高中数学补课哪里好-高中数学知识点归纳大全衡中笔记
函数的基本性质
1.奇偶性
(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的
任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)
为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x
都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)
不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条
性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
1
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性○
质;
2
由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域○
内的任意一个x,则-x也
一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○
2
确定f(-x)与f(x)的关系; ○
3
作出相应结论: ○
若f(-x) =
f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x)
或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
①图象的对
称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;
一个函数是偶函数的充要条件是它的图
象关于y轴对称;
②设
f(x)
,
g(x)
的定义域分别是
D
1
,D
2
,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇
?
奇=偶,偶+偶=偶,偶
?
偶=偶
2.单调性
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(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个
区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
,当x
1
<
x
2
时,都有f(x
1
)
)(f(x
1
)>f(x
2
)),那么
就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);
注意:
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
○
2
必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
;
当x
1
时,总有f(x
1
)
(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)
在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
(3)设复合函数y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y=
f[g(x)]定义域的某个区间,B
是映射g : x→u=g(x) 的象集:
①若u=g(x) 在 A上是增(或减)函数,y=
f(u)在B上也是增(或减)函数,则
函数y= f[g(x)]在A上是增函数;
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=
f(u)在B上是减(或增)函数,则
函数y= f[g(x)]在A上是减函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
1
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
○
2
作差f(x
1
)-f(x
2
);
○
3
变形(通常是因式分解和配方)○;
4
定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负)○;
5
下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)○。
(5)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
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②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内: 增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数;减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数;增函数
f(x)?
减函数
g(x
)
是增函数;减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
3.最值
(1)定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果
存在实数M满足:①对于
任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x
0
∈I,使得f
(x
0
) = M。那么,称M是函数y=f(x)
的最大值。
最小值:一
般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于
任意的x∈I,都有f(x)≥
M;②存在x
0
∈I,使得f(x
0
) =
M。那么,称M是函数y=f(x)
的最大值。
注意:
1
函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x
0
∈I,使得f(x
0
)
= M; ○
2
函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,○
都有f(x)≤M(f(x)≥M)。
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○
2
利用图象求函数的最大(小)值; ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○<
br>如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)<
br>在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[
b,c]上单调递增则函数y=f(x)
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在x=b处有最小值f(b);
4.周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有
f(x+T)=
f(x),则称f(x)为周期函数;
(2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作
f
(x?)?f(x?),
若f(x)的周期中,存在一个最
小的正数,则称它为f(x)的最小
正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω
≠0)是周期函数,且周期为
T
|
?
|
T
2
T
2
。
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函数的基本性质
一、典型选择题
1.在区间
A.
上为增函数的是( )
C. D. B.
(考点:基本初等函数单调性)
2.函数
A.
B.
是单调函数时,的取值范围 ( )
C . D.
(考点:二次函数单调性)
3.如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有 (
)
A.最大值 B.最小值 C .没有最大值 D. 没有最小值(考点:函数最值)
4.函数,是( )
A.偶函数 B.奇函数C.不具有奇偶函数
D.与有关(考点:函数奇偶性)
5.函数
A.
在和
B.
都是增函数,若
C.
,且那么( )
D.无法确定
(考点:抽象函数单调性)
6.函数
A.
在区间是增函数,则的递增区间是 ( )
D.
B. C.
(考点:复合函数单调性)
7.函数
A. B.
在实数集上是增函数,则( )
C. D.
(考点:函数单调性)
8.定义在R上的偶函数,满足
第
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,且在区间上为递增,则( )
A.
C.
B.
D.
(考点:函数奇偶、单调性综合)
9.已知在实数集上是减函数,若,则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
(考点:抽象函数单调性)
二、典型填空题
1.函数在R上为奇函数,且,则当, .
利用函数奇偶性求解析式)
2.函数,单调递减区间为 ,最大值和最小值的情况
为
.(考点:函数单调性,最值)
三、典型解答题
1.(12分)已知,求函数得单调递减区间.
(考点:复合函数单调区间求法)
2.(12分)已知,,求.
(考点:函数奇偶性,数学整体代换的思想)
第 6 页
共 7 页
(考点:
一、BAABDBAAD 二、1.
三、3.
解: 函数
故函数的单调递减区间为
4.解: 已知
也即,
中
.
; 2.
,
和,;
,
为奇函数,即
,得
=
,
中
.
,
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