2018江苏高中数学竞赛获奖名单-西南师范高中数学答案
重点高中数学函数解题技巧方
法总结(高考)
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2
3
高中数学函数知识点总结
1.
函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.
求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数y?
x
?
4?x
?lg
?
x?3
?
2
的定义域是
(答:?
0,2
?
?
?
2,3
?
?
?
3,4
?
)
函数定义域求法:
? 分式中的分母不为零;
? 偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
? 指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
?
?
?
?
??
正切函数
y?tanx
?
x?R,且x?k
?
?,k?
?
?
2
??
余切函数
y?cotx
?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?
反三角函数的定义域
,函数y=arccosx的定义域是
[-函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是
1, 1] ,值域是 [0,
π] ,函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.,函数y=arcctgx
的定义域是 R
,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条
件的自变量的范围,再
取他们的交集,就得到函数的定义域。
3.
如何求复合函数的定义域?
,b??a?0,则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定
如:函数f(x)的定义域是
?
a,b
?
义域是_________
____。
(答:a,?a)
复合函数定义域的求法:已知
y?f
(x)
的定义域为
?
m,n
?
,求
y?f
?
g(x)
?
的定义域,可由
m?g(x)?n
解出x的范围,即为
y?f
?
g(x)
?
的定义域。
??
?
1
?
例 若函数
y?f(x)
的定义域
为
?
,2
?
,则
f(log
2
x)
的定义
域为 。
?
2
?
1
?
1
?
分析:由函数
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
可知:
?x?2
;所以
y?f(log
2
x)
中有
2
?
2
?
1
?log
2
x?2
。
2
解:依题意知:
1
?log
2
x?2
2
4
解之,得
2?x?4
∴
f(log
2
x)
的定义域为
x|2?x?4
4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
1
例 求函数y=的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y
=
x
2
-2x+5,x
?
[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型
有时也可以用其
他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
b
型:直接用不等式性质
k+x
2
bx
b.
y?
2
型,先化简,再用均值不等式
x?mx?n
x11
例:
y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型
通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一:用判别式
a. y?
法二:用换元法,把分母替换掉
2
x
2
?x?1(x+1)?(x+1)+1
1
例:y???(x+1)??1?2?1?1
x?1x?1x?1
??
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4
例 求函数y=值域。
5x?6
5、函数有界性法 <
br>直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我
们所说的单调性
,最常用的就是三角函数的单调性。
5
e
x
?1
2sin
?
?12sin
?
?1
例
求函数y=
x
,
y?
,
y?
的值域。
e?11?sin
?
1?cos
?
e
x
?11?y
y
?
x
?e
x
??0
1?y
e?1
2sin
?
?11?y
y??|sin
?
|?||?1,
1?sin
?
2?y
2sin
?
?1
y??2sin
?
?1?
y(1?cos
?
)
1?cos
?
2sin
?
?y
cos
?
?1?y
4?y
2
sin(
?
?x)?1
?y,即sin(
?
?x)?
1?y
4?y
2
1
?y
4?y
2
又由sin(
?
?x)?1知?1
解不等式,
求出y,就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=
2
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:已知点P(x.y)在圆x
2
+y
2
=1上,
x?5
?
log
3
x?1
(2≤x≤10)的值域
y
的取值范围
x?2
(2)y-2x的取值范围
y
解:(1)令?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.
x?2
(1)
d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R
例求函数y=
6
2
2
(x?2)
+
(x?8)
的值域。
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:[10,+∞)
例求函数y=
x
2
?6x?13
+
x
2
?4x?5
的值域
2
解:原函数可变形为:y=(x?3)
?
(0?2)
+
2
(x?2)
2
?
(0?1)
2
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
由图可知
当点P为线段与x轴的交点时, y
min
=∣AB∣
=
(3?2)
?
(2?1)
22
=
43
,
故所求函数的值域为[
43
,+∞)。
注:求两距离之和时,要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2
ab
,a+b+c≥3
3abc
(a,b,c∈
R
),求函数的最值,其题型
特征解析式是和式时要
求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、
添项和两边平方等技巧。
2
例:
x
2
?(x?0)
x
?
=x
2
?
1111
??3
3x
2
???3
xxxx
(应用公式a+b+c?3
3
abc时,注意使3者的乘积变成常数)
x
2
(3-2x)(0
7
x?x+3-2x
3
)?1
3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时,应注意使3者之和变成常数)
3
10.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例
求函数y=
x?2
的值域
x?3
x?2
x?3
x?2?0
时,
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
y?
x?2?0时
,y=0
?0?y?
1
2
1
x?2
?2?0?y?
1
2
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、
认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方
法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然
后才考虑用其他各种特殊方法。
5.
求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记:做题,特别是做大题时,
一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,
不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
如:f
?
x?1?e
x
?x,求f(x).
?
令t?x?1,则t?0
∴x?t
2
?1
∴f(t)?e
t
2
?1
?t
2
?1
?x
2
?1
?
x?0
?
∴f(x)?e
x
2
?1
6. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
?
?
1?x
如:求函数f(x)?
?
2
?
?
?x
?
x?0
?
的反函数
?
x?0
?
?
?
x?1
?
x?1
?
(答:f(x)?
?
)
?
?
??x
?
x?0
?
?1
8
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题:
(2004.全国理)函数
y?x?1?1(x?1)
的反函数是(
B )
A.y=
x
2
-2
x
+2(
x
<1)
C.y=
x
2
-2
x
(
x
<1)
B.y=
x
2
-2
x
+2(
x
≥1)
D.y=
x
2
-2
x
(
x
≥1)
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如果不出现计算问题的话,
答案还是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看
一下我
的思路:
原函数定义域为 x〉=1,那反函数值域也为y>=1.
排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,
则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢?
7.
反函数的性质有哪些?
反函数性质:
1、 反函数的定义域是原函数的值域
(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)
2、
反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)
3、
反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y?f(x)的定义域为A,值域为C,a?A,b?C,则f(a)=b?f<
br>?1
(b)?a
?f
?1
?
f(
a)
?
?f
?1
(b)?a,ff
?1
(b)?f(a)?
b
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
(04. 上海春季
高考)已知函数
f(x)?log
3
(?2)
,则方程
f
?
1
(x)?4
的解
x?
__________.
8 .
如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x
1
,x
2
,找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小
关系
可以变形为求
4
x
??
f(x
1
)
f(x
1
)?f(x
2
)
的正负号或者与1的关系
f(x
2
)
x
1
?x
2
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同
的单调
性; (特例:奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x
)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的
单调性。(特例:偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
9
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>
0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化
的。
③如果函数f1(x),f2(
x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加)
④如果正值函数f1(
x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)
与
f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘)
⑤函数f(x)与
1
f(x)
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ
(α)]
同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x
[α,β]与函数
y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化
,则在[α,β]上复合函数y
=F[φ(x)]是递减的。(同增异减)
⑦若函数y=f(
x)是严格单调的,则其反函数x=f
-1
(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性
相同。
fgff(f
(([x)(
gxg+gx
) ) ((x)
x) *
)g
] (
x
)
如:求y?log<
br>1
?x
2
?2x的单调区间
2
都
是
正
数
(设u??x
2
?2x,由u?0则0?x?
增 增 增 增 增
增 减 减
减 增 减
??
减
减 增 减 减
且log
1
u?,u??
?
x?1
?
?1,如图
2
2
u
O 1 2 x
当x?(0,1]时,u?,又log
1
u?,∴y?
2
当x?[1,2)时,u?,又log
1
u?,∴y?
2
∴……)
9.
如何利用导数判断函数的单调性?
10
在区间
?
a,b
?
内,若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)?0呢?
如
:已知a?0,函数f(x)?x
3
?ax在
?
1,??
?
上是单调增函数,则a的最大
值是( )
A. 0
?
a
??
a
?
(令f'(x)?3x2
?a?3
?
x?
??
x?
?
?0
3
??
3
??
则x??
aa
或x?
33
a
?1,即a?3
3
由已知f(x)在[1,??)上为增函数,则
∴a的最大值为3)
10.
函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称
若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶
函数;一个偶
函数与奇函数的乘积是奇函数。
(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)?0。
a·2
x
?a?2
为奇函数,则实数a?
如:若f(x)?
x
2?1
(∵f(x)为奇函数,x?R,又0?R,∴f(0)?0
a·2
0
?a?2
?0,∴a?1)
即
2
0
?1
2
x
,
又
如:f(x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x?(0,1)时,f(x)?
x
4?1<
br>求f(x)在
?
?1,1
?
上的解析式。
2
?x
(令x?
?
?1,0
?
,
则?x?
?
0,1
?
,f(?x)?
?x
4?1
11
2
?x
2
x
??
又f(x)为奇函数,∴f(x)??
?x
4?11?4
x
?
2
x
?
?
x
?
4?1
又f(0)?0,∴f(x)?
?
x
?
2
?
?
4
x
?1
x?(?1,0)
x?0
x?
?
0,1?
)
11.判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函
数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若
函数的定义域不
关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原
点对称的前提下,计算
f(?x)
,然后根据函数的奇偶性的定义判断其
奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0
奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数
f(x)
?1
偶函数
f(-x)
f(x)
??1
奇函数
f(-x)
三、 复合函数奇偶性
fgf
(([
gxg
) ) (
x
)
]
f(
x)
+g
(x
)
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶 奇 偶
奇
非
奇
非
偶
非
奇
非
偶
f
(
x
)
*
g
(
x
)
偶
奇
奇
偶 偶 偶 偶
12. 你熟悉周期函数的定义吗?
12
偶
(若存在实数T(T?0),在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x),则f(x)为周期
函数,T是一个周期。)
如:若f
?
x?a
?
??f(x),则
(答:f(x)是周期函数,T?2a为f(x)的一个周期)
我们在做题的时候,
经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这
f(x)?f(
x?t)?0
?
时说这个函数周期2t. 推导:
f(x?t)?f(x?2t)?0
?
??f(x)?f(x?2t)
,
?
同时可能也会遇到这种样子
:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意
思:函数
f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,
f(x)=f(2
a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如:
又
如:若f(x)图象有两条对称轴x?a,x?b
即f(a?x)?f(a?x),f(b?x)?f(
b?x)
?
f(x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(
2a?x)?f(2b?x)
f(x)?f(2b?x)
??
令t?2a?x,则2b
?x?t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)
即f(x)?f(x?2b?2a)
所以,函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对
值
13. 你掌握常用的图象变换了吗?
f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点(x,y),(-x,y)
f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点(x,y),(x,-y)
f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点(x,y),(-x,-y)
f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点(x,y),(y,x)
f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点(x,y),(2a-x,y)
f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a,0)对称
联想点(x,y),(2a-x,0)
13
a(a?0)个单位
y?f(x?a)
上移b(b?0)个单位
y?f(x?
a)?b
将y?f(x)图象?
左移
?????????????
??????
y?f(x?a)
右移a(a?0)个单位下移b(b?0)个单位
y?
f(x?a)?b
(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出
来吧。对于这种题目,
其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)
得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,
画出点的坐标。
看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)
注意如下“翻折”变换:
f(x)???|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面
f(x)???f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面
如:f(x)?log
2
?
x?1
?
<
br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象
y
y=log
2
x
O 1
x
14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k<0) y
(k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
(1)一次函数:y?kx?b
?
k?0
?
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
(2)反比例函数:y?
的双曲线。
kk
?
k?0
?
推广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a,b)
xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?
(3)二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?
?
?图象为抛物线
??
2a4a
2
14
?
b4ac?b
2
?
b
,对称轴x??
顶点坐标为
?
?,
?
4a
?
2a
?
2a
开口方向:a?0,向上,函数y
min
4ac?b
2
?
4a
a?0,向下,y
max
根
的关系:x?
?b?
V
2a
4ac?b
2
?
4a
bc
V
x
1
?x
2
??
,x
1
?x
2
?,|x
1
?x
2
|?aa|a|
二次函数的几种表达形式:
f(x)?ax
2
?bx?c(一
般式)
f(x)?a(x?m)
2
?n(顶点式,(m,n)为顶点
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(x
1
,x2
是方程的2个根)
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2)?h(函数经过点(x
1
,h)(x
2
,h)
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax
2?bx?c?0,??0时,两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴
的两个交点,也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。
b
)
fmax?f(m),fmin?f(n)
2a
b
区间在对称轴右边(m??)
fmax?f(n),fmin?f(m)
2a
b
?m)
区间在对称轴2边 (n??
2a
4
a
c?b
2
fmin?,fmax?max(f(
m),f(n))
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系,
距离越远,值越大
区间在对称轴左边(n??
(只讨论a?0的情况)
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2
如:二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k
2a
?
?
?
f(k)?0
15
y
(a>0)
O k x
1
x
2
x
一根大于k,一根小于k?f(k)?0
?
??0
?
b
?
?n
?
m??
在区间(m,n)内有2根?
?
2
a
?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
在区间(m,n)内有1根?f(m)f(n)?0
(4)指数函数:y?a
x
?
a?0,a?1
?
(5)对数函数y?log
a
x
?
a?0,a?1
?
由图象记性质!
(注意底数的限定!)
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1
O 1 x
(0
k
?
k?0
?
x
利用它的单调性求最值
与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等式一定要注意等
号成立的条件)
y
?k
O
k
x
(6)“对勾函数”y?x?
15. 你在基本运算上常出现错误吗?
指数运算:a
0
?1(a?0),a
?p
?
a
m
n
16
1
(a?0)
a
p
?
n
a
m
(a?0),a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)
对数
运算:log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N?
M?0,N?0
?
log
a
M1
?log
a
M?log
a
N,log
a
n
M?log
a
M
Nn
对数恒等式:a
log
a
x
?x
对数换底公式:
log
a
b?
log
c
b
n
?log
a<
br>m
b
n
?log
a
b
log
c
am
1
log
a
x?
log
x
a
16. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
如:(1)x?R,f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y),证明f(x)为奇函数。
(先令x?y?0?f(0)?0再令y??x,……)
(2)x?R,f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y),证明f(x)是偶函数。
(先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?
f(t·t)
∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)
∴f(?t)?f(t)……)
(3)证明单调性:f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……
??
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x,
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、
求奇偶性,令y=—x;求单调性:令x+y=x
1
几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数
f<
br>(
x
)=
kx
(
k
≠0)------------
---
f
(
x
±
y
)=
f
(
x<
br>)±
f
(
y
)
2. 幂函数型的抽象函数
a
17
f
(
x
)
=
x
----------------
f
(
xy
)= <
br>f
(
x
)
f
(
y
);
f
(
3. 指数函数型的抽象函数
f(x)
x
)=
f(y)
y
f
(
x
)=
a
x
-------------------
f
(
x
+
y<
br>)=
f
(
x
)
f
(
y
);
f
(
x
-
y
)=
4. 对数函数型的抽象函数
f(x)
f(y)
f
(
x
)=lo
g<
br>a
x
(
a
>0且
a
≠1)-----
f(
x
·
y
)=
f
(
x
)+
f
(
y
);
f
(
x
)=
f
(
x
)-
f
(
y
)
y
5. 三角函数型的抽象函数
f(x)?f(y)
f
(
x
)=t
gx--------------------------
f
(
x
+
y
)=
1?f(x)f(y)
f
(
x
)=cot
x---------------------
---
f
(
x
+
y
)=
f(x)f(y)?1
f(x)?f(y)
例1已知函数
f
(
x
)对任
意实数
x
、
y
均有
f
(
x
+
y<
br>)=
f
(
x
)+
f
(
y
),且当<
br>x
>0时,
f
(
x
)>0,
f
(-1)=
-2求
f
(
x
)在区间[-2,1]上的值域.
分析:先证明函数
f
(
x
)在R上是增函数(注意到
f
(
x
2
)=
f
[(
x
2
-
x
1
)+<
br>x
1
]=
f
(
x
2
-
x
1
)
+
f
(
x
1
));再根据区间求其值域.
例2已知函数
f
(
x
)对任意实数
x
、
y
均有
f
(
x
+
y
)+2=
f<
br>(
x
)+
f
(
y
),且当
x
>0时
,
f
(
x
)>2,
f
(3)= 5,求不等式
f
(
a
2
-2
a
-2)<3的解.
分析
:先证明函数
f
(
x
)在R上是增函数(仿例1);再求出
f
(1)=3;最后脱去函数符号.
例3已知函数
f
(
x
)对任意实数
x
、
y
都有
f
(
xy
)=
f
(
x
)
f
(
y
),且
f
(-1)=1,
f
(27)
=9,当0≤
x
<1时,
f<
br>(
x
)∈[0,1].
(1)判断
f
(
x
)的奇偶性;
(2)判断
f
(
x
)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; <
br>(3)若
a
≥0且
f
(
a
+1)≤
3
9
,求
a
的取值范围.
分析:(1)令
y
=-1;
(2)利用
f
(
x
1
)=
f
(
x
1
x
·
x
2
)=
f
(
1
)
f
(
x
2
);
x
2
x
2
(3)0≤
a
≤2.
例4设函数
f
(
x
)的定义域是(-∞,+∞),满足条
件:存在
x
1
≠
x
2
,使得
f
(
x
1
)≠
f
(
x
2
);对任何
x
和
y
,
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)
f
(
y
)成立.求:
(1)
f
(0);
(2)对任意值
x
,判断
f
(
x
)值的符号.
分析:(1)令x=
y
=0;(2)令
y
=
x
≠0.
18
例5是否存在函数
f
(
x
),使下列三个条件:①
f
(
x
)>0,
x
∈<
br>N
;②
f
(
a
+b)=
f
(
a<
br>)
f
(b),
a
、b∈
N
;③
f
(
2)=4.同时成立?若存在,求出
f
(
x
)的解析式,若不存在,说明理由
.
分析:先猜出
f
(
x
)=2
x
;再用数学归纳
法证明.
例6设
f
(
x
)是定义在(0,+∞)上的单
调增函数,满足
f
(
x
·
y
)=
f
(x
)+
f
(
y
),
f
(3)=1,求:
(1)
f
(1);
(2) 若
f
(
x
)+
f
(
x
-8)≤2,求
x
的取值范围.
分析:(1)利用3=1×3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数
y
=
f
(
x
)的反函数是
y
=
g
(
x
).如果
f
(
a
b)=
f
(
a
)+
f
(b),那么
g
(
a
+b)=
g
(
a
)·
g
(b)是否正确,试说明
理由.
分析:设
f
(
a
)=
m
,
f(b)=
n
,则
g
(
m
)=
a
,g
(
n
)=b,
进而
m
+
n
=f
(
a
)+
f
(b)=
f
(
a
b)=
f
[
g
(
m
)
g
(
n
)]….
例8已知函数
f
(
x
)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件
:
①
x
1
、
x
2
是定义域中的数时,有
f
(
x
1
-
x
2
)=
f(x
1
)f(x
2
)?1
;
f(x
2
)?f(x
1
)
②
f
(
a
)=
-1(
a
>0,
a
是定义域中的一个数);
③
当0<
x
<2
a
时,
f
(
x
)<0.
试问:
(1)
f
(
x
)的奇偶性如何?说明理由;
(2)
在(0,4
a
)上,
f
(
x
)的单调性如何?说明理由.
分析:(1)利用
f
[-(
x
1
-
x
2
)]= -
f
[(<
br>x
1
-
x
2
)],判定
f
(
x)是奇函数;
(3) 先证明
f
(
x
)在(0,2
a
)上是增函数,再证明其在(2
a
,4
a
)上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当
变通
,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数
f
(x
)(
x
≠0)满足
f
(
xy
)=
f
(
x
)+
f
(
y
),
(1)
求证:
f
(1)=
f
(-1)=0;
(2)
求证:
f
(
x
)为偶函数;
1
(3) 若
f(
x
)在(0,+∞)上是增函数,解不等式
f
(
x
)
+
f
(
x
-)≤0.
2
分析:函数模型为:
f<
br>(
x
)=lo
g
a
|
x
|(
a>0)
(1)
先令
x
=
y
=1,再令
x
=
y
= -1;
(2) 令
y
= -1;
(3) 由
f
(
x)为偶函数,则
f
(
x
)=
f
(|
x
|).
例10已知函数
f
(
x
)对一切实数
x
、
y
满足
f
(0)≠0,
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)·
f
(
y),且当
x
<0时,
f
(
x
)>1,求证:
(1) 当
x
>0时,0<
f
(
x
)<1;
(2)
f
(
x
)在
x
∈R上是减函数.
由
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)
f
(
y
)可得
f
(
x
-
y
)=
19
分析:(1)先令
x
=
y
=0得
f
(0)=1,再令
y
=-
x
;
(3) 受指数函数单调性的启发:
f(x)
,
f(y)<
br>进而由
x
1
<
x
2
,有
f(x
1<
br>)
=
f
(
x
1
-
x
2
)>
1.
f(x
2
)
练习题:
1.已知:
f
(x
+
y
)=
f
(
x
)+
f
(
y
)对任意实数
x
、
y
都成立,则( )
(
A
)
f
(0)=0
(B)
f
(0)=1
(C)
f
(0)=0或1
(D)以上都不对
2. 若对任意实数
x
、
y
总有
f(
xy
)=
f
(
x
)+
f
(
y
),则下列各式中错误的是( )
1
(
A
)
f
(1)=0
(B)
f
()=
f
(
x
)
x
(C)
f
(
x
)=
f
(
x
)-
f
(
y
) (D
)
f
(
x
n
)=
nf
(
x
)(<
br>n
∈
N
)
y
3.已知函数
f
(
x
)对一切实数
x
、
y
满足:
f
(0)≠0,
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)f
(
y
),且当
x
<0时,
f
(
x<
br>)>1,则当
x
>0时,
f
(
x
)的取值范围是(
)
(
A
)(1,+∞)
(B)(-∞,1)
(C)(0,1)
(D)(-1,+∞)
4.函数
f
(
x
)定义域关于原点对称,且
对定义域内不同的
x
1
、
x
2
都有
f
(
x
1
-
x
2
)=
f(x
1
)?f
(x
2
)
,则
f
(
x
)为( )
1
?f(x
1
)f(x
2
)
(
A
)奇函数非偶函数
(B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数
f
(
x
)对任意实数
x
、
y
满足
f
(
x
+
y
)+
f
(x
-
y
)=2[
f
(
x
)+
f
(
y
)],
则函数
f
(
x
)是( )
(
A
)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
参考答案:
1.A 2.B 3 .C 4.A
5.B
函数典型考题
1.若函数
f(x)?(m?1)x?
(m?2)x?(m?7m?12)
为偶函数,则
m
的值是 (B )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2.已知函
数
f(x)
是定义域在
R
上的偶函数,且在区间
(??,0)
上单调递减,求满足
22
f(x
2
?2x?3)?f(?x
2<
br>?4x?5)
的
x
的集合.
.解:
Qf(x)
在
R
上为偶函数,在
(??,0)
上单调递减
20
?f(x)
在
(0,??)
上为增函数
又
f(?x
2
?4x?5)?f(x
2
?4x?5)
Q
x
2
?2x?3?(x?1)
2
?2?0
,x
2
?4x?5?(x?2)
2
?1?0
由
f(x?2x?3)?f(x?4x?5)
得
x
2
?2x?3?x
2
?4x?5
22
?x??1
?
解集为
{x|x??1}
.
3.若f(x)是偶函数
,它在
?
0,??
?
上是减函数,且f(lgx)>f(1),则x的取值范
围是( C )
A. (
111
,1) B.
(0,)
U
(1,
??
) C. (,10) D.
(0,1)
U
(10,
??
)
101010
4.若a、b是任意实数,且a>b,则
( D )
a
?
1
??
1
?
A.
a
2
>b
2
B. <1 C.
lg
?
a?b
?
>0
D.
??
<
??
b
?
2
?
?
2
?
5.设a,b,c都是正数,且
3
a
?4
b<
br>?6
c
,则下列正确的是 (B )
(A)
1
c
?
1
a
122112212
?
b
?
a
?
b
?
a
?
b
(B)
C
(C)
C
(D)
2
c
?
a
?
b
ab
6.对于函
数
f
?
x
?
?ax?bx?
?
b?1
?<
br>(
a?0
).
2
(Ⅰ)当
a?1,b??2
时,求函数
f(x)
的零点;
(Ⅱ)若对任意实数
b
,函数
f(x)
恒有两个相异的零点,求实数
a
的取值范围.
7.
二次函数
y?ax?bx?c
中,
a?c?0
,则函数的零点个数是( C
)
2
A 0个 B 1个 C 2个
D 无法确定
22
8.若函数
f
?
x
?
?x?
ax?b
的两个零点是2和3,则函数
g
?
x
?
?bx?a
x?1
的零点是(D)
A.
?1
和
?2
B.
1
和
2
C.
1111
和
D.
?
和
?
233
2
9.下面四个结论:①偶
函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是
奇函
数又是偶函数的函数一定是
f(x)
=0(x∈R),其中正确命题的个数是( D )
A 4 B 3 C 2
D 1
10.已知函数f(x
2
-3)=lg
x
2
,
x
2
?6
(1)f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)求f(x)的反函数;
(4)若f[
?
(x)
]=lgx,求
?
(3)
的值。
21
解:(1)∵f(x
2
-3)=lg
x
2
(
x
2
?3)?3
x?3
?0
得x
2
-3>3,∴
f(x)的定义域为(3,+
?
),∴f(x)=lg,又由
2
。
2
x?3
x?6
(x?3)?3
(2)∵f(x)的定义域不关于原点对称,
∴ f(x)为非奇非偶函数。
3(10
y
?1)3(10
x
?1
)
x?3
-1
(x?0)
(3)由y=lg,
?
x>3,解得y>0, ∴f(x)=
,
得x=
10
y
?1
x?3
10
x
?1
(4) ∵f[<
br>?
(3)
]=lg
?
(3)?3
?
(3)?3
?lg3
,∴
?3
,解得
?
(3)=6。
?
(
3)?3
?
(3)?3
11.下列函数中,同时满足:有反函数,是奇函数,定义域和
值域相同的函数是( C )
e
x
?e
?x
1?x
(A
)y=(B)y=lg(C)y=-x
3
(D)y=
x
2
1?x
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