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高中数学函数版块之函数的奇偶性

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 15:34
tags:高中数学函数

1995全国高中数学联赛-面试高中数学老师试讲10分钟



函数的奇偶性(讲义)
知识点睛
一、 函数的奇偶性
1. 设函数
y?f(x)
的定义域为I,对?x∈I,
(1)若____ _________,则函数
y?f(x)
就叫做________;
(2)若__ ___________,则函数
y?f(x)
就叫做________;
若函数< br>y?f(x)
是奇函数或者偶函数,那么我们就说函数
y?f(x)
具有奇偶< br>性.
说明:
(1)奇偶函数的定义域________________;
(2)偶函数图象关于_____对称,奇函数图象关于_____对称;
(3)若奇函数的定义域I包含数0,则必有____________.
二、 奇(偶)函数的应用
1. 求函数值
2. 求函数解析式
3. 判断函数的单调性















精讲精练
x
2
?1
1
1. 给出下列函数:①
f(x)?
; ②
f(x)?
;③
f(x)?x?1

x
x?1
1




f(x)?x
3
(?1

x

2)
,其中属于奇函数的是( )
A.①③ B.①②





C.①②③④ D.②
2. 对于定义域为R的奇函数
f(x)
,下列结论成立的是( )
A.
f(x)?f(?x)?0

C.
f(x)?f(?x)

0

B.
f(x)?f(?x)?0

D.
f(x)?f(?x)

0

3. 设
f(x )
是定义在R上的任意一个增函数,
F(x)?f(x)?f(?x)

则函数
F(x)
必为( )
A.增函数且是奇函数
C.减函数且是奇函数
( )
A.
f(x)?g(x)
是奇函数 B.
f(x)?g(x)
是偶函数
D.
f(x)?g(x)
是奇函数
B.函数
g[f(x)]
是奇函数
D.函数
f(x)?g(x)
是奇函数
2?x

(x?2)?2


B.增函数且是偶函数
D.减函数且是偶函数
4. 设函数
f(x)

g(x)
分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是
C.
f(x)?g(x)
是偶函 数
A.函数
f[g(x)]
是奇函数
C.函数
f(x)g(x)
是奇函数
5. 若函数
f(x)(x
?
R)是奇函数,函数
g(x)
(x
?
R)是偶函 数,则( )
6. 定义新运算:
a?b?a
2
?b
2
a?b?(a?b)
2
,则函数
f(x)?
( )
A.奇函数
C.常函数








B.偶函数
D.非奇非偶函数
1

x
2
7. 判断下列函数的奇偶性:
(1)
f(x)?x
3
?2x



(3)
f(x)?2x
4
?3x
2



x
3
?x
4
(5)
f(x)?

x? 1
2
?
?
x?x(x?0)
(6)
f(x)?
?< br>2

?
?
?x?x(x?0)
(2)
f(x)?
(4)
f(x)?x
2
,x∈(-3,5);




8. 已知函数
f(x)?ax
2
?2x
是奇函数,则实数a=________.
2



9. 已知
f(x)?ax
2?bx?3a?b
是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则
a=_________ ,b=________.
x
10. 若函数
f(x)?
为奇函数,则a=( )
(2x?1)(x?a)
A.
1

2
B.
2

3
C.
3

4
D.1
11. 设
f(x)?ax
7
?bx?5
,已知
f(?7) ??17
,则
f(7)
的值为_____.
12. 已知
g(x)
是奇函数,
g(x)?f(x)?9
,且
g(2)?5
,则
f(?2)
=
_________.
13. 设
f(x)
是定义 在(?∞,?∞)上的偶函数,且
f(x)
在[0,?∞)上为增函数,则
f(?2)

f(??)

f(3)
的大小顺序是( )A.
f(??)?f(?2)?f(3)

B.
f(??)?f(?2)?f(3)




D.
f(??)?f(3)?f(?2)

B.有最小值
D.没有最小值
C.
f(??)?f(3)?f(?2)

A.有最大值
C.没有最大值




14. 若偶函数
f(x)
在[a,b]上具有最大值,那么
f(x)
在[-b,-a]上( )
15. 已知
f(x)
是奇函数,且当x>0时 ,
f(x)?2x
2
?1
,那么
f(?1)
=______ .
16. 已知
f(x)
是定义在R上的奇函数,当x

0时,< br>f(x)?x
2
?5x
,则在R上
f(x)
的表达式为( )
A.
f(x)??x(x?5)
???
C.
f(x)?x(x?5)
???

?
B.
f(x)?x(x?5)

D.
f(x)?x(x?5)

17. 已知函数
f(x)
的定义域为(3-2a,a+1),且
f(x?1)
是偶函数,则实数a的值
可以是( )
2
A.
B.4
3
C.2 D.6
1
,则
x?1
18. 已知
f(x)
是奇函数,
g (x)
是偶函数,且
f(x)?g(x)?
f(x)?______________ _,g(x)?_______________

?
x
2
?2x(x

0)
19. 已知函数
f(x)?
?
是奇函数,则
f[g(?1)]
=( )
(x?0)
?
g(x)
A.-20 B.-18 C.-15 D.17
mx
2
?2
5
20. 已知函数
f(x)?
是奇函数,且
f(2)?

3x?n
3
(1)求实数m和n的值;
(2)判断函数
f(x)
在区间(?∞,?1)上的单调性,并加以证明.
3














?
?1 (?2

x

0)
21. 设函数
f(x)?
?< br>,若函数
g(x)?f(x)?ax
,x
?
[-2,2]为偶
?
x?1 (0?x

2)
函数,求实数a的值.








a
22. 已知函数
f(x)?x
2
?(x?0,a?R)

x
(1)判断函数
f(x)
的奇偶性,并加以证明;
(2)若
f(x)
在区间[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.









4






回顾与思考
_________ _______________________________________________ ________________________________________________ ________
_____________________________________ ___________________
【参考答案】
【知识点睛】
一、1.(1)
f(?x)?f(x)
偶函数;
(2)
f(?x)??f(x)

说明:
(1)关于原点对称;(2)y轴 原点;(3)
f(0)?0

奇函数
【精讲精练】
1.D 2.C 3.A
4.B 5.C 6.A
7.(1)奇函数 (2)偶函数 (3)偶函数
(4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)奇函数
1
8.0 9.
0 10.A 11.27 12.-14 13.D
3
x1
14.A 15.-1 16.B 17.C 18.
2

2
19.C
x?1x?1
20.(1)m=2,n=0;(2)单调递增,证明略
1

2
22.(1)当
a?0
时,
f(x)
是偶函数;当
a?0
时,
f(x)
是非奇非偶函数;(2)
a

16< br>
21.
a?

函数的奇偶性(随堂检测)
1. 已知f(x)

g(x)
分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且
f(x)? g(x)?x
3
?x
2
?1
,则
f(1)?g(1)?( )
A.-3


B.-1 C.1 D.2
3
2. 若函数
f(x)=(m?1)x
2
?3mx?8
是 偶函数,则
f(?)

f(a
2
?a?1)(a?R)
的大
4
5



3
小关系是
f(?)< br>_______
f(a
2
?a?1)

4


















【参考答案】
1.C 2.



函数的奇偶性(作业)
3. 设函数
f(x)

g(x)
的定义域都为R,且
f( x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,则
下列结论中正确的是( )
A.
f(x)?g(x)
是偶函数
C.
f(x)g(x)
是奇函数


B.
f(x)g(x)
是奇函数
D.
f(x)g(x)
是奇函数
4. 定义在R上的偶函数
f(x )
满足:对任意x
1
,x
2
∈(-∞,0](x
1
≠x
2
),有
(x
2
?x
1
)[f(x
2
)?f(x
1
)]?0
,则当
n?N
*
时,有( )
A.
f(?n)?f(n?1)?f(n?1)
B.
f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

C.
f(n?1)?f(?n)?f(n?1)
D.
f(n?1)?f(n?1)?f(?n)

5. 已知
f(x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,且
f(?1)?g(1)?2

f (1)?g(?1)?4


g(1)
等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6. 定义在R上的函数
f(x)
是偶函数,且< br>f(x)?f(2?x)
,若
f(x)
在区间[1,2]
6



上是减函数,则
f(x)
( )
A.在区间[-2,-?]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-?]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-?]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-?]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
7. 设奇函数
f(x)
在区间(0,+∞)上为增函数,且
f(1)
=0,则不等式
f( x)?f(?x)
?0
的解集为( )
x
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
8. 设奇函数
f(x)
在区间[-1,1]上是增函数,且
f(?1)??1


f(x)

t
2
?2at?1
对所有的x
?
[-1,1]都成立,则当
a
?
[-1,1]时,t的取值范围为( )
A.
?2

t

2


11
B.
?

t


22
11
D.
t

?或t?0或t


22
C.
t

?2或t?0或t

2

9. 已知
f(x)=x
5
?ax
3
?bx?8
( 其中a,b是实常数),且
f(?2)=10,


f(2)=
__________.

10. 已知定义在R上 的奇函数
f(x)
满足
f(x?2)??f(x)
,则
f(6)=____________.

11. 已知
f(x)
是定义在R上的 奇函数,当x>0时,
f(x)=x
2
?4x
,则不等式
f(x)? x
的解集用区间表示为________________.
12. 已知函数
f( x)
满足
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)?f(y)
(x,y
?< br>R)且
f(0)?0
,试
判断函数
f(x)
的奇偶性.












7




13. 设
f(x)
为R上的偶函数,且
f(x)
在区间(-∞,0]上是增函数,若
f(2a
2
?a?1)

f(3a
2
?2a?1)
,求实数a的取值范围.














14. 设函数
f(x)?x
2
?2x?1(?3

x

3)

(1)证明:
f(x)
是偶函数;
(2)直接写出函数
f(x)
的单调区间;
(3)求函数
f(x)
的值域.













15. 已知函数
y?f(x)
在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数.
(1)证明:对任意的x
1
,x
2
∈[-1,1],有[ f (x
1
) + f (x
2
)](x
1
+x
2
)

0;
8



(2)若
f(1?a
2
) ?f(1?a)?0
,求实数a的取值范围.















【参考答案】
1.C 2.C 3.B 4.B 5.D
6.C 7.6 8.0 9.
(?5,0)?(5,??)

10.
f(x)
是偶函数 11.
0

a

3

12.(1)证明略;
(2) f (x)在
[?3,?1],[0,1]
上单调递减,在
[?1,0] ,[1,3]
上单调递增;
(3)
f(x)
的值域为
[?2,2]

13.(1)证明略;
(2)
0

a?1


9

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