高中数学函数最值问题的常见求解方法

v1.0 可编辑可修改
一、配方法
例１：当
?1?x?0
时，求函数
y?2
解析：
y??3(2?)?
x
x?2
? 3?4
x
的最大值和最小值．
2
3
2
41
x，当
?1?x?0
时，
?2?1
．显然由二次函数的性质可得
3 2
y
min
?1
，
y
max
?
二、判别式 法
4
．
3
对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转 化为一元二次方程有无
实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．
例２：已知
y?4xy?4x?2x?1?0
，求
y
的最值． 解析：由已知，变形得
4x?2(2y?1)x?(y?1)?0
，
x?R
，则
??0
，即有
22
22
4(2y?1)
2
?16(y
2
?1)?0
故
y?
因此
y
max
?
5
．
4
5
，无最小值． < br>4
22
例3：若
x
、
y?R
且满足：
x?y ?2xy?x?y?0
，则
x
max
=
y
min
=
解析：由已知，变形得：
y?(2x? 1)y?(x?x)?0
，
y?R
，则
??0
，即有
22
(2x?1)
2
?4(x
2
?x)?0
，于是
?8 x?1?0
，即
x?
22
11
．即
x
max
?
．
88
同理，
x?(2y?1)x? (y?y)?0
，
x?R
，则
??0
，即有
11
(2y?1)
2
?4(y
2
?y)?0
，于是
8y?1?0
，即
y??
．即
y
min
??
．
8 8
注意：关于
x
、
y
的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 5x
2
?43x?1
例4：已知函数
y?
，求
y
的最值．
x
2
?1
2
解析：函数式变形为：
(y?5) x?43y?(y?1)?0
，
x?R
，由已知得
y?5?0
， < br>???(?43)
2
?4(y?5)(y?1)?0
，即：
y
2
?6y?7?0
，即：
?1?y?7
．
因此
y
max
?7
，
y
min
??1
．
1

v1.0 可编辑可修改
例5：已知函数
y?
解析：
y?
ax?b
(x?R)的值域为
[?1,4]
，求常数
a,b

2
x?1ax?b
?yx
2
?y?ax?b?yx
2
?ax?y?b?0

2
x?1
222
∵
x?R
∴
??(?a)?4y(y?b)?0
，即
4y?4by?a?0

由题意：
y?[?1,4]?(y?1)(y?4)?0?y?3y?4?0?4y?12y?16?0

所以
4b?12
，
a?16
，即
b?3
，
a??4

注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于
x
的二次函数
F(x,y)?0
，
通过方程有实根，判别式
??0，从而求得原函数的值域或参数的值.形如
2
22
a
1
x
2
?b
1
x?c
1
(
a
1
、
a
2
不同时为0)，常用此法求得
y?
2
a
2
x? b
2
x?c
2
例6：在
0?x?
?
2
条件 下，求
y?
sinx(1?sinx)
的最大值．
2
(1?sinx)
t(1?t)

(1?t)
2
解析：设
t?sinx
，因
x?(0
，
?
2
)< br>，故
0?t?1
，则
y?
即
(1?y)t?(2y?1)t?y?0

因为
0?t?1
，故< br>y?1?0
，于是
??(2y?1)?4y(y?1)?0
即
y?
将
y?
2
2
1

8
111
代入方程得
t??[0
，
1]
，所以
y
max
?
< br>838
2
注意：因
??0
仅为方程
(1?y)t?(2y?1 )t?y?0
有实根
t?[0
，
1]
的必要条件，因此，
必 须将
y?
1
代入方程中检验，看等号是否可取．
8
三、代换法
(一)局部换元法
例7：求函数
y?
x
2
?p
x ?4
2
的最值．
解析：令
t?x?4
，则
t?2
，函数
y?
2
x
2
?p
x
2
?4
2
?t?
p?4

t

v1.0 可编辑可修改 < br>当
p?8
时，
y?t?
p?4
?2p?4
，当
t?
t
p?4
时取等号
p?4p?4
)?(t
2
?)
＝
(t
1
?t
2
)?

t
1
t
2
当
p?8
时，令
2?t
1
?t2
，则
y
1
?y
2
?(t
1
?
p?4p?4
(t
2
?t
1
)
＝
(t
1
?t
2
)(1?)
，因为
2?t
1
?t
2
，
p?8
，即有
t1
t
2
t
1
t
2
y
1
?y< br>2
?(t
1
?t
2
)(1?
故
y?2?< br>p?4
p?4
)?0
，所以
y?t?
在[2，
??)
内递增．
t
1
t
2
t
p?4p
?

22
所以 当
p?8
时，
y
min
?2p?4
，无最大值；
当
p?8
时，
y
min
?
p
，无最大值．
2
例8：求函数
y?x?1?2x
的最值．
解析：设
t?1?2x
(
t?0
)，则由原式得
y??< br>时取等号．故
y
max
?1
，无最小值．
例9：已知
0?a?
1
(t?1)
2
?1?1
当且仅当
t?1
即
x?0
2
2
,求函数
y?(sinx?a)(cosx?a)
的最值．
2
解析：
y?sinxcosx?a(sinx?cosx)?a
令
sinx?cosx?t

t
2
?1
1
22
则
?2?t?2
且sinxcosx?
，于是
y?[(t?a)?a?1]

2
2
当
t?2
时，
y
max
?a
2
?2a?< br>11
2
；当
t??a
时，
y
min
?(a? 1)
．
22
注意：若函数含有
sinxcosx
和
sin x?cosx
，可考虑用换元法解．
(二)三角代换法(有时也称参数方程法)
例 10：已知
x
、
y
?R
，
1?x?y?4
．求u?x?xy?y
的最值．
解析：设
x?tcos
?
，
y?tsin
?
，(
t
为参数)
2
因
1?x?y?4
，故
1?t?4

22
2222
3

v1.0 可编辑可修改
1?u?t
2
(cos
2
?
?cos
?
sin< br>?
?sin
2
?
)?t
2
(1?sin2
?
)

2
22
故当
t?4
且
sin2
?
?1
时，
u
max
?6
；当
t?1
且
sin2
?
??1
时，
u
max
?
1．
2
1
S
min
=____ 例11：实数
x
、
y
适合：
4x?5xy?4y?5
，设
S?x?y
，则
2222
1
S
max
+
解析：令
x?Scos?
，
y?Ssin
?
，则
4S?5Scos
?
sin
?
?5

55

S??
5
4?5sin
?
cos
?
4?sin2< br>?
2
510510
当
sin2
?
?1
时，< br>y
max
??
；当
sin2
?
??1
时，< br>y
min
??
．
55
133
4?4?
22
所以
1
S
ma x
?
1
S
min
?
3138
??
．
10105
22
例12：求函数
y?(a?x)x
(
|x|?a
)的最值．
2232
解析：令
x?acos
?
，则
y?asin
?
?acos
?
?asin
?
cos
?

又令
t?sin
?
cos
?< br>，则
t?sin
2
24
?
cos
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?

1
2
1sin
2
?
?sin
2?
?2cos
2
?
3
4
)?

?(

2327
??
232323
3
23
3
?t?a?y?a
即有
?
9999
23
3
23
3
a

a
，
y
min
??
9
9
所以
y
ma x
?
注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”
例13：已知
x
、
y
?R
且
3x?2y?6x
，求
x?y
的最值．
22
x?1?cos
?
?
y
2
?
解析：化
3x?2y?6x
为
(x?1)?

6
?1，得参数方程为
?
y?sin
?
32
?
2
?< br>22
2
4

v1.0 可编辑可修改
?x?y?1? cos
?
?
610
sin
?
?1?sin(
??
?
)

22
10
10
，
(x?y)
min
?1?
．
2
2
故
(x?y)
max
?1?
(三)均值换元法
例14：已知
a?b?1
，求证：
a?b
的最小值为
44
1
．
8
解析：由于本题中
a
、
b
的取值范围为一切实数，故不能用三角换 元，但根据其和为１，我
11
?t
，
b??t
，(
t?R< br>)，则
22
1111
a
4
?b
4
?(a< br>2
?b
2
)
2
?2a
2
b
2
?[(?t)
2
?(?t)
2
]
2
?2(?t)
2
(?t)
2

2222
11
2222

?(?2t)?2(?t)

24
11
2244

?(?2t?4t)?(?t?2t)

48
11
24

??3t?2t?

88
11
44
∴
a?b
的最小值为．在
t?0
即
a?b?
时取等号
82
们可以令
a?
四、三角函数有界法
对于
x?R
，总有
|sinx|?1
，
|cosx|?1

例15：求函数
y?sin2x?2cosx
的最值．
解析：
y?sin2x?2cosx?sin2x?cos2x?1?
因为
|sin(2x?
当
sin(2x?
2
2
2sin(2x?)?1< br>
4
?
?
4
)|?1
，故
?
)? 1
时，
y
max
?2?1
；当
sin(2x?)??1时，
y
min
??2?1
．
44
?
五、均值不等式法
例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．
解析：设三角形的三边长分别为< br>a
、
b
、
c
，面积为
S
，三角形内一点P
到三边的距离分别
为
x
、
y
、
z

5

v1.0 可编辑可修改
?ax?by?cz?2S
(定值)
?ax?by?cz?(
8S
3
即
xyz?
(
ax?by?cz
时取等号)
27abc
ax?by?cz
3
)

3
因此，当此 点为三角形的重心时(这时
?PAB
、
?PBC
、
?PAC
面积相等)，它到三边之积
为最大．
例17：有矩形的铁皮，其长为30
cm
，宽为14
cm
，要从四角上剪掉边长为
x

cm
的四个
小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问
x
为何值时，矩形盒子容积最大， 最大
容积是多少
解析：依题意，矩形盒子底边长为
(30?2x)

cm
，底边宽为
(14?2x)

cm
，高为
x

cm
．
?
盒子容积V＝(30?2x)(14?2x)x?4x(15?x)(7?x)x
(显然：
15?x?0
、
7?x?0
、
x?0
)
设
V?
4
(15a?ax)(7b?bx)x

(a?0
，
b?0)
要用均值不等式．则
ab
?a?b?1?0
?
13
解得：，，
x?3
．从而
a?b?
?
44
15a?ax? 7b?bx?x
?
V?
6415x213x
(?)(?)x?576

34444
3
故矩形盒子的最大容积为576
cm
．
也 可：令
V?
44
(15a?ax)(7?x)bx
或
V?(15?x )(7a?ax)bx

abab
注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件( 一正二定三相等)，当条件不满足时要灵
活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以 用待定系数法来求．
例18：已知
sin
?
?sin
?
? sin
?
?1
(
?
、
?
、
?
均为 锐角)，那么
cos
?
cos
?
cos
?
的
最大值等于__________
解析：因
?
、
?
、
?
均为锐角，所以
cos
?
cos
?
cos
?
?
222
cos
2
?
cos
2
?
cos
2
?

cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
3
1?sin
2
?
?1?s in
2
?
?1?sin
2
?
3
26

?()?()?
339
6

v1.0 可编辑可修改
当且仅当
sin
2
?
?sin
2
?
?sin2
?
?
1
时取等号，故
cos
?
cos
?
cos
?
的最大值为
3
26
．
9
ab
?
a
的最小值(、)．
?
?R
b
22
sinxcosx
ab
2222
解析：
y??
?a?acotx?b?btanx?a?b?2abtanxcotx

22
sinxsinx
例19：求函数
y?

?a?b?2ab

22
当且仅当
actgx?btgx
即
tgx?
2
a
时，函数
y
取得最小值
a?b? 2ab

b
六、单调性法
(一)利用若干次“
?
”(或“
?
”)求函数的最值
例2 0：求函数
y?
11
?
在
(0
，
)
内的最 小值．
?
sinxcosx
2
解析：
y?
当
x?
11sinx?cosx222
?????22

sinxcosxsinx cosx
sinxcosxsin2x
?
4
时，
sinx?cosx
，
sin2x?1
．上式中的两个 “
?
”中的等号同时成立，所以
y?22
是 “精确的”不等式．因而
y
min
?22

另：此题还可用换元
t?sinx?cosx
以及函数单调性来判断
(二)形如
y?
xb
?
的函数的最值
ax
(1)
a?0
，
b?0
时，函数在
(??
，
?ab
］内递增，在
[?ab
，
0)
内递减，
在
(0
，
ab
］内递减，在
[ab
，
??)
内递增．
(2)
a?0
，
b?0
时，函数在
(??< br>，
?ab
］内递减，在
[?ab
，
0)
内递增，
在
(0
，
ab
］内递增，在
[a b
，
??)
内递减．
(3)
a?0
，
b?0< br>时，函数在
(??
，
0)
内递减，在
(0
，
??)
内递减．
(4)
a?0
，
b?0
时，函数在(??
，
0)
内递增，在
(0
，
??)
内递增 ．
7

v1.0 可编辑可修改
1
的最值．
2 2
16sinxcosx
11
222
解析：函数
y?4sinxco sx?

?sin2x?
222
16sinxcosx4sin2x
1
11
2
令
t?sin2x
，则
t?[0
，
1]
，于是
y?t?
4
在
(0
，
]
内 递减，在
[
，
1]
内递增．
t22
11
22所以当
t?
，即
sinxcosx?
时，
y
min?1
；无最大值．
28
例21：求函数
y?4sinxcosx?22
2sinx?cos
2
x
例22：求函数
y?
的最 大值．
1?sinx
sin
2
x?2sinx?1(sinx?1)
2
?2?2
??(sinx?1)?()
解析：
y
?
s inx?1sinx?1sinx?1
令
sinx?1?t
，则
0?t?2< br>，函数
y?t?
?2
在
(0
，
??)
内递增 ．所以在
(0
，
2]
内也
t
是递增的．当
t?2< br>，即
sinx?1
时，
y
max
?1
．
七、平方开方法
例23：已知
a
、
b
是不相等的正数，求 函数
y?
的最值．
解析：因
a
、
b
是不相等的正 数，
cosx
与
sinx
不能同时为０，故
y?0
． acos
2
x?bsin
2
x?
asin
2
x ?bcos
2
x
(a?b)
2
?y?a?b?2sin
2< br>2x?ab

4
2
当
sin2x?1
时，
y
2
2
2
max
?2(a?b)
，
y
max
?2(a?b)

?a?b?2ab
，
y
min
?a?b
当
sin2x?0
时，
y
八、数形结合法
2
min
有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，
化难为易的功效 ．
例24：求函数
y?
4sinx?1
的最值．
3cosx?6
8

v1.0 可编辑可修改
1
1
4(sinx?)
sinx?
4
，只需求函数
u?
4
的最值． 解析：将函数式变形为
y?
3(cosx?2)
cosx?2
把
u
看成两点
A(2
，
)
，
B(cosx
，
sinx)
连线的斜率，(
B
即为单位圆上的点)，
则当直线
AB
为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．
设过
A< br>点的单位圆的切线方程为
y?
1
4
11
?k(x?2)
，即
kx?y??2k?0
．
44
1
?2k|
35< br>?1
，解得：
k
1
?
，
k
2
??< br>．从而函数 则圆心到切线的距离为
4
412
1?k
2
|最大值为
y
max
?
43455
??1
；最小值为y
min
??(?)??
．
343129
1
2
，求当
x
、
y
为何值时，
u?log
1
(8xy ?4y?1)
取
3
2
九、利用二次函数的性质
例25：设
x?0
，
y?0
且
x?2y?
得最大值和最小值，并求出最大值和最 小值．
解析：由
x?2y?
11
，得
x??2y

22
1
?u?log
1
[8(?2y)y?4y
2
?1] ?log
1
(?12y
2
?4y?1)

33
2< br>1
14
2
由
x?0
，
y?0
且
x? 2y?
可得
0?y?
，从而
1??12y?4y?1?
(当
y?0
时
23
4
1
左边取“=”号，
y?
时右边取 “＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即
6
1141
当
x?
、
y?
时，
u
min
?log
1
()
；当< br>x?
、
y?0
时，
u
max
?0
．
3
3662
例26：求函数
y?3cosx?2?cos2x
的最值． < br>解析：
y?
31
?cos2x?3cosx?1??2(cosx?)
2
?

48
要使
y
有意义，必须有
?cos2x? 3cosx?1?0
，即
1
?cosx?1
．
2
故 当
cosx?
12
31
?
时，
y
max
?< br> ；当
cosx?
(或
1
)时，
y
min
? 0
.
84
42
9

v1.0 可编辑可修改
例27：求函数
y?2?4msinx?cos2x
的最值．
解析：
y?2?4msinx?(1?2sinx)?2(sinx?m)?1?2m

因为
|sinx|?1
，结合二次函数图象及其性质：
当
m?(? ?
，
?1]
时，
y
max
?3?4m
，
y
min
?3?4m
．
当
m?[?1
，
0]
时，
y
max
?3?4m
，
y
min
?1?2m
．
当
m?[0
，
1]
时，
y
max?3?4m
，
y
min
?1?2m
．
当
m? [1
，
??)
时，
y
max
?3?4m
，
y
min
?3?4m
．
十、放缩法
?
例28：若
a
、
b
、
c?R
，且
a?b?c?3
，则
a?1?b?1?c?1
的最大值是（ ）
2
2
222
(a?1)?2a?3

?
22
b?3c?3
同理，
b?1?2?
，
c?1?2?
．
2 2
解析：
a?1?2?
三式相加，
a?1?2?b?1?2?c?1?2?< br>即
a?3b?3c?3
???6

222
a?1?b?1?c?1?32

b?1?c?1?2
即
a?b?c?1
时取等号． 当且仅当
a?1?
十一、导数法
例29：求函数
f(x)?x?x?x?3
在
[?3,3]
上的最值
解析：
f(x)?3x?2x?1?(3x?1)(x?1)?0
，得
x?< br>2
32
1
或x??1

3
122
f()?2
，
f(?1)?4
，
f(?3)??12
，
f(3)?36

327
所以函数最大值为36，最小值为
?12

注意： 要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都
用该方法，导数法往 往就是最简便的方法，应该引起足够重视．
例30：求函数
f(x)?2x?1?6?x
的最值
10

v1.0 可编辑可修改
解析：函数的定义域为
[1,6]
,
f(x)?

1
x?1
?
1
26?x
< br>f

(x)?0?1?x?5
；
f

(x)?0?5?x ?6
，又
f(x)
是
[1,6]
上的连续函数
故有
f(x)
在
[1,5]
上递增，在
[5,6]
上递减．
f (1)?5
，
f(5)?5
，
f(6)?25

故函数最大值为
5
，最小值为
5


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