1995全国高中数学联赛-面试高中数学老师试讲10分钟
函数的奇偶性(讲义)
知识点睛
一、 函数的奇偶性
1. 设函数
y?f(x)
的定义域为I,对?x∈I,
(1)若____
_________,则函数
y?f(x)
就叫做________;
(2)若__
___________,则函数
y?f(x)
就叫做________;
若函数<
br>y?f(x)
是奇函数或者偶函数,那么我们就说函数
y?f(x)
具有奇偶<
br>性.
说明:
(1)奇偶函数的定义域________________;
(2)偶函数图象关于_____对称,奇函数图象关于_____对称;
(3)若奇函数的定义域I包含数0,则必有____________.
二、
奇(偶)函数的应用
1. 求函数值
2. 求函数解析式
3.
判断函数的单调性
精讲精练
x
2
?1
1
1. 给出下列函数:①
f(x)?
;
②
f(x)?
;③
f(x)?x?1
;
x
x?1
1
④
f(x)?x
3
(?1
≤
x
≤
2)
,其中属于奇函数的是(
)
A.①③ B.①②
C.①②③④ D.②
2.
对于定义域为R的奇函数
f(x)
,下列结论成立的是( )
A.
f(x)?f(?x)?0
C.
f(x)?f(?x)
≤
0
B.
f(x)?f(?x)?0
D.
f(x)?f(?x)
≥
0
3. 设
f(x
)
是定义在R上的任意一个增函数,
F(x)?f(x)?f(?x)
,
则函数
F(x)
必为( )
A.增函数且是奇函数
C.减函数且是奇函数
( )
A.
f(x)?g(x)
是奇函数
B.
f(x)?g(x)
是偶函数
D.
f(x)?g(x)
是奇函数
B.函数
g[f(x)]
是奇函数
D.函数
f(x)?g(x)
是奇函数
2?x
为
(x?2)?2
B.增函数且是偶函数
D.减函数且是偶函数
4. 设函数
f(x)
和
g(x)
分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是
C.
f(x)?g(x)
是偶函
数
A.函数
f[g(x)]
是奇函数
C.函数
f(x)g(x)
是奇函数
5. 若函数
f(x)(x
?
R)是奇函数,函数
g(x)
(x
?
R)是偶函
数,则( )
6. 定义新运算:
a?b?a
2
?b
2,
a?b?(a?b)
2
,则函数
f(x)?
( )
A.奇函数
C.常函数
B.偶函数
D.非奇非偶函数
1
;
x
2
7. 判断下列函数的奇偶性:
(1)
f(x)?x
3
?2x
;
(3)
f(x)?2x
4
?3x
2
;
x
3
?x
4
(5)
f(x)?
;
x?
1
2
?
?
x?x(x?0)
(6)
f(x)?
?<
br>2
.
?
?
?x?x(x?0)
(2)
f(x)?
(4)
f(x)?x
2
,x∈(-3,5);
8.
已知函数
f(x)?ax
2
?2x
是奇函数,则实数a=________.
2
9. 已知
f(x)?ax
2?bx?3a?b
是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则
a=_________
,b=________.
x
10.
若函数
f(x)?
为奇函数,则a=( )
(2x?1)(x?a)
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.1
11. 设
f(x)?ax
7
?bx?5
,已知
f(?7)
??17
,则
f(7)
的值为_____.
12. 已知
g(x)
是奇函数,
g(x)?f(x)?9
,且
g(2)?5
,则
f(?2)
=
_________.
13. 设
f(x)
是定义
在(?∞,?∞)上的偶函数,且
f(x)
在[0,?∞)上为增函数,则
f(?2)
,
f(??)
,
f(3)
的大小顺序是(
)A.
f(??)?f(?2)?f(3)
B.
f(??)?f(?2)?f(3)
D.
f(??)?f(3)?f(?2)
B.有最小值
D.没有最小值
C.
f(??)?f(3)?f(?2)
A.有最大值
C.没有最大值
14. 若偶函数
f(x)
在[a,b]上具有最大值,那么
f(x)
在[-b,-a]上( )
15. 已知
f(x)
是奇函数,且当x>0时
,
f(x)?2x
2
?1
,那么
f(?1)
=______
.
16. 已知
f(x)
是定义在R上的奇函数,当x
≥
0时,<
br>f(x)?x
2
?5x
,则在R上
f(x)
的表达式为(
)
A.
f(x)??x(x?5)
???
C.
f(x)?x(x?5)
???
?
B.
f(x)?x(x?5)
D.
f(x)?x(x?5)
17. 已知函数
f(x)
的定义域为(3-2a,a+1),且
f(x?1)
是偶函数,则实数a的值
可以是(
)
2
A.
B.4
3
C.2 D.6
1
,则
x?1
18. 已知
f(x)
是奇函数,
g
(x)
是偶函数,且
f(x)?g(x)?
f(x)?______________
_,g(x)?_______________
.
?
x
2
?2x(x
≥
0)
19.
已知函数
f(x)?
?
是奇函数,则
f[g(?1)]
=(
)
(x?0)
?
g(x)
A.-20 B.-18 C.-15
D.17
mx
2
?2
5
20.
已知函数
f(x)?
是奇函数,且
f(2)?
.
3x?n
3
(1)求实数m和n的值;
(2)判断函数
f(x)
在区间(?∞,?1)上的单调性,并加以证明.
3
?
?1
(?2
≤
x
≤
0)
21. 设函数
f(x)?
?<
br>,若函数
g(x)?f(x)?ax
,x
?
[-2,2]为偶
?
x?1 (0?x
≤
2)
函数,求实数a的值.
a
22.
已知函数
f(x)?x
2
?(x?0,a?R)
.
x
(1)判断函数
f(x)
的奇偶性,并加以证明;
(2)若
f(x)
在区间[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
4
回顾与思考
_________
_______________________________________________ ________________________________________________
________
_____________________________________
___________________
【参考答案】
【知识点睛】
一、1.(1)
f(?x)?f(x)
偶函数;
(2)
f(?x)??f(x)
说明:
(1)关于原点对称;(2)y轴 原点;(3)
f(0)?0
奇函数
【精讲精练】
1.D 2.C 3.A
4.B 5.C 6.A
7.(1)奇函数
(2)偶函数 (3)偶函数
(4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数
(6)奇函数
1
8.0 9.
0 10.A
11.27 12.-14 13.D
3
x1
14.A
15.-1 16.B 17.C 18.
2
2
19.C
x?1x?1
20.(1)m=2,n=0;(2)单调递增,证明略
1
2
22.(1)当
a?0
时,
f(x)
是偶函数;当
a?0
时,
f(x)
是非奇非偶函数;(2)
a
≤
16<
br>
21.
a?
函数的奇偶性(随堂检测)
1. 已知f(x)
,
g(x)
分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且
f(x)?
g(x)?x
3
?x
2
?1
,则
f(1)?g(1)?( )
A.-3
B.-1 C.1 D.2
3
2. 若函数
f(x)=(m?1)x
2
?3mx?8
是
偶函数,则
f(?)
,
f(a
2
?a?1)(a?R)
的大
4
5
3
小关系是
f(?)<
br>_______
f(a
2
?a?1)
.
4
【参考答案】
1.C 2.
≥
函数的奇偶性(作业)
3. 设函数
f(x)
,
g(x)
的定义域都为R,且
f(
x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,则
下列结论中正确的是( )
A.
f(x)?g(x)
是偶函数
C.
f(x)g(x)
是奇函数
B.
f(x)g(x)
是奇函数
D.
f(x)g(x)
是奇函数
4. 定义在R上的偶函数
f(x
)
满足:对任意x
1
,x
2
∈(-∞,0](x
1
≠x
2
),有
(x
2
?x
1
)[f(x
2
)?f(x
1
)]?0
,则当
n?N
*
时,有(
)
A.
f(?n)?f(n?1)?f(n?1)
B.
f(n?1)?f(?n)?f(n?1)
C.
f(n?1)?f(?n)?f(n?1)
D.
f(n?1)?f(n?1)?f(?n)
5. 已知
f(x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,且
f(?1)?g(1)?2
,
f
(1)?g(?1)?4
,
则
g(1)
等于( )
A.4
B.3 C.2 D.1
6. 定义在R上的函数
f(x)
是偶函数,且<
br>f(x)?f(2?x)
,若
f(x)
在区间[1,2]
6
上是减函数,则
f(x)
( )
A.在区间[-2,-?]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-?]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-?]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-?]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
7. 设奇函数
f(x)
在区间(0,+∞)上为增函数,且
f(1)
=0,则不等式
f(
x)?f(?x)
?0
的解集为( )
x
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
8.
设奇函数
f(x)
在区间[-1,1]上是增函数,且
f(?1)??1
,
若
f(x)
≤
t
2
?2at?1
对所有的x
?
[-1,1]都成立,则当
a
?
[-1,1]时,t的取值范围为(
)
A.
?2
≤
t
≤
2
11
B.
?
≤
t
≤
22
11
D.
t
≤
?或t?0或t
≥
22
C.
t
≤
?2或t?0或t
≥
2
9. 已知
f(x)=x
5
?ax
3
?bx?8
(
其中a,b是实常数),且
f(?2)=10,
则
f(2)=
__________.
10. 已知定义在R上
的奇函数
f(x)
满足
f(x?2)??f(x)
,则
f(6)=____________.
11. 已知
f(x)
是定义在R上的
奇函数,当x>0时,
f(x)=x
2
?4x
,则不等式
f(x)?
x
的解集用区间表示为________________.
12. 已知函数
f(
x)
满足
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)?f(y)
(x,y
?<
br>R)且
f(0)?0
,试
判断函数
f(x)
的奇偶性.
7
13. 设
f(x)
为R上的偶函数,且
f(x)
在区间(-∞,0]上是增函数,若
f(2a
2
?a?1)
≤
f(3a
2
?2a?1)
,求实数a的取值范围.
14. 设函数
f(x)?x
2
?2x?1(?3
≤
x
≤
3)
.
(1)证明:
f(x)
是偶函数;
(2)直接写出函数
f(x)
的单调区间;
(3)求函数
f(x)
的值域.
15. 已知函数
y?f(x)
在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数.
(1)证明:对任意的x
1
,x
2
∈[-1,1],有[ f
(x
1
) + f
(x
2
)](x
1
+x
2
)
≤
0;
8
(2)若
f(1?a
2
)
?f(1?a)?0
,求实数a的取值范围.
【参考答案】
1.C 2.C 3.B 4.B 5.D
6.C 7.6 8.0 9.
(?5,0)?(5,??)
10.
f(x)
是偶函数
11.
0
≤
a
≤
3
12.(1)证明略;
(2) f
(x)在
[?3,?1],[0,1]
上单调递减,在
[?1,0]
,[1,3]
上单调递增;
(3)
f(x)
的值域为
[?2,2]
13.(1)证明略;
(2)
0
≤
a?1
9
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