高考必考高中数学函数的凹凸性

高考必考-----函数的凹凸性在高考中的应用

目的: ①了解函数的凹凸性, 掌握增量法解决凹凸曲线问题。
②培养学生探索创新能力, 鼓励学生进行研究型学习。
教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题
教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征
教学过程：
一、课题导入
1. 2013届高三第一次月考试题12得分统计表

班级
高三（1）班（理）
高三（11）班（文）

考试人数
54
61
答对人数
19
12
答错人数
35
49
正确率
35.1%
19.7%
2.
组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计, 以引出课题———
题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示, 其底部碰了一个小洞, 满
缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ, 则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能
是图2中的（ ）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》．





图2

图1
函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平,
能考查学生的创新能力和潜在的数学素质, 体现“高考命题范围遵循教学大纲, 又不拘
泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义,
又没有作专门的研究, 因此, 就多数学生而言, 对这类凹凸性曲线问题往往束手无
策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以, 对这类非常规性问题作一探索, 并
引导学生去得到一般性的解法, 无疑对学生数学素质的提 高和创新精神的培养以及在迅
速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。
二、新课讲授
1、
凹凸函数定义及几何特征

⑴
引出凹凸函数的定义
：
如图3根据单调函数的图像特征可 知：函数
f
1
(x)
与
f
2
(x)
都是增 函数。但是
f
1
(x)
与
f
2
(x)
递增 方式不同。不同在哪儿？把形如
f
1
(x)
的增长方式的函数称为凹函数, 而形如
f
2
(x)
的增长方式的函数称为凸函数。
⑵
凹凸函数定义
（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：
设函数
f
为定义在区间
I
上的函数, 若对（a, b）上任意两点
x
1
、
x
2
, 恒有：
x< br>1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
, 则称
f
为（a, b）上的凹函数；
)?
22
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
（2）
f(< br>1
, 则称
f
为（a, b）上的凸函数。
)?
22
⑶
凹
凸
函数的几何特征：


几何特征1（形状特征）

（1）
f(

图4（凹函数） 图5（凸函数）
如图, 设
A
1
,A
2
是凹函数y=
f(x)
曲线上两点, 它们对应的横坐标
x
1
?x
2
, 则
A
1
(x
1
,f(x
1
))
,
A
2
(x
2
,f(x
2
))
, 过点
x
1
?x
2
作
ox
轴的垂线交函数于A, 交
A
1
A
2
于
2
B, 凹函数的
形状
特征是：其函数曲线任意两点
A
1
与
A
2
之间的部分位于弦
A
1
A
2
的下方;
凸函数 的
形状
特征是：其函数曲线任意两点
A
1
与
A
2< br>之间的部分位于弦
A
1
A
2
的上方。

简记为：形状凹下凸上。

几何特征2（切线斜率特征）

图6（凹函数） 图7（凸函数）
设
A
1
,A
2
是函数y=
f(x)
曲线上两点, 函数曲线
A
1
与
A
2
之间任一点A处切线的斜
率：凹函数的
切线斜率
特征是：切线的斜率y=
f(x)
随x增大而增大；
凸函 数的
切线斜率
特征是：切线的斜率y=
f(x)
随x增大而减小；
简记为：斜率凹增凸减。


几何特征3（
增量特征
）

图8（凹函数） 图9（凸函数）


图10（凹函数） 图11（凸函数）
设函数ｇ（ｘ）为凹函数, 函数ｆ（ｘ）为凸函数, 其函数图象如图8、9所示, 由
图10、11可知, 当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时, 函数ｇ（ｘ）的相应增量Δ
ｙ
１
, Δｙ
２
, Δｙ
３
, …越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ
１
, Δｙ
２
, Δｙ
３
, …
越来越小；
由此, 对ｘ的每一个单位增量Δｘ, 函数ｙ的对应增量Δｙ
ｉ
（ｉ＝1, 2,
3, …）
凹函数的
增量
特征是
：Δｙ
ｉ
越来越大；

凸函数的
增量
特征是
：Δｙ
ｉ
越来越小；
简记为：增量凹大凸小。

弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律, 就可准确迅速、简捷明了
地解决有关凹凸的曲线问题．

函数凹凸性的应用
应用1 凹凸曲线问题的求法

下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．

题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示, 其底部碰了一个小洞, 满
缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ, 则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能
是图13中的（ ）．





图12 图13

解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ）, 我们可将水“流出”设想成“流入”, 这
样, 每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时, 根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大,
但经过中截面后则越来越小, 故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的, 因此, 选Ｂ．
例1 向高为Ｈ的水瓶中注水, 注满为止, 如果注水量V与水深ｈ的函数关系的图象如
图14所示, 那么水瓶的形状是（图15中的）（ ）．（1998年全国高考题）

图14

图15

解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的, 即每当ｈ增加一
个单位增量Δｈ, V的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小, 故
选Ｂ．

例2 在某种金属材料的耐高温实验中, 温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示
的图象如图16所示．现给出下面说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后温度保持匀速增加；

④5分钟以后温度保持不变．
图16
其中正确的说法是（ ）．
Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．②③ Ｄ．①③
解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线, 即5分钟前每当ｔ增加一个单
位增量Δｔ, 则ｙ相应的增量Δｙ越来越小, 而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0,
故选Ｂ．
注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》, 用了
增量法就反成了“看图说画”．
例3（2020重庆 理）如图所示, 单位圆中弧AB的长为x, f(x)表示弧AB与弦AB所围
成的弓形面积的２倍, 则函数y=f(x)的图象是（ ）







A B











C D

图17

解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ
１
＝ｘ是直线, 每当ｘ增加
一个单位增量Δｘ, ｙ
１
的对应增量Δｙ不变；而ｙ
２
＝sinｘ是正弦曲线, 在［0, π］
上是凸的, 在［π, 2π］上是凹的, 故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时, ｙ
２
对应的增
量ｉ（ｉ=1, 2, 3, …）在［0, π］上越来越小, 在［π, 2π］上是越来越大, 故
当ｘ增加一个单位增量Δｘ时, 对应的f(x)的变化, 在ｘ∈［0, π］上其增量Δf(x)ｉ
（ｉ＝1, 2, 3, …）越来越大, 在ｘ∈［π, 2π］上, 其增量Δf(x)ｉ则越来越小,
故f(x)关于ｘ的函数图象, 开始时在［0, π］上是凹的, 后来在［π, 2π］上是凸的,
故选D．
例4（2020 江西） 四位好朋友在一次聚会上, 他们按照各自的爱好选择了形状不同、内
空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯, 如图所示．盛满 酒后他们约定：先各自饮杯中酒

的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1, h2, h3, h4, 则它们的大小关系正确
的是（）
图18
A．h
2
＞h
1
＞h
4
B．h
1
＞h
2
＞h
3
C．h
3
＞h
2
＞h
4
D．h
2
＞h
4
＞h
1
解： 设内空高度为H, 剩余酒 的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V
1
（h）、
V
2
（ h）、V
3
(h)、V
4
（h）, 根据酒杯的形状可知函数V
1
（h）、V
2
（h）、V
4
（h）的图象
可为
图 19


因为函数V
1
（h）、V
2
（h）为
凹
函数, V
1
（h）当h从Ｏ→H, Δh增加一个单位增量,
ΔVｉ（ｉ＝1, 2, 3, …）增大, 则h
1
> 0.5H =h
4
；同理V
2
（h）当h从Ｏ→H, Δh
增加一个单位增量, ΔV
ｉ
（ｉ＝1, 2, 3, …）增大, 则h
2
> 0.5H =h
4
；所以h
1
> h
4
、
h
2
> h
4
；
由V
1
（h）、V
2
（h）图象可知, h从H→h
2
, ΔV
1
（h）>ΔV
2
（h）,而0.5 V
1
（h）>ΔV
1
（h）,ΔV
2
（h）=0.5 V
2
（h）,则当ΔV
1
（h）=0.5 V
1
（h）时h
1
> h
2
, 所以答案为A.

应用2 凹凸函数问题的求法

例1、(2020·湖北卷) 在y=2
x
, y=log
2
x, y=x
2
, y=cos2x这四个函数中,当01
2
<1时,
恒成立的函数的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3

分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x
1
,x< br>2
∈I,且x
1
2
,当f(x)

总满足 时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定
y=2
x
,y= x
2
,y=cos2x, 应选B。本小题主要考查函数的凹凸性, 试题给出了四个基本初
等函数, 要求考生根据函数的图像研究函数的性质---凹凸性, 对试题中的不等关系
式：, 既可以利用函数的图像直观的认识, 也可以通过
代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义.
例2、（2020北京卷理13）对于函数f(x)定义域中任意的x
1
, x
2
（
x
1
≠x
2
）
, 有如下结论：
① f(x
1
＋
x
2
)=f(x< br>1
)·f(x
2
)
；

②
f(x
1
·x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
)； f(x
1
)?f(x
2
)
x?xf(x
1
)? f(x
2
)
f(
12
)?
x
1
?x
2
22
③>0； ④.
当f(x)=lgx时, 上述结论中正确结论的序号是 （②③） 。
本题把对数的运算（①②） 、对数函数的单调性（③）、对数函数图像的凹凸性（④）
等知识有机的合成为一道多项填空题, 若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难,
而靠死记硬背的考生就会有问题。

通过以上的例子可以看出在高三复习时, 有必要留意以高等数学知识为背景的创新题与信息
题, 也有必要让学生了解简单高等数学与初等数学结合的知识, 这样既可以达到简化运算、避
免易错点的目的, 还可以突破难点, 找到规律性的解题途径, 更为高等数学的学习打下良好
的基础。同时使学生们认识到知识学的越多、越深入, 解决起问题来越有规律性、越简单。从而
使他们渴望学习, 渴望积累, 更进一步的增加分析问题, 解决问题的能力。
三、学生练习
1、
如图20所示, 半径为2的⊙Ｍ切直线ＡＢ于Ｏ, 射线ＯＣ从ＯＡ出发绕着Ｏ点顺时
针旋转到ＯＢ．旋转过程中, ＯＣ交⊙Ｍ于Ｐ．记∠ＰＭＯ为ｘ、弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ
=ｆ（ｘ）, 那么ｆ（ｘ）的图象是图18中的（ ）．

图20 图21

2、
如图22所示, 液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中, 开始时漏斗中盛满液体,
经过3分钟漏完, 已知烧杯中液面上升的速度是一个常量, Ｈ是漏斗中液面下落的距离,
则Ｈ与下落时间ｔ（分）的函数关系用图象表示可能是图11中的（ ）．

图22 图23
f
?
x
?
? log
a
x
a?0且a?1,x?R
?
,若x
1
, x
2
?R
?
3、（2020年高考）已知函, 判
??
?
x
1
?x
2
1
f
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?2
断
2
与
?
?
?
?
的大小, 并加以证明。
2
????
fx?x,fx?x
12
4、
在,
1
2
f
3
?
x
?
?2
x
,f
4
?
x
?
?log
1
x
2
四个函数中, 当
x
1
?x
2
?1
时,
x
1
?x
2
?
1
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?f?
??
22
??
成立的函数是 ( ) 使
A.
f
1
?
x
?
?x
B .
f
2
?
x
?
?x
C.
f
3
?
x
?
?2
D.
2x
1
2
f
4
?
x
?
?log
1
x
2

解答
：
1、
解：易得弓形ＰｎＯ的面积 为Ｓ=2（ｘ-sinｘ）．由于ｙ
１
＝ｘ是直线, 每当ｘ增加一个
单位增量Δｘ, ｙ
１
的对应增量Δｙ不变；而ｙ
２
＝sinｘ是正弦曲线, 在［0, π］上是
凸的, 在［π, 2π］上是凹的, 故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时, ｙ
２
对应的增量Δ
ｙ
ｉ
（ｉ=1, 2, 3、解：
?
x
1
x
2
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?log
a
x
1
?log
a
x
2
?log
a
。∵
x1
,x
2
?
?
0,??
?

?
x?x
2
?
x
1
x
2
?
?
1< br>?
2
??
（当且时仅当x1=x2时取”=”号） ∴
?
x
1
x
2
?
log
a
?log
x?x
2
当a>1时,有
?
x
1
?x
2
?
? ?
?
2
?
a
2

1
1
?
x
1
x
2
?
log
a
?log
a
2
∴
2
?
x
1
?x
2
1
f
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2?
?
?
2
, 即
2
≤
?
?l og
?
x
1
?x
2
?
??
?
2< br>?
a
2
?
?
?

?
?
?
当0〈a〈1时,有
log
a
?
x
1
x
2
?
?
x
1
?x
21
f
?
f
?
x
1
?
?f
?< br>x
2
?
?
?
2
, 即
2
≥
?
（当且时仅当x1=x2时取”=”号） 2014-7-2
3, …）在［0, π］上越来越小, 在［π, 2π］上是越来越大, 故当ｘ增加一个单位
增量Δｘ时, 对应的Ｓ的变化, 开始时在ｘ∈［0, π］上其增量ΔＳ
ｉ
（ｉ＝1, 2,
3, …）越来越大, 经过ＯＣ⊥ＡＢ后, 即在ｘ∈［π, 2π］上, 则越来越小, 故
Ｓ关于ｘ的函数图象, 开始时在［0, π］上是凹的, 后来在［π, 2π］上是凸的, 故

选Ａ．
2、解：同例4分析可知, 每当ｔ增加一个单位增量Δｔ, Ｈ的变化开始增量ΔＨ越来越
小, 经过中截成后越来越大, 故Ｈ关于ｔ的函数图象是先凸后凹, 因此选Ｄ．