高中数学函数的定义域、值域

海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）
海豚教育个性化教案
编号：

函数的定义域和值域
一、知识回顾
1、函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， 叫做函数的定义域；
与x的值对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域.
2、确定函数定义域的常见方法：
（1）分式的 ； （2）偶次方根的 ；
（3）零指数幂和负数指数幂的 ；
（4）对数式的真数 ，底数 ；
（5）正切函数 ；（6）实际问题 。
3、求函数值域的常见方法：
（1）直接法——利用常见基本初等函数的值域：
①
y?kx?b(k?0)
的值域 ②
y?
k
(k?0)
的值域
x
2
a?0
时为 ；③
y?ax?bx?c
的值域：
a?0
时为 。
x
④
y?a
的值域 ⑤
y?log
a
x
的值域
⑥
y?sinx
，
y?cosx
的值域是 ⑦
y?tanx
的值域是
（2）配方法——转化为二次函数，配成完全平方式.
（3）换元法——通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想
ax?b
的函数
cx?d
ax
2
?bx?c
（5）判别式法——适用于型如：
y?
的函数
mx
2
?nx
2
?p
（4）分离常 数法——适用于型如：
y?
（6）不等式法：借助于基本不等式
a?b?2ab
（a>0，b>0)求函数的值域.用不等式法求
值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定 、三相等”.
（7）单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域。
1

常用到函数
y?x?
增区间为(－∞，－
k
(k?0)
的单调性：
x
k
]和 [
k
,＋∞)，减区间为(－
k
,0)和(0，
k
).
二、例题变式
例1、求下列函数的定义域：
1?x
x?3x?2
3x
2
（1） (2)
y?lg
(3)
y?
2
(4)
y?
y?
?lg(3x?1)

x?4
x?4
x?5x?6
1?x





变式1、求下列函数的定义域：
（1）
y?
3x
1?5 x
（2）
y?log
2
(3x?2)
（3）
y?x(x?1)?x
（4）
y?
ln(x?1)
?x?3x?4
2






例2、已知等腰三角形的周长为17，写出它的底边长y与腰长x之间 的函数关系式？并指出
函数的定义域。





变式2、长为20m的篱笆，一面靠墙围成矩形，设矩形和墙平行的边长为
x
，矩形面积为< br>y
，
试求
y
关于
x
的表达式，并指出
x的取值范围；
x
取何值时，
y
有最大值？





例3、求下列函数的值域：
（1）y＝－x
2
＋2x (x∈[0,3]) （2）
y??x
2
?6x?5
； （3）
y?x?41?x

2

< br>3x?1
e
x
?1
x
2
?x
（4）
y?
； （5）
y?
x
（6）
y?
2

x?2
x?x?1
e?1




2x
x
2
?5
（7）
y?
2
（8）
y?
(9)
y?|x?2|?|x?2|

2
x?1
x?4





三、课后练习
1．函数y=
x
2
?2x?1
的定义域是 （ ）
A.[0，+
?
) B.（0，+
?
） C.（-
?
，+
?
） D. [1，+
?
)
2．函数
y?x
2
?2x
的定义域为
{x|0?x?3,x?Z}< br>，那么其值域为 （ ）
A．
?
?1,0,3
?
B．
?
0,1,2,3
?
C．
y?1?y?3
D．
y0?y?3

3．函数
y?
????
2x?1
的定义域是 ( )?
x
2
?2x?3
A.
R
B.
{x|x??1,或x?3}
C.
{x|x??1,且x?3}
D.
{x|x??1或x?3}
?
4．函数
y??2x?1(0?x?1)
的最值是 （ ）
A．最小值为-1，最大值为1 B．最小值不存在，最大值为1
C．最小值为-1，最大值不存在 D．最小值与最大值都不存在
5．.函数y=x
2
－4x+3,x∈［0,3］的值域为 （ ）
A.［0,3］ B.［－1,0］ C.［－1,3］ D.［0,2］
6．函数
y?

2x?1
的值域是 ( )
x?3
3

A. R B.
(??,2)?(2,??)
C.
(??,0)?(0,??)
D.
(?3,]

7．函数y=
1
2
1
?x?1
的定义域是 (用区间表示).
2?x
(x?0)
?
3x?5
?
(0?x?1)
的最大值为______ ____. 8．函数y=
?
x?5
?
?2x?8 (x? 1)
?
9．以墙为一边，用篱笆围成一个长方形场地，并在场地中间用与长方形宽等长的篱笆隔
开，若篱笆的总长度为30m，则场地面积的最大值为_______________
10．已知函数
y?mx
2
?2mx?m?2
的定义域为R, 则m的范围是___________
1
x?2
?
|x|
（2）
f(x)?x
2
?4?4?x
2
.
2x?7
11.求函数的定义域(1)
y?





12、已知函数
f(x)?
x
的定义域是R，求实数< br>a
的取值范围.
2
ax?2x?1
3




13. 求下列函数的值域
（1）
y?3?2x?x
2
（2）
y?x?2x?1
（3）
y?

2x?1

x?3



14．求函数f(x)=|x+1|+|x－3|的最值．




4

15．函数f(x)=ax
2
－2ax+2+b(a≠ 0)在［2，3］上有最大值5和最小值2，求a,b的值.




5