2017一遍过高中数学必修1答案-高中数学必修三创新设计答案
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专题11 幂函数
幂函数
★★★
○○○○
幂函数
(1)定义：形如y
＝
x
α
(α∈R)的函数称为幂函数，其中
x
是自变
量，α是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
函数
特征
y
＝
x y
＝
x
2
y
＝
x
3
y
＝
x
1
2
y
＝
x
－1
性质
图象
定义域
R
R
R
{
x
|
x
≥0}
{
x
|
x
≠0}
值域
R
{
y
|
y
≥0}
R
{
y
|
y
≥0}
{
y
|
y
≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
(－∞，0)减， (－∞，0)和
单调性
增
增
增
(0，＋∞)增
(0，＋∞)减
1
公共点
(1,1)
1．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法
在比较幂值的大小时，必须结合幂值
的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比
较．
2．幂函数
y
＝
x
(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；
α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
[易错点]
1．
对于函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
，若是二次
函数，就隐含着
a
≠0，当题目条件中未说明
a
≠0时，就要分
a<
br>＝0，
2
α
a
≠0两种情况讨论．
2．幂函数的图象一定会
出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，
要看函数的奇偶性；幂
函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点
一定是原点．
已知幂函数
f
(
x
)＝
x
的图象过点(
4,2)，若
f
(
m
)＝3，则实数
m
的值为( )
α
A.3
C．±9
B．±3
D．9
1
α2α
【解析】D [由题意可知4＝2＝2，所以α＝.
2
2
1
所以
f
(
x
)＝
x
2
＝
x
，
故
f
(
m
)＝
m
＝3?
m
＝9.]
1.幂函数
y
＝
f
(
x
)的图象过点(4,2)，则幂函数
y
＝
f
(
x
)的图象是( )
A B C
D
1
αα
【解析】C
[令
f
(
x
)＝
x
，则4＝2，∴α＝，
2
1
∴
f
(
x
)＝
x
.
2
2.已知幂函数
f
(
x
)＝
xm
－2
m
－3(
m
∈N)的图象关于
y
轴对称，且在(0，＋∞)
上是减函数，则
m
的值为
________．
2*
3.
(1)设
a
＝0.5，
b
＝0.9，
c
＝log
5
0.3，则
a
，
b
，
c
的大小关系是( )
A．
a
＞
c
＞
b
C．
a
＞
b
＞
c
B．
c
＞
a
＞
b
D．
b
＞
a
＞
c
(2)若(
a
＋1) ＜(3－2
a
)
，则实数
a
的取值范围是________．
2
??
【解析】(1)D (2)
?
－1，
?
[
(1)
a
＝0.5＝0.25，
b
＝0.9，所以根据幂函数的性质知
b
＞
a
＞0，而
c
3
??
＝log
5<
br>0.3＜0，所以
b
＞
a
＞
c
.
3
a
＋1≥0，
?
?
(2)易知函数y
＝
x
的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以
?
3－2
a
≥0，
?
?
a
＋1＜3－2
a
，
2
解得－1≤
a
＜.]
3
2
??
1
α
1．已知幂函数
f
(
x
)＝
k
·
x
的图象过点
?
，
?
，则
k
＋
α＝( )
?
22
?
1
A.
2
3
C.
2
B．1
D．2
2213
?
1
??
1
?
α
【解析】C [
由幂函数的定义知
k
＝1.又
f
??
＝，所以
??
＝，解得α＝，从而
k
＋α＝.]
222
?
2
?
2
?
2
?
2．若幂函数
y
＝(
m
－3<
br>m
＋3)·
x
2
m
2－
m
－2
的图
象不过原点，则
m
的取值是
( )
A．－1≤
m
≤2
C．
m
＝2
2
B．
m
＝1或
m
＝2
D．
m
＝1
2
【解析】B [由幂函数性质可知
m
－3
m
＋3＝1，∴
m
＝2或
m
＝1.又幂函数图象不过
原点，∴
m
－
m
－2≤0，
即－1≤
m
≤2，∴<
br>m
＝2或
m
＝1.]
3．(2017·江西九江一中期中)函数f
(
x
)＝(
m
－
m
－1)
x
2
95
4
m
－
m
－1
是幂函数，对任意的
x
1
，
x
2
∈(0，＋∞)，且
fx
1
－
fx
2
x
1
≠
x
2
，满足＞0，若a
，
b
∈R，且
a
＋
b
＞0，
ab<
br>＜0，则
f
(
a
)＋
f
(
b
)的值
( )
x
1
－
x
2
A．恒大于0
C．等于0
B．恒小于0
D．无法判断
4
4．已知
P
＝2
?
2
?
3
?
1
?
3
，
Q
＝
??
，
R
＝
??
，则
P
，
Q
，
R
的大
小关系是________.
?
5
??
2
?
＝
?
212
?
2
?
33
?
，根据函数
y
＝
x
是R上的增函数且
2
＞
2
＞
5
，
?
2
?
【解析】
P
＞
R
＞
Q [
P
＝2
得
?
?
2
?
3
?
1
?
3
?
2
?
3
?
＞
?
?
＞
??
，即
P
＞
R
＞
Q
.]
?
2
?
?
2
??
5
?
(
m
2＋
m
)
－1
5．已知幂函数
f
(
x<
br>)＝
x
实数
a
的取值范围．
(
m
∈N)经
过点(2，2)，试确定
m
的值，并求满足条件
f
(2－
a
)＞
f
(
a
－1)的
*
[解]
幂函数
f
(
x
)经过点(2，2)，
∴2＝2
2
2－1
(
m
＋
m
)
，即2＝2
2－1
(<
br>m
＋
m
)
，
∴
m
＋
m
＝
2，解得
m
＝1或
m
＝－2.
又∵
m
∈N，∴
m
＝1.
∴
f
(
x
)＝
x
则函数的定义域为[0，＋∞)，
并且在定义域上为增函数．
2－
a
≥0，
?
?
由
f
(2－
a
)＞
f
(
a
－1)，得
?
a
－1≥0，
?
?
2－
a
＞
a
－1，
3
解得1≤
a
＜.
2
5
*
?
3
?
∴
a的取值范围为
?
1，
?
.
?
2
?
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____
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________
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____________
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6