高一数学函数的最值

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第八课时 函数的最值
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函数最值



函数最值概念
函数最值与图像
函数最值求法
学习要求


1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．

自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
A
．
若存在定值
x
0
?A
，使得对于任意
x?A
，有
f(x)?f (x
0
)
恒成立，则称
f(x
0
)
为
y? f(x)
的最大值，记为
y
max
?f(x
0
)
；
若存在定值
x
0
?A
，使得对于任意
x?A
，有< br>f(x)?f(x
0
)
恒成立，则称
f(x
0
)为
y?f(x)
的最小值，记为
y
min
?f(x
0< br>)
；
2．单调性与最值：
设函数
y?f(x)
的定义域为
?
a,b
?
，
若
y?f(x)
是增函数，则
y
max
?

f(a)
，
y
min
?

f(b)
；
若
y?f(x)
是减函数，则
y
max
?

f(b)
，
y
min
?

f(a)
．
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数
y?f(x)
，< br>x?
?
?4,7
?
的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
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【解】
由图可以知道：
当
x??1.5
时，该函数取得最小值
?2
；
当
x?3
时，函数取得最大值为
3
；
函数的单调递增区间有２个：
(?1.5,3)
和
(5,6)
； < br>该函数的单调递减区间有三个：
(?4,?1.5)
、
(4,5)
和< br>(6,7)

二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值：
（1）
y?x
2
?2x
；
（2）
f(x)?
【解】
（１）
y?x?2x?(x?1)?1

∴当
x?1
时，
y
min
??1
；
（２）因为函数
f(x)?
最小值为



22
1
，
x?
?
1,3
?
．
x
11
在
x?
?
1,3
?
上是单调减函数，所以当< br>x?3
时函数
f(x)?
取得
xx
1
．
3
追踪训练一
2
1. 函数
f(x)?x?mx?4(m?0)
在
(??,0]
上的最小值（A ）
(A)
4

(B)
?4

(C)
与
m
的取值有关
(D)
不存在
2. 函数
f(x)??x
2
?x?2
的最小值是 ０ ，最大值是
3. 求下列函数的最值：
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3
．
2

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(1)
f(x)?x
4
?1,x?{?1,0,1,2}
；
(2)
f(x)?3x?5,x?[3,6]

析：因为函数的最值是值域中 的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值
域的方法是相仿的．
解：(1)
f(1)?f(?1)?2
;
f(0)?1
;
f(2)?17

所以当
x?0
时，
y
min
?1
；当
x?2
时，
y
max
?17
；
(2)函数
f(x)?3x?5
是一次函数，且
3?0

故
f(x)?3x?5
在区间
[3,6]
上是增函数
所以当
x?3
时，
y
min
?14
；
当
x?6
时，
y
max
?23
；


【选修延伸】
含参数问题的最值：

例３: 求
f(x)?x
2
?2ax
，
x?[0,4)
的最小值．
【解】
f(x)?(x?a)
2
?a
2
，其图象是开口向 上，对称轴为
x?a
的抛物线．
①若
a?0
，则
f (x)
在
[0,4)
上是增函数，∴
?
f(x)
?
min
?f(0)?0
；
②若
0?a?4
，则
?
f(x)
?
min
?f(a)??a
2
；
③若
a ?4
，则
f(x)
在
[0,4)
上是减函数，∴
f(x)< br>的最小值不存在．



点评:
含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨
论！
思维点拔：
一、利用单调性写函数的最值？
我们可以利用函数的草图，如果函数在 区间
[a,c]
上是图像连续的，且在
[a,b]
是单
调递增的， 在
[b,c]
上是单调递减的，则该函数在区间
[a,c]
上的最大值一定是 在
x?b
处取
得；同理，若函数在区间
[a,c]
上是图像连续的， 且在
[a,b]
是单调递减的，在
[b,c]
上是
单调递增的，则 该函数在区间
[a,c]
上的最小值一定是在
x?b
处取得．
追踪训练
１．函数
f(x)?
1
的最大值是
1?x(1?x)
( D)
(A)
4534

(B)

(C)

(D)

5443
2. y=x
2
+
x
2
?1
的最小值为( C )
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A.0 B.
3

4
C.1 D不存在.
3. 函数
f(x)?ax
2
?2ax?1(a?0)
在区间
[?3,2]上的最大值为
4
，则
a?
____
3
____． 8
?
x?3(x?0)
4.函数
f(x)?
?
的最大值 为
5
.
2
?
5?x(x?0)
5．已知二次函 数
f(x)?ax
2
?2ax?1
在
?
?3,2
?
上有最大值4，求实数
a
的值．

解：函数
f(x)?a x
2
?2ax?1
的对称轴为
x??1
，
3
；
8
当
a?0
时，则当
a??1
时函数取得最大值
4
，即
1?a?4
，即
a??3

3
所以，
a?
或
a??3
。
8
当
a?0
时，则当
x?2
时函数取最大值
4
，即
8a?1? 4
即
a?



























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第8课 函数的最值

分层训练
1．函数
y?(2k?1)x?b
在实数集上是增函数，则 （ ）
A．
k??
1
2
B．
k??
1
2

C．
b?0
D．
b?0

2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0 ,则方程f(x)=0在区间[a,b]内 （
A． 至少有一实根 B． 至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
3．已知f(x)=8+2x－x
2
,如果g(x)=f( 2－x
2
),那么g(x)
（ ）
A．在区间(－1,0)上是减函数
B．在区间(0,1)上是减函数
C．在区间(－2,0)上是增函数
D．在区间(0,2)上是增函数
考试热点
4．函数
f(x)?
?
?
x
2
?2xx?[0,2]
?
2xx?[?3,0)< br>的最小值是 ．
5．已知x∈[0,1],则函数y=
2x?2
－
1?x
的最大值为_____.最小值为_____.
6．函数
y??x
2
?|x|
，单调递减区间为 ，最大值为 .


7．．已知函数
y?
1
2
x
2
?2x
求:
(1) 当
0?x?3
时， 函数的最值;
(2) 当
3?x?5
时， 函数的最值．



8．已知函数< br>f(x)?
x
2
?2x?a
x
,x?[1,??)
．
（1）当
a?0.5
时，求函数
f(x)
的最小值；
（2 ）若对任意
x?[1,??),f(x)?0
恒成立，试求实数
a
的取值范围 ．

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）

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拓展延伸

1
9．已知≤
a
≤1，若函数
f
?
x
?< br>?ax
2
?2x?1
在区间[1，3]上的最大值为
M
?a
?
，最小
3
值为
N
?
a
?
，令
g
?
a
?
?M
?
a
?
?N< br>?
a
?
．
（1）求
g
?
a
?
的函数表达式；
（2）判断函 数
g
?
a
?
在区间[
1
，1]上的单调性，并求出
g
?
a
?
的最小值 .
3




10．在经济学中，函数
f(x)
的边际函数为
Mf(x)
，定义为
Mf(x)?f(x?1)?f(x)
，某
公司每月最多生产100台报警 系统装置。生产
x
台的收入函数为
R(x)?3000x?20x
2
（单
位元），其成本函数为
C(x)?500x?4000
（单位元），利润的等于收 入与成本之差.
①求出利润函数
p(x)
及其边际利润函数
Mp(x)
；
②求出的利润函数
p(x)
及其边际利润函数
Mp(x)
是否具有相同的最大 值；
③你认为本题中边际利润函数
Mp(x)
最大值的实际意义.



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