高一数学函数的表示法练习题

高一数学函数的表示法练习题






典例分析
题型一 求函数值

【例1】若 函数
f(x)
满足
f(2x?1)?x?1
，则
f(1)?
．


【例2】（2006年安徽高考）

函数
f(x )
对于任意实数
x
满足条件
f(x?2)?


1
，若
f(1)??5
，则
f(f(5))?
．
f(x)
【例3】若函数
f(2x?1)?x
2
?2x
，则
f(3)
= ．


x
2
【例4】已知函数
f(x)?,x?R
.
1?x2
1111
（1）求
f(x)?f()
的值；（2）计算：
f( 1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()
.
x234




【例5】已知
a,b
为常数，若
f(x)? x
2
?4x?3,f(ax?b)?x
2
?10x?24,
求
5a?b
的值．





【例6】若函数< br>f(x)?x
2
，则对任意实数
x
1
,x
2
，下列不等式总成立的是（ ）
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)x?xf(x
1
)?f(x
2
)
B．
f(
12
)?

)?
2222
x?xf(x
1
)?f(x
2
)x?xf(x
1
)?f(x
2
)
C．
f(
12
)?
D．
f(
12
)?

2222
A．
f(

- 1 -

【例7】（2006．台湾）
将正整数
18< br>分解成两个正整数的乘积有：
1?18
，
2?9
，
3?6三种，又
3?6
是这三种分解中
两数的差最小的，我们称
3?6
为
18
的最佳分解．当
p?q
(p≤q)
是正整数
n的最佳分解时，
我们规定函数
F(n)?
p
31
，例如
F(18)??
，下列有关函数
F(n)
的叙述，正确的序号为
q
62
（把你认为正确的序号都写上）
31
⑴
F(4)? 1
；⑵
F(24)?
；⑶
F(27)?
；
83
1
⑷若
n
是一个质数，则
F(n)
?
；⑸若
n
是一个完全平方数，则
F(n)?1

n





【例8】设函数
f(x)?
?





?
2
?x
,x?(??,1]
1
?
【例 9】（2001上海理，1）设函数f（x）＝
?
，则满足f（x）=的x值为 。
4
?
?
log
81
,x?(1,??)
(x? 100)
?
x?3
,求f(89).

f[f(x?5)](x?100)
?


x?1
?
?
2e,x＜2，
【例10】（2006山东 文2）设
f(x)?
?
则f(f(2))的值为
（ ）
2
?
?
log
3
(x?1)，x?2.
A．0 B．1 C．2 D．3


题型二 求函数解析式
一、定义法：
【例11】设
f(x?1)?x2
?3x?2
，求
f(x)
.




【例12】设函数
f(x)?2x?3,g(x?2)?f(x)
，则g(x)
的表达式是（ ）
A．
2x?1
B．
2x?1
C．
2x?3
D．
2x?7

- 2 -

【例13】设
f[f(x)]?




【例14】设
f(x?)?x
2
?




【例15】设
f(cosx)?cos17x,求f(sinx)
.




二、待定系数法：
【例16】如果反比例函数的图象经过点
(1,?2)
，那么这个反比例函数的解析式为


【例17】在反比例函数
y?
根，则
k?



【例18】已知
f(x?2)?2x
2
?9x?13
，求
f(x)
.




三、换元（或代换）法：
1?x
【例19】
已知函数
f(
（1）
f(2)
的 值； （2）
f(x)
的表达式
)?x
. 求：
1?x



【例20】（1）已知
f(x?1)?x?2x
，求
f (x)
及
f(x
2
)
；
（
2
）已知f(x)?3f(?x)?2x?1
，求
f(x)
.




- 3 -
x?1
，求
f(x)
.
x?2
1
x
111
3
，求
f[g(x)]
. < br>,g(x?)?x?
23
x
xx
k
的图象上有一点
P
，它的横坐标
m
与纵坐标
n
是方程
t
2
? 4t?2?0
的两个
x

1?xx
2?11
【例21】已知
f()?
2
?,
求
f(x)．
xxx




【例22】设
f(cos x?1)?cos
2
x
，求
f(x)
.





1
【例23】设
f(x)
满足
af (x)?bf()?cx
（其中
a,b,c
均不为
0
，且
a ??b
），求
f(x)
．
x





四、反解函数法：
【例24】已知
f(a
x?1
)?x
2
?2
，求
f(x)
.





五、特殊值法：
【例25】设
f(x)
是定义在N上的函数，满 足
f(1)?1
，对于任意正整数
x,y
，均有
f(x)?f(y) ?f(x?y)?xy
，求
f(x)
.




六、累差法：
【例26】若
f(1)?lg





- 4 -
1
，且当
x?2时,满足f(x?1)? f(x)?lga
x?1
,(a?0,x?N?)
，求
f(x)
.
a

七、归纳法：
【例27】已知
f(x?1)?2?





八、微积分法：
【例28】设
f
?
(sin
2
x )?cos
2
x,
1
f(x),(x?N?)且f(1)?a
，求< br>f(x)
.
2
f(1)?2
，求
f(x)
.





九、其他综合问题
11
【例 29】（1）已知
f(x?)?x
3
?
3
，求
f(x)；
xx
2
（2）已知
f(?1)?lgx
，求
f(x )
；
x
（3）已知
f(x)
是一次函数，且满足
3f(x ?1)?2f(x?1)?2x?17
，求
f(x)
；
1
（4）已 知
f(x)
满足
2f(x)?f()?3x
，求
f(x)
。
x





【例30】（2006重庆理21） 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x
2
+x)=f(x)－x
2+x。
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x
0
，使得f(x
0
)= x
0
。求函数f(x)的解析表达式。


1
【例31】 已知函数
y?f(x)
的图象关于直线
x??1
对称，且当
x?(0 ,??)
时，有
f(x)?,
则当
x
x?(??,?2)
时 ，
f(x)
的解析式为（ ）
1111
A．
?
B．
?
C． D．
?

xx?2x?2x?2


【例32】（05全国卷I）已知二次函数
f(x)
的二次项系数为a，且 不等式
f(x)??2x
的解集为
(1,3)
．
⑴方程
f(x)?6a?0
有两个相等的根，求
f(x)
的解析式；
⑵若
f(x)
的最大值为正数，求
a
的取值范围．

- 5 -

题型三 分段函数
【例33】
画出下列函数的图象：
（1）
y?|x?2|
；
（2）
y?|x?1|?|2x?4|
.









【例34】函数
f(x)? [x]
的函数值表示不超过x的最大整数，例如
[?3.5]??4
，
[2. 1]?2
，当
x?(?2.5,3]
时，
写出
f(x)
的解 析式，并作出函数的图象.





【例35】画出下列函数的图象．
（
1
）
y
＝
x
2
－
2
，
x
∈
Z
且｜
x
｜
?2
；（
2
）
y
＝－
2
x
2< br>＋
3
x
，
x
∈（
0
，
2
］ ；

x＜－2，
?
3
?
（
3
）
y
＝
x
｜
2
－
x
｜；

（
4
）
y＝
?
－3x－2
?
x＜2
．

?
－3x
?
2．
?








?
x?2
(x≤?1)
?
【例36】已知函数
f(x)?
?
x
2

(?1?x?2)
，
?
2x
(x≥2)
?
⑴ 求
f(
?
)
； （2） 若
f(a)?3
，求
a
；
⑶ 作出此函数的图象．
- 6 -

【例37】作出函数
f(x)?|x?2|?|x?1|
的图象．






【例38】已知
f(x)?
?


【例39】函数
y?
x
x
?
1,x?0
，则不等式
x?(x?2)?f(x ?2)?5
的解集是 ．
?
?1,x?0
?x
的图象是（ ）


【例40】设
f(x)?
?
?
x?2,(x?10)
，则
f (5)
的值为（ ）
f[f(x?6)],(x?10)
?
A．
10
B．
11
C．
12
D．
13



?
1
x?1(x?0),
?
?
2
【例4 1】设函数
f(x)?
?
，若
f(a)?a
，则实数
a的取值范围是 ．
1
?
(x?0).
?
?
x


?
3x
2
?4(x?0)
?
【例42】若函数
f(x)??
?
(x?0)
，则
f(f(0))
= ．
?
0(x?0)
?

?
x
2
?1(x ?0)
【例43】已知函数
f(x)?
?
，若
f(x)?10
，则
x?
．
?2x(x?0)
?
- 7 -

【例44】由函数的解析式，求函数值
⑴已知函数
f(x)?3x
2
?5x?2
，求
f(1)
，
f< br>??
，
f(x?1)
；
?
a
?
?
x?1
?
⑵已知
f(x)?
?
π
?
0
?< br>(x?0)
(x?0)
，求
f
?
f[f(?1)]
?
；
(x?0)
?
1
?
⑶已知
f(x)
的 定义域为
?
xx?0
?
，且
f(xy)?f(x)?f(y)
，若
f(9)?8
，求
f(3)
．









3
?
?
x
3
?2x?2
x?(??,1)
【例45】
已知f(x)=
?
，求f[f(0)]的值.
3?3
x?(1,??)
?
?
x?x






题型三 实际应用问题
【例46】经市场调查，某商品在近 100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满
11091
足关系
ｇ
（t）＝－ t ＋ （t∈N*，0＜t≤100)，在前40天内价格为f（t）＝ t＋22（ t
334
1
∈N*，0≤t≤40），在后60天内价格为f（t）＝－
2< br> t＋52（t∈N*，40＜t≤100)，求这种商
品的日销售额的最大值(近似到1元).









【 例47】某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年
市场 行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条
折线表示；西红 柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.
(1)写出图一表示的市场 售价间接函数关系P＝f（t）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系
式Q＝g（t）；
- 8 -

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?
(注：市场售价和种植成本的单位：元／10
2












kg，时间单位：天)
【例48】季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装 开始时定价为10元，并且每周
(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当 季节即将过去时，平均每
周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.
(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的 关系为Q＝－0.125（t－8）
2
＋12，t∈[0，16]，t∈N*试
问该服 装第几周每件销售利润L最大?















【例49】如 图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折
成一个无盖的盒 子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为
_______．

- 9 -

【例50】某商场做活动，某款玩具小熊的 单价是
5
元，买
x
（
x
?
{1,2,3,4,5}
）个玩具小熊需要
y
元．试
用函数的三种表示法表示函数
y?f(x )
．

















【 例51】如图，在边长为
4
的正方形
ABCD
的边上有一动点
P，从点
B
开始，沿折线
BCD
向点
A
运
动．设 点
P
移动的距离为
x
，
?ABP
的面积为
y
，求函数
y?f(x)
及其定义域，并根据所求函
数画出函数图象．
D
C
y
A
P
x
B




【例52】如右图所示，在平行四边形
ABCD
中，
?DAB?6 0?
，
AB?5
，
BC?3
，点
P
从起点
D
出发，
沿
DC
，设点
P
所走过的路程为
x
，点
P
所经过的线段与线段
AD
、
AP
CB
向终 点
B
匀速运动，
所围成的图形的面积为
y
，
y
随< br>x
变化而变化，在下列图象中，能正确反映
y
与
x
的函数关系
的是（ ）
y
y
y
y
D
P
CA
O
A
8
x
O
B
8
x
OC
8
x
O
D
8
x
B


- 10 -

【例53】如图，铁路线上
AB
长
100
千米，工厂
C
到铁路的距离
CA
为
20
千米．现打算从
AB
上某
一点
D
处向C
修一条公路，已知铁路每吨每千米的运费与公路每吨每千米的运费之比为
3:5
．为了使原料从供应站
B
到工厂
C
的运费最少，
D
点应选在何处？
C
B
D
A






【例54】如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始 ，顺次经C、D绕边界一周，当x表示点P
5
的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式 ，并求f()的值．
2








【例55】（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金 为3000元时，可全
部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车 每辆每月
需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？






【例56】（2006湖南 理20）对1个单 位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清
洁度定义为：
1?
污物质 量
为
0.8
，要求清洗完后的清洁度为
0.99
。有两种方案可）
物体质量（含污物）
供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗 后受残留水等因素影响，
其质量变为
a(1?a?3)
。设用
x
单位 质量的水初次清洗后的清洁度是
位质量的水第二次清洗后的清洁度是
洁度。
(Ⅰ)分 别求出方案甲以及
c?0.95
时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙, 当
a
为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最
小? 并讨论
a
取不同数值时对最少总用水量多少的影响。

- 11 - x?0.8
用
y
单
(x?a?1)
，
x?1
y ?ac
，其中
c
(0.8?c?0.99)
是该物体初次清洗后的清
y?a

- 12 -