高中数学函数知识点精华版进阶精通版

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高中数学函数知识点总结

1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

2 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?

x
?
4?x?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是

（答：0，2?2，3?3，4）

??????
3. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则 函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。
（答：a，?a）

复合函数定义域的求法：已知
y?f(x)
的定 义域为
?
m,n
?
，求
y?f
?
g(x)
?
的定义域，可由
m?g(x)?n
解出x的
范围，即为
y?f?
g(x)
?
的定义域。
例 若函数
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
，则
f(log
2
x)的定义域为 。
2

函数有界性法
直接求函 数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三
角函数的单调性。
??
??
?
1
?
??
ex
?1
2sin
?
?12sin
?
?1
例 求函数y=
x
，
y?
，
y?
的值域。
1?sin
?
1?cos
?
e?1



函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y =
2
x?5
?
log
3
x?1
（2≤x≤10）的 值域

换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。

数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

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类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22
例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，

y
的取值范围
x?2
(2)y-2x的取值范围
(1)
解:(1)令

d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R
例求函数y=

不等式法
利用基本不等式a+b≥2
ab
，a+b+c≥3
3ab c
（a，b，c∈
y
?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.
x?2
(x?2)
2
+
(x?8)
2
的值域。 < br>R
?
），求函数的最值，其题型特征解析式是和式
时要求积为定值，解析式是积 时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：


x
2
(3-2x)(0x?x+3-2x
3
=x?x?(3-2x)?()?1
3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时，应注意使3者之和变成常数）
3


4. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
?
?
1?x

如：求函数f(x)?
?
2
?
?
?x
?
x ?0
?
的反函数

?
x?0
?

5. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：
6 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法：
(1)定义法：


7. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

??

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零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）

8. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是 ；两个偶函数的乘积是 ；一个偶函数与奇函数的乘积
是 。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

3
??
a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若f(x)?
2
x
?1


9判断函数奇偶性的方法
奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点 对称的前提下，计算
f(?x)
，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数

f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)
复合函数奇偶性

f(g)
奇
奇
偶
偶
g(x)
奇
偶
奇
偶
f[g(x)]




f(x)+g(x)




f(x)*g(x)










10. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则

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我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉 你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期
同时可能也会遇到这种样 子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x )关于直线对称，




11. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点（x,y）,(-x,y)

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点（x,y）,(x,-y)

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点（x,y）,(-x,-y)

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)
y?f(x?a)
左移a(a?0)个单位

将y?f(x)图象????????

??
y?f(x?a)
右移 a(a?0)个单位
上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

??????????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x把)|轴下方的图像翻到上面x

f(x)??

?f(|x把|)轴右方的图像翻到上面y

如：f(x)?log
2
?
x?1
?

作出y?l og
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象< br>

y

y=log
2
x


O 1 x




12. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？


（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。
kk
k?0推广为y?b?
? ??
k?0
?
是中心O'(a，b)

xx?a

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b
?
4ac?b
2
?

（3）二次函数y? ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?图象为抛物线

?
?
??
2a4a
2
2
二次函数的几种表达形 式：
f(x)?ax
2
?bx?c(一般式)

f(x)?a(x?m)
2
?n(顶点式，（m，n）为顶点

f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(x
1
,x2
是方程的2个根）
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2)?h(函数经过点（x
1
,h)(x
2
,h)
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x

?
??0
?
?
b
2
如：二次方程a x?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

2a
?
?
?
f(k)?0

（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?

（5）对数函数y?log
a
x
?
a?0，a?1
?

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

（6）“对勾函数”y?x?

y




k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）



?k

O
k


x








13. 你在基本运算上常出现错误吗？
0?p

指数运算：a?1(a?0)，a?
1
(a?0)

a
p

a
m
n
?a
n
m< br>(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)


对数运算：log(?N?)
a
M

log
a
l
a
ogM?lNN?
?

?< br>gM?，0
a
o0
M1
n
?logM?logN，logM? log
aaaa
M

Nn
log
a
x

对数恒等式：a?x

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对数换底公式：log
a
b?

log
n
n
c
b
?logb?
a
m
logam
c
lb g
a
o

1
logx?
a
log
x
a

14. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x? R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
2. 幂函数型的抽象函数
f（x）＝x
a
----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（
3. 指数函数型的抽象函数
f（x）＝a
x
------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
4. 对数函数型的抽象函数
xf(x)
）＝
yf(y)
f(x)

f(y)
f（x）＝log
a
x（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f （
x
）＝ f（x）－f（y）
y

例1已知函数f（x）对任意 实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区
间[－2,1]上的值域.

例2.函数f（x）定义域关于原 点对称，且对定义域内不同的x
1
、x
2
都有
f（x
1< br>－x
2
）＝
f(x
1
)?f(x
2
)
，则f（x）为（ ）
1?f(x
1
)f(x
2
)
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
例3已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y） ]，则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
例4 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l??·R，S
扇
?
图面积的求法)

11
l·R??·R
2
）

22
(和三角形的面积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开