高中数学——三角函数图像和性质讲义

【讲义课题】： 三角函数图像和性质

【考点及考试要求】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
y=sinx-4
?
-7
?
-3
?
2
-5
?
2
-2
?
-3
?
-
?
2
-
?< br>2
y
1
-1
y
-
?
-2
?
-3
?
2
-
?
2
o
3
?
2
?
2
?
2
?
5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x

y=cosx
-4?
-7
?
2
-5
?
-3
?
2
1
-1
o
?
2
?
3
?
2
2
?5
?
2
3
?
7
?
2
4
?x

y
y
y=tanx
y=cotx
-
3?
2
-
?
-
?
2
o
?
2?
3
?
2
x
-
?
-
?
2o
?
2
?
3
?
2
2
?
x
2．三角函数的单调区间：
??
??
y?sinx
的递增区 间是
?
2k
?
?，2k
?
?
?
(k?Z)
，
22
??
递减区间是
?
2k
?
??
?
?
2
，2k
?
?
3
?
?
(k?Z)
；
?
2
?
y?cosx
的递增区间是
?
2k
?
?
?
，2k
?
?
(k? Z)
，
递减区间是
?
2k
?
，2k
?
?
?
?
(k?Z)
，
??
??
y?tanx
的递增区间是
?
k
?
?，k
?
?
?
(k ?Z)
，
22
??
（其中A?0，
?
?0）
3． 函数
y?Asin(
?
x?
?
)?B

最大值是< br>A?B
，最小值是
B?A
，周期是
T?
2
?
?
，频率是
f?
?
，相位是
?
x?
?
，< br>2
?
1

初相是
?
；其图象的对称轴是直线
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
，凡是该图象 与直线
y?B
的
交点都是该图象的对称中心。
4．由
y
＝ sin
x
的图象变换出
y
＝sin(ω
x
＋
?)的图象一般有两个途径，只有区别开这
两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的 变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变
形，请切记每一个变换总是对 字母
x
而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角
变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将
y
＝sin
x< br>的图象向左(
?
＞0)或向右(
?
＜0＝平移｜
?
｜ 个单位，再将图象上各点
的横坐标变为原来的
1
?
倍(ω＞0)，便得
y
＝sin(ω
x
＋
?
)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将
y
＝sin
x
的图象上各点的横坐标变为原来的
或向右(
?
＜0＝平移
1
?
倍(ω＞0)，再沿
x
轴向左(
?
＞0)
|
?< br>|
?
个单位，便得
y
＝sin(ω
x
＋
?< br>)的图象。
5．由
y
＝
A
sin(ω
x
＋
?
)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式
y
=
Asin（ω
x
+
?
）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
．．
6．对称轴与对称中心：
y?sinx
的对称轴为
x?k?
?
?
，对称中心为
(k
?
,0) k?Z
；
2
?
，
?
y?cosx
的对称轴为x?k
?
，对称中心为
(k
?
?
?
；
2
,0)
对于
y?Asin(
?
x?
?
)
和
y?Acos(
?
x?
?
)
来说，对称中心与零点相联 系，对称轴与最
值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的 标准式，要特别注意
A
、
?
的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函 数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“
y?Asin(
?
x?
?
)
、
y?Acos(
?
x?
?
)
”的形式，在利用周期公
式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作
y
=
A
sin（ω
x
+
?< br>）的简图：
五点取法是设
x
=ω
x
+
?
， 由
x
取0、
再描点作图。









题型1：三角函数的图象


2
π3π
、π、、2π来求相应的
x
值及对应的
y
值，
22

例1．（2000全国，5）函数
y
＝ －
xc
os
x
的部分图象是（ ）

解析：因为函 数
y
＝－
xc
os
x
是奇函数，它的图象关于原点对称，所 以排除
A
、
C
，当
x
∈（0，
?
）时，< br>y
＝－
xc
os
x
＜0。答案为D。
2
例 2．（2002上海，15）函数
y
=
x
+sin|
x
|，
x
∈［－π，π］的大致图象是（ ）

解析：由奇偶性定义可知函 数
y
=
x
+sin|
x
|，
x
∈［－π， π］为非奇非偶函数。选
项
A
、D为奇函数，
B
为偶函数，
C
为非奇非偶函数。
点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象 与性质，又能
熟练地运用数形结合的思想方法。
题型2：三角函数图象的变换
π< br>1
例3．试述如何由
y
=sin（2
x
+）的图象得到
y
=sin
x
的图象。
3
3
π
1
解析 ：
y
=sin（2
x
+）
3
3
1
π
2倍

?
横坐标扩大为原来的< br>??????????y?sin（x?）
纵坐标不变
33
π
图象向右 平移个单位
1
??????
3
????y?sinx

纵坐 标不变
3
3倍
?
纵坐标扩大到原来的
??????????y?si nx

横坐标不变
另法答案：
ππ
11
（1）先将
y
=sin（2
x
+）的图象向右平移个单位，得
y
=sin2< br>x
的图象；
36
33
11
（2）再将
y
= sin2
x
上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得
y
=sin
x
33
的图象；
1
（3）再将
y
=sin
x
图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到
3
y
= sin
x
的图象。


3

例4．把曲线
yc
os
x
+ 2
y
－1=0先沿
x
轴向右平移
位，得到的曲线方程是（ ）
A
．（1－
y
）sin
x
+2
y
－3=0
C
．（
y
+1）sin
x
+2
y
+1=0
解析：将原方程整理为：
y
=
?
2
个单位，再沿
y
轴向下平移1个单


B
．（
y
－1）sin
x
+2
y
－3=0
D．－(
y
+1)sin
x
+2
y
+1=0 1
?
，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单
2
2?cosx
1
位和1个单位，因此可得
y
=
2?cos(x?)
2
点评 ：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理
解，可直接化为：（< br>y
+1）
c
os（
x
－
?
－1为所求方程. 整理得（
y
+1）sin
x
+2
y
+1=0.
?
2
）+2（
y
+1）－1=0，即得
C
选项。
题型3：三角函数图象的应用
例5.
（1）已知函数
f
（
x
）=
A
sin（ω
x
+
?
）（
A
>0，ω>0，
x
∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线
y
=
3
与
函数
f
（
x
）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得
A
=2，
T
=
图
7
?
π－（－）=4π，
2
2
∴ω=
1x
，∴
y
=2sin（+
?
），
22
又由图象可得相位移 为－
?
2
，∴－
?
?
=－
1
2
2
，∴
?
=
?
1
?
.即
y
=2si n（
x
+）。
2
44
根据条件
（
k
∈Z），
∴
x=4
k
π+
1
?
1
?
1
?
2
?
，∴
x?
=2
k
π+(
k
∈Z)或x?
=2
k
π+π
3
=2sin（
x?
）3
3
242424
?
6
（
k
∈Z）或
x
=4
k
π+
5
π（
k
∈Z）。
6
5
?
,3
）（
k
∈Z）。
6
4
∴所有交点坐标为（4
k
π+
?
6
,3
）或（4
k
π+

点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
< br>（2）（2002全国文5）在（0，2π）内，使sin
x
＞
c
os
x
成立的
x
取值范围为（ ）
?
?
A．（，
4
2
C
．（
5
?
?
）∪（π， ）
B
．（，π）
4
4
） D．（
?
5
?
，
4
4
?
5
?，π）∪（
4
4
，
3
?
）
2
解析：
C
；
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数 的图象，解出两交点的横坐标
由图1可得
C
答案。
?
4
和
5
?
，
4

图1 图2
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选
C
。（ 如图2）
题型4：三角函数的定义域、值域
例7．（1）已知
f
（
x
）的定义域为［0，1］，求
f
（
c
os
x
） 的定义域；
（2）求函数
y
=lgsin（
c
os
x）的定义域；
分析：求函数的定义域：（1）要使0≤
c
os
x
≤1，（2）要使sin（
c
os
x
）＞0，这里的
c
o s
x
以它的值充当角。
解析：（1）0≤
c
os
x
＜1
?
2
k
π－
ππ
≤
x
≤2
k
π+，且
x
≠2
k
π（
k
∈Z）。
2 2
∴所求函数的定义域为{
x
｜
x
∈［2
k
π－< br>ππ
，2
k
π+］且
x
≠2
k
π，
k
∈Z}。
22
（2）由sin（
c
os
x
）＞ 0
?
2
k
π＜
c
os
x
＜2
k< br>π+π（
k
∈Z）。
又∵－1≤
c
os
x
≤1，∴0＜
c
os
x
≤1。
ππ
，2
k
π+），
k
∈Z}。
22
点 评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角
函数线。
故所求定义域为{
x
｜
x
∈（2
k
π－
6cos< br>4
x?5cos
2
x?1
例8．已知函数
f
（
x
）=，求
f
（
x
）的定义域，判断它的奇偶
cos2x
性，并求其值域。


5

解析：由
c
os2
x
≠0得 2
x
≠
k
π+
?
2
，解得
x
≠< br>k
?
?
，
k
∈Z，所以
f
（
x）的定义域为
24
{
x
|
x
∈R且
x
≠
k
?
?
?
，
k
∈Z}，
24
因为
f
（
x
）的定义域关于原点对称，
6c os
4
(?x)?5cos
2
(?x)?16cos
4
x? 5cos
2
x?1
且
f
（－
x
）==
f< br>（
x
）。
?
cos(?2x)cos2x
所以
f< br>（
x
）是偶函数。
又当
x
≠
k
??
?
（
k
∈Z）时，
24
6cos
4
x?5co s
2
x?1(2cos
2
x?1)(3cos
2
x?1)< br>f
（
x
）=
??3cos
2
x?1
。 cos2xcos2x
所以
f
（
x
）的值域为{
y|－1≤
y
<
11
或<
y
≤2}。
22
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
题型5：三角函数的单调性
例9．求下列函数的单调区间：
（1）
y=
1
π
2x
π
sin（－）；（2）
y
=－｜ sin（
x
+）｜。
244
3
12
π
sin（
x
－）再求之。
234
π
）|的图象。
4
分析：（1）要将原函数化为
y
=－
（2）可画出
y
=－|sin（
x
+
解：（1 ）
y
=
故由2
k
π－
1
π
2x
1
2x
π
sin（－）=－sin（－）。
2424
33
π
2x
ππ
≤－≤2
k
π+。
242
3
?
3
k
π－
由2
k
π+
3π
9π
≤
x
≤3
k
π+（
k
∈Z），为单调减区间；
8
8
π
2x
π3π
≤－≤2
k
π+。 < br>242
3
?
3
k
π+
9π21π
≤
x
≤3
k
π+（
k
∈Z），为单调增区间。
88
3π
9π
，3
k
π+］，
8
8∴递减区间为［3
k
π－
递增区间为［3
k
π+
9π2 1π
，3
k
π+］（
k
∈Z）。
88
6

（2）
y
=－|sin（
x
+
π π3ππ
）|的图象的增区间为［
k
π+，
k
π+］，减区间为［< br>k
π－，
4444
k
π+
π
］。
4
-
5
?
4
3
?
4
-
?
4
-
y
?
o
4
3
?
4
5
?
4
7
?
4
x
例10．（2002京皖春文，9）函数
y< br>=2
sin
x

的单调增区间是（ ）
A
． ［2
k
π－
?
2
?
2
，2
k
π＋
?
2
］（
k
∈Z）
B
．［2
k
π＋，2
k
π＋
3
?
］（
k
∈Z）
2< br>C
．［2
k
π－π，2
k
π］（
k
∈Z）
D．［2
k
π，2
k
π＋π］（
k
∈Z）
解析：
A
；函数
y
=2为增函数，因此求函数
y
=2调增区间。
题型6：三角函数的奇偶性
x
sin
x
的单调增 区间即求函数
y
=sin
x
的单
例11．判断下面函数的奇偶性：< br>f
（
x
）=lg（sin
x
+
1?sin
2
x
）。
分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看
f< br>（
x
）与
f
（－
x
）的关系。
解析：定义 域为R，又
f
（
x
）+
f
（－
x
）=lg 1=0，
即
f
（－
x
）=－
f
（
x），∴
f
（
x
）为奇函数。
点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。
例12．关于
x
的函数
f
（
x
）=sin（
x
+
?< br>）有以下命题：
①对任意的
?
，
f
（
x
）都是非奇非偶函数； < br>②不存在
?
，使
f
（
x
）既是奇函数，又是偶函数；
③存在
?
，使
f
（
x
）是奇函数；
④对任意的
?
，
f
（
x
）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当
?
=_____时，该命题的结论不成立。 < br>答案：①，
k
π（
k
∈Z）；或者①，
?
?
+
k
π（
k
∈Z）；或者④，+
k
π（
k
∈Z）
22
?
2
解析：当
?
=2
k
π，
k
∈Z时，
f
（
x
）=sin
x
是奇函数 。当
?
=2（
k
+1）π，
k
∈Z时
f
（
x
）
=－sin
x
仍是奇函数。当
?
=2
k
π+
?
，
k
∈Z
2
时，
f
（< br>x
）=
c
os
x
，或当
?
=2
k< br>π－，
k
∈Z
时，
f
（
x
）=－
c
os
x
，
f
（
x
）都是偶函数.所以②和③都是正 确的。无论
?
为何值都不能使
f
（
x
）恒等于零。所以f
（
x
）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。
点评：本题 考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意
k
∈Z不能不
写，否则不 给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。


7

题型7：三角函数的周期性
66
例13．求 函数
y
=sin
x
+
c
os
x
的最小正周 期，并求
x
为何值时，
y
有最大值。
分析：将原函数化成
y
=
A
sin（ω
x
+
?
）+
B
的形式，即可求解。
解析：
y
=sin
x
+
c
o s
x
=（sin
x
+
c
os
x
）（sin
x
－sin
xc
os
x
+
c
os
x
）
=1－3sin
xc
os
x
=1－
∴
T
=
22
66224224
35
3
2
sin2< br>x
=
c
os4
x
+。
48
8
π
。
2
kπ
（
k
∈Z） 时，
y
m
ax
=1。
2
题型8：三角函数的最值
当
c
os4
x
=1，即
x
=
例14．设
M
和
m
分别表示函数
y
=
1
c
os
x
－1的最大值和最小值，则
M
+
m
等于（ ）
3
A
．
4
22

B
．－
C
．－ D．－2
33
3
1
c
os
x
－1
3解析：D；因为函数
g
（
x
）=
c
os
x的最大值、最小值分别为1和－1。所以
y
=
的最大值、最小值为－




4
2
和－。因此
M
+
m
=－2。
3
3


8