高中数学函数小题

一.函数小题
（一）命题特点和预测：分析近7年的高考题发现7年9考， 每年至少1题，主要考查函数的奇偶性、
单调性、周期性、对称性、函数图象及应用这些性质比较大小、 解函数不等式、识别函数图象、研究函数
零点或方程的解，考查分段函数求值等，函数单调性与奇偶性及 其应用、分段函数问题的考查为基础题，
图象、综合利用函数图象性质比较大小或研究函数零点与方程解 得个数多为中档题或压轴小题.2018年仍
将至少1个函数小题，主要考查函数的图象性质、分段函数 或函数的综合应用，难度可能为基础题或中档
题或压轴小题．
（二）历年试题比较：
年份
2017年
题目
(5)函数
f(x)
在
(??,??)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)??1
，则满足
答案
D
?1?f(x?2)?1
的
x
的取值范围是
A．
[?2,2]


B．
[?1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

D
C．3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z

C
(11)设
x、y、z
为正数，且
2
x
?3
y
?5
z
，则
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y

2016年
（8）若
a?b?10，?c?1
，则
（A）
a
c
?b
c
（B）
ab
c
?ba
c
（C）
a log
b
c?blog
a
c
（D）
log
a
c?log
b
c

2015年
2014年
（13）若 函数
f
(
x
)=
x
ln（
x
+
a ?x
2
）为偶函数，则
a
=
(3)设函数
f(x)
，
g(x)
的定义域都为R，且
f(x)
时奇函数，g(x)
是偶函数，则下列
结论正确的是
1
C
A
.
f(x)g(x)
是偶函数
B
.|
f(x)
|
g(x)
是奇函数
C
.
f(x)
|
g(x)
|是奇函数
D
.|
f(x)g(x)
|是奇函数
2013年
??x
2
?2x,x?0
(11)已知函数
f(x)
=
?
，若|
f(x)
|≥
ax
，则
a
的取值范围是
?
ln(x?1),x?0
A
.
(??,0]

B
.
(??,1]

C
.[-2,1]
D
.[-2,0]
D
2012年
(10)已知函数
f (x)
=
1
，则
y
=
f(x)
的图像大致为
ln(x?1)?x
B

2011年
（2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是
（A）
y?x
(B)
y?|x|?1
(C)
y??x?1
(D)
y?2

(12)函数
y?
标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

【解析与点睛】
（2017年）(5)【解析】因为
f(1) ??1
，
f(x)
为奇函数，所以
f(?1)??f(1)??1
, 所以
32?|x|
B

1
的图像与函数
y?2sin?
x
（－2≤
x
≤4）的图像所有交点的横坐
D
1 ?x
f(?1)??1?f(x?2)?1?f(1)
，因为函数
f(x)
在
(??,??)
单调递减，所以
?1?x?2?1
，解得
11
?

alnablnb
lnclnc
??blog
a
c? alog
b
c
，C正确 又由
0?c?1
得
lnc?0
，∴
alnablnb
lnclnc
对D： 要比较
log
a
c
和
log
b
c
，只需比较和
lnalnb< br>11
而函数
y?lnx
在
?
1,??
?
上单 调递增，故
a?b?1?lna?lnb?0?

?
lnalnb
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0?alna?bl nb?0?

又由
0?c?1
得
lnc?0
，∴
故选C．
lnclnc
??log
a
c?log
b
c< br>，D错误
lnalnb
（2015年）【解析】由题知
y?ln(x?a?x
2
)
是奇函数，所以
ln(x?a?x
2
)?ln(?x? a?x
2
)

=
ln(a?x?x)?lna?0
，解得
a
=1.
22

（2012年）(10)【解析】定义域为（－1,0）∪(0,+∞)，f
?
(x)
=
x

(x?1)(ln(x?1)?x)
2
∴
f(x)
在(－1,0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项 ，只有B符合，故选B.
【解析2】
g(x)?ln(1?x)?x?g
?
(x)??
x

1?x
?g
?
(x)?0??1?x? 0,g
?
(x)?0?x?0?g(x)?g(0)?0

得：
x?0
或
?1?x?0
均有
f(x)?0
排除
A,C,D

（2011年）（2）【解析】先考查奇偶性，显然
y?x
是奇函数，排除A，
∵
y?|x|?1
=
?
3
?
x?1 x?0
，显然在（0，+∞）是单调增函数，故选B.
1?x x?0
?
1
与
y?2sin
?
x
（－2≤
x
≤4），由图 像知这两个函数都关于（1,0）对称，
1?x
(12) 【解析】作出
y?
故其8个交点关于（1,0）对称，∴所有交点的横坐标之和等于2+2+2+2=8，故选D.

（三）命题专家押题

题号
1.
试 题
下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A.
f
?
x
?
?xsinx
B.
f
?
x
?
??xx?1

2
C.
f
?
x
?
?lg
2.
1?x
?xx
D.
f
?
x
?
?
?
?
?

1 ?x
xe
x
函数
f
?
x
?
?
的图 像大致为( )
2x?lnx
A. B.
C.
3
D.
已知
a?0
,函数
f
?x
?
?x
2
?2axe
x
,若
f
?< br>x
?
在
?1,1
上是单调减函数,则
a
的取值范围< br>是
______
.
??
??
4
已知函数
y?g
?
x
?
满足
g
?
x?2
?
??g
?
x
?
，若
y?f
?
x
?
在
?
?2,0
?
?
?
0,2
?
上为偶函数 ，且
其解析式为
f
?
x
?
?{
log
2< br>x,0?x?2
g
?
x
?
,?2?x?0

，则
g
?
?2017
?
的值为
A. ?1 B. 0 C.
5
11
D.
?

22
x
设f(x)为定义在R上的奇函数，当
x?0
时，
f
?
x
?
?3?7x?2b
（b为常数），则f(-2)=
（ ）
A. 6 B. -6 C. 4 D. -4
6
定义在
R
上的奇函数
f
?
x
?
满足
f?
x?2
?
??f
?
x
?
，当
x?0 ,1
时，
f
?
x
?
?2?1
，设
x??
a?ln
1
?
，
b?e
?ln
2
5
?
1
?
，
c?
??
?
3
?
?0.1
，则（ ）

A.
f
?
a
?
?f
?
b
?
?f
?
c
?
B.
f
?
b
?
?f
?
c
?
?f
?
a
?< br>
C.
f
?
b
?
?f
?
a
?
?f
?
c
?
D.
f
?
c< br>?
?f
?
b
?
?f
?
a
?

7
定义域和值域均为
?a,a
（常数a>0）的函数
y?f
?
x
?
和
y?g
?
x
?
大致图象如图所 示，给
出下列四个命题：
??

①方程
f
?
?< br>g
?
x
?
?
?
?0
有且仅有三个解； ②方程
g
?
?
f
?
x
?
?
?
?0
有且仅有三个解；
③方程
f
?
?
f
?
x
?
?
?
?0
有且仅有九个解；
④方程
g
?
?
g
?
x
?
?
?
?0有且仅有一个解。那么，其中一定正确的命题是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④
8
已知函数
f
?
x
?< br>是定义在
R
上的偶函数，且
f
?
?x?1
?
?f
?
x?1
?
，当
x??1,0
时，
???
51
?
f
?
x
?
??x
3
，则关于
x
的方程
f
?
x
?
?cos
?< br>x
在
?
?,
?
上的所有实数解之和为（ ）
?
22
?
A. -7 B. -6 C. -3 D. -1
9
偶函数满足，当时，，不等式在
上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A.
10
B. C. D.
若定义在R
上的偶函数
f
?
x
?
满足
f
?x?2
?
?f
?
x
?
，且当
x?0,1
时，
f
?
x
?
?x
，则函
数
y?f< br>?
x
?
?log
3
x
的零点个数是（ ）
A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
??
【详细解析】
1.【答案】C

2.【答案】C
1
e
e
x
xe
?
1?
e
?0
，【解析】由函数
f
?
x
?
?
，满足
2x?lnx?0
且
x?0
，所以排除A、D；又
f
??
?
2
2x?lnx
?
e
?
?1e
排除D，故选C.
3.【答案】
?
,??
?

【解析】∵函数
f
?
x
?
?x
2
?2ax e
x
，∴
f
?
?
x
?
?x
2?2ax?2x?2ae
x
，∵
?
x
?
在
?1 ,1
上是单调减
函数，∴
f
?
?
x
?
?x
2
?2ax?2x?2ae
x
?0
在
?1,1
上恒 成立，即
x?2
?
1?a
?
x?2a?0
在
?1, 1
上
2
1
?
3
?
4
?
?
????
??
??
????
恒成立，令
g
?
x?
?x?2
?
1?a
?
x?2a
，则
{
2
g
?
?1
?
?01?2
?
1?a
?< br>?2a?0
3

，即
{
，∴
a?
. g
?
1
?
?01?2
?
1?a
?
?2 a?0
4
4.【答案】B
【解析】由题意可得：
g
?
x
?
??g
?
x?2
?
?g
?
x?4
?
，即函数
g
?
x
?
是周期为
4
的函数 ，则
g
?
?2017
?
?g
?
?2017?4?5 04
?
?g
?
?1
?
?f
?
?1
?
?f
?
1
?
?log
2
1?0
，故选B ．
5.【答案】-1
【解析】由偶函数的定义得到
恒成立，k=-1，故答案为：-1.
6.【答案】A
,即= 即

7.【答案】C
【解析】①方程
f
?
t
?
?0
有且仅有三个解；
g
?
x
?
有三个不同的值，由于
y?g
?
x
?
是减函数，所以有三
个解，①正确；②方程
g
?
?f
?
x
?
?
?
?0
有且仅有三个解；从图中可 知，
f
?
t
?
?0
，可能有
1,2,3
个解，方
程
g
?
?
f
?
x
?
?< br>?
?0
也可能有
1,2,3
个解，②不正确；③方程
f
?
?
f
?
x
?
?
?
?0
有且仅 有九个解；从图中可知，
f
?
t
?
?0
，可能有
1,2,3
个解，方程
f
?
?
f
?
x
?< br>?
?
?0
最多九个解，③不正确；④因为方程
g
?
t
?
?0
有且仅有
一个解，结合图象
y?g
?
x?
是减函数，，所以方程
g
?
?
g
?
x
?
?
?
?0
有且仅有一个解，④正确，故选C.
8.【答案】A
【解析】因为函数
f
?
x
?
是R上的偶函数，且
f
?
?x?1
?
?f
?
x?1
?
，所以x??1
是函数的对称轴，且周
期为2，分别画出
y?f
?
x
?
与
f
?
x
?
?cos
?
x在
?
?,
?
上的图象，
?
22
?
?
51
?

交点依次为
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
,x
6
,x
7
,
所以
x
1
?x
7
?x
2
?x
6
?x
3
?x
5< br>??2,x
4
??1
，所以
x
1
?x
2?x
3
?x
4
?x
5
?x
6
?x7
??2?3?1??7
，故选A.
9.【答案】C

∵函数
∴函数
①当
在内有25个周期，
在
或
内有4个整数解．
，
在一个周期内有4个整数解，即
时，由得
由图象可得
②当
显然，
∴
∵
∴
又
∴
在
的图象在
在
时，由
在
在一个周期内有7个整数解，不 合题意．
得
上无整数解，
上有4个整数解．
上关于对称，
或，
上有2个整数解．
，
，解得
．
，
故实数的取值范围是
10.【答案】B

二.导数小题 < br>（一）命题特点和预测：分析近7年的高考题发现，7年6考，每年1题，主要考查利用定积分计算曲边< br>梯形面积、先利用导数研究函数的图象与性质再利用函数图象与性质解不等式、研究函数零点的个数、比< br>较大小或求最值，难度为中档题或压轴小题.2018年高考仍会考1个导数试题，可能考查定积分，也可 能
考查利用导数研究函数的图象与性质及研究函数零点或方程解的个数问题或函数的最值问题，难度仍为 中
档题或难题.
（二）历年试题比较：
年份
2016年
（7）函数
y?2x?e
2|x|
|
题目
在[–2,2]的图像大致为
答案
D
2015年
（12）设 函数
f(x)
=
e(2x?1)?ax?a
,其中
a
1，若 存在唯一的整数x
0
，使得
x
D
f(x
0
)
0，则
a
的取值范围是（ ）

A.[-
2014年
，1） B. [-，） C. [
32
，） D. [，1）
B
(11).已知函数
f(x )
=
ax?3x?1
，若
f(x)
存在唯一的零点
x
0
，且
x
0
＞0，则
a
的
取值范围为
A
.（2，+∞）
B
.（-∞，-2）
C
.（1，+∞）
D
.（-∞，-1）
2013年 < br>(16)若函数
f(x)
=
(1?x)(x?ax?b)
的图像关于直 线
x
=－2对称，则
f(x)
的最大
值是______.
2012年
(12)设点
P
在曲线
y?
22
16
1
x
e
上，点
Q
在曲线
y?ln(2x)
上，则
|PQ|
的最小值为
2
B
A
.
1?ln2

B
.
2(1?ln2)

C
.
1?ln2

D
.
2(1?ln2)

2011年
(9)由曲线
y?
（A）
【解析与点睛】
x
，直线
y?x?2
及
y
轴围成的图形的面积为
C
1016
(B)4 (C) (D)6
33

因为
g
?
(x)?e(2x?1)
，所以当
x??
x
111
时，
g
?
(x)
＜0，当
x??
时，
g
?
(x)
＞0，所以当
x??
时，
222< br>[g(x)]
min
=
-2e
，
当
x?0
时，
g(0)
=-1，
g(1)?3e?0
，直线
y?ax?a恒过（1,0）斜率且
a
，故
?a?g(0)??1
，且
?1
2
g(?1)??3e
?1
??a?a
，解得
3≤
a
＜1，故选D.
2e

【解析 2】由已知
a?0
，
f(x)
=
ax?3x?1
有唯一的正 零点，等价于
a?3
有唯一的正零根，令
t?
32
11
?< br>3

xx
1
3
3
，则问题又等价于
a??t ?3t
有唯一的正零根，即
y?a
与
y??t?3t
有唯一
x
32
的交点且交点在在y轴右侧记
f(t)??t?3t
，
f?
(t)??3t?3
，由
f
?
(t)?0
，
t??1
，
t?
?
??,?1
?
,f
?
( t)?0;t?
?
?1,1
?
,f
?
(t)?0;
，
t?
?
1,??
?
,f
?
(t)?0
，要使
a??t
3
?3t
有唯一的正零根，只需
a?f(?1)?? 2
，选B
（2013年）【解析】由
f(x)
图像关于直线
x
=－2对称，则
0=
f(?1)?f(?3)
=
[1?(?3)][(?3)?3a?b]< br>，
0=
f(1)?f(?5)
=
[1?(?5)][(?5)?5a ?b]
，解得
a
=8，
b
=15，
∴
f(x)
=
(1?x)(x?8x?15)
，
2232
∴
f
?
(x)
=
?2x(x?8x?15)?(1?x)( 2x?8)
=
?4(x?6x?7x?2)

22
22
22

∴P到
y?x
的距 离为
d
=
|ln2?1|
，∴
|PQ|
=
2d=
2(1?ln2)
，故选B.
2

【解析2】 函数< br>y?
1
x
e
与函数
y?ln(2x)
互为反函数，图 象关于
y?x
对称
2
1
x
e?x
1
x< br>1
x
2
函数
y?e
上的点
P(x,e )
到直线
y?x
的距离为
d?

22
2
设函数
g(x)?
1
x
11?ln2
e?x?g
?
(x)?e
x
?1?g(x)
min
?1?ln2?d
min
?

22
2
由图象关于
y?x
对称得：< br>PQ
最小值为
2d
min
?2(1?ln2)

（2 011年）(9)【解析】解
?
?
?
y?x
得（4,2），由图知， 由曲线
y?x
，直线
y?x?2
及
y
轴围成的
?< br>?
y?x?2
2
3
1
24
16
图形的面积为
?
(x?x?2)dx
=
(x
2
?x?2x)|
0
=，故选C.
0
32
3
4

（三）命题专家押题
题号
1.
试 题
2.22.1
已知
a?2.1,b?2.2,c?log
2.2
2.1
，则( )
A.
c?b?a
B.
c?a?b
C.
a?b?c
D.
a?c?b

2.
设
a?R
，函数
f
?
x
?
?e?a?e
的导函数
f'
?
x
?< br>是奇函数，若曲线
y?f
?
x
?
的一条切线的
x?x
3
，则切点的横坐标为( )
2
ln2ln2
A.
?
B.
?ln2
C. D.
ln2

22
斜率是
3
已知函数
f
?< br>x
?
?ax?xlnx
在
?
,?
?
?
上单调递增,则实数
a
的取值范围是_____
2
?
1
?
e
?
?
4 若
A.
均为任意实数，且
B. C. D.
，则

的最小值为（ ）
5 曲线
A. B.
与轴所围成图形的面积被直线
C.
x
分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
D.
2x
6
已知直线
l
是曲线
y?e
与曲线
y?e?2
的一条公切线，
l
与曲线
y?e
2x
?2切于点
?
a,b
?
，且
a
是函数
f
?
x
?
的零点，则
f
?
x
?
的解析式可能为 （ ）
A.
f
?
x
?
?e
C.
f
?
x
?
?e
7 已知函数
A.
C.
8
已知
，
，
是定义在区间
，则不等式
A.
9 设函数
为（ ）
A. B. C. D.
B.
2x
?
2x?2ln2?1
?
?1
B.
f
?
x
?
?e
2x
?
2x?2ln 2?1
?
?2

?
2x?2ln2?1
?
?1
D.
f
?
x
?
?e
2x
?
2x?2ln2?1
?
? 2

，则下面对函数
B.
D.
上的函数，是
的描述正确的是（ ）
，

的导函数，且，

2x
的解集是（ ）
C. D.
，则实数的取值范围.若存在唯一的整数，使得

10 已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式
对任意恒成立，则实数的取值范是（ ）
A.
【详细解析】
1.【答案】B
B. C. D.

3.【答案】
a?
1

2
lnx?1
?
1
?
在
?
,?
?
?
上恒成立,
x
?
e
?
【解析】求导可得：
f'
?
x
?

?2ax?lnx?1?0
,则2a?
构造函数
g
?
x
?
?
lnx?1?ln x
，
g'
?
x
?
?
2
?0
解得
x
=1,
xx
所以
g
?
x
?
在
?
,1
?
上单调递增,在
?
1,?
?
?< br>上单调递减,
?
1
?
?
e
?
g
?
x
?
的最大值为
g
?
1
?
?1
,
1
.
2
1
综上可得：实数
a
的取值范围是
a?
.
2
由恒成立的条件有：
2a?1,a?
4.【答案】D

【解析】如图所示，
和
与轴的交点为和，与的交点为
，化简得：．由题意和定积分的几何意义得：
，即，解得：，故选：．

6.【答案】B
【解析】设直线
l
与曲线
y?e
切点为< br>?
m,n
?
，
y?e
的导数为
y'?e
，
y?e
xx
x
2x
?2
的导数为
y'?2e
2x
，
曲线
y?e
在
?
m,n
?
的切线 的方程为
y?e?e
x
mm
?
x?m
?
，即
y?e
m
?
x?m?1
?
，曲线
y?e
2x?2
在点
?
a,b
?
处的切线方程为
y?
?< br>e
2a
?2
?
?2e
2a
?
x?a
?
，即
y?2e
2a
x?e
2a
?
1?2a
?
?2
，
e
m
?2e
2a

，则m?2a?ln2
，即
e
2a
?
2a?2ln2?1
?
?2?0
，即有可得
{
m2a
e
?
?m?1
?
?e
?
1?2a
?
?2
f
?
x
?
?e
2x
?
2x?2ln2?1
?
?2
，故选 B．
7.【答案】B

8.【答案】D
【解析】设函数，则
，，，
又，函数在区间上单调递增，
又，不等式“”等价于“”，即，
又
又函数
又函数
故不等式
9.【答案】A
，
在区间
的定义域为
的解集是
，得
上单调递增，
，解得，
，解得，
，故选D.

10.【答案】A
【解析】 因为定义在上的偶函数在
对于
则
即
所以
令
（1）当
因为最小值
综上可得
（2）当
因为最大值
综合可得，无解，
，即
，则由
时，即或时，
对于
对于
对于
上恒成立，
上恒成立，
上恒成立，即
，求得
在
，
上恒成立，
，所以
单调递增，
，
对于上恒成立，
上递减，所以
上恒成立，
在上单调递增，若不等式
，最大值
；
时，
，最小值
在上恒成立，
，所以
单调递减，
，