高中数学函数定义及表示方法专项讲解及练习

专题 函数定义及表示方法
考点精要
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的
概念．
2 ．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解
析法）表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
4．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何 意义；结合具体函数，了解函
数奇偶性的含义．
热点分析
主要考查简单函数的定义值、值域、表示方法及影射的概念
知识梳理
1．函数：设 集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法
则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这 种对应关系叫做集合A上的一个函数，
记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，自变量取值的范 围（数集A）叫做这
个函数的定义域．
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在 a处的函数值，记作
y=f（a）或y|
x=a

所有函数值构成的集合?
y|y?f(x),x?A
?
叫做这个函数的值域．
2．函数两要素 ：因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确
定一个函数就只需要两个要素：定义域和 对应法则．
3．映射：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意
一 个元素x，在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B
的映射．这时，称y是x在映 射f的作用下的象，记作
f（x），于是y=f（x），x称作y的原象．映射f也可以记为f：A→ B，x→f（x），
其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f（x）构成的集合< br>叫做映射f的值域，通常记作f（A）．

4．一一映射：如果映射f是集合A到 集合B的映射，并且对于集合B中的任意
一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个 集合的元素之
间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．
5．函 数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数
值，函数值也在一个数集内变化 ．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是
函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．
这里 要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一
一映射中元素的对应形式必须是 “一一对应关系”．
6．函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种．
列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列
表法．
图象 法：对于函数y=f（x）（x∈A）定义域内的每一个x值，都有唯一的y
值与它对应．把这两个对应 的数构成有序实数对（x, y）作为点P的坐标，即P
（x, y），则所有这些点的集合F叫做函数y=f（x）的图象，即
F?
?
P(x,y)|y?f(x),x?A
?
．
这就是说，如果F是函数y=f（x）的图像，则图像上的任一点的坐标（x, y）
都满足函数关系y=f（x）；反之，满足函数关系y=f（x）的点（x, y）都在图象F
上．
这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
解析法：如果在函数y=f（x）（ x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）
来表达的 ，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）．
7．分段函数：在函数的定义域内，对于自变 量x的不同取值区间，有着不同的
对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如
y?
?
等．
8．求函数定义域：确定一个函数只需要两个要素，就是定义域和函数的对应法
则f，定义域是自变量x的取值范围，它是函数不可缺少的组成部分，研究一个
函数，首先要确定它的定 义域，即“主角”自变量的“活动舞台”．在中学阶段，
所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未 加特殊说明，函数的定义域就
是指能使函数解析式有意义的所有实数x的集合，在实际问题中，还必须考 虑
自变量x所代表的具体量的允许范围．求函数的定义域，一般要遵循以下几条
?
?< br>x,x?
?
0,1
?
；y=|x|；y=|x?1|
2?x, x?1,2
??
?
?

原则：
（1）若f（x）为整式，则函数的定义域为R．
（2）若f（x）为分式，则要求分母不为0．
（3）若f（x）为对数形式，则要求真数大于0．
（4）若f（x）为根指数是偶数的根式即偶次根式，则要求被开方式非负．
此外，函数解析 式涉及零指数幂或负指数幂时，注意底数（式）不能为0；
涉及到分数指数幂时，注意底数大于0；如果 函数f（x）是由几个数学式子经由
求和、差、积、商构成的，则其定义域是使每个式子都有意义的实数 集合，实
际上是一个不等式组的解集合．

例题精讲
例1.（1） 函数
f(x)?
3x
2
1?x
?lg(3x?1)
的定义域是_ ___________
（2）已知函数f(2
x
）的定义域是［-1，1］，求f (log
2
x)的定义域.


2x?x
2
（3） 函数
f(x)??(3?2x)
0
的定义域是（ ）
lg(2x?1)

变式题：已知函数f（x）=
是（ ）
A．a＞


例2.求函数的解析式
（1） 已知f（x）是二次函数，且满足f（x+1）+ f（x
?
1）=2x
2
?4x，求f（x）．
1
3
3x?1
的定义域是R，则实数a的取值范围
ax
2
?ax?3
3
B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤
1
3

练习 ：已知
f(x)
是一次函数，且
f(x?1)?f(x?1)?2x?3
，则
f(x)?

1
（2）已知
f(x)
满足
2f(x)?f()?3x
，求
f(x)< br>。
x
练习：已知
f(x)?2f(?x)?3x?2
，则
f (x)?

11
（3）已知
f(x?)?x
3
?3
，求
f(x)
；
xx
练习 ：已知
f(x?1)?x
2
?2x?3
，则
f(x)?

2
（4）已知
f(?1)?lgx
，求
f(x)
；
x
练习：已知
f(3x?1)?9x
2
?6x?5
，则
f (x)?

例3 求下列函数的值域
（1）f（x） = x
2
?2x?3，x∈[2, 4]
（2）f（x） = x
2
?2x?3，x∈[?3, 4]
（3）f（x） = sin
2
x?2sinx ?3，x∈R
?
1
?
（4）< br>y?
??
?
2
?
x
2
?2x
（复合 函数）
（5）
y?x?41?x
；（注：总结
y?ax?b?cx?d型值域，）
y?x?1?x
2


（6）
y?

（7）
y?|x?1|?|x?4|
；
3x?1
；
x?2

2x
2
?x?2
（8）
y?
2
；
x?x?1
2x
2
?x?11
(x?)
； （9）
y?
2x?12
（10）
y?
x?2
1?sinx
。
f(x)?
的值域为
2?cosx
3?2x







针对训练

1．设A，B 都是正整数集N
*
，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元
素2
n< br>+n，则在映射f下，象20的原象是
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列各组函数中表示相同函数的一组是
A．
f(x)?x
2
,g(x)?log
2
2
x

x
2
?4
C．
f(x)?,g(x)?x?2

x?2
B．
f(x)?lgx
2
,g(x)?2lgx

D．
f(x)?x
3
,g(t)?t
3

3．函数y=f（x）的图像与直线x=a（
a?R
）的交点个数为

A．0 B．1 C．0或1 D．可多于1
4．函数
f(x)?1?x?x
的定义域为
A．
?
x|x?1
?
B．
?
x|x?0
?
C．
?
x|x?1或x?0
?
D．
?
x|0?x?1
?

?x
2
?3x?4
5．函数
y?
的定义域为
x
A．[?4，1]
（0，1]
B．[?4，0） C．（0，1] D．[?4，0）∪
1
?
6．函数
y?lg
?
?
1 ?
?
的定义域是
?
x
?
A．{x|x<0}
x>1}
B．{x|x>1} C．{x|02< br>?
1?x
?
1?x
7．已知
f
?
，则f（x ）的解析式可取为
?
?
2
?
1?x
?
1?x
A．
x

1?x
2
B．
?
2x

1?x
2
C．
2x

1?x
2
D．
?
2x

1?x
2
8．y=0.3
x
的值域为
A．
(0,??)

x
2
?1
9．
y?
2
的值域为
x?1
B．
?
1,??
?
C．
?
??,1
?
D．
?
0,1
?

A．[?1，1]
10．若
f(x)?
A．
x?1
?
?
2e
11．设
f(x)?
?
2
?
?< br>log
3
(x?1)
B．（?1，1] C．[?1，1） D．（?1，1）
x?1
，则方程f（4x） = x的根是
x
1
2
B．
?

x?2
x?2
1
2
C．2 D．2
，则f（f（2））的值为
C．2
?
log
2
(4?x )
?
f(x?1)?f(x?2)
x?0
x?0
A．0 B．1 D．3
，则f（3）的值12．定义在R上的函数f（x）满足
f(x)?
?
为

A．?1 B．?2 C．1 D．2
13．用min{a, b, c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2
x
, x+2, 10 ?x}
（
x?0
x≥ 0），则f（x）的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
?
x
2
?4x?6(x?0)
14．设函数
f(x)?
?
，则不等式f（x）> f（1）的解集是
x?6(x?0)
?
A．
(?3,1)U(3,??)
B．
(?3,1)U(2,??)
C
D．
(??,?3)U(1,3)

．
(?1,1)U(3,??)
15．已知函数
f(x)?x
2
?|x?2|
，则f（1）=_______ _______
?
3
x
x?1
16．已知函数
f(x)?
?
，若f（x）=2，则x = ___________
?xx?1
?< br>17．函数
f(x)?
?
_________.



?
4x?4,x?1
2
?
x?4x?3,x?1
的图像和函数g（x）= log
2
x的图像的交点个数是
x
2
?2 x?a
18．已知函数
f(x)?
，若当
x?
?
1,??< br>?
时f（x） >0恒成立，求a的取值
x
范围．





1
?
2
答案 例1
?
?
?,1
?
例2 f (x) = x?2x?1 例3 （1）
y?
?
?3,5
?
（2）
y?
?
? 4,12
?
（3）
?
3
?
y?
?
?4,0
?
（4）
y?
?
0,2
?

针对训练
1．C 2．D 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．D 9．C 10．A 11．C 12．B
13．C 14．A 15．2
16．log
3
2 17．3 18．a > ?3

高考链接 模拟实战
1（11北京理）如果
log
1
x?log
1
y?0
，那么
22
（A）
y?x?1
(B)
x?y?1
(C)
1?x?y
(D)
1?y?x

?
2
x?2
?
,
2（11北京文）已知函数
f(x)?
?
x< br>若关于x 的方程f（x）=k有两个
?
(x?1)
3
,x?2
?
不同的实根，则实数k的取值范围是_______
1
3（06全国文）已知
f(x?1)?2x?3
，且
f(m)?6
，则
m
等于
2
（ ）
A、
?

4（05北京文）函数
f(x)?x?1?
1
的定义域为 .
2?x
1133
B、 C、 D、
?

4422
?
3
x
,x?1,
5（ 09北京文）已知函数
f(x)?
?
若
f(x)?2
，则
x ?
。
?
?x,x?1,
6（08全国）图中的图象所表示的函数的解析式为
A.
y?
B.
y?
3
|x?1|
(0≤x≤2)
2
33
?|x?1|
(0≤x≤2)
22
( )

C.
y?
3
?|x?1|
(0≤x≤2)
2
D.
y?1?|x?1|
(0≤x≤2)
?
3
x
,x?1,
7（2009北京文）已知函数
f(x)?
?
若f(x)?2
，则
x?
.
?
?x ,x?1,
?
1
,x?0
?
1
?
x
（20 09北京理）若函数
f(x)?
?
则不等式
|f(x)|?
的解 集为
3
?
(
1
)
x
,x?0
?
?
3
____________.
?
log(1?x),x?0
8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
?
2
，
?
f(x?1)?f(x?2),x?0
则f（2009）的值为
( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
9 . 函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满 足条件
f
?
x?2
?
?
1
，若
f
?
1
?
??5,
则
f
?
x
?

f
?
f
?
5
?
?
?
__ ________.
?
x?2
(x??1)
1
?
3
(?1?x?2)
，则
f(?)?________
，若
f(a)?
，则实数10．函数
f(x)?
?
x
2
2
2
?< br>2x(x?2)
?
a
的取值范围是
11. 例10 . 已知函数
y?f(x)
和
y?g(x)
在< br>[?2,2]
的图象如下所示：

给出下列四个命题：
①方程
f[g(x)]?0
有且仅有6个根 ②方程
g[f(x)]?0
有且仅有3个根
③方程
f[f(x)]?0
有且仅有5个根 ④方程
g[g(x)]?0
有且仅有4个根


答案：1D 2（0，1） 3 A 4[－1, 2)∪(2, +∞) 5 略 6B 7 ---11
略
其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.