高中数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习
题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接 或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题
提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令
f
'
(x)?0
得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可 知；
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：
第一种：变更主元 （即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（ 请
同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值---- 题型特征
f(x)?g(x)
恒成立
?h(x)?f(x)?g(x)?0
恒成立；参考例4；
1
32
例1.已知函数
f(x)?x?bx?2x?a
，
x?2
是
f(x)
的一个极值点．
3
2
2
（Ⅰ）求
f(x)
的单调 递增区间；（Ⅱ）若当
x?[1, 3]
时，
f(x)?a?
恒成立，求
a
的取值范围．
3
例2.已知函数的图象过点.
（1）若函数在处的切线斜率为，求函数的解析式；（2）若，求函数的单调区间。
2x
2
,
g(x)?ax?5?2a(a?0)
。 例3.设
f(x)?
x?1
（1）求
f(x)
在
x?[0,1]
上 的值域；
（2）若对于任意
x
1
?[0,1]
，总存在
x
0
?[0,1]
,使得
g(x
0
)?f(x
1)
成立,求
a
的取值范围。
f(x)?x
3
?ax< br>2
图象上一点
P(1,b)
的切线斜率为
?3
，
t ?6
2
g(x)?x
3
?x?(t?1)x?3(t?0)

2
（Ⅰ）求
a,b
的值； （Ⅱ）当
x?[?1,4]
时，求
f(x)
的值域；
（Ⅲ）当x?[1,4]
时，不等式
f(x)?g(x)
恒成立，求实数t的取值范围。
例4.已知函数
例5.已知定义在
R
上的函数
（Ⅰ）求函数
例6.已知函数
f(x)?ax
3
?2ax
2
?b
在区间< br>?
?2,1
?
上的最大值是5，最小值是－11.
（a?0）
（Ⅱ）若
t?[?1,1]
时，
f
?
(x）
f(x)的解析式；
?tx?0
恒成立，求实数
x
的取值范围.
f(x )?x
3
?3mx
2
?nx?m
2
，在
x??1< br>时有极值0，则
m?n?

x
3
210
3bx
2
?3
． 例7.已知函数f(x)?
2
图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数
g(x)?f(x)?
2
5
a
a
（1） 若函数
g(x)
在
x?1
处有极值，求
g(x)
的解析式；
2
（2） 若函数
g(x)
在区间
[?1,1]
上为增函数 ，且
b?mb?4?g(x)
在区间
[?1,1]
上都成立，求实数
m
的取值范围．
答案：
1、解：（Ⅰ）
f
'
(x)?x
2
?2bx?2
. ∵
x?2
是
f(x)
的一个极值点，
3
2
∴x?2
是方程
x?2bx?2?0
的一个根，解得
b?
.
2
'
2
令
f(x)?0
，则
x?3x?2?0，解得
x?1
或
x?2
.
∴函数
y?f(x)
的单调递增区间为
(??, 1)
，
(2, +?)
.
''
（Ⅱ）∵当
x?(1,2)
时
f (x)?0
，
x?(2,3)
时
f(x)?0
，
∴
f(x)
在（1，2）上单调递减，
f(x)
在（2，3）上单调递增. ∴
f(2)
是
f(x)
在区间[1，3]上的最小值，且
f(2)?
2
?a
.
3
若当
x?[1, 3]
时，要使
f(x)?a
2
?
2222
22
恒成 立，只需
f(2)?a?
， 即
?a?a?
，解得
0?a?1
.
3333
2、解：（Ⅰ）． 由题意知，得 ．
∴ ．
（Ⅱ）． ∵ ，∴ ．
由解得或，
由解得． ……………10
∴ 的单调增区间为：和；
的单调减区间为： ．……12分

4x(x?1)?2x
2
2x
2
?4x
??0
在
x?[0,1]
上恒成立. 3、 解：(1)法一:(导数法)
f
?
(x)?
(x?1)
2
( x?1)
2
∴
f(x)
在[0,1]上增，∴
f(x)
值域[0,1]。
?
0,x?0
2x
2
?
?
法二:
f(x)??
?
2
,x?(0,1]
, 复合函数求值域.
x?1
?
11
?
2
?
?
xx
2x
2
2(x?1)
2
?4(x?1)?22
??2(x?1)??4< br>用双勾函数求值域. 法三:
f(x)?
x?1x?1x?1
(2)< br>f(x)
值域[0,1]，
g(x)?ax?5?2a(a?0)
在
x ?[0,1]
上的值域
[5?2a,5?a]
.
?
5?2a?0
5
由条件,只须
[0,1]?[5?2a,5? a]
，∴
?
??a?4
.
2
?
5?a?1
特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子 区间问题；
?
f

(1)??3
?
a??3
4、解 ：（Ⅰ）
f(x)?3x?2ax
∴
?
， 解得
?
< br>?
b??2
?
b?1?a
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f(x)
在
[?1,0]
上单调递增，在
[0,2]
上单调递减，在
[2, 4]
上单调递减又
f(?1)??4,f(0)?0,{f(x)}
min
? f(2)??4,{f(x)}
max
?f(4)?16

∴
f(x)
的值域是
[?4,16]

t
2（Ⅲ）令
h(x)?f(x)?g(x)??x?(t?1)x?3x?[1,4]
2
2
∴要使
f(x)?g(x)
恒成立，只需
h(x)?0，即
t(x?2x)?2x?6

2x?6
（1）当
x?[1, 2)
时
t?
2
,
解得
t??1
；
x?2x
（2）当
x?2
时
t?R
；
2x? 6
（3）当
x?(2,4]
时
t?
2
解得
t?8< br>；综上所述所求t的范围是
(??,?1]U[8,??)

x?2x
2
特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；
f (x)?ax
3
?2ax
2
?b,?f
'
(x)?3ax< br>2
?4ax?ax(3x?4)

4
'
令
f(x)
=0,得
x
1
?0,x
2
??
?
?2,1
?

3
因为
a?0
，所以可得下表：
5、解：（Ⅰ）
Q
x

f
'
(x)

?
?2,0
?

+
↗
0
0
极大
?
0,1
?

-
↘
f(x)

因此

f(0)
必为最大值,∴
f（0）?5
因此
b?5
，
Qf(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2)
，
?x
3
?2x
2
?5.
即
f(?2)??16a?5??11
，∴
a?1
，∴
f(x）< br>2
?tx?0
等价于
3x
2
?4x?tx?0
， 令
g(t)?xt?3x
2
?4x
，则问题就（Ⅱ）∵
f
?< br>(x)?3x?4x
，∴
f
?
(x）
?
3x
2
?5x?0
?
g(?1)?0
是
g(t)?0
在
t?[?1,1]
上恒成立时，求实数
x
的取值范围，为此只需
?
， 即
?
，
2
g（1)?0
?
?
x?x?0
解得
0?x?1
，所以所求实数
x
的取值范围是[0，1].
6、11 （ 说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定 是“导数等于零”方程的根；）

3
3
22
?x?3
有
x??a
，即切点坐标为
(a,a)
，
(?a,?a)

?x
，∴由
22
a
a
∴切线方程为
y?a?3(x ?a)
，或
y?a?3(x?a)
，整理得
3x?y?2a?0
或< br>3x?y?2a?0

7、解：∵
f
?
(x)?
∴< br>|?2a?2a|
3
2
?(?1)
2
?
210
332
，解得
a??1
，∴
f(x)?x
，∴
g(x)? x?3bx?3
。（1）∵
g
?
(x)?3x?3b
，
g( x)
5
?0
，即
3?1
2
?3b?0
，解得
b?1
，∴
g(x)?x
3
?3x?3

2
（2 ）∵函数
g(x)
在区间
[?1,1]
上为增函数，∴
g
?
(x)?3x?3b?0
在区间
[?1,1]
上恒成立，∴
b?0< br>，又∵
在
x?1
处有极值，∴
g
?
(1)
b
2
?mb?4?g(x)
在区间
[?1,1]
上恒成立，∴
b
2
?mb?4?g(1)
，即
b
2
?mb?4?4?3b
，∴
m?b?3
在
b?(??,0]
上恒成立，∴
m?3< br>∴
m
的取值范围是
?
3,??
?

题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；
（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：
第一种：转化为恒成 立问题即
f
'
(x)?0或f
'
(x)?0
在给定区间上恒 成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特
别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如 果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处
以一个负数时不等号的方向 要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；
第二种：利用子区间（即子集思想）；首先 求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高
考题；
第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市 统考试卷；
特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a ,b）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资
料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20 题（金考卷第5套）；
（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步：画出两个图 像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后
增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
1
3
(k?1)
2
1x?x
，
g(x)??kx
，且
f(x)
在区间
(2, ??)
上为增函数．
323
（1）求实数
k
的取值范围；（2）若 函数
f(x)
与
g(x)
的图象有三个不同的交点，求实数
k
的取值范围．
3
32
例9.已知函数
f(x)?ax?3x?1?.

a
（I）讨论函数
f(x)
的单调性。
（II）若函 数
y?f(x)
在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。
例8．已知函数
f(x)?

32
例10．已知函数f(x)＝x－ax－4x＋4a，其中a为实数．
(Ⅰ)求导数(x)；(Ⅱ)若(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；
(Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围
例11. 已知：函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c

（I）若函数
f(x)
的图像上存在点
P
，使点
P
处的切线 与
x
轴平行，求实数
a,b
的关系式；
（II）若函数
f(x)
在
x??1
和
x?3
时取得极值且图像与
x
轴有且只有3个交点，求实数
c
的取值范围.
例12．设为三次函数，且图像关于原点对称，当时， 的极小值为．
（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）证明：当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．
f(x)?ax
3
?bx(a?0)
图像在点（1，
f
（1）） 处的切线与直线
6x?y?7?0.
平行，导函数
f'(x)
的最小
值为－12。（1）求
a
、
b
的值；（2）讨论方程
f(x)?m< br>解的情况（相同根算一根）。
3
例14．已知定义在R上的函数
f(x)?a x?bx?c(a,b,c?R)
，当
x??1
时，
f(x)
取得极 大值3，
f(0)?1
.
（Ⅰ）求
f(x)
的解析式；（Ⅱ） 已知实数
t
能使函数
f(x)在区间(t,t?3)
上既能取到极大值，又能 取到极小值，记所有的实
f(x)
数
t
组成的集合为M.请判断函数
g(x)?(x?M)
的零点个数.
x
322
例15.已知函数
f (x)?kx?3(k?1)x?2k?4,若f(x)
的单调减区间为（0，4）
（I）求
k
的值；
2
（II）若对任意的
t?[?1,1] ,关于x的方程2x?5x?a?f(t)
总有实数解，求实数
a
的取值范围。
例13．在函数

例16.已知函数
（Ⅰ）求函数
值范围. < br>f(x)?ax
3
?bx
2
?x(x?R,a,b
是常数)
，且当
x?1
和
x?2
时，函数
f(x)
取 得极值.
（Ⅱ）若曲线
y?f(x)
与
g(x)??3x?m(?2?x? 0)
有两个不同的交点，求实数
m
的取
f(x)
的解析式；
?0
，
a
1
?1
，点
P
n
(
例1 7.已知函数正项数列满足：
a
0
（Ⅰ）求证：
a
n?1
a
n?1
a
n?1
5
,)
在圆
x
2
?y
2
?
上，
(n?N)

(n?N
?
)
ks5u
2
a
n
a
n
5
a
n
； （Ⅱ） 若
b
n
?a
n?1
?2a
n
(n?N
?< br>)
，求证：
{b
n
}
是等比数列；
2
（Ⅲ ）求和：
b
1
?2b
2
?3b
3
???nb
n

?a
n?1
?
f(x)?x
3
?3t
2
x?m
（
x?R,t?0,
m
、
t
为常数）是 奇函数。ks5u
（Ⅰ）求实数
m
的值和函数
f(x)
的图像与< br>x
轴交点坐标；（Ⅱ）设
g(x)?|f(x)|
，
x?
?< br>0,1
?
，求
g(x)
的最大值
F(t)
.
例18.函数

32
例19.已知f (x)＝x＋bx＋cx＋2．
⑴若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值；
⑵若函数y＝x＋x－5的图象与函数 y＝
2
k?2
的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
x
例20. 设函数，，当时，取得极值.
（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；
（2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.

f(x)?kx
3
?x
2
?x?5
在R上单调递增，记
?ABC
的三内角 A、B、C的对应边分别为a、b、c，若
33
a
2
?c
2
?b
2
?ac
时，不等式
fm?sin
2
B?cos(A? C)?f(2m?)
恒成立．
4
（Ⅰ）求实数
k
的取值范围；（Ⅱ ）求角
cosB
的取值范围；（Ⅲ）求实数
m
的取值范围。
例21.已知
??
答案：
8解：（1）由题意
∴
即
k
f
?
(x)?x
2
?(k?1)x
∵
f(x)
在区间
(2,??)
上为增函数，
f
?
(x)?x
2
?(k?1)x?0
在区间
(2,??)
上恒成立
?1?x
恒成立，又
x?2
，∴
k?1?2
，故
k ?1
∴
k
的取值范围为
k?1

x
3
(k?1)
2
1
?x?kx?
， （2）设< br>h(x)?f(x)?g(x)?
323
h
?
(x)?x
2< br>?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)

令
h
?
(x) ?0
得
x?k
或
x?1
由（1）知
k?1
， 2
①当
k?1
时，
h
?
(x)?(x?1)?0
，
h(x)
在R上递增，显然不合题意…②当
k?1
时，
h(x)
，
h
?
(x)
随
x
的变化情
况如下表：
x

h
?
(x)

h(x)

(??,k)

k

?

0

↗ 极大值
(k,1)

1

—
↘
0

极小值
(1,??)

?

↗
k
3
k
2
1
???

623
由于
k?1

2
k?1
?0
，欲使
f(x)
与
g(x)
的图象有三个不同的交点，即方程
h(x)?0
有三个不同的实根，故需
2
?
k?1
k
3
k
2
1
2
????0
，即
(k?1)(k?2k?2)?0
∴
?
2
，解得
k?1?3

623
k?2k?2? 0
?
综上，所求
k
的取值范围为
k

9、解：（1）
?1?3

f
?
(x)?3ax
2
?6x,
f
?
(x)?0得x
1
?0或x
2
?
222
，当a>0时，
(??,0)递增,(0,)递减,(,??)
递 增；
aaa
当a<时，
(??,
22
)递减,(,0)递减,(0 ,??)
递减。
aa

（2）当a>0时
x

(??,0)

+
增
0
0
极大值
2
(0,)

a
－
减
2

a
0
极小值
2
(,??)

a
+
增
f
?
(x)

f(x)

此时，极大值为
当a<0时
3243
f(0)?1?,极小值为f()??
2
?1?.
…………7分
aaa
a
2

a
0
极小值
x

2
(??,)

a
－
减
2
(,0)

a
+
增
0
0
极大值
(0,??)

－
减
f
?
(x)

f(x)

2433< br>f()??
2
?1?,极小值为f(0)?1?.
因为线段AB与x轴有公共点 所以
aaa
a
2(a?3)(a?4)(a?1)
f(0)?f()?0即? 0,
解得
a?[?1,0)?[3,4]

3
a
a
此时，极大值为
10、解：（Ⅰ）
（Ⅱ）由，由得或
x
=又在[-2，2]上最大值，最小值
（Ⅲ）， 由题意知
11、解：（I）设切点
P
2
(x
?
,y
?
)
?
f
?
(x)?3x?2ax?b|
x?x
?
?0
,
?
3x
?
?2ax
?
?b?0
,因为存在极值点，所以
2
2
??4a
2
?12b?0，即
a
2
?3b
。（II）因为
x??1
，
x ?3
是方程
f
?
(x)?3x?2ax?b?0
的根，
3 2
所以
a?3,b??9
，
?
f(x)?x?3x?9x?c
。
2
?
f
?
(x)?3x?6x?9?3(x?1)(x?3)
,
?
f
?
(x)?0,x?3,x??1
；
?f
?
(x)?0,?1?x?3
?
f(x)
在
x??1
处取得极大值，在
x?3
处取得极小值.
?
函数图像与
x
轴有3个交点，
?
?
f(?1)?0
，
?
c?(? 5,27)

?
?
f(3)?0

12解：（Ⅰ）设 其图像关于原点对称，即 得 ∴， 则有 由 ， 依题意得 ∴① ，② 由①②得 故所求的解析式
为：.（Ⅱ）由解得：或 ， ∴时，函数单调递增；设是时，函数图像上任意两点，且，则有∴过这两点的直线的斜率.
13、解：（1）
?f'(x)?3ax
2
?b的最小值为?12,?b?? 12,且a?0.(3')
又直线
(6')

6x?y?7?0的斜率为?6 ,因此f'(1)?3a?b??6,
?a?2,b??12.
（2）由（1）知
f( x)?2x
3
?12x,?f'(x)?6x
2
?12?6(x?2)(x? 2)
，列表如下：
(??,?2)

+

x

f′

f
（
x
）

?2

0
极大值
(?2,2)

－

2

0
极小值
(2,??)

+

所以，函数
f
（
x
）的单调增区间是
(??,?

f(x)在x?2上的极小值是f(2)??82.
2)
和
(2,??)


?f(?1)?10,f(2)??82,f(3)?18,f(x)在x??2上的极大值 是f(?2)?82,
?当m?82,或m??82时,方程有一根;当m?82,或m??82时,方 程有二根;
当?82?m?82时,方程有三根.(12')
14、解：（1）由

（2）

'
f(0)?1
得c=1

?f
'
(?1)?3a?b?0
3
，得
a?1,b??3
∴
f(x)?x?3x?1
f(x)?3ax?b,
?
?
f(?1) ??a?b?1?3
'2

f(x)?3(x?1)(x?1)
得
x??1
，
x?1
时取得极值.由
?1?(t,t?3)
，
1?(t,t?3)
得
?2?t??1.
∴
1
'
'f(x)1
2
g(x)?0
， ∴
g(x)
在
M
上递减. .，，∴当时，
g(x)?2x?
x?M
M?(?2,?1)
g(x)??x??3
2
x
xx
1f(x)
又
g(?2)?,g(?1)??3
∴函数
g(x)?,x?M
的零点有且仅有1个
2x

f
?
(x)?3kx< br>2
?6(k?1)x
又
?f
?
(4)?0,?k?1
（II）
?f
?
(t)?3t
2
?12t
??1?t?0 时f
?
(t)?0;0?t?1时f
?
(t)?0
。
8a? 25
8a?2515
f(?1)??5,f(1)??3,?f(t)??5
?2x< br>2
?5x?a?
???5解得a??

8
88
216、解：（Ⅰ）
f
?
(x)?3ax?2bx?1
， 依题意
f
?
(1)?f
?
(2)?0
，即
?
3a?2b ?1?0,
解得
?
15、解：（I）
?
12a?4b?1?0,1313
a??,b?
∴
f(x)??x
3
?x
2?x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线
y?f(x)
与
g(x)??3x?m(? 2?x?0)
有两
64
64
1
3
3
2
1< br>3
3
2
个不同的交点，即
x?x?2x?m?0
在
?
?2,0
?
上有两个不同的实数解。设
?
(x)?
x?x? 2x?m
，则
64
64
13
?
?
(x)?x
2
?x?2
， 由
?
?
(x)?
0的
x?4或
x??1
，当
x?(?2,?1)
时
?
?
( x)?0
，于是
?
(x)
在
?
?2,?1
?
上递
22
增；当
x?(?1,0)
时
?
?
(x) ?0
，于是
?
(x)
在
?
?1,0
?
1< br>?
m??
3
?
(?2)?0
?
?
上递减. 依题意有
?
1313
∴实数
m
的取
??
?0?m?
?
?
(?1)?0?
?
m?
1212
?
?
(0)?0
?
?
?
m?0
?
?
13
.
12
a
n?1
a
n?1
5
5
17 、解：（Ⅰ）由题意：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
??
∴
a
n?1
?a< br>n?1
?a
n
，
2
a
n
a
n
2
511
b
n
?a
n?1
?2a
n
?a
n
?a
n?1
?2a
n
?(a
n
?2a< br>n?1
)?b
n?1
(n?1)
，数列
{b
n
}
满足：
b
0
?a
1
?3a
0
?1，故
222
1
11
2
1
3
1
n?1< br>1
b
n
?()
n
，（Ⅲ）令
S
n
? ?2?()?3?()???(n?1)()?n?()
n

2
22222< br>11
2
1
3
1
4
1
n
1
n ?1

S
n
?()?2?()?3?()??(n?1)()?n?()，相减得：
222222
11111111
S
n
??()
2
?()
3
???()
n
?n?()
n?1
?1 ?()
n
?n()
n?1

22222222
n1
n
1
n

?1?(?1)?()
∴
S
n
?2?(n?2)?()

222
18、解：（Ⅰ）
m?0
，
y?f(x)
与
x
轴交点为
(0,0)
，
(?3t,0)
，（Ⅱ）
值范围 是
0?m?
32
?
?
?x?3tx,0?x?3t
g(x) ?|x?3tx|?|x|?|x?3t|?
?
，当
0?x?3t
时，由32
?
?
x?3tx,x?3t
g(x)??3(x?t)(x?t)? 0
，得
x?t
或
x??t
（舍），∴
g(x)
在< br>?
0,t
?
上单调递增，在
t,3t
3222
当x?3t
时，由
g
?
(x)?3(x
2
?t
2
)?0
得
g(x)
在
?
3t,??
?
上单 调递增。如图所示，为
y?g(x)
在
?
0,??
?
上的图 像。
??
上单调递减。
∵当
0?x?3t
时，
g(x)
极大
?g(t)?2t
3
，∴当
x?3t
时，由
x
3
?3t
2
x?2t
3
?x?2t

故< br>g(t)
的最大值
F(t)
的情形如下：当
0?2t
当
t
?1
时，
F(t)?g(1)?1?3t
2
当
1?2t?2
时，
F(t)?g(t)?2t
3

?1
时，
F(t)?g(1)?3t
2
?1

1
?
2
1?3t,0?t?
?
2
?
∴
1
?
F(t)?
?
2t
3
,?t?1
2< br>?
2
?
3t?1,t?1
?
?
2
19、解： ⑴f '(x)＝3x＋2bx＋c，由题知f '(1)＝0
?
3＋2b＋c＝0，f(1) ＝－1
?
1＋b＋c＋2＝－1∴b＝1，c＝－5，f(x)＝
322
x＋ x－5x＋2，f'(x)＝3x＋2x－5

5
，1]为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数∴b＝1，c＝－5符合题意
3
k?2
2
3 2
⑵即方程：
x?x?5?
恰有三个不同的实解：x＋x－5x＋2＝k(x≠0)
x
f(x)在[－
即当x≠0时，f (x)的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，由⑴知f (x)在
[??,?
(x)在(1 ，＋∞)为增函数，又
5
5
]
为增函数，f (x)在
[?,1]
为减函数，f
3
3
5229229
，f (1)＝－1，f (2)＝2∴
?1?k?
且k≠2
f(?)?
32727
20、解：（1）由题意 当时，取得极值， 所以 即
此时当时，，当时，，
是函数的最小值。
（2）设，则 ，……8分
设， ，令解得或列表如下：
函数在和上是

是减函数。

当时，有极大
小值

函数与的图象

点，函数与的
共点
或
21、解：(1)由

__


+




增函数，在上
值；当时,有极
有两个公共
图象有两个公
0


f(x)?kx
3
?x
2
?x?5
知
f
?
(x)?3kx
2
?2x?1
，
?
f(x)在R上单调递增，
?
f
?
(x)?0
恒成立，
?
3k?0
且
1
??0
，即
k?0
且
4?12k? 0
，
?
k?
．
3
a
2
?c
2
?b
2
ac1
?
222
??
，
?
0?B?
， （2）
?
a?c?b?ac
，由余弦定理：
cosB ?
2ac2ac2
3
33
， （3）
?
f(x)
在R上单调递增，且
f
?
m?sin
2
B?cos(A?C)
?
?f(2m?)
4
33
4

1
333329< br>?sin
2
B?cos(A?C)???sin
2
B?cosB??c os
2
B?cosB??
(cosB?)
2
?7?8
， < br>444
2
2
故
m?2m?8
，即
(m?1)?9，
?3?m?1?3
，即
0?m?4
，即
0?m?16
．
所以
m?sin
2
B?cos(A?C)?2m?
题型三：函数的切线问题；
问题1：在点处的切线，易求；
问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；
第一步： 设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程 ；
第四步：判断三次方程根的个数；
例22.已知函数
f(x)?ax
3< br>?bx
2
?cx
在点
x
0
处取得极小值－4，使其导 数
f'(x)?0
的
x
的取值范围为
(1,3)
，求：
（1）
f(x)
的解析式；
（2）若过点
P(?1,m)
可作曲线
y?f(x)
的三条切线，求实数
m
的取值范围．
f(x)?x
3
?ax
2
?4x
（
a
为常数） 在
x?2
时取得一个极值，
（1）确定实数
t
的取值范围，使函 数
f(x)
在区间
[t,2]
上是单调函数；
（2）若经过点A （2，c）（
c??8
）可作曲线
y?f(x)
的三条切线，求
c< br>的取值范围．
例23. 已知

答案：
22、解：（1）由题意得 ：
f'(x)?3ax
2
?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0)
∴在
(??,1)
上
f'(x)?0
；在
(1,3)
上
f'(x)?0
；在
(3,??)
上
f'(x)?0
因此
f(x)
在
x
0
?1
处取得极小值?4

∴
a?b?c??4
①，
f'(1)?3a?2b?c? 0
②，
f'(3)?27a?6b?c?0
③

?
a ??1
?
32
由①②③联立得：
?
b?6
，∴
f( x)??x?6x?9x

?
c??9
?
,
（2）设切点 Q
(t,f(t))
，
y?f(t)?f(t)(x?t)

y?( ?3t
2
?12t?9)(x?t)?(?t
3
?6t
2
? 9t)

?(?3t
2
?12t?9)x?t(3t
2
?1 2t?9)?t(t
2
?6t?9)

?(?3t
2
?12 t?9)x?t(2t
2
?6t)
过
(?1,m)

m?( ?3t
2
?12t?9)(?1)?2t
3
?6t
2

g(t)?2t
3
?2t
2
?12t?9?m?0


?6t
2
?6t?12?6(t
2
?t?2)?0
，
求得：
t??1,t?2
，方程
g(t)?0
有三个根。
?
g(?1)?0
?
?2?3?12?9?m?0
?
m?16
需：
?

?
?
?
?
?
g(2)?0?
16?12?24?9?m?0
?
m??11
故：
?11?m ?16
；因此所求实数
m
的范围为：
(?11,16)

令
g'(t)

23、解：（1）∵函数

f(x)< br>在
x?2
时取得一个极值，且
f
?
(x)?3x
2< br>?2ax?4
，
?f
?
(x)?3x
2
?4x?4 ?(3x?2)(x?2)
．
?f
?
(2)?12?4a?4?0
，
?a?2

2
22
?x??
或
x?2
时，
f
?
(x) ?0,x??
或
x?2
时，
f
?
(x)?0,??x?2< br>时，
3
33
2
2
f
?
(x)?0
，
?f(x)
在
(??,?],[2,??)
上都是增函数，在
[?,2]上是减函数． ∴使
f(x)
在区间
[t,2]
3
3
2
上是单调函数的
t
的取值范围是
[?,2)

32
32
（2）由（1）知
f(x)?x?2x?4x
．设切点为
P(x
0
,y
0
)
，则切线的斜率
k?f
?
(x
0
)?3x
0
?4x
0
?4
，所以切线322
?2x
0
?4x
0
)?(3x
0
?4x
0
?4)(x?x
0
)
． 将点
A(2,c)
代人 上述方程，整理得：方程为：
y?(x
0
32
2x
0
?8x
0
?8x
0
?8?c?0
．
∵经过点
设
g(x
0
)

32
?8x
0< br>?8x
0
?8?c?0
有三个不同的实根．
A(2,c)(c?? 8)
可作曲线
y?f(x)
的三条切线，∴方程
2x
0
32
?2x
0
?8x
0
?8x
0
?8?c
，则
2
22
2
g
?
(x
0
)?6x
0
?16x
0
?8?0?x
0
?或x
0
?2
，
g(x
0
)
在
(??,)
上单调递增，在
(,2 )
上单调递减，在
33
3
2
?
g?g()?0,
2 80
?
(2,??)
上单调递增， 故
?
极大
?c??8
． 得：
?
3
27
?
g
极小
?g(2)?0,
?
题型四：函数导数不等式线性规划精彩 交汇；
1
3
1
2
x?ax?bx(a,b?R)
，在其图 象上一点
F(x,y)
处的切线的斜率记为
f(x)
．
32
(1)若方程
f(x)
有两个实根分别为-2和4，求
f(x)
的表达式；
22
(2)若
g(x)
在区间
?
?1,3
?
上是单调递减函数，求
a?b
的最小值。
例24.设函数
g(x)?1
3
x?ax
2
?bx(a,b?R)

3
1 1
（1）若
y?f(x)
图象上的是
(1,?)
处的切线的斜率为< br>?4,求y?f(x)
的极大值。
3
（2）
y?f(x)
在 区间
[?1,2]
上是单调递减函数，求
a?b
的最小值。
例25.已知函数
f(x)?

例26. 已知函数
f(x)?mx
3
?nx
2
（
m
，
n?R
，
m?n
且
m?0
）的图象在
(2,f(2))
处的切线与
x
轴平行.
(I) 试确定
m
、
n
的符号；
2
(II) 若函数
y?f(x)
在区间
[n,m]
上有最 大值为
m?n
，试求
m
的值.
f(x)?g`(x)?x
2
?ax?b
由已知-2，4是方程
x
2
?ax?b?0
的 两个实根由韦达定理，
0
3
n
2
答案：
24、解 ：（1）根据导数的几何意义知
?
?2?4??a
?
a??2
2 ∴，
f(x)?x?2x?8

??
?
?2?4??b?
b?8
（2）
g(x)
在区间
?
?1,3
?
上是单调递减函数，所以在
?
?1,3
?
区间上恒有
f( x)?g`(x)?x
2
?ax?b?0
，即
f(x)?x
2
?ax?b?0
在
?
?1,3
?
区间上恒成立
这只需满 足
?
?
f(?1)?0
?
a?b?1
?
a?b?1
22
即可，也即
?
而
a?b
可视为平面区域
?内的点到原点距离的平方由图知当
?
f(3)?0
?
b?3a?9
?
b?3a?9
?
a??2
22
时，
a?b
有最 小值13；
?
?
b?3
1
3
2
2
25、 解：（1）
?f(x)?x?ax?bx

?f
?
(x)?x?2ax?b
由题意得
3
1?2a?4 ??4
11
?
?
111
?a??1,b?3

f< br>?
(x)??4且f(1)???
?
?a?b??
3
?
3
?
3
1
?f(x)?x
3
?x
2
?3 x

f
?
(x)?(x?1)(x?3)
令
f
?
(x)?0得x
1
??1,x
2
?3

3
由此可知
x

(??,?1)

+
↗
－1
0
极大值
(?1,3)

－
3
0
极小值－9
(3,??)

+
↗
f
?
(x)

f(x)

5

3
↘
?当x??1
时
f(x)
取极大值
（2）< br>?
5

3
y?f(x)在[?1,2]
上是减函数
?f
?
(x)?x
2
?2ax?b?0在[?1,2]
上恒成立 < br>?
f
?
(?1)?0
?
1?2a?b?0
?
2a?b?1?0

?
?
?
?
即
?
??
f(2)?0
?
4?4a?b?0
?
4a?b?4?0
作出不等式组表示的平面区域如图
3
1
?a?b
经过点
P(?,2)
时
z?a?b
取最小值
2
2
26、解：(I)由图象在
(2 ,f(2))
处的切线与
x
轴平行，
知
f
?
(2)?0
，∴
n??3m
① …………3分
又
n?m
，故
n?0
，
m?0
. ………… 4分
22
(II)令
f
?
(x)?3mx?2nx ?3mx?6mx?0
,
得
x?0
或
x?2
…………………… 6分
易证
x?0
是
f(x)
的极大值点，
x?2
是极小值点（如图）. ………… 7分
令
f(x)?f(0)?0
，得
x?0
或
x?3
. …………………………………………8分
2
分类：(I)当
0?m?3
时 ，
f(x)
max
?f(0)?0
，∴
m?n?0
. ②
1
由①，②解得
m?
，符合前提
0?m?3
.
9
42
422
(II)当
m?3
时，
f(x)max
?f(m)?m?mn
,∴
m?mn?m?n
. ③
当直线
z

由①，③得
m
∵
g
?
(m)
3
?3m
2
?9m?1?0
. 记
g(m)?m
3
?3m
2
?9m?1
,
?3m
2
?6m?9?3(m?1)
2
?6?0
,
∴
g(m)
在
R
上是增函数，又
m?3
，∴
g( m)?g(3)?26?0
,
1
∴
g(m)?0
在
3,? ?
上无实数根.综上，
m
的值为
m?
.
9
??
题型五：函数导数不等式数列的精彩交汇
例2 7.已知函数满足且有唯一解。
（1） 求的表达式；
（2）记，且＝求数列的通项公式。
，
（３）记 ，数列｛｝的前ｎ项和为，求证

a
例28.已知函数
f
?
x
?
?x??b
?
x?0
?
，其中
a,b?R
.
x
（Ⅰ）若曲线
y?f
?
x
?
在点
P
?
2,f
?
2
??
处的切线方程为
y?3x?1
，求函数
f
?
x
?
的解析式；
（Ⅱ）讨论函数
f
?
x
?
的单调性；
?
1
??
1
?
,2
（Ⅲ）若对于任意的
a?
，不等式
f
?
x
?
?10
在
?
4
,1?
上恒成立，求
b
的取值范围.
?
2
?
??
??
例29.在数列中，，且已知函（）在时取得极值.学科网
（Ⅰ）求数列的通项；学科网
（Ⅱ）设，且对于恒成立，求实数的取值范围．学

例30.已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.
（1）求实数
a
的取值范围；
（2）是否存在实数
a
，使得 函数的极小值为1，若存在，求出实数
a
的值；若不存在，请说明理由；

例31.已知函数（a、c、d∈R）满足且在R上恒成立。
（1）求a、c、d的值；（2）若，解不等式；
（3）是否存在实数m，使函数在区间[m ，m+2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由。

f(x )??x(x?a)
2
（
x?R
），其中
a?R

（1）当
a?1
时，求曲线
y?f(x)
在点（2，
f(2)
）处的切线方程；
（2）当
a?0
时，求函数
f(x)
的极大值和极小值；
例32.设函数
（3）当
a

例33. 已知函数
f(x) ?
1
x
3
?
1
(p?1)x
2
?qx(p ,q
为常数）
32
?3
时，证明存在
k?[?1,0]
， 使得不等式
f(k?cosx)?f(k
2
?cos
2
x)
对任意的
x?R
恒成立。
f(x)在(x
1
,x
2
)上单调递减，在(??,x
1
)和(x
2
,??)上单调递增，且
2

x
2
?x
1
?1,求证:p?2(p?2q);

（Ⅱ）若
f(x)
在
x?1
和
x?3
处取得极值，且在x?
?
?6,6
?
时，函数
y?f(x)

的图象在直线
l:15x?y?c?0
的下方，求
c
的取值范围？
（Ⅰ）若


答案：
27、解：(1)由 即 有唯一解
又
(2)由 又
数列是以首项为，公差为
(3)由
=



a
，由导数的几何意义得
f
?
(2)?3< br>，于是
a??8
．由切点
P(2,f(2))
在直线
y?3x ?1
上可
2
x
得
?2?b?7
，解得
b?9
．
28、解：（Ⅰ）
f
?
(x)?1?

8
f(x)
的解析式为
f(x)?x??9
．
x
a
（Ⅱ）解：
f
?
(x)?1?
2
．
x
当
a?0
时，显然
f
?
(x)?0
（< br>x?0
）．这时
f(x)
在
(??,0)
，
(0,? ?)
上内是增函数．
所以函数
?0
时，令
f
?
( x)?0
，解得
x??a
．
当
x
变化时，
f?
(x)
，
f(x)
的变化情况如下表：
x

(??,?a)

?a

(?a,0)

f
?
(x)

＋ 0 －
f(x)

↗ 极大值 ↘
当
a
所以
(0,a)

－
↘
0
a

极小值
(a,??)

＋
↗
f(x)
在
(??,?a)
，
(a,??)
内是增函数，在
(?a,0)
，
(0,??)
内是减函数．
111
（Ⅲ） 解：由（Ⅱ）知，
f(x)
在
[,1]
上的最大值为
f()
与
f(1)
的较大者，对于任意的
a?[,2]
，不等式
f(x)? 10
在
442
39
?
?
1
?4a
117< br>?
b?
?
f()?10
[,1]
上恒成立，当且仅当
?
4
，即
?
，对任意的
a?[,2]
成立．从而得
b?
，所以满足条件的
b
4
424
?
?
b?9?a
f(1)?10
?
?
7
的取值范围是
(??,]
．
4
科网
29、解： (Ⅰ) ∵(1)＝0∴(a
n＋2
－a
n＋1
)－(3a
n＋1
－4a
n
)＝0
即a
n＋2
－2a
n＋1
＝2(a
n＋1
－2a
n
) 又a
2
－2a
1
＝4
n－1 n＋1
∴数列｛a
n＋1
－2a
n
｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。∴a
n＋1
－2a
n
＝4×2＝2∴ 且∴数列｛｝是首项为1，
公差为1的等差数列，∴＝＋(n－1)×1＝n∴
（Ⅱ）由，
22
2
2
3
2
n
令
S
n
＝|
b
1
|＋|
b
2
|＋… ＋|
b
n
|＝＋2()＋3()＋…＋
n
()
3333< br>22
2
2
3
2
n
2
n
＋1

S
n
＝()＋2()＋…＋(
n
－1)()＋
n
()
33333
22
n
[1－()]
3
122
2
2
3
2
n
2
n
+1
3< br>2
n
+1
2
n
2
n
+1
得
S
n
＝＋()＋()＋…＋()－
n
()＝－
n
()＝2 [1－()]－
n
()
3333332333
1－
3
2n
2
n
+1＊
∴
S
n
＝6[1－()]－3
n
()＜ 要使得|
b
1
|＋|
b
2
|＋…＋|
b
n
|＜
m
对于
n
∈N恒成立,只须，所以实数的取值范围是
.

33
30、解：（1）由题意
①
②
由①、②可得，故
（2）存在 由（1）可知，




，

+
单调增

0
极大值

－
单调减


0
极小值

+
单调增

.

的极小值为1.
31、解：（1），，，即，
从而。在R上恒成立，，
即，解得。
（2）由（1）知，，，
∴不等式化为，
即，∴
（a）若，则不等式解为；

（b）若，则不等式解为空集；
（c）若，则不等式解为。
（3）。该抛物线开口向上，对称轴为。
若，即时，在[m，m+2]上为增函数。
当时，由已知得，解得。
若，即时，当时，。
由已知得，无解。
若，即时，在[m，m+2]上为减函数。
当时，。
由已知得，解得。
综上所述，存在实数或，使函数在区间[m，m+2]上有最小值－5。
32、解：（Ⅰ）当
a?1
时，
f
?
(x)??3x
2
?4x?1，
所以，曲线
f(x)??x(x?1)
2
??x
3
? 2x
2
?x
，得
f(2)??2
，且
f
?
(2)??5
．
y??x(x?1)
2
在点
(2，?2)
处的切线方程是
y?2??5(x?2)
，整理得
5x?y?8?0
．
232222
（Ⅱ）解：
f(x)??x(x ?a)??x?2ax?axf
?
(x)??3x?4ax?a??(3x?a)(x?a)< br>．
a
令
f
?
(x)?0
，解得
x?
或
x?a
．由于
a?0
，以下分两种情况讨论．
3
（1 ）若
a?0
，当
x
变化时，
f
?
(x)
的 正负如下表：
x

f
?
(x)

因此，函数
a
??
?∞，
??

3
??
?

a

3
?
a
?
，a
??

?
3
?
a

(a，∞?)

0

?

0

?

4
3
a
?
a
?
?
a
?
a
； 处取得极小值
f
??
，且
f
??
??
27
3
?
3
?
?
3
?
函数
f(x)
在
x?a
处取得 极大值
f(a)
，且
f(a)?0
．
（2）若
a?0，当
x
变化时，
f
?
(x)
的正负如下表：
?
a
?
x

a


?∞，a
??
?
a，
?

?
3
?
?

f
?
(x)

?

0

f(x)
在
x?
a

3
0

?
a
?
?∞
?

?
，
?
3
?
?

f(x)
在x?a
处取得极小值
f(a)
，且
f(a)?0
；
4
3
a
?
a
?
?
a
?
a
． 函数
f(x)
在
x?
处取得极大值
f
??
，且f
??
??
3
327
3
??
??
a< br>（Ⅲ）证明：由
a?3
，得
?1
，当
k?
?
?1，0
?
时，
k?cosx≤1
，
k
2
?cos
2
x≤1
．
3
由（Ⅱ）知，
f(x)
在
?
?∞，1
?
上是减函数，要使
f(k?cosx)≥f(k
2?cos
2
x)
，
x?R

因此，函数
只要< br>k?cosx≤k
2
?cos
2
x(x?R)
即
co s
2
x?cosx≤k
2
?k(x?R)

2
2
①
设
g(x)?cosx?cosx?
?< br>cosx?
1
?
?
1
，则函数
g(x)
在< br>R
上的最大值为
2
．
??
2
?
4
?
要使①式恒成立，必须
k
2
?k≥2
，即
k≥2
或
k≤?1
．所以，在区间
?
?1，0
?
上存在
k ??1
，使得
f(k?cosx)≥f(k
2
?cos
2
x )
对任意的
x?R
恒成立．
1
3
1
2'2
33、解：（1）
?f(x)?x?(p?1)x?qx,?f(x)?x?(p?1)x?q

32
2
又x，x是函数f（x）的两个极值点，则x，x是
x?(p?1 )x?q?0
的两根，
1212

?x
1
?x
2
?1?p,x
1
x
2
?q................. .................................................. .....2分
?(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
? (1?p)
2
?4q,................................ ..4分

?x
2
?x
1
?1?(x
2
? x
1
)
2
?1,?(1?p)
2
?4q?1
即p< br>2
?2p?4q?0,?p
2
?2(p?2q)
'
?
p??3
?
f(1)?0
?
p?q?0
（2）由题意，
?< br>即
?
?
?
........................... ...7分

?
'
?
?
f(3)?0
?
3 p?q??6
?
q?3
?f(x)?
1
3
x?2x
2
?3x,
3
1
3
x?2x
2
?12x?c,?F
'
(x)?x
2
?4x?12
3

令F
'
(x)?0,?x
2
?4x?12?0?x
1
??2,x
2
?6
令F(x)?f(x)?(15x?c)?
当x?(?6,?2)时，F
'
(x)?0,F(x)在[?6,?2]上递增，
当x?(?2,6)时，F
'(x)?0,F(x)在[?2,6]上递减
40
?c................ .................................................. 10分
3

4040
令F(?2)?0,即?c?0,?c?....... ..............................................11分< br>33
40
?所求c的取值范围为(,??).................... ......................................12分
3
?F(x)
max
?F(?2)?