人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题

人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
第一部分 函数及其表示
知识点一：函数的基本概念
1、函数的概念：
一般地，设A、B是 两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任意一个数
x< br>，
在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f
：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：
y?f(x)，x?A
。
x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，y叫函数值，y的取值范围叫函数的值域。
说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系
②对于x的每一个值，按照某种确定的 对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的
“一对一”或“多对一”。
③认真理解
y?f(x)
的含义：
y?f(x)
是一个整体，
f( x)
并不表示f与x的乘积，它是一种符号，可以
是解析式，也可以是图象，还可以是表格；
2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则
3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间
4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等
5、分段函数：
说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所 在的范围，然后按相应的对应关系求
值。
②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。
6、函数图像

练习
1.下列图象中表示函数图象的是 （ ）

y y

y y


0 0 0 0

x x x x
（A） (B) (C ) (D)
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
y?1,y?
x
x
B．
y?x?1?x?1,y?x
2
?1

C ．
y?x,y?
3
x
3
D．
y?|x|,y?(x)
2

3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。


离开家的距离
离开家的距离
离开家的距离
离开家的距离



O

时间
O

时间
O

时间
O

时间

（1） （2） （3）
（4）
A、（1）（2）（4） B、（4）（2）（3） C、（4）（1）（3） D、（4）（1）（2）
4.下列对应关系：（ ）
①
A?{1,4,9},B?{?3,?2,?1,1,2,3},
f
：
x? x
的平方根
②
A?R,B?R,
f
：
x?x
的倒数
③
A?R,B?R,
f
：
x?x
2
?2

④
A?
?
?1,0,1
?
,B?
?
?1, 0,1
?
,f
：
A
中的数平方
其中是
A
到
B
的映射的是
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
5.在国内投寄平信 ，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封
信的应 付邮资(分)表示为信重
x
?
0?x?40
?
克的函数，其表达式为
f
?
x
?
＝____ ____
6.设函数
f(x)?
?
?
x?2x?10
?< br>x
2
?1x?10
，则
f(9)
= ，
f(15)
=
7.设函数
f(x)?
?< br>?
x?2x?5
?
x
2
?3x?5
，若
f( x)
=13，则x= 。
8.函数
f
?x
?
?
?
?
x?1,
?
?x?3,

x?1,
x?1,
则
f
?
f
?
4
?
?
?
．
9.下列各组函数是同一函数的有 ①
f(x)??2x
3
与
g(x)?x?2x
；②
f( x)?x
与
g(x)?x
2
；
③
f(x)?x
0
与
g(x)?
1
x
0
；④
f(x)?x
2
?2x?1
与
g(t)?t
2
?2t?1
。
10.作出函数
y?x
2
?6x?7,x?
?
3,6
?
的图象





1

知识点二：函数定义域的求法
（一）简单函数定义域
1.若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
2.若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
3.若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
4 .若f(x)=
x
0
，因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
5.若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
6.若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
（二）复合函数定义域
1.若已知
f(x)
的定义域为
[a,b]
，其复合函数
f[g(x)]
的定义域应由不等式
a?g(x)?b
解出．
2.若已知复合函数
f[g(x)]
的定义域为
[a,b]
，其
f(x)
的定义域为
g(x)
在[a,b]上的取值范围．

练习：
1.函数
f(x)?
x
1?x
的定义域是（ ）
A、
(1,??)
B、
(?1,0)
C、
(?1,1)
D、
(??,1)

2
2.函数
y?
?x?3x?4
x
的定义域为（ ）
A．
[?4,1]
B．
[?4,0)
C．
(0,1]
D．
[?4,0)(0,1]

3.已知函 数
y?
1?x
2x
2
?3x?2
的定义域为（ ）
A．
(??,1]
B．
(??,2]

C ．
(??,?
1
)?(?
1
22
,1]
D．
(??,?
1
)?(?
1
22
,1]
4.函数
f(x)
的定义域是（0，8），则
f(x
2
?1)< br>的定义域是（ ）
A、 （1，3） B、 （-3，-1） C、 （1，8） D、 （1，3）∪（-3，-1）
5.函数
f(2x?1)
的 定义域是[1，4]，则
f(x)
的定义域是（ ）
A、 [3，4] B、 [1，4] C、 [3，9] D、 [7，9]
y?
(x?1)
0
6.函数
x?x
的定义域是________________ _____。

7.求下列函数的定义域

2
（1）
y?x?8?3?x
（2）
y?
x?1?1?x
2
x?1







知识点三、函数解析式的常用求法：
1、换元法； 2、待定系数法； 3、消去法

练习：
1.设函数
f(
1?x
1?x
)?x
，则
f(x)
的表达式为 （ ）
A．
1?x1
1?x
B．
?x
x?1
C．
1?x
1?x
D．
2x
x?1

2.已知
f(
1
x
)?
x
1?x
2
，则
f (x)
的解析式是
3.已知
f(x)? 2f(
1
x
)?3x
，则
f(x)
的解析式是
4.已知
f(2x?1)?x
2
?2x
，则
f(3)
= .
5.已知f(x)满足
2f (x)?f(?x)?x?1
，
求f(x)的解析式.




6. 若
f(x)
是一次函数，且满足
3f
?
x ?1
?
?2f
?
x?1
?
?2x?17,
求
f
?
x
?
．



7.函数
f(x)
是二次函数，且
f(0)?2
，
f(x?1)?f(x)?x?1< br>，求
f(x)
的解析式。





2

知识点四、函数值域的常用求法：
1、分离常数法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、换元法
练习
第二部分 函数的单调性
一、 知识点回顾
1、概念
设函数y=f(x)的定义域为I，如 果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有
?
?x(x?0)
1
?
2
1.下列四个函数：①
y?3?x
；②
y?
2
；③y?x?2x?10
；④
y?
?
1
.
x?1
其中值域为
R
的函数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个

2. 选用合适的方法下列函数的值域
（1）
y?
4x?3
x?2
（2）
y?x?41?x






（4）
y?
2x
2
?1
x
2
?1

（5）
y?2x
2
?4x?3






3.求函数
y?x
2
?4x?6(x??
15，
?
)
的值域



4.求函数
y?
2x
2
?2x?3
x
2
?x? 1
的值域.









?
?
?
x
(x?0)
D．4个
2
（3）
y?
2
x
?x?2
x
2
?x? 1

（6）
y?1?2x?x

f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如 果对于区间D上的任意两个
自变量的值x
1
、x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)＞f(x
2
)，那么就 说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单
调减区间.
注意
： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质
．．．．
；必须是对于区间 D内的任意两个
自变量x
1
、x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) .
2、图象 的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)
单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法：
①定义法，任取x
1
、x
2
∈D，且x
1
2
；作差f(x
1
)-f(x
2
)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x
1
)-f(x
2
)
的正负）；下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.
②图象法(从图象上看升降)；
③复合函数的单调性，复合函数f[g(x)]的单调性与构 成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如
下：（同增异减）

函数 单调性
u=g(x)
增 增 减 减
y=f(u)
增 减 增 减
y=f[g(x)]
增 减 减 增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.
④常用结论。
A、两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；
B、一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
C、互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
4、基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数 ；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
③反比例函数：y=
k
x
(k≠0)
当k>0时，函数y=
k
x
的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函 数y=
k
x
的单调递
增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减 区间.
④二次函数：y=ax
2
+bx+c(a≠0)
当a>0时，函数 y=ax
2
+bx+c的单调递减区间是(-∞,
?
b
2a
］，单调递增区间是［
?
b
2a
,+∞)；
3

当a<0时，函数y=ax
2
+bx+c的 单调递减区间是［
?
bb
2a
,+∞)，单调递增区间是(-∞,
?
2a
］.
知识点练习
1．函数y＝－x
2
的单调减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
2．若函数f(x)定义在[－1,3]上，且满足f(0)A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．无法判断
3．已知函数y＝f(x)，x∈A，若对任意a，b∈A，当aA．有且只有一个 B．可能有两个
C．至多有一个 D．有两个以上
4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
A．f(a)＞f(2a) B．f(a
2
)＜f(a)
C．f(a
2
＋a)＜f(a) D．f(a
2
＋1)＜f(a)
5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) X k b 1 . c o m
①y＝|x|； ②y＝
|x|x
2
x
； ③y＝－
|x|
； ④y＝x＋
x
|x|
.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．下列说法中正确的有( )
①若x1
，x
2
∈I，当x
1
＜x
2
时，f(x1
)＜f(x
2
)，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x
2
在R上是增函数；
③函数y＝－
1
x
在定义域上是增函数；
④y＝
1
x
的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个新 课一 网 C．2个 D．3个
7.函数f(x)＝2x
2
－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x )为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m
等于( )
A．－4 B．－8 C．8 D．无法确定
8.函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
9.下列四个函数：①y＝
x
x －1
；②y＝x
2
＋x；③y＝－(x＋1)
2
；④y＝
x
1－x
＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．① B．④ C．①④ D．①②④
10.函数 y＝－
b
x
在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________． 11.函数f(x)＝4x
2
－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是_ _______．
12.函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a
2
－a＋1)与f(
3
4
)的大小关系为________．
13.若f(x)＝x
2
＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0.
(1)求b与c的值；
(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．






14.函数f(x)=x
2
-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.








15.（1）画出已知函数f(x)=-x
2
+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x
2
+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.








16.已知f(x)是定义在[－1 ,1]上的增函数，且f(x－1)＜f(1－3x)，求x的取值范围．









17.设函数y＝f(x)＝
ax＋1
x＋2
在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．








4