高一数学《函数》全章知识点整理

函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射
（1）映 射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都
有唯一 的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映
射 ，记作f：A→B。
注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中，相同的是 （ ）
A、
f(x)?lgx,g(x)?2lgx
B、
f(x)?lg
C、
f(u)?
2
x?1
,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1)

x?1
1?u1?v
D、f（x）=x，
f(x)?x
2

,g(v)?
1?u1?v< br>2、
M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}
给出下列四个图形，其中能表示 从集合M到集合N的函
数关系的有 （ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y
2
1
O
y
2
1
1
2 x
O
y
3
2
1
2
1
1
2 x
O
y
1 2
x
O
1 2 x



二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

6.（05卷）函 数
y?log
0.5
(4x
2
?3x)
的定义域为

2求函数定义域的两个难点问题
（1）
已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域
（2）
已知f(2x－

例2设
f(x)?lg
2?xx2
，则< br>f()?f()
的定义域为_________
2?x2x
变式练习：
f(2?x)?

4?x
2
，求
f(x)
的定义域。

三、函数的值域
1求函数值域的方法
①从自变量x的围出发，推出y=f(x)的取值围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式外皆为一次式；
③判别式法： 运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值围；适合分母为二次且
x
∈R的分式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有围限制时要画图）；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
1．
y?
1

2
x?2x?3
2．
f(x)?2?24?2x?x
2

3．（换元法）
y??x?
5.
y?
2x?1

x
2
?1
x?1
2

6. (分离常数法) ①
y?
7. (单调性)
y?x?
8.①
y?
x3x?1
②
y?(?2?x?4)

x?12x?1
3
(x?[?1,3])

2x
1
，②
y?x?1?x?1
(结合分子分母有理化的数学方法)
x?1?x?1
2
9．(图象法)
y? 3?2x?x(?1?x?2)

10．(对号函数)
y?2x?
8
(x?4)

x
11. (几何意义)
y?x?2?x?1


四．函数的奇偶性
1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意
x
∈A，都有
f(?x)?f(x)
，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意x
∈A，都有
f(?x)??f(x)
，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：
①y=f(x)是偶函数
?
y=f(x)的图象关于
y
轴对称, y=f(x)是奇函数
?
y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D
1
，D
2
，D
1
∩D
2
要关于原点对称]
3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系

1 已知函数
f(x)
是定义在
(??,??)
上的偶函数. 当
x?( ??,0)
时，
f(x)?x?x
4
，则当
x?(0,??)
时，
f(x)?
.
?2
x
?b
2 已知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1
是奇函数。
2?a

（Ⅰ）求
a,b
的值；
（Ⅱ）若对任意的< br>t?R
，不等式
f(t?2t)?f(2t?k)?0
恒成立，求
k< br>的取值围；
3 已知
f(x)
在（－1，1）上有定义，且满足
x, y?(?1,1)有f(x)?f(y)?f(
22
x?y
),

1?xy
证明：
f(x)
在（－1，1）上为奇函数；
4
若奇函数
f(x)(x?R)
满足
f(2)?1
，
f(x?2)? f(x)?f(2)
，则
f(5)?
_______


五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：

2 设
y?f?
g
?
x
?
?
是定义在M上的函数，若f(x)与g( x)的单调性相反，则
y?f
?
g
?
x
?
?
在M上是减函数；若f(x)
与g(x)的单调性相同，则
y?f
?
g?
x
?
?
在M上是增函数。
1判断函数
f(x)??x(x?R)
的单调性。
2例 函数
f( x)
对任意的
m,n?R
，都有
f(m?n)?f(m)?f(n)?1，并且当
x?0
时，
f(x)?1
，
⑴求证：
f(x)
在
R
上是增函数；
⑵若
f(3)?4
，解不等式
f(a?a?5)?2

2
3函数
y?log
0.1
(6?x?2x)
的单调增区间是________
3
2
?
(3a?1)x?4a,x?1
f(x)?
4(高考 真题)已知是
(??,??)
上的减函数，那么
a
的取值围是 （ ）
?
logx,x?1
a
?
（A）
(0,1)
（B）
(0,)
（C）
[,)


1
3
11
73
（D）
[,1)

1
7
六．函数的周期性：
1．（定义）若
f(x?T)?f(x) (T?0)?
f(x)
是周期函数，T是它的一个周期。
说明：nT也是
f(x)
的周期
（推广）若
f(x?a)?f(x ?b)
，则
f(x)
是周期函数，
b?a
是它的一个周期
对照记忆
f(x?a)?f(x?a)
说明：
f(a?x)?f(a?x)
说明：

2．若
f(x?a)? ?f(x)
；
f(x?a)?
1
1
；
f(x?a)??；则
f(x)
周期是2
a

f(x)
f(x)
1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=
－
f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

2 定义在R上的偶函数
f(x)
，满足
f(2?x) ?f(2?x)
，在区间［-2,0］上单调递减，设
a?f(?1.5),b?f(2),c ?f(5)
，则
a,b,c
的大小顺序为_____________
3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且
f(x?2)?
f (2005)= .
1?f(x)
,若f(1)?2?3,
则
1?f(x)
4 已 知
f(x)
是(-
?，
当0
?x?
1时，f(x)=x，则 f(7.5)=________
??
)上的奇函数，
f(2?x)??f(x)
，
例11 设
f(x)
是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足
f(2?x)??f(x)
，当
x?[0,2]
时
f(x)?2x?x
2

⑴求证：
f(x)
是周期函数；
⑵当
x?[2,4]
时，求
f(x)
的解析式；
⑶计算：
七、反函数
1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；
2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。
3、关于反函数的性质
（1）y=f(x)和y=f
-1
(x)的图象关于直线y=x对称；
（2）y=f(x)和y=f
-1
(x)具有相同的单调性；
（3）已知y =f(x)，求f
-1
(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f
-1
(a)；
（4）f
-1
[f(x)]=x;
（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f
--1
(x)的图象上； （6）y=f(x)的图象与其反函数y=f
--1
(x)的图象的交点一定在直线y=x 上;
1设函数
y?f(x)
的反函数为
y?f
像必过
（A）
(,1)
（B）
(1,)
（C）
(1,0)
（D）
(0,1)


?1< br>1
(x)
，且
y?f(2x?1)
的图像过点
(,1)
，则
y?f
?1
(x)
的图
2
1
2
1< br>2
八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
2
1．二次函数f(x)= ax
2
+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴
x?
?b
，顶点坐标
(?
b
,
4ac?b
)

2a
2a4a
2．二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程
ax ?bx?c?0(a?0)
的根为二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)< br>y?0
的
x
的取值。
一元二次不等式
ax?bx?c?0(?0)
的解集(a>0)
二次函数 △情况 一元二次不等式解集
2
2

Y=ax+bx+c (a>0)
2
△=b-4ac
2
ax
2
+bx+c>0
(a>0)
ax
2
+bx+c<0
(a>0)
△>0
?
xx?x或x?x
?

12
?
xx
1
?x?x
2
?

图
象
与
解
△=0
?
xx?x
?

0
?

△<0 R
?


1、已知函数
f(x)?4x?mx?5
在区间[?2,??)
上是增函数，则
f(1)
的围是（ ）
（A）
f(1)?25
(B)
f(1)?25
(C)
f(1)?25
(D)
f(1)?25

2、方 程
mx?2mx?1?0
有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值围是_______
2
2

九．指数式与对数式
1．幂的有关概念
(1)零指数幂
a?1(a?0)

(2)负整数指数幂
a
?n
0
?
1
a?0,n?N
?
?

n?
a
n
(3)正分数指数幂
a?
(5)负分数指数幂
a
m
?
n
m
n
a
m
?
a?0,m, n?N
?
,n?1
?
；
1
a
m
n
??
1
n
a
m
?
a?0,m,n?N,n?1
?

?
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2．有理数指数幂的性质
?
1
?
a
r
a
s
?a
r?s
?
a?0,r,s?Q
?

?
2
?
?
a
r
?
?a
rs
?
a? 0,r,s?Q
?

?
3
??
ab
?
? a
r
b
r
?
a?0,b?0,r?Q
?

s
r
3．根式
根式的性质:当
n
是奇数，则
n< br>a
n
?a
；当
n
是偶数，则
n
a?a??
n
?
a
?
?a
a?0
a?0

4．对数
b
(1)对数的概念:如果
a?N(a?0,a?1)
, 那么b叫做以a为底N的对数,记
b?log
a
N(a?0,a?1)

(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②
log
a
1?0
③
log
a
a?1

(3)对数的运算性质
logMN=logM+logN

对数换底公式：
log
a
N?
log
m
N
(N?0,a?0且a?1,m?0且m?1)< br>
log
m
a
n
对数的降幂公式：
log
a
m
N?
n
log
a
N(N?0,a?0且a?1)

m
(2)
lg8?lg125?lg2?lg 5
lg10?lg0.1
(0.1)
?2
(a
3
b)
十．指数函数与对数函数
名称
一般形式
定义域
值域
过定点
图象
1
?
(1)
()
2
?
4
1
(4ab
?1
)
3
1
?3
2

1、 指数函数y=a
x
与对数函数y=log
a
x (a>0 , a≠1)互为反函数
指数函数
Y=a
x
(a>0且a≠1)
(-∞,+ ∞)
(0,+ ∞)
（０，1）
对数函数
y=log
a
x (a>0 , a≠1)
(0,+ ∞)
(-∞,+ ∞)
（1，０）
指数函数y=a
x
与对数函数y=log
a
x (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数
y>1 ? y<1?

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数
y>0? y<0?
单调性
值分布

2. 比较两个幂 值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相
同，可利用指 数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）
记住下列特殊值为底数的函数图象：

3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
4、 指数函数与对数函数 中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函
数的单调性是解决问题的重 要途径。
1、（1）
y?lgx?lg(5?3x)
的定义域为_______；
（2）
y?2

（3）
y?lg(?x
2
?x)< br>的递增区间为
___________
，值域为
___________

1
2、（1）
log
2
1
x??0
，则
x?________

4
2
3、要使函数
y?1?2
x
?4
x
a
在
x?
?
??,1
?
上
y?0
恒成立。求
a
的取值围。
11
x
2
xx
·
a
－≤0（
a
＞0且
a
≠1），求
y
=2
a
－3·
a
+4的值域.
22
十．函数的图象变换
4.若
a
+
2
x
1
x?3
的值域为_________；
（1） 1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即
?0,右移;h?0,左移
y?f(x)?
h
? ?????y?f(x?h)
y?f(x)???????y?f(x)?k
① 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）
k?0,下移;k?0,上移