高一数学函数重点知识点归纳总结三篇

高一数学函数重点知识点归纳总结三篇


高一新生对数学的函数知识是相当头疼的，函数知识面广，思
维灵活，题型更是千奇百怪，要想学好函数 ，就需要一份准确的函数
知识点归纳。
高一函数知识点归纳总结1
函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)
导数法(适用于多项式函数)
复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)
的关系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),
则T为函数f(x )的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a) ,则2a

为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
高一函数归纳总结2
一：函数及其表示
知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、
函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数
值、求函数值域、函数的表示方法等
1. 函数与映射的区别：

2. 求函数定义域
常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：
①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.
②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数
集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0
的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正
且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域
是使各部分式子都有意义的实数集合， 即求各部分有意义的实数集合
的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还
要受实际问题的制约。
3. 求函数值域
(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解
析式，求得函数的值域;
(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二
次函数的形式，那么将这个函数的右 边配方，通过自变量的范围可以
求出该函数的值域;
(3)、判别式法：
(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得
到函数的值域;
(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以
新变量为自变量 的函数形式，进而求出值域;
(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上 是严格
单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;
(7)、利用基本不等 式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的
函数可以利用重要不等式求出函数的值域;
(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)
在区间[a, b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可
得到函数y的值域;
(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函
数的值域可以转化 为求反函数的定义域。

高一函数归纳总结3
【(一)、映射、函数、反函数】
1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射 是一种
特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.
2、对于函数的概念，应注意如下几点：
(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.
(2)掌握三种表示法列 表法、解析法、图象法，能根实际问题寻
求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.
(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，
其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.
3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：
(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);
(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义
域.
注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函
数，然后再合并到一起.
②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免
求反函数的过程，从而简化运算.
【(二)、函数的解析式与定义域】
1、函数及其定义域是不可分割的 整体，没有定义域的函数是不
存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的

对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类
型：
(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意
义，求定义域要结合实际意义考虑;
(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即
可.如：
①分式的分母不得为零;
②偶次方根的被开方数不小于零;
③对数函数的真数必须大于零;
④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
⑤三角函数中的正切函数y=tanx(xR，且kZ)，余切函数
y=cotx( xR，xk，kZ)等.
应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).
(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑
定义域的深刻含义即可.
已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足ag(x)b
的x的取值范围 ，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x[a，b]，此时
f(x)的定义域，即g(x) 的值域.
2、求函数的解析式一般有四种情况
(1)根据某实际问题 需建立一种函数关系时，必须引入合适的变
量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数
法 .比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a0)，其中a，b为待定系数，
根据题设条件，列 出方程组，求出a，b即可.
(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用 换元法求函数
f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.
(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出
现其他未知量(如f(-x )，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组
成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.
【(三)、函数的值域与最值】
1、函数的值域取决于定义域和对应法 则，不论采用何种方法求
函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：
(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数
的解析式应用不等式的性质，直接观察 得出函数的值域.
(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另
一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式
时用代数换元，当根式里是二次式 时，用三角换元.
(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和 值域间
的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a0)的函
数值域可采用此 法求得.
(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可
考虑用配方法.
(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b[a，b(0，+)]可以求某

些函数的 值域，不过应注意条件一正二定三相等有时需用到平方等技
巧.
(6)判别式法： 把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用△0
求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式 .
(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某
个定义域的 子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.
(8)数形结合法求函数的值域：利 用函数所表示的几何意义，借
助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.
2、求函数的最值与值域的区别和联系
求函数最值的常用方法和求函数 值域的方法基本上是相同的，
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问
的角度不同，因而答题的方 式就有所相异.
如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-，-2][2，+)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，
如x0时，函数的 最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.
3、函数的最值在实际问题中的应用
函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从
文字表述上常常表现为 工程造价最低，利润或面积(体积)(最小)等诸
多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的 制约，以便能
正确求得最值.
【(四)、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域
内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做
奇函数(或偶函数).
正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数< br>轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条
件;(2)f(x)=-f( x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义
域上的整体性质).
2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判
断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或 应用定义的等价形式：
注意如下结论的运用：
(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;
(2)f(x)、g (x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1D2
上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x )g(x)是偶函数，类似地有奇奇=奇奇奇=
偶，偶偶=偶偶偶=偶奇偶=奇;
(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;
(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。
3、有关奇偶性的几个性质及结论
(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点 对称;一
个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.
(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既
是奇函数又是偶函数.
(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

(4) 若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对
称区间上的单调性是相同(反)的。
(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，< br>G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
(6)奇偶性的推广
函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的
图象关于直 线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内
的任-x都有f(a+x) =-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称
图形，即y=f(a+x)为奇 函数。
【(五)、函数的单调性】
1、单调函数
对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1x2
时，都有不等式f(x1 )(或)f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增(或递
减);增函数或减函数统称为单调 函数.
对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：
(1)单调性是与区间紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上
可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的整体性质，因此定义中的x1，
x2具有任意性，不能用特殊值代替 .
(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.
(4)注意定义的两种等价形式：
设x1、x2[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数;
在[a、b]上是减函数.
②在[a、b]上是增函数.
在[a、b]上是减函数.
需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点
(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.
(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或
x1x2)，这说明单调性使 得自变量间的不等关系和函数值之间的不等
关系可以正逆互推.
5、复合函数y=f[g(x)]的单调性
若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性， 与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或
g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y= f[g(x)]在[a，b]上单调递
增;否则，单调递减.简称同增、异减.
在 研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一
些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次 函数、二次函数、指数
函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.
6、证明函数的单调性的方法
(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2M且x 1(或)f(x2);
③根据定义，得出结论.
(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.
如果f(x)0，则f(x)为增函数;如果f(x)0，则f(x)为减函数.
【(六)、函数的图象】

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识 图、用图能
力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.
求作图象的函数表达式
与f(x)的关系
由f(x)的图象需经过的变换
y=f(x)b(b0)
沿y轴向平移b个单位
y=f(xa)(a0)
沿x轴向平移a个单位
y=-f(x)
作关于x轴的对称图形
y=f(|x|)
右不动、左右关于y轴对称
y=|f(x)|
上不动、下沿x轴翻折
y=f-1(x)
作关于直线y=x的对称图形
y=f(ax)(a0)
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
y=af(x)
纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变
y=f(-x)

作关于y轴对称的图形
【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，yR，有
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)0.
①求证：f(0)=1;
②求证：y=f(x)是偶函数;
③若存在 常数c，使求证对任意xR，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函
数f(x)是不是周期函数，如 果是，找出它的一个周期;如果不是，请说
明理由.
思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解
决这类问题一般采用赋值法.
解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)0，所以f(0)=1.
②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这< br>说明f(x)为偶函数.
③分别用(c0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=
所以，所以f(x+c)=-f(x).
两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.