高中数学函数的概念讲义

高中数学函数的概念研究讲义

一、 理解函数的概念
1、函数产生的背景
信息1：当你坐在摩天轮上时，随着旋转
时间t（min）与你 离开地面的高度h(m)之间
的关系如图，你能填写下表吗？


时间
min
高度m
0 1 2 3 4 5




信息2：如下图是某日的气温变化图。

① 这张图告诉我们哪些信息？
② 这张图是怎样来展示这天各时刻的温度
和刻画这铁的气温变化规律的？

信息3：在每天的财经新闻中，我们也会看
到大盘的走向，横轴是时间，纵轴是点数。
以上所有这些和我们的日常生活是密切相关的，同时我们也可以发现他们之
间有一个共同点，就是从一 个数集到另一个数集的对应关系。前面我们学过两个
集合之间的一种对应，那就是映射f：A→B，如果 集合A和B都是数集时，我们
就把映射f：A→B叫做集合A到集合B的函数。
2、函数的定义：

设有两个非空数集A和B，若对于集合A中的每一个数x，在某 种确定的对
应法则f的作用下，集合B中都有唯一确定的数f(x)与之相对应，则把f：A→B
叫做集合A到集合B的函数。其中数x的集合 叫做函数的定义域，数f(x)的集
合叫做函数的值域。

1

? 多对一 ? 一对一


f
A?x???f(x)?B


? 非空 ? 数集
【映射】 数集


二、 研究函数的概念
1、构成及本质
f:A???B
定义域
=
集合A
部分与部分
f
定义域A???值域f(A)

函数y=f(x) 对应法则f：一对一，多对一
值域 C
?

集合B

因果
2、函数的表示方法 自变量x的取值不能为空集；
（1）、解析式
y?f(x)
：
?x
0
?A,f(x
0
)
唯一。
（2）、图像：函数图像与y轴和y轴平行线的公共点至多一个。
（3）、列表
【解析式】下列哪些是函数？
x
2
?1
y?
2
① 、
1?x
2
；②、
y?x?1
【图像】下列哪些是函数？




；③、
y?
1?x
x?2

例：下列哪些函数是同一函数？ ①、
y?x
；②、
y?x
2

③、
y?
?
x
?
2
x
2
x
y?
y?
0
3
3
；④、
x
；⑥、
x
；⑤、
y?
x
；
log
a
x
y?a(a?0且a?1)
；⑧
y? log
a
a
x
(a?0且a?1)

⑦、


2

3、函数的分类：
六个基本初等函数： 零函数
（1）、常数函数：
（2）、幂函数：
f(x)?c(c为常数)
?
下位
???f(x)?0
图像为x轴
当α= 0时，f( x )= 1 为常函数
f(x)?x
?
(
?
为常数）
下位 当α= 1时，f(x)=x为正比例函数
1
f(x)?
当α=-1时，为反比例函数
x
（3）、指数函数：
（4）、对数函数：
f (x)?a
x
(a?0且a?1)
正
f(x)?log
a
x(a?1且a?0)
反
（5）、三角函数：
f(x)=sinx
互为倒数
f(x)=cscx
f(x)=cosx ---------- f(x)=secx
f(x)=tanx
正 反
f(x)=cotx
（6）、反三角函数：
f(x)=arcsinx ,x∈[-1,1]-----
反正弦

f(x)=arccosx ,x∈[-1,1]-----
反余弦

f(x)=arctanx ,x∈[-∞,∞]-----
反正切
【有限次四则运算】
一次函数：
f(x)=kx+b(k≠0)

下位
f(x)=kx
（正比例函数）
下位
f(x)=x

二次函数：
f(x)=ax+bx+c(a≠0)
三次函数：
f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)

32
2
k
1
反比例函数：
f(x)?(k?0)

下位
f(x)?

x
x
对勾函数：
f( x)?k
1
x?
k
2
1
k
(k
1
k
2
?0)

下位
f(x)?x?(k?0)

下位

f(x)?x?

x
x
x
【两次或两次以上对应】
复合函数：
y = f(g(x)) ；y=f{g[ф(x)]}

3

常见的有：
y?log
a
(x
2
?1)(a?1且a?0)
，即
y?log
a
t,t?x
2
?1
；
y?Asin(
?
x?
?
)?B(A
?
?0)
，即
y?At?B ,t?sinu,u?
?
x?
?


【不同区间上对应不同】
分段函数：
y = f
1
(x),
f
2
(x),
x?I
1
x?I
2
??
,
??
f
n
(x),
x?I
n





4、函数性质
研究对象：函数y = f ( x )
I
i
?
I
j?
?
,i,j?1,2,
?
n
I
1
?
I
2
??
I
n
?A(A为定义域)

角度：根据x →f(x)，从一个自变量和两个自变量的关系的角度来研究函数值
的关系，得出函数的本质特征。
【一个自变量】
（1）、任意x∈A，都有f(x)≤M, 函数f(x)有最大值M。

正 反
都有f(x)≥N, 函数f(x)有最小值N。-----------有界性
问：函数图像的特点？----------------（画图举例）函数有最高点或最低点。
【两个自变量的一般关系】
根据集合的互异性，任意两个自变量都是不相等的。
（2）、
任意x
1
?x
2
?I?A（定义域）

若f(x
1
) = f(x
2
), 则f(x)为常函数。
若f(x
1
) ≠f(x
2
) ，则有
正
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
，则称f(x)为I上的增函数，或称f(x)在I上单调递增。
x
1
?x
2

4

反
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
，则称f(x)为I上的减函数，或称f(x)在I上单调递减。
x
1
?x
2
-----------单调性
问：函数图像的特点？----------（画图举例）
（3）、
任意x
1
?x
2
?I?A（定义域）
---------选讲
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?
若
f(
，函数为凸函数。图像举例：y=log
2
x;y=-x
2< br>
22
若
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?
，函数为凹函数。图像举例： y=a
x
(a>0且a≠1)；
22

若
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)< br>)?
，函数不具有凹凸性。图像举例：一次函数
22

-------------------凹凸性
【两个自变量的特殊关系】
自变量和为零
正反
??
自变量的差为常数
?
上位
???
自变量的和为常数
??
相
?
似
自变量的积为1
????
自变量的积为常数
【自变量和为零】
（4）、任意x ∈ A，-x ∈ A，若f( -x )= f( x ), 则称 f(x) 为偶函数。
下位
若f( -x )=- f( x )，则称f(x)为奇函数。

------------奇偶性
问：函数图像的特点：------奇函数关于原点对称；偶函数关于y轴对称。
举例说明

【自变量的和为常数2a】
（5）、任意x ∈A ，a+x 、a-x 、2a-x ∈A
若f(2a-x) = f( x )或 f( a+x ) = f(a-x),函数f(x)关于直线x = a对称。
若f(2a-x) = - f( x )或f(2a-x)+f(x)=0, 函数f(x) 关于点（a,0）对称。
上
?
位

5

若f(2a-x)= 2 b-f(x)或f(2a-x)+f(x)= 2 b, 函数f(x)关于点（a, b）对称。
【自变量的和为a+b】
若f(a+x)=f(b-x)，则f(x)关于
a?b
对称。
2
---------对称性
问：函数图像的特点：----图像关于平行于y轴的直线对称或关于点成中心对称。
【自变量的差为常数】
（6）、任意x ∈A，存在非零常数T，则 x+T ∈A
若f(x+T)=f(x),则函数f(x)是周期函数，周期为T。（定义）
若f(x+T)+f(x)=a，则函数f(x)是周期函数，周期为2T。
↓ （把x 换成 x+T）
f(x?T)?a?f(x)?f(x?2T)?a?f(x?T)?f (x?2T)?a?[a?f(x)]?f(x)
若
f(x?T)?
1
，则函数f(x)是周期函数，周期为2T。← 把x换成x+T
f(x)
1
，则函数f(x)是周期函数，周期为2T。← 把x换成x+T
f(x)
若
f(x?T)??
若
f(x?T) ?
f(x)?1
,则函数f(x)是周期函数，周期为2T。← 把x换成x+T
f(x)?1
若
f(x?T)??
f(x)?11?f(x)
?
, 则函数f(x)是周期函数，周期为4T。
f(x)?11?f(x)
-------------周期性
问：函数图像的特点：------在T长度的区间上图像形状和大小循环出现。
图像举例：三角函数
【自变量的积为1]】
2
x
（7）、
任意x?A,
1
?A,

f(x)?

x
2
?1
x
x
2
1
有
f(x)?f()?1;
←
f(x)?

2
x
x?1
有
f(x)?f(
【任意自变量】

6
1
)?0;


← 函数
f(x)?log
a
x(a?1且a?0)
x

【逆映射】
（8）、一般地，设函数y=f ( x )( x ∈ A ) 的值域是C。
f:对于A中每一个数C中，都有唯一数与之对应
A??????????????C


A???????????????C

f
?1
:对 于C中每一个数A中，也有唯一元素应与之对
就说函数y=f(x)(x∈A)存在反函数x=f
-1
(y)(y∈C)，通常记作y=f
-1
(x)（x∈C）。
特征：存在反函数的条件是“一一对应”，
反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
问：原函数和反函数的图像有什么关系？------关于直线y=x对称
【对应法则的运算性质】
（9）、 代表函数 函数性质：任意x、y∈A(定义域)，都有
正比例函数y=kx(k
?
0)
?f(x?y)?f(x)?f(y)

一次函数型y=kx+b(k≠0)
?f(x?y)?f(x)?f(y)?b

指数函数

对数函数

a
f(x)?a
x
(a?0且a?1)

?f(x?y)?f(x)?f(y)


f(x?y)?
f(x)

f(y)
f(x)?log
a
x(a?1且a?0)

?f(x?y)?f(x)?f(y)

x

f()?f(x)?f(y)

y
幂函数 y=
x

?f(xy)?f(x)?f(y)

xf(x)

f()?

yf(y)
正切函数 y=tanx
?f(x?y)?



f(x)?f(y)

1
?
f(x)f(y)
7

三、应用：

在过程中创设环境让学生多分享，最后总结在这个过程中是怎样的思维过程。



映射f：A→B

上 位

定义域

部分与
多对一，一对一；
因
函数
定定值
f

A、B为非空数集
???
义义
值 域
y=f(x)
域
果 部分 部分
域
域

对应法
因果 下 位
则
单调性
因果




函数的
表



示方法：

解析式

图像











简单初
等
函数
复合函
数
凹凸性
有界性
奇偶性
对称性
周期性
反函数







8