高一数学函数基础知识

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函数一章基础知识
一、映射与函数：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：
如 ：若
A?{1,2,3,4}
，
B?{a,b,c}
；问：
A
到
B
的映射有 个，
B
到
A
的映射有 个；
A
到
B
的函数有 个，若
A?{1,2,3}
，则
函数
A
到
B
的一一映射有 个。
y?
?
(x)
的图象与直线
x?a
交点的个数为 个。
二、函数的三要素： ， ， 。
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
①
y?
f(x)
*
，则 ； ②
y?
2n
f(x)(n?N)
则 ；
g(x)
③
y?[f(x)]
0
，则 ； ④如：
y?log
f(x)
g(x)
，则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数
y?f(x)
的定义域是< br>[0,1]
，求
?
(x)?f(x?a)?f(x?a)
的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如： 已知扇
形的周长为20，半径为
r
，扇形面积为
S
，则
S< br>（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
f
的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用
用来解，型如：
?f(r)?
；定义域为 。
(x)?ax
2
?bx?c,x ?(m,n)
y
来表示
x
，再由
x
的取值范围，通过解不等 式，得出
y
的取值范围；常
y?
ax?b
,x?(m,n)
；
cx?d
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式 法：转化成型如：
y?x?
k
(k?0)
，利用平均值不等式公式来求值域；
x
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
求下列函数的值域：①< br>y?
a?bx
(a?0,b?0,a?b,x?[?1,1])
（2种方法）；
a?bx
x
2
?x?3x
2
?x?3
,x?(?? ,0)
（2种方法）
,x?(??,0)
（2种方法）②
y?
；③< br>y?
；
xx?1
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性

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单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0
?
f(x) =f(-x)
?
f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0
?
f(x) =－f(-x)
?
f(x)为奇函数。
判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f (x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足 ：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。
常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）
平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)
的图象。
（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量
a
（ｍ，ｎ）平移的意义。
对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称
y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称
y=f (x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数 ）
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。
一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
如：
y?f(x)
的图象如图，作出下列函数图象：
（2）
y??f(x)
；
y?f(?x)
；（1）
（3）
（5）
（7）
y y=f(x)
（4）
y?|f(x)|
；
y?f(|x|)
；
（6）
y?f(x?1)
；
y?f(2x)
；
O
(2,0)
(0,-1
)
x
y?f(x)?1
；（8）
y??f(?x)
；
y?f
?1
（9）
(x)
。
五、反函数：
（1）定义：
（2）函数存在反函数的条件： ；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；
（4）求反函数的步骤：①将
y?f(x)
看成关于
x
的方程， 解出
x?f
?1
(y)
，若有两解，要注意解的选择；

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②将
x,y
互换，得
y?f< br>?1
(x)
；③写出反函数的定义域（即
y?f(x)
的值域）。
（5）互为反函数的图象间的关系： ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
2
x
x
如：求下列函数的反函数：
f(x)?x?2x?3(x?0)
；
f(x)?
；
f(x)?log?2(x?0)

2
x
2?1
x?1
2
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数：
（2）一元二次函数：
一般式：
两点式：
y ?ax?b(a?0)
，当
a?0
时，是增函数；当
a?0
时，是减 函数；
y?ax
2
?bx?c(a?0)
；对称轴方程是 ；顶点为 ；
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
；对称轴方程是 ；与
x
轴的交点为 ；
y?a(x?k)
2
?h
；对称轴方程是 ；顶点为 ； 顶点式：
①一元二次函数的单调性：
当
a?0
时： 为增函数； 为减函数；当
a?0
时： 为增函数； 为减函数；
y?a(x?k)
2
?h
的形式， ②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
a?0
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
a?0
时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
a?0
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
a?0
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：
y?x
2
? x?1,x?[?1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横 坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程
根的情况
y?x
2
?x?1,x?[a,a?1]

f(x)?ax
2
?bx?c?0
的两根为
x
1
,x
2
；则：
x
1
?x
2
?k

在区间
(k,??)
上有两
根

x
1
?x
2
?k

在区间
(??,k)
上有两
根
x
1
?k?x
2

在区间
(k,??)
或
(??,k)
上有一根
等价命题
充要条件

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注意：若在闭区间
[m,n]
讨论方程
情况，得出结果 ，在令
x
f(x)?0
有实数解的情况，可先利用在开区间
(m,n)
上实根分布的
?n
和
x?m
检查端点的情况。
ac
（3）反比例函数：
y?(x?0)
?
y?a?

xx?b
（4）指数函数：
y?a
x
(a?0,a?1)

指数运算法则： ； ； 。
指数函数：y=
a
(a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的 值有关，在解题中，往往要对a分a>1和
0（5）对数函数：
x
y?log
a
x(a?0,a?1)

指数运算法则： ； ； ；
对数函数：y=
log
a
x
(a>o,a≠1) 图象恒过点（ 1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1
和0注意：（1）
y?a
x
与
y?loga
x
的图象关系是 ；
（2）比较两个指数或对数的大小的 基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指
数或对数，还要注意与1比较 或与0比较。
（3）已知函数
f(x)?log
1
(x
2
?kx?2)
的定义域为
R
，求
k
的取值范围。
2
已知函数
f(x)?log
1
(x
2
?kx?2)
的值域 为
R
，求
k
的取值范围。
2
六、
y?x?
k
(k?0)
的图象：
x
定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数；
是减函数。
七、补充内容：
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①< br>②
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
?
正比例函数
f(x)?kx(k?0)

f (x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
；
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f (x
2
)
?
；
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
；
f(
x
1
)?f(x
1
)?f(x
2
)
?
；
x
2
③
④
f(x
1
)?f(x
2)?2f(
x
1
?x
2
x?x
2
)?f(1
)
?
；
22

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函数一章要注意的问题
1． 函数的几个重要性质：
①如果函数
y?f
?
x?
对于一切
x?R
，都有
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
，那么函数
y?f
?
x
?
的图
象关于直线
x?a
对称.
②函数
y?f< br>?
x
?
与函数
y?f
?
?x
?
的图 象关于直线
x?0
对称；
函数
y?f
?
x< br>?
与函数
y??f
?
x
?
的图象关于直线
y ?0
对称；
函数
y?f
?
x
?
与函 数
y??f
?
?x
?
的图象关于坐标原点对称.
③函数
y?f
?
a?x
?
与函数
y?f
?
a?x
?
的图象关于直线
x?0
对称.
④若奇函数
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上是 递增函数，则
y?f
?
x
?
在区间
?
??,0?
上也是递增
函数．
⑤若偶函数
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上是递增函数，则
y?f< br>?
x
?
在区间
?
??,0
?
上是递减函数．
⑥函数
y?f
?
x?a
?
(a?0)< br>的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图象沿x轴向左平移a个单位 得到
的；
⑦函数
y?f
?
x?a
?
(
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图象沿x轴向右 平移
得到的；
⑧函数
y?f
?
x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿y轴向上 平移a个单位得到
的;
⑨函数
y?f
?
x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿 y轴向下平移
a
个单位得到
的.
⑩函数
y?f
?< br>ax
?
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图象沿x轴伸缩为原来的
a
个单位
1
得到的；
a< br>⑾函数
y?af
?
x
?
(a?0)
的图象是把函数< br>y?f
?
x
?
的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.
2． 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
3． 函数与其反函数之 间的一个有用的结论：
f
?1
?
a
?
?b?f
?< br>b
?
?a.

?1
4． 原函数
y?f
?< br>x
?
在区间
?
?a,a
?
上单调递增，则一定存在反 函数，且反函数
y?f
?
x
?
也单
调递增；但一个函数存在 反函数，此函数不一定单调．
5． 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了
吗？
6． 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)

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10. 你知道函数
y? ax?
b
x
（该函数在
?
??,?
?
a?0,b? 0
?
的单调区间吗？
ab
或
??
ab,??
?上单调递增；在
?ab,0
或
0,ab
上单调递减）这可是一个应用广泛 的函数！
11. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于 零且不
等于1）字母底数还需讨论呀.
12. 对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（
log
a
b?
log
a
b
?
??
?
log
c
b
,log
a
n
b
n
?log
a
b
）
log
c
a
13. 你还记得对数恒等式吗？（
a
2
?b
）
2
14. “实系 数一元二次方程
ax?bx?c?0
有实数解”转化为“
??b?4ac?0
”，你是否注
意到必须
a?0
；当a=0时，“方程有解”不能转化为
??b ?4ac?0
．若原题中没有指
出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可 能为零的情形？
15.
2