高中数学-函数的基本性质

函数的基本及性质

教


情



分



析


三维目
标及处
理方法



教学重
点及处
理方法
教学难
点及处
理方法

知识与能力目标
1、理解函数的奇偶性，周期性；
2、会解决有关函数奇偶性以及周期性的题目；
过程与方法目标
1、学生能回顾起 函数的内容；通过回忆加练习，掌握基本解题方法，可以解决有关函数性质
简单以及中等难度的题目；
情感态度价值观目标
1、 通过学习建立对函数的自信心，不惧怕困难，善于去钻研难题。
1、重点：函数奇偶性，周期性。
2、处理方法：做好笔记，谨记步骤，强化练习，巩固基础。
1、难点：如何去证明函数的奇偶性以及怎么求周期。
2、处理方法：经典例题解析，让学生深刻体会正确方法的简便性，加深印象。
学
情
分
析

1

教学过程：
【基础知识回顾】

1．函数的奇偶性

奇偶性
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内
任意一个 x，都有________，那
么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内
奇函数

2．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋
T)＝______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中____________的正数 ，那么这个____正数就叫做f(x)的最
小正周期．

3．对称性
若 函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线____ ______对称．

任意一个x，都有________，那
么函数f(x)是奇函数
关于______对称
关于____对称
图象特点
【考点解析】
一、函数奇偶性的判定
1．定义法


2

2．图象法
二、函数奇偶性的应用
1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶
性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．
3．性质法：


(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
2 ．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生 关于字

母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；


3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称 的区间
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
上的单调性相反．


提醒：
4．若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.这一结论在解决问 题中十分便捷，但若f(x)是偶函数且在
分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应 分段讨论，讨论时可依据x的范围取相
x＝0
(1)
处有定义，就不一定有f(0)＝ 0，如f(x)＝x2＋1是偶函数，而f(0)＝1.
应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．



(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
例2设函数f(x)＝x
3
＋bx
2
＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f( x)－f′(x)是奇函数．

(1)求b，c的值；
(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．
(2)求g(x)的单调区间与极值．


例

1判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝





变式
变式

1
1.设偶函数f(x)满足 f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )．
1．函数f(x)＝－x的图象关于( )．
x
x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4} A．{x|x＜－2，或
C＜0，或 D．＜－2，或
A
．{x|x
y轴对称
x

＞

6}


B．直线y
{x|x
＝－x对称
x＞2}

C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
1＋ax

2.设a，b ∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg是奇函数，则a＋b的取值范围为____ ______．
1＋2x
x
2．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )．
2x＋1x－a

123

A． B． C． D．1
234


3－x2＋x2－3； (2)f(x)＝(x＋1)
1－x4－x2
； (3)f(x)＝.
1＋x|x＋3|－3
3

.
三、函数的周期性及其应用

抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：

(1)若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；

(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a) ＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；
(3)若满足f(x＋a)＝，则f(x＋2a)＝f[( x＋a)＋a]＝＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；
f(x)f(x＋a)
，同理可得2a是函数的一个周期；
f(x)
111
(4)若函数满足f(x＋a)＝－
(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①k T(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区
间[m，n ](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．


例1已知定义在R上的函数f(x)满足






变式

已知函数f(x)满足f(x＋1)＝










1＋f
1－f
x
x
，若f(1)＝2 014，则f(103)＝__________.
3
f(x)??f(x?
)
，且f(1)＝3，则f(2 014=_______________)
2
4

【随堂练习】
1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋
C．y＝2x＋2－x D．y＝lg

2．已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)为( )．
A．偶函数 B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

3．函数f(x)的定义 域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．
A．－9 B．9 C．－3 D．0

4．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．
A．{x|x＜－2，或x＞4}
B．{x|x＜0，或x＞4}
C．{x|x＜0，或x＞6}
D．{x|x＜－2，或x＞2}

5．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2
011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.

1
x＋1
x2＋1)

【课后作业】

一、选择题
1．f(x)是定义在R上的奇函数，满足 f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－2，则
f
(log
1
6)
的值等于( )．
2
711
A．－ B．－ C． D．－
3222

2．函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞ 0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的表达式为( )．
A．－x＋1 B．－x－1
C．x＋1 D．x－1





4
5

3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x ，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )．
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

4．定义两种运算：a
?
b ＝log2(a2－b2)，a
?
b＝
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数且为偶函数
D．非奇且非偶函数

5．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )．
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数

6．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{ an}是等差数列，a3＞0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值
( )．
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为0 D．可正可负

二、填空题

7．定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8 )＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4－x，则f(2 011)
的值为__________．

8．定义在R上的奇函数f(x)，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集是__________．

9．定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是 增函数，下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；
④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(4)＝f(0)．
其中判断正确的序号是__________．



a－b2，则函数f(x)＝
2⊕x
x
?
2－2
为( )．
6

三、解答题
10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a ，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且当x＞0时，f(x)＜0恒
成立，f(3)＝ －3.
(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；
(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；
(3)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈N*)上的值域．















1
11．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2 )＝－f(x)．若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使
2
1
f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的个数．
2














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