?k
2
?1
2
k
1?4k
2
?1
?1
?
k?0
?
（2）
f(k) ?
2k
f(k)?k
?
?
?
（3）
tg
?
??k
3
,?0?k?1,?0?tg
?
?1,?
?
?
?
0,
?

1?kf(k)
?
4
?< br>（2）求函数
f(k)
的反函数
f
?1
1
?
11?4x
2
1
?
（4）
xf(x)???x
2
?
，∴原不等式为
log
a
?
x
2
?
?< br>?2
?
x?0
?

4
?
224
?
11
1
222
22
当
a?1
时，
x?a?,?x?a?
；当
0?a?1
时，< br>x?a?
，显然，
44
4
1
11
0?a?
时 ，
x??
；当
?a?1
时，
0?x?a
2
?
。
4
22
?1
1

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3 ．已知二次函数
f(t)?at
2
?bt?
1
4a
(t?R )
有最大值且最大值为正实数，集合
x?a
?0}
，集合
B?{x| x
2
?b
2
}
.
x
（1）求
A
和
B
；
（2）定义
A与
B
的差集：
A?B?{x|x?A
且
x?B}
.设< br>a
，且
x?A
。
P(E)
b
，
x
均 为整数，
2
为
x
取自
A?B
的概率，
P(F)为
x
取自
A?B
的概率，写出
a
与
b
的三组值，使
P(E)?
，
3
1
、
b
（从小到大） 依次构成的
P(F)?
，并分别写出所有满足上述条件的
a
（从大到小）3
数列{
a
n
}、{
b
n
}的通项公式（不必 证明）；
（3）若函数
f(t)
中，
a?a
n
，
b?b
n

（理）设
t
1
、
t
2
是方程
f(t)?0
的两个根，判断
|t
1
?t
2
|
是否存在最大值及最小值，若存在，
求出相应的值；若不存在，请说明理由。
（文 ）写出
f(t)
的最大值
f(n)
，并判断
f(n)
是否存 在最大值及最小值，若存在，求出相
应的值；若不存在，请说明理由。
A?{x|
解 ：（1）∵
f(t)?at
2
?bt?
4
1
a
(t ?R)
有最大值，∴
a?0
.配方得
f(t)?a(t?
1?b4a
b
2
)
2a
?b
，由
?
1
4a
?0?b?1
.∴
A?{x|a?x?0}
，
B?{x|?b ?x?b}
。
2
3
（2）要使
P(E)?
，
P( F)?
1
。可以使①
A
中有3个元素，
A?B
中有2个元素 ，
A?B
中
3
有1个元素.则
a??4,b?2
.②
A
中有6个元素，
A?B
中有4个元素，
A?B
中有2个元素。< br>则
a??7,b?3
.③
A
中有9个元素,
A?B
中 有6个元素,
A?B
中有3个元素.则
a??10,b?4
.
an
??3n?1,b
n
?n?1
.
（3）（理）
f( t)?0
，得
??b
n
?1?0
.
g(n)?|t
1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?
b
n
?1
2
a
n
?
n
9n
2
?6n?1
?
1
9 n?
1
?6
n
，
∵
9n?
1
时等号成立.
?29n?
1
?6，当且仅当
n?
1
3
nn
∴
g(n)
在
N
上单调递增。
|t
1
?t
2
|
max
?g(1)?
1
.又
limg(n)?0
，故没有最小值。
4n??
?b
n
n
（文）∵
g(n)?
1
4?
12n
?
a?4
n
1
4
12?
n< br>单调递增，
1
，∴没有最大值。 ∴
f(n)
min
?f( 1)?
1
，又
limf(n)?
12
4
n??









2

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4．已知函数
f(x)?log
a
1?mx< br>是奇函数
(a?0,a?1)
。
x?1
(1)求m的值；
（2）判断
f（x）
在区间
(1,??)
上的单调性并加以证明；
（3）当
a?1,x?(r,a?2)
时，
f(x)
的值域是
(1,??)
，求
a与r
的值.
解:（1）m=－1
x?1< br>（2）由（1），
f(x)?log
a
(a?0,a?1).

x?1
任取
x
1
?x
2
?(1,??),设x
1
?x
2
,令t(x)?
x?1
,则t(x
1
)?< br>x
1
?1
,t(x
2
)?
x
2
?1
，
x?1x
1
?1x
2
?1
x
1
?1x
2
?12(x
2
?x
1
)
.
? ?
x
1
?1x
2
?1(x
1
?1)(x
2
?1)
?x
1
?1,x
2
?1,x
1
?x
2
,

?x
1
?1?0,x
2
?1? 0,x
2
?x
1
?0,

?t(x
1
)? t(x
2
)?
x
1
?1x
2
?1
x?1x ?1
?当a?1时,log
a
1
?log
a
2
,f (x)在(1,??)
上是减函数；
x
1
?1x
2
?1< br>当0<
a
<1时，
f(x)在(1,??)
上是增函数.
x ?1(1?a)x?a?1
（2）当
a
>1时，要使
f(x)
的值域 是
(1,??)
，则
log
a
x?1
?1
，
??a,即?0

x?1
x?1x?1
?t(x
1
)?t (x
2
),即
x
1
?1
?
x
2
? 1
.
a?1
a?1
?0
① 而
a
>1，∴上式化 为
x?1
x?12
又
f(x)?log
a
?log
a
(1?),
∴当
x
>1时，
f(x)?0
.当
x ??1时,f(x)?0
.
x?1x?1
a?1
因而，欲使
f(x )
的值域是
(1,??)
，必须
x?1
，所以对不等式①，当且仅当
1?x?
a?1
x?
时成立.
?
r?1
?a?1
?
?
?
a?2?,解之,得r?1,a?2?3
.
a?1
?
?
?
a?1








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5 ．|AB|=|x
B
-x
A
|表示数轴上A、B两点的距离，它也可以看作满 足一定条件的一种运算。
这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y 之间的距离：条件
一，非负性p(x,y)≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p(x,y )=p(y,x);条件三，
三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z).
试确定运算s(x,y)=
|x?y|
是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。
1?|x?y|
解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可
|x?y|
≥0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y ，第一条满足
1?|x?y|
|x?y||y?x|
s(x,y)===s(y,x) ，第二条也满足
1?|x?y|1?|y?x|
1
|x?z|
x1
s(x,z)=∵函数f(x)==1-(或)在x>0上单调增，且|x-z|≤
1
1?|x ?z|
1?x1?x
?1
x
|x?y|?|y?z||x?y|
|x -y|+|y-z|(8分）∴s(x,z)≤=
1?|x?y|?|y?z|1?|x?y|?|y ?z|
|y?z||x?y||y?z|
+≤+=s(x,y)+s(y,z) （10分）
1?|x?y|?|y?z|1?|x?y|1?|y?z|
s(x,y)=总之，s(x,y)是距离

6．已知曲线
L:y?ax?bx?cx?d与y 轴
相交于点A，以其上一动点P（x
0
,y
0
）为切
点的直 线l与y轴相交于Q点.（Ⅰ）求直线l的方程，并用x
0
表示Q点的坐标；
（Ⅱ）求
lim
32
sin?APQ
.

x
0
???
sin?AQP
2
22
(Ⅰ）解：
A(0,d) ,y
?
?3ax
2
?2bx?c,k?3ax
0
?2bx< br>0
?c

?y?y
0
?(3ax
0
?2bx
0
?c)(x?x
0
),令x?0得y
Q
?(3ax
0
?2bx
0
?c)(?x
0
)?y
0

?Q(0,(3ax
0
?2bx
0
?c)(?x
0
)?y
0
)

（Ⅱ）由正弦定理得：
2
sin?APQAQ|?3ax
0
3
?2bx
0
2
?cx
0
?y
0
?d|
???
22
sin?AQPAP
x
0
?(y
0
?d)
32
|?2ax
0
3
? bx
0
2
|
x
0
2
?(ax
0
3
?bx
0
2
?cx
0
)
2

?lim






|2ax
0
?bx
0
|
sin?APQ|2a|
?lim??2
23 22
x
0
???
sin?AQP
x???
|a|
x
0
?(ax
0
?bx
0
?cx
0
)
4

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7．设
a
、
b
为常 数，
M?{f(x)|f(x)?acosx?bsinx};F
：把平面上任意一点（
a
，
b
）
映射为函数
acosx?bsinx.
（1）证 明：不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当
f
0
(x )?M
时，
f
1
(x)?f
0
(x?t)?M
，这 里
t
为常数；
（3）对于属于
M
的一个固定值
f< br>0
(x)
，得
M
1
?{f
0
(x?t),t ?R}
，在映射
F
的作用
下，
M
1
作为象，求其原 象，并说明它是什么图象？
答案：（1）假设有两个不同的点（
a
，
b），（
c
，
d
）对应同一函数，即
F(a,b)?acosx? bsinx
与
F(c,d)?ccosx?dsinx
相同，
即
a cosx?bsinx?ccosx?dsinx
对一切实数x均成立。特别令
x
=0 ，得
a
=c；令
x?
得b=d这与（
a
，b），（c，d） 是两个不同点矛盾，假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数。
（2）当
f< br>0
(x)?M
时，可得常数
a
0
，
b
0，使
f
0
(x)?a
0
cosx?b
0
sin x

?
2
，
f
1
(x)?f
0
( x?t)?a
0
cos(x?t)?b
0
sin(x?t)

?(a
0
cost?b
0
sint)cosx?(b
0
c ost?a
0
sint)sinx

由于
a
0
,b
0
,t
为常数，设
a
0
cost?b
0
s int?m,b
0
cost?a
0
sint?n,则m,n
是常数.
从而
f
1
(x)?mcosx?nsinx?M
。
（3） 设
f
0
(x)?M
，由此得
f
0
(x?t)?mc osx?nsinx

（
其中m?a
0
cost?b
0sint
，
n?b
0
cost?a
0
sint
）
在映射
F
下，
f
0
(x?t)
的原象是（m， n），则M
1
的原象是
{(m,n)|m?a
0
cost?b0
sint,n?b
0
cost?a
0
sint,t?R}
2222
2222
消去t得
m?n?a
0
?b
0
，即在映射F下，M
1
的原象
{(m,n)|m?n?a
0?b
0
}
是
以原点为圆心，
a
0
?b
0
为半径的圆。
< br>8．试构造一个函数
f(x),x?D
，使得对一切
x?D
有
|f(?x)|?|f(x)|
恒成立，但是
f(x)
2
?
?
x,(x?1)
既不是奇函数又不是偶函数，则
f(x)
可以是
f(x)?
?

x,(x?1)
?
?
22

1,2, 3,4,5
?
,且A∩B=
?
1,3
?
,符合此条件的(A ,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同9．设A∪B∪C=
?
为不同组) (A) A.500组 B.75组 C.972组 D.125组










5

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10．电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠 方案.这两种方案应付电话费（元）
与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）(.注：图中 MN∥CD)试问：
（I）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？
（II）方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？
（III）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
解：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数
关系分别为
f
A
( x),f
B
(x),
则由已知及图象可得

(0?x?60),( 0?x?500)
?
98,
?
168,
??

f< br>A
(x)?
?
3
f
B
(x)?
?
3
x?80,(x?60);x?18;(x?500).
??
?
10
?
10
（I）通话时间2小时，按方案A，B各付话费116元和168元；
3（II）因为
f
B
(n?1)?f
B
(n)??0.3(元)( n?500)
，所以方案B从500分钟后，每分钟收费0.3元；
10
（III） 由图象知，当
0?x?60
时，由
f
A
(x)?f
B
(x),

当x?500时,f
4
(x)?f
B
(x), 在60?x?500时,由f
A
(x)?f
B
(x),
可得
x?
即当通话时间在（



















6

880
.

3
880
,??)
，方案B比方案A优惠.
3

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11、(04河南)若
a?R,
求函数
f(x)?xe
的单调区间.
解：
Qf
?
(x)?2xe?axe
ax2ax
2ax?(2x??ax
2
)e
ax
.

（I）当a=0时， 若x<0，则
f
?
(x)
<0，若x>0,则
f
?
(x)
>0.所以当a=0时，函数f(x)在区间
（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+ ∞）内为增函数.
（II）当
a?0时,由2x?ax
2
?0,解得x??
由
2x?ax?0,解得?
2
2
或x?0,

a
2
?x?0.

a
22
）内为增函数，在区间（ －，0）
aa
所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－
内为减函数，在区间 （0，+∞）内为增函数；
22
,由2x+ax
2
<0，解得x<0或x>－.
aa
2
所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增
a
2
函数，在区间（－，+∞）内为减函数.
a
（III）当a<0时，由2x+ax
2
>0，解得0





















7

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12、(04河南文)已 知
f(x)?ax?3x?x?1
在
R
上是减函数，求
a
的 取值范围.
解：
Qf
?
(x)?3ax?6x?1.

（ Ⅰ）当
f
?
(x)?0
（
x?R
）时，
f(x)< br>是减函数.
2
32
3ax
2
?6x?1?0(x?R)?a?0且??36?12a?0?a??3.

所以，当
a??3时,由f?
(x)?0,知f(x)(x?R)
是减函数；
3
（II）当
a??3
时，
f(x)??3x?3x?x?1
=
?3(x?)?
32
1
3
8
,

9
由函数
y?x
在R上的单调性，可知
当
a??3
时，
f(x)(x?R
）是减函数；
（Ⅲ）当
a??3
时，在R上存在一个区间，其上有
f
?
(x)?0,

所以，当
a??3
时，函数
f(x)(x?R)
不是减函数.
综上，所求
a
的取值范围是（
??,?3].


3
1
3
1
2
x?ax?(a?1)x?1
在区间(1,4) 内为减函数，在区间(6,＋∞)上
32
为增函数，试求实数
a
的取值范围.
13、若函数
f(x)?
解：函数
f(x)
的导数
f
?
(x)?x?ax?a?1.
令
f
?
(x)?0
，解得
2
x?1或x?a?1.当a?1?1即a?2时,函数f(x)在(1,??)上是增函数,不合题意
当a?1?1即a? 2时,函数f(x)在(??,1)上为增函数,在(1,a?1)内为减函数,在(a?1,??)
为 增函数.
依题意应有 当
x?(1,4)时,f
?
(x)?0,当x?(6 ,??)时,f
?
(x)?0.

所以
4?a?1?6.
解得
5?a?7.

所以a的取值范围是[5，7].




8

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14、已知函数
f(x)?ln(1? x)?x
,
g(x)?xlnx
.(i)求函数
f(x)
的最大值；
(ii)设
0?a?b
,证明:
0?g(a)?g(b)?2g(
（ Ⅰ）解：函数
f(x)
的定义域为
(?1,??)
.

f
?
(x)?
a?b
)?(b?a)ln2
.
2
1
?1.
令
f
?
(x)?0,解得x?0.

1?x
当
?1?x?0时,f
?
(x)?0,
当
x?0时,f
?
(x)?0.
又
f(0)?0,

故当且仅当x=0时，
f(x)
取得最大值，最大值为0.
a?ba?b

)?alna?blnb?(a?b)ln
22
2a2b

?aln?bln.

a?ba?b
（Ⅱ）证法一：
g(a) ?g(b)?2g(
由（Ⅰ）结论知
ln(1?x)?x?0(x??1,且x?0),

b?aa?b
?0,?1??0,

2a2b
2bb?ab?a2ba?ba?b
因此
ln??ln(1?)??,

ln??ln(1?)??,

a?b2a2aa?b2b2b
2a2bb?aa?b
所以
aln?bln????0.

a?ba?b22
由题设
0?a ?b,得
又
2a
?
a?b
,
a?b2b
aln2a2ba?b2b2b
?bln?aln?bln?(b?a)ln?(b?a)ln2.

a?ba?b2ba?ba?b
综上
0?g(a)?g(b)?2g(
a?b
)?(b?a)ln2.

2
a?x
),

2
证法二：
g(x)?xl nx,g
?
(x)?lnx?1.
设
F(x)?g(a)?g(x)?2g(
则
F
?
(x)?g
?
(x)?2[g(
a?x a?x
)]
?
?lnx?ln.

22
当
0?x?a时,F
?
(x)?0,
在此
F(x)在(0,a)
内为减函数.
当
x?a时,F
?
(x)?0,因此F(x)在(a,??)
上为增函数.
从而，当
x?a时,F(x)
有极小值
F(a).

9

最新
因此
F(a)?0,b?a,所以F(b)?0,
即
0?g(a)?g(b)?2 g(
设
G(x)?F(x)?(x?a)ln2,
则
G
?
(x)?lnx?ln
a?b
).

2
a?x
?ln2?lnx?ln(a?x).

2
当
x?0时,C
?
(x)?0.
因此
G(x)在(0,??)
上为减函数.
因为
G(a)?0,b?a,所以G(b)?0,

即
g(a)?g(b)?2g(


































10

a?b
)?(b?a)ln2.

2

最新

15、求函数
f(x)?ln(1?x)?
解：
f
?(x)?
1
2
x
在[0,2]上的最小值.
4
11
?x,

1?x2
11
令
?x?0,

1?x2
2
化简为
x?x?2?0,
解得
x
1
??2(舍去),x
2
?1.

当
0?x?1时,f
?
(x)?0,f(x)
单调增加；
当
1?x?2时,f
?
(x)?0,f(x)
单调减少.
所以
f(1)?ln2?
1
为函数
f(x)
的极大值.
4
又因为
f(0)?0,f(2)?ln3?1?0,f(1)?f(2),

所以 f(0)?0
为函数
f(x)
在[0，2]上的最小值，
f(1)?ln 2?
在[0，2]上的最大值.






















11

1
为函数
f(x)

4

最新
< br>16、已知函数
f(x)?ax?bx?3x
在
x??1
处取得极值.
（1）讨论
f(1)
和
f(?1)
是函数
f(x)
的极大值还是极小值；
（2）过点
A(0,16)
作曲线
y?f(x)的切线，求此切线方程.
（1）解：
f
?
(x)?3ax?2bx?3
，依题意，
f
?
(1)?f
?
(?1)?0
，即

?
2
32
?
3a?2b?3?0,
解得
a?1,b?0
。
?
3a?2b?3?0.
32
∴
f(x)?x?3x,f
?
(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)
。
令
f
?
(x)?0
，得
x??1,x?1
。
若
x?(??,?1)?(1,??)
，则
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在
(??,?1)
上是增函数，
f(x)
在
(1,??)
上是增函数。
若
x?(?1,1 )
，则
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在
( ?1,1)
上是减函数。
所以，
f(?1)?2
是极大值；
f(1)??2
是极小值。 （2）解：曲线方程为
y?x?3x
，点
A(0,16)
不在曲线上。
3
设切点为
M(x
0
,y
0
)
，则点M的 坐标满足
y
0
?x
0
?3x
0
。
22
因
f
?
(x
0
)?3(x
0
?1)
，故切线的方程为
y?y
0
?3(x
0
?1)(x?x0
)

32
注意到点A（0，16）在切线上，有
16?(x< br>0
?3x
0
)?3(x
0
?1)(0?x
0
)

3
化简得
x
0
??8
，解得
x
0
??2
。
3
所以，切点为
M(?2,?2)
，切线方 程为
9x?y?16?0
。








12

最新

17、10 、已知函数
f(x)?ax?cx?d(a?0)
是R上的奇函数，当
x?1
时
f(x)
取得极
值
?2
.（1）求
f(x)
的单 调区间和极大值；
（2）证明对任意
x
1
，
x
2
?(?1,1)
，不等式
f(x
1
)?f(x
2
)?4恒成立.
（1）解：由奇函数的定义，应有
f(?x)??f(x)
，
x?R

即
?ax?cx?d??ax?cx?d
∴
d?0

因此，
f(x)?ax?cx

f
?
(x)?3ax?c

由条件
f(1)??2
为
f(x)
的极值，必有
f
?
(1)?0
，故
?< br>解得
a?1
，
c??3

因此，
f(x)?x?3x
，
f
?
(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)

32
32
3
33
?
a?c??2

?3a?c?0
f
?
(?1)?f
?
(1)?0

当
x?(??,?1)
时，
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在单调区间
(??,?1)
上是增函数
当
x?(?1,1 )
时，
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在单调区间< br>(?1,1)
上是减函数
当
x?(1,??)
时，
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在单调区间
(1,??)
上是 增函数
所以，
f(x)
在
x??1
处取得极大值，极大值为
f(?1)?2

（2）解：由（1）知，
f(x)?x?3x
(x?[? 1,1])
是减函数，且
3
f(x)
在
[?1,1]
上的 最大值
M?f(?1)?2

f(x)
在
[?1,1]
上的最小值
m?f(1)??2

所以，对任意的
x
1
，
x
2
?(?1,1)
，恒有
f(x
1
)?f(x
2
)?M?m?2?(?2)?4





13

最新

18、(04重庆)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生 产量
x
（吨）与每吨产品的价格
p
（元吨）之间的关系式为：
p?2 4200?
1
2
（元）.
x
,且生产x吨的成本为
R?50 000?200x
5
1
2
x)x?(50000?200x)

5
问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
解：每月生产x吨时的利润为
f(x)?(24200?
1
??x
3
?24000x?50000(x?0)
5

3
由f
?
(x)??x
2
?24000?0解得x
1
?20 0,x
2
??200(舍去).
5

因f(x) 在[0,??)内只有一个点x?200使f
?
(x)?0
，故它就是最大值点，且< br>最大值为：
f(200)??(200)?24000?200?50000?3150000( 元)

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.


























14

1
5
3

最新
2x?a
在区间[-1，1]上是增函数.
x
2
?2
（Ⅰ ）求实数
a
的值组成的集合
A
；
1
（Ⅱ）设关于
x
的方程
f(x)?
的两个非零实根为
x
1
,x
2
.试问：是否存在实数
m
，使得
x
不等式
m
2?tm?1?x
1
?x
2
对任意
a?A
及
t?
[-1，1]恒成立？若存在，求
m
的取值范
19、14、已知
f( x)?
围；若不存在，请说明理由.
4?2ax?2x
2
?2(x
2
?ax?2)
解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
(x
2
?2)2
(x
2
?2)
2
∵f(x)在[-1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[-1，1]恒成立，
2
即x- ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立. ①
2
设
?
(x)=x-ax-2，
方法一：

?
(1)=1-a-2≤0，
①
?

?
-1≤a≤1，

?
(-1)=1+a-2≤0.
∵对x∈[-1，1]，f(x)是连续函数，且只 有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二：

aa
≥0， <0，
22
①
?
或

?
(-1)=1+a-2≤0
?
(1)=1-a-2≤0
?
0≤a≤1 或 -1≤a≤0
?
-1≤a≤1.
∵对x∈[-1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0 以及当a=-1时，f＇(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
（Ⅱ）由
2
2x?a1
2
=，得x-ax-2=0，
2
x?2
x
∵△=a+8>0
2
∴x
1
，x
2
是方程x-ax-2=0的两非零实根，
x
1
+x
2
=a，
∴ 从而 |x
1
-x
2
|=
(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
=
a?8
.
x
1
x
2
=-2，
∵-1≤a≤1，∴|x
1< br>-x
2
|=
a?8
≤3.
15

2
2
2

最新
要使不等式m+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
2
当且仅当m+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
2
即m+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立. ②
22
设g(t)=m+tm-2=mt+(m-2)，
方法一：
2
g(-1)=m-m-2≥0，
②
?

2
g(1)=m+m-2≥0，
?
m≥2或m≤-2. < br>2
所以，存在实数m，使不等式m+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值
范围是{m|m≥2，或m≤-2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0， m<0，
②
?
或
22
g(-1)=m-m-2≥0 g(1)=m+m-2≥0
?
m≥2或m≤-2.
2
所以，存在实数m，使不等式m+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值
范围是 {m|m≥2，或m≤-2}.






















16

2

最新
20、16、已知
b??1,c?0
,函数
f(x)?x?b
的图象与函数
g(x)?x?bx?c
的图象相
切 .(1)求
b
与
c
的关系式.(用
c
表示
b
)
(2)设函数
F(x)?f(x)g(x)
在
(??,??)
内有极值点,求
c
的取值范围.
解：（Ⅰ）依题意，令
f
?
(x)?g
?
(x),得2x?b?1,故x?
2
1?b
.

2
1?b1?2b
)?g(),得(b?1)
2
?4c.

22
?b??1,c?0,?b??1?2c.
由于f(
（Ⅱ）
F( x)?f(x)g(x)?x?2bx?(b?c)x?bc.F
?
(x)?3x?4bx?b ?c.

32222
令F
?
(x)?0,即3x
2
?4bx?b
2
?c?0.
则??16b
2
?12(b
2< br>?c)?4(b
2
?3c).
若??0,则F
?
(x)?0有 一个实根x
0
,且F
?
(x)的变化如下:

x

(??,x
0
)

+
x
0
0
（
x
0
,??)

+
F
?
(x)

于是
x?x
0
不是函数
F(x)
的极值点.
若? ?0,则F
?
(x)?0有两个不相等的实根x
1
,x
2
( x
1
?x
2
)且F
?
(x)
的变化如下：
x
(??,x
1
)

+
x
1
0
(x
1
,x
2
)

—
x
2

0
（
x
2
,??)

+
F
?
(x)

由此，
x?x
1
是函数F(x)的极大值点,x?x
2
是函数F(x)
的极小值点.
综上所述，当且仅当
??0时,函数F(x)在(??,??)上有极值点.

由??4(b
2
?3c)?0得b??3c或b?3c.
?b??1?2c,??1 ?2c?3c或?1?2c?3c.
解之得0?c?7?43或c?7?43.
故所求c的取值 范围是(0,7?43)?(7?43,??).

17

最新
21、17、已知函数
f(x)?xe,
其中
a?0,e
为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数
f(x)
的单调性;
(Ⅱ)求函数
f(x)
在区间[0,1]上的最大值.
解 (Ⅰ)
f
?
(x)?x(ax?2)e.

（
i
）当a=0时，令
f
?
(x)
=0, 得x=0.
若x>0. 则
f
?
(x)
>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若x<0,则
f
?
(x)
<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.
(
ii)
当a<0时,令
f
?
(x)
=0,得x(ax+2)=0,故x=0或
x??.

若x<0,则
f
?
(x)
<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.
ax
2ax
2
a
22
,
则
f
?< br>(x)
>0.从而f(x)在(0,
?,
)上单调递增;
aa
22
若x>
?,
则
f
?
( x)
<0.从而f(x)在(
?,
+∞)上单调递减.
aa
若0?
(Ⅱ) (
i)
当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1.
(
ii)
当
?2?a?0
时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=
e
.

(iii)
当a≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是
f(?)?















18

a
2
a
4
.
a
2
e
2

最新

33
2 2、如图，已知曲线C
1
：=x(x≥0)与曲线C
2
:y=-2x+3x( x≥0)交于点O、A.直线x=t(0与曲线C
1
、C
2
分别相交于点B、D.
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.
3
y=x，
解：（Ⅰ）由 得交点O、A的坐标分别是
（0，0），（1，1）.
3
y=-2x+3x，
f(t)=S
△
ABD
+S
△
OBD
=
即f(t)=-
111
3
|BD|·|1-0|=|BD|=(- 3t+3t)，
222
3
3
(t-t)，(02
9
2
3
（Ⅱ）f＇(t)=-t+.
22
令f＇(t)=0 解得t=
3
.
3
当033
时，f＇(t)>0，从而f(t)在区间（0，）上是增函数；
33
当
33
33
333
时，f(t)有最大值为f()=.
333
所以当t=


19