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高一数学函数知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 15:24
tags:高中数学函数

高中数学函数的对称-高中数学选修2-1假期作业概率


高一数学函数知识点

(一)、映射、函数、反函数
对应、映射、函 数三个概念既有共性又有区别,映射是一种特殊的对应,而函数又是一种特
殊的映射.
对于函数的概念,应注意如下几点:
(1)掌握构成函数的三要素,会判断两个函数是否为同一函数.
(2)掌握三种表示法—— 列表法、解析法、图象法,能根实际问题寻求变量间的函数关系
式,特别是会求分段函数的解析式. < br>(3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数,其中g(x) 为内函数,f(u)
为外函数.
3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤:
(1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);
(3)将x,y对换,得反函数的习惯表达式y=f-1(x),并注明定义域.
注意①:对于分段函数的反函数,先分别求出在各段上的反函数,然后再合并到一起.
②熟悉的应用,求f-1(x0)的值,合理利用这个结论,可以避免求反函数的过程,从而简
化运算.
(二)、函数的解析式与定义域
1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函 数是不存在的,因此,要正确地
写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的 定义域.求函数的
定义域一般有三种类型:
(1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自 变量x有实际意义,求定义域要结合实际
意义考虑;
(2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可.如:
①分式的分母不得为零;
②偶次方根的被开方数不小于零;
③对数函数的真数必须大于零;
④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k< br>∈Z)等.
应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的 公共部
分(即交集).
(3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可.
已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而
已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的 值域.
2、求函数的解析式一般有四种情况
(1)根据某实际问题需建立一种函数关 系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知
识寻求函数的解析式.
(2)有时题设给 出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法.比如函数是一次函数,
可设f(x)=ax+b(a ≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b
即可.
(3) 若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必
须求出g (x)的值域,这相当于求函数的定义域.
(4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f( x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-


x),等),必须根据已知等式,再构造 其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表
达式.
(三)、函数的值域与最值
1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义
域, 求函数值域常用方法如下:
(1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式 应用不等式的性
质,直接观察得出函数的值域.
(2)换元法:运用代数式或三角换元将所给 的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,
若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元, 当根式里是二次式时,用三角换
元.
(3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1( x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数
的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域 可采用此法求得.
(4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.
(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,< br>不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.
(6)判别式法:把y=f(x) 变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特
征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的
单调性, 可采用单调性法求出函数的值域.
(8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助 于几何方法或图象,求
出函数的值域,即以数形结合求函数的值域.
2、求函数的最值与值域的区别和联系
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上 是相同的,事实上,如果在函数的值域
中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此 求函数的最值与值域,其
实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异.
如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,
+ ∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值
为2.可见定 义域对函数的值域或最值的影响.
3、函数的最值在实际问题中的应用
函数的最值的应 用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工
程造价最低”,“利润最大”或 “面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要
特别关注实际意义对自变量的制约,以便能 正确求得最值.
(四)、函数的奇偶性
1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果 对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=
-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数 f(x)就叫做奇函数(或偶函数).
正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义 域在数轴上关于原点对称是函数
f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f( x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
(奇偶性是函数定义域上的整体性质).
2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要
将函数化简或 应用定义的等价形式:
注意如下结论的运用:
(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数,f(|x|)总是偶函数;
(2)f(x)、g(x) 分别是定义域D1、D2上的奇函数,那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函
数,f(x)· g(x)是偶函数,类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”

< br>“奇×偶=奇”;
(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;
(4)奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数。
3、有关奇偶性的几个性质及结论 (1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条
件是它的 图象关于y轴对称.
(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零,那么它既是奇函数又是偶函数.
(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0成立.
(4)若f(x)是具有 奇偶性的区间单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是
相同(反)的。
(5) 若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(- x)是奇
函数.
(6)奇偶性的推广
函数y=f(x)对定义域内的任一x都 有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称,
即y=f(a+x)为偶 函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x),则y=f(x)的图
象关于点(a,0)成中心对称图形,即y=f(a+x)为奇函数.
(五)、函数的单调性
1、单调函数
对于函数f(x)定义在某区间[a,b]上任意两点x1,x2,当x1 >x2时,都有不等式f(x1)>(或
<)f(x2)成立,称f(x)在[a,b]上单调递增(或 递减);增函数或减函数统称为单调函数.
对于函数单调性的定义的理解,要注意以下三点:
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2具有任意性,不能
用特殊值 代替.
(3)单调区间是定义域的子集,讨论单调性必须在定义域范围内.
(4)注意定义的两种等价形式:
设x1、x2∈[a,b],那么:
①在[a、b]上是增函数;
在[a、b]上是减函数.
②在[a、b]上是增函数.
在[a、b]上是减函数.
需要指出的是:①的 几何意义是:增(减)函数图象上任意两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))
连线的斜率都 大于(或小于)零.
(5)由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数,且(或x1> x2),这说明单调
性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.
5、复合函数y=f[g(x)]的单调性
若u=g(x)在区间[a,b]上的单调性 ,与y=f(u)在[g(a),g(b)](或g(b),g(a))上的单调性相
同,则复合函数y =f[g(x)]在[a,b]上单调递增;否则,单调递减.简称“同增、异减”.
在研究函数 的单调性时,常需要先将函数化简,转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此,
掌握并熟记一次函数、二 次函数、指数函数、对数函数的单调性,将大大缩短我们的判断过
程.
6、证明函数的单调性的方法
(1)依定义进行证明.其步骤为:①任取x1、x2∈M且x 1(或<)f(x2);
③根据定义,得出结论.


(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.
如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.
(六)、函数的图象
函数的图象是函数的直观体现,应加强对作图、识图、用图能力的培 养,培养用数形结合
的思想方法解决问题的意识.
求作图象的函数表达式
与f(x)的关系
由f(x)的图象需经过的变换
y=f(x)±b(b>0)
沿y轴向平移b个单位
y=f(x±a)(a>0)
沿x轴向平移a个单位
y=-f(x)
作关于x轴的对称图形
y=f(|x|)
右不动、左右关于y轴对称
y=|f(x)|
上不动、下沿x轴翻折
y=f-1(x)
作关于直线y=x的对称图形
y=f(ax)(a>0)
横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
y=af(x)
纵坐标伸长到原来的|a|倍,横坐标不变
y=f(-x)
作关于y轴对称的图形
【例】定义在实数集上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y) +f(x-y)=2f(x)·f(y),且
f(0)≠0.
①求证:f(0)=1;
②求证:y=f(x)是偶函数;
③若存在常数c,使求证对任意x∈R,有f(x +c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期
函数,如果是,找出它的一个周期;如果不是, 请说明理由.
思路分析:我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数,解决这类问题一般采用赋值法.
解答:①令x=y=0,则有2f(0)=2f2(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1.
②令x=0,则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),所以f(-y) =f(y),这说明f(x)为偶函数.
③分别用(c>0)替换x、y,有f(x+c)+f(x)=
所以,所以f(x+c)=-f(x).
两边应用中的结论,得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x),
所以f(x)是周期函数,2c就是它的一个周期.
点评:联想公式cos(x+y)+cos(x- y)=2cosxcosy和特殊函数y=cosx是有益的.特值代入法
在解选择题时有奇效,有时对 某些解答题的处理也很独特,1996年全国高考理科数学压轴
题就是范例.
习题一


定义在R上的函数f(x)同时满足条件:①对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+ f(y);②x>0
时,f(x)<0 且f(1)=-2.求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

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