高中数学函数和导数综合练习含解析

高中数学（函数和导数）综合练习含解析
学校:___________姓名：___ ________班级：___________考号：
___________
一、选择题（题型注释）
1．已知函数
f(x)?x
2
?ax?a lnx(a?R)
．
g(x)??x
3
?x
2
?4x?
（1）当
a?1
时，求证：
?x
1
,x
2< br>?
?
1,??
?
，均有
f(x
1
)?g(x
2
)

（2）当
x?
?
1,??
?时，
f(x)?0
恒成立，求a的取值范围．
2．已知定义域为
R的奇函数
y?f(x)
的导函数为
y?f
?
(x)
，当
x?0
时，
f
?
(x)?
f(x)11
若
a?f(1)
，则
a,b,c
?0
，
b??2f(?2)
，
c?(ln)f(ln)
，
x22

5
2
3
2
的大小关系正确的是（ ）
A．
a?c?b
B．
b?c?a
C．
a?b?c
D．
c?a?b

3．函数
f (x)?x
3
?3ax?a
在
?
0,2
?
内有最小 值，则实数
a
的取值范围
是（ ）
A．
?
0,4
?
B．
?
0,1
?
C．
?
0,4
?
D．
?
?4,4
?

4．在函数
y?f
?
x
?
的图象上有点列
?
x
n
,y
n
?，若数列
?
x
n
?
是等差数列，
数列
?
y
n
?
是等比数列，则函数
y?f
?
x
?
的解析式可能为（ ）
A．
f
?
x
?
?2x?1

B．
f
?
x
?
?4x
2

C．
f
?
x
?
?log
3
x

3
?
D．
f
?
x
?
?
?
??

?
4
?
x
5．设
p:y?c
x是
R
上的单调递减函数；
q
：函数
g
?
x?
?lg
?
2cx
2
?2x?1
?
的值域为< br>R
．如果“
p
且
q
”为假命题，“
p
或q
”为真命题，则正
实数
c
的取值范围是（ ）

???????
A．
?
?
,1
?
B．
?
,??
?
C．
?
0,
?
U
?
1,??
?
D．
?
0,
?

22
22
??
????
??
1111
6．如果函数y
?|x|?2
的图像与曲线
C :x
2
?y
2
?
?
恰好有两个不同的公
共点，则实 数
?
的取值范围
是（ ）
A．
{2}
∪
(4,??)

B．
(2,??)

C．
{2,4}

D．
(4,??)

7．设函数
1
?
?1 (?2?x?0),
g(x)?f(x)?x ,x?[?2,2]
，若
f(x)?
?
2
?
x?1 (0 ?x?2),
1
g(log
2
a)?g(log
1
a)?2 g()
,则实数
a
的取值范围是（ ）

2
2
A．
(0,]
B．
[1,2]
C．
[,2]
D．
[
1
2
1
2
2
,2]

2< br>8．函数
f(x)?x?x,x?R
，当
成立，则实数
m
的
取值范围是（ ）
3
0?
?
?
?
2
时，
f(msin
?
)?f(1?m)?0
恒
1
??
?
??,
?
2
?
D ．
?
??,1
?
A．
?
0,1
?
B．
?
??,0
?
C ．
?
9．曲线
y?
x
在点
?
?1,?1
?
处的切线方程为（ ）
x?2
A．
y?2x?1
B．
y?2x?1
C．
y??2x?3
D．
y??2x?2

10．设
f(x)?xlnx
，若
f
?
(x
0
)?2
，则
x
0
?
（ ）
A．
e
2
B．
e
C．
二、填空题（题型注释）
11．函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?a
2
在
x?1
处有极值10，则
a?b?
．
ln2
D．
ln2

2
12．设定义域为?
0,??
?
的单调函数
f(x)
，对任意的
x??
0,??
?
，都有

f[f(x)?log
3< br>x]?4
，若
x
0
是方程
f(x)?2f
?
(x)?3
的一个解，且
x
0
?(a,a?1),a?N
*
，则实数
a?
．
13．由曲线
y?x
，直线
y?x?2
及
y
轴所围成的图形的面积
为 ．
14．设
f(x)?xlnx
，若
f
?
(x
0
)?2
，则
x
0
?
．

15．已知函数
f (x)
是定义在R上的奇函数，
f(1)?0
，
xf
?
(x )?f(x)
?0
（x
x
2
?0）
，则不等式
x
2
f(x)?0
的解集是 ．
16． 已知
f
?
x
?
是定义在
R
上的周期为3的函数，当
x?
?
0,3
?
时，
f
?
x
?< br>?x?2x?
2
1
.
2
若函数
y?f
?x
?
?a
在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数
a< br>的取值范围
是 .

三、解答题（题型注释）
x
2
?6x?4a
?lnx
，其中a∈R 17．已知函数
f(x)?
4x
（1）若函数
f(x)
在
?
0,???
单调递增，求实数
a
的取值范围
（2） 若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，
求函数f（x）的单调区间与极值．
18．设函数
f(x)?xlnx

（1）求函数
f(x)
的最小值；
（2）设
F(x)?x
2
?a[x?f
?
(x)]?2x
，讨论函数
F(x)
的单 调性；
（3）在第二问的基础上，若方程
F(x)?m
，（
m?R
）有两个不相
等的实数根
x
1
,x
2
，求证：
x< br>1
?x
2
?a
．
19．已知函数
f(x)?x2
?ax?alnx(a?R)
，
g(x)??x
3
?x
2
?2x?6

（1）若
f(x)
的一个极值点为1，求a的值；
5
2

（2）设
g(x)
在
[1,4]
上的最大值为
b
，当
x?
?
1,??
?
时，f(x)?b
恒成立，
求a的取值范围．
?
20．已知c>0，设命题 p：函数
y?c
x
为减函数，命题q：当
x?
?
,2
?
?
2
?
?
1
时，函数
f
?
x
?
?x??
恒成立，如果p或q为真命题，p且q为
假命题，求c的取值范围 ．
21．如果一元二次方程
ax
2
?2x?1?0
?
a? 0
?
至少有一个负的实数根，
试确定这个结论成立的充要条件．
?
,2
22．已知c>0，设命题p：函数
y?c
x
为减函数，命题q：当x?
?
?
?
2
?
?
1
1
x< br>1
c
时，函数
f
?
x
?
?x??
恒 成立，如果p或q为真命题，p且q为
假命题，求c的取值范围．
23．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所
示．
用电（千产值（万

甲产品
乙产品
用煤（吨）
瓦）
7
3
20
50
元）
8
12
1
x
1
c
但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电< br>至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产量最大？最
大日产量为多少？
2 4．已知函数
f(x）?x
3
?
5
2
，其图象是曲线
C
．

x?ax?b
（
a,b
为常数）
2
（1）当
a??2
时，求函数
f(x)
的单调减区间；

（2）设函数
f(x)
的导函数为
f
?
(x)
，若存在唯一 的实数
x
0
，使得
f(x
0
)?x
0
与< br>f
?
(x
0
)?0
同时成立，求实数
b
的取 值范围；

（3）已知点
A
为曲线
C
上的动 点，在点
A
处作曲线
C
的切线
l
1
与曲线
C
交于另一点
B
，在点
B
处作曲线
C
的切线
l
2
，设切线
l
1
,l
2
的斜率分别为
k
1
,k
2
．问：是否存在常数
?
，使得
k
2
?
?
k
1
？若存在，求出
?
的值；若不存在， 请说明理由．

3
ax
3
?x
2
?1(x?R)< br>2
25．已知函数f（x）=，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
?
11
?
?,
??
（Ⅱ）若在区间
?
22
?
上， f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
26．已知函数
f(x)?x
3
?3x
．
（Ⅰ）求
f
?
(2)
的值；
（Ⅱ）求函数
f(x)
的单调区间和极值．
27．已知函数
f?
x
?
?
lnx?1
.

x
（1）求 函数
f
?
x
?
的单调区间和极值；

（2）若对任 意的
x?1
，恒有
ln
?
x?1
?
?k?1?kx
成立，求
k
的取值范围；

ln2ln3lnn2n
2?n?1
（3）证明：
2
?
2
+???+
2
?
?
n?N
?
,n?2
?
.

4
?
n?1
?
23n
28．已知函数
f
?
x
?
?x
3
?
5
2
7
（
a,b
为常数 ）.

x?ax?b,g
?
x
?
?x
3
? x
2
?lnx?b
，
22
（1）若
g
?
x
?
在
x?1
处的切线过点（0，-5），求
b
的值；

（2）设函数
f
?
x
?
的导函数为
f'
?
x
?
，若关于
x
的方程
f
?
x
?
?x?xf'
?
x
?
有唯一解，
求实数
b的取值范围；

（3）令
F
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
，若函数
F
?
x
?
存在极值，且所有极值之和大于
5?ln2
，
求实数
a
的取值范围.

29．已知函数
f
?
x
?
满足
f
?
x
?
?2f
?
x?2
?
，且当
x?
?
0,2
?
时，
1
??f
?
x
?
?lnx?ax
?
a??
?
，当
x?
?
?4,?2
?
时，
f
?
x?
的最大值为-4.

2
??
（1）求实数
a
的值；

（2）设
b?0
，函数
g
?
x
?
?
1
3
b x?bx,x?
?
1,2
?
.若对任意
x
1
??
1,2
?
，总存在
3

x
2
?
?
1,2
?
，使
f
?
x
1
??g
?
x
2
?
，求实数
b
的取值范围.

30．已知函数
f
?
x
?
?e?ax?1
（< br>e
为自然对数的底数）.

x
（1）当
a?1
时，求 过点
1,f
?
1
?
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若
f
?
x
?
?x
在（0,1）上恒成立，求 实数
a
的取值范围.
2
??

参考答案
1．（1）1；（2）
a?1

【解析】
试题分析：（1）对f
?
x
?
进行求导得到其导函数，因为
f(x)
的一个 极值
点为1，所以
f
'
?
1
?
?0
，代入 即可求出
a
的值；
（2）对
g
?
x
?
进 行求导得到其导函数，判断出其在
[1,4]
上的单调性，从
而可以判断出最大值在哪 个点取得，求出其最大值
b
；代入
f(x)?b
，
分离参数
a
，构造一个新函数
h
?
x
?
，只需
a
小 于等于其最小值即可．
试题解析：（1）a＝1时， f（x）＝x
2
－x－ln x，
f(x)
在（1，＋∞）上是增函数，
f(x)
min
?f( 1)?0

g
?
(x)??3x
2
?5x?4?0
，
所以< br>g(x)
在（1，＋∞）上是减函数，
g(x)
max
?g(1)?0

当
a?1
时，
?x
1
,x
2
?
?
1,??
?
，均有
f(x
1
)?g(x
2
)

（2）由由x∈[1，＋∞）知，x＋ln x＞0，
x
2
所以f（x）≥0恒成立等价于a≤在
x?
?
1,??
?
时 恒成立，
x?lnx
x
?
x?1
?
?2lnx
x
2
?0
令h（x）＝，
x?
?
1,??
?
，有h′（x）＝
2
x?lnx
?
x?lnx
?
x??
1,??
?
,h
?
(x)?0,h(x)
单调递增
所以
x?
?
1,??
?
h（x）≥h（1）＝1，所以a≤1．
考点：利用导数研究函数的极值和最值
2．D
【解析】

试题分析：设
h
?
x
?
?xf
?
x
?
?h
'
?
x
?
?f
?
x
?
?xf
'
?
x
?
，
Qy?f
?
x
?
是定义在
R
上
的奇函数，
?h
?
x
?
是定义在
R
的偶函数，当
x?0时，
h
'
?
x
?
?f
?
x
?
?xf
'
?
x
?
?0
，此时函数
h
?
x
?
单调递增．
Qa?1f(1)?h
?
1
?
，
1
11
?
1
?
b??2f(?2)?h
?
?2
?
，
c?(ln)f(ln)?h
?
ln
?
，又
2?1?
?b?a?c
故选
2
22
?
2
?
D．
考点：利用导数研究函数的单调性
【思路点睛】本题考察的是比 较大小相关知识点，一般比较大小我们
可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中无 解
析式，所以我们无法采用作差法、作商法和中间量法，只能采用单调
性法，经观察得需要进行 构造函数，研究构造的函数的单调性，再利
用函数的奇偶性进行转化到同一侧，即可判断出所给几个值的 ．
3．C
【解析】
试题分析：由题可得
f
'
?
x
?
?3x
2
?3a?3
?
x?a
??
x?a
?
，所以
f
?
x
?
在
?
0 ,a
?
上单调递减，在
?
故选C．
考点：函数的最小值
4．D
【解析】
a,??
上单调递增，所以
f
?
x
?
在
x?a
处取得
?
最小值，又
f
?
x
?
在
?
0,2
?
内有最小值，所以只需
0?a?2
，即
0?a?4
，
n
?
3
??
3
?
试题分析：对于函数
f
?
x
?
?
??
上的点列
?
x
n
,y
n
?
有
y< br>n
?
??
，由于
?
x
n
?
44< br>????
xx

是等数列差，所以
x
n?1
?x
n
?d,
因此
y
n?1
y
n
?
3
?
x
n?1
?x
n
d
??
4
?< br>?
3
??
3
?
?
??
??
?
??
，这是
x
n
?
4
??
4
?
?
3
?
??
?
4
?
x
x
n?1< br>3
?
一个与
n
无关的常数，故
?
y
n
?
是等比数列，所以
f
?
x
?
?
?
??
合题意，故
?
4
?
选D．
考点：1、等差数列的定义；2、等比数列的定义；3、指数函数．
【易错点晴】本题主要考 查函数与数列的综合问题，属于难题．解决
该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的 图象是一
群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制
条件，如函数的 定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函
数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相 应的函数，注意数
列中相关限制条件的转化．本题构造出指数函数巧妙地将等差数列、
等比数列 结合起来．
5．A
【解析】
试题分析：本题考查命题真假的判定与推理，若命题
p
为真命题，则
0?c?1,
若命题
q
为真命题，则
c?0
且
??4?8c?0
即
0?c?
1
,
由条 件
2
?
得：
p
真
q
假或
p
假q
真，故正实数
c
的取值范围是
?
?
,1
?< br>,
故选A．
2
??
1
考点：1、函数的单调性、值域；2、命题与逻辑联接词．
6．A
【解析】
试题分析：根据题意画出函数
y?x?2
与曲线
C：x
2
?y
2
?
?
的图象，如

< br>图所示，当
AB
与圆
O
相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，< br>过
O
作
OC?AB
，因为
OA?OB?2
，
?AOB?90?
，所以
OC
2
?2
，此时
?
?O C
2
?2
，当圆
O
半径大于
2
，即
?＞4
时，两函数图象恰好有两个不
同的公共点，综上，实数
?
的取值范围 是
?
2
?
?
，故选A．
（4，??）
考点：1、含绝对值的函数；2、圆的几何性质；3、数形结合．
7．D

【解析】

试题分析：由题
1
?
?1?x (?2?x?0),
?
1
?
2
g(x)?f(x)?x =
?
,
2
?
1
x?1 (0?x?2),
??2
即
若
1
g(log
2
a)?g(log
1
a)?2g()
2
2
3
?
11
?
g(lo g
2
a)?g(?log
2
a)?2
?
??1
?< br>??
2
?
22
?
当
?2?log
2
a?0
时
0??log
2
a?2
，此时
g(log
2
a)?g(?log
2
a)??
3
即为
2
113 12
?1?log
2
a?
?
?log
2
a
?
?1 ???log
2
a???a?
结合
?2?log
2
a?0
即
22222
?
2
?
2
?a?1< br>，可知此时
a?
?
,1
?
；当
0?log
2
a?2
时
?2??log
2
a?0
，此时
2
2
??
g(log
2
a)?g(?log
2
a)??3
2
即为
1131
?
?1??loga ???loga??0 ?a?2
结合
0?log
2
a?2
?
log
2a
?
?1?
?
??
22
??
2222
??
即
1?a?4
，取交集即为
1?a?
综上 实数
a
的取值范围是
[
2
，

2
,2]

2
考点：分段函数，对数函数的性质

【名师点睛】本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题．解
释由已知条 件得到
g(x)
仍为分段函数，讨论
?2?log
2
a?0
和
0?log
2
a?2
两种情况，化
简不等式，解之即可．注意每一 种情况中秋的是交集，而最后两种情况求的是并集．

8．D

【解析】
3
试题分析：由导函数
f
?
(x )?3x
2
?1
可知
f(x)?x?x,x?R
是单调递增奇
函数，所以在解不等式
f(msin
?
)?f(1?m)?0
时要充分利用 这一条
件．
f(msin
?
)?f(1?m)?0?f(msin
?
)??f(1?m)
，又函数
f(x)
为奇函数，
所以
?f (1?m)?f(m?1)
，即
f(msin
?
)?f(m-1)
， 又因为函数
f(x)
在
R
上
为单调递增的函数，所以必有
m sin
?
?m?1
，当
sin
?
?1
时，对任意的
m
不等式恒成立，当
sin
?
?[0,1)
时，有
m?
1
，当
sin
?
?[0,1)
时，
1?sin
?
1
?1
，所以
m?1
，综上所述，
m
的 取值范围是
?
??,1
?
，故正确选
1?sin
?
项为D．
考点：利用函数的单调性，奇偶性解不等式．
【思路点睛】本题主要考查利用导函 数来判断函数的单调性，以及解
有关复合函数的不等式．在解有关函数的不等式时，如果函数是高次的复合函数，则需要先利用导函数判断外函数在定义域上的单调性，
将不等式转化为关于内函数的不 等式，继续解不等式，从而求出参数
的范围，在解不等式，要充分利用题中已知的函数性质．
9．A
【解析】
试题分析：求曲线某点的切线，需要先求得该点的导数，
y?
导函数为
y
?
?
k?
x
的
x?22
，则曲线在点
(?1,?1)
处的切线斜率为
(x?2)
2< br>2
?2
，利用点斜式可求得切线的方程为
y?2x?1
，故正确选2
(?1?2)
项为A．

考点：导数的运用．
10．B
【解析】
试题分析：先求
f(x)?xlnx
的导函数 ，可知
f
?
(x)?(x)
?
lnx?x(lnx)
??lnx?1
，
f
?
(x
0
)?2
，即
lnx
0
?1?2
，可求得
x
0
?e
，
故正确选项为B．
考点：导数的计算．
11．7
【解析】
试题分析： 对原函数求导可得
f
'
?
x
?
?3x
2
? 2ax?b
，
2
?
?
f
?
1
?
?1?a?b?a?10
?
a??4
?
a?3
?
?
或
?
由题得
?
'
，当
a?3,b??3
时， ?
b?11
?
b??3
?
?
f
?
1< br>?
?3?2a?b?0
f
'
?
x
?
?3x< br>2
?6x?3?3
?
x?1
?
?0
，此时
x ?1
不是极值点，不合题意，经检
2
验
a??4,b?11
符合题意 ，所以
a?b?7

考点：函数的极值
12．2
【解析】 试题分析：根据题意，对任意的
x?
?
0,??
?
，都有
f[f(x)?log
3
x]?4
，又
由
f(x)
是定义 在
?
0,??
?
上的单调函数则
f
?
x
?
?log
3
x
为定值，设
t?f
?
x
?< br>?log
3
x
，则
f
?
x
?
?t? log
3
x
，又
f
?
t
?
?4
， 可得
t?log
3
t?4
?t?3
，
1
，又
x
0
是方程
f(x)?2f
?
(x)?3
的一个解，xln3
2
所以
x
0
是
F
?
x
?
?f(x)?2f
?
(x)?3?log
3
x?
的零点 ，分析易得
xln3
故
f
?
x
?
?log
3
x?3
，
f
'
?
x
?
?

F
?
2
?
?log
3
2?
12
? 0,F
?
3
?
?1??0
，所以函数
F
?
x
?
的零点介于
?
2,3
?
ln33ln3
之间， 故
a?2

考点：导数运算
【思路点睛】由题意可得
f
?
x
?
?log
3
x
为定值，设为
t
，代入 即可得到
t
的值，从而可得函数的解析式，代入化简新构造函数，根据零点存在
性定理 即可得到零点所在范围，从而求出所得答案．此类题目一般都
需要进行整体换元来做，进而可以求出函数 的解析式，然后根据题意
即可得到所求答案．
13．
16

3
【解析】
试题分析：联立方程
?
?
?
y?x< br>得到两曲线的交点
?
4,2
?
，因此曲线
?
?
y?x?2
y?x
，直线
y?x?2
及
y
轴所围成的图形 的面积为
S?
?
4
0
?
?
2
3
?
4
161
2
2
x?x?2dx?
?
x?x?2x< br>?
|
0
?
．
23
?
3
?
?
考点：定积分在求面积中的应用
14．
e

【解析】

试题分析：
f
?< br>(x)?lnx?1Qf
?
(x
0
)?2?lnx
0
?1?2,lnx
0
?1,?x
0
?e

考点：函数的导数

15．
(?1,0)?(1,??)

【解析】
试题分析：仔细观察，会发现条件中的
造函数
F(x)?
xf
?
(x)?f(x)f(x)
?[]
?
，所以可构
x< br>2
x
f(x)xf
?
(x)?f(x)
，由
F
?
(x)??0
得
F(x)
在
?
0,??
?上为增函数，
2
xx
又
f(1)?0
，所以
F(1)? 0
，则函数
F(x)
在
（0,1）
上
F(x)?0
．在

）
上
f(x)?0
．在
(1,??)上，F(x )?0
；又
f(x)?xF(x)
，所以在
（0,1
（-1,0）< br>(1,??)上，f(x)?0
，
f(x)
是定义在R上的奇函数，则在在上< br>2
x
-1)上，f(x)?0
，而不等式
f(x)?0
的解集 即
f(x)?0
的
f(x)?0
．在
(-?，
解，所以解集 为
(?1,0)?(1,??)
．
考点：函数的单调性，奇偶性，以及导函数的运用．
xf
?
(x)?f(x )
构造出一个对解题
2
x
f(x)
带来方便的新函数
F(x )?
，因为题中只说明
f(x)
是奇函数及一个
x
【思路点睛】本题 的关键在于能够根据
2
x
零点，而解不等式
f(x)?0
，必须要知 道
f(x)
值域在那些区间上为正，
那些区间上为负，而通过新构造的函数
F (x)?
f(x)
，结合其单调性及
x
f(x)
的零点，刚好能解决 这一难题．本题同时也考查了学生对公式
[
f(x)f
?
(x)g(x)?f (x)g
?
(x)
]
?
?
的逆运用．
2
g(x)[g(x)]
?
?
1
?
2
?
16．
?
0，
?

【解析】

试题分析：
的函数，当< br>x?
?
0,3
?
时，
f
?
x
??x?2x?
2
因为
f
?
x
?
是定义在
R
上的周期为3
1
.画出函数
f
?
x
?
和
y?a
在
?
?3,4
?
的图像
2
如图所 示，
a?
?
0，
?

考点： 根的存在性及根的个数判断．

?
?
1
?
2
?17．（1）
?
??,?1
?
；（2）单调递增区间为
?
0,1
?
和
?
3,??
?
，单调递减区间

为
?
1,3
?
，极大值
f
?
1
?
??2
，极小值为
f
?
3
?
??1?ln3

【解析】
试题分析：（1）对原函数
f
?
x
?进行求导得到
f
'
?
x
?
，令
f
'< br>?
x
?
?0
，分离
?
x
2
?2x< br>?
x
2
?2x
参数得到
a?
，只需
a
小于等于
??
即可得到所求答案．
4
4
??
min（2）由（1）和题意可知
f
'
?
1
?
?0
， 即可求出
a
的值，代入导函数
f
'
?
x
?
，
令
f
'
?
x
?
?0
，得到其零点，列表 即可判断出函数的单调性和极值．
试题解析：（1）对
f
?
x
?< br>求导得
f
'
?
x
?
??
1
4
a1
?

x
2
x
函数
f(x)
在
?
0,??
?
单调递增，
?f
?
(x)?0
在< br>?
0,??
?
恒成立
?a??1
，
a
的取 值范围
?
??,?1
?

（2）对
f
?
x
?
求导得
f
'
?
x
?
??切线垂直于直线
y
轴，
1
4
a1
）处的
?< br>，由
f
?
x
?
在点（1，f（1）
x
2x
3
3
4
4
x33
由（1）知
f(x)??? lnx?

44x2
可知f′（1）＝－－a＝0，解得a＝
?

x
2
?4x?3
则f′（x）＝，
4x
2
令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝3




+

↗
1


极大
值

↘

—

3


极小
值

↗


由此知函数
f
?
x
?
在x＝1时取得极大值f（1）＝-2
f
?
x
?
在x＝3时取得极小值f（3）＝-1－ln 3．

考点：导数的综合应用
a
1
?
a
?
?
,??
18．（1）
?
（2）单调增区间为
?
，单调减 区间为
?
0,
?
（3）证
??
e
?
2?
?
2
?
明见解析
【解析】
试题分析：（1）求出 其定义域，对
f
?
x
?
进行求导得到
f
'
?
x
?
，令导函
数等于0可以判断出在其定义域上的单调性，从而判断出其最 小值；
（2）由（1）把
f
'
?
x
?
代入
F
?
x
?
，对
F
?
x
?
进行求 导得到
F
'
?
x
?
，对
a
进
行分 类讨论，即可得到
F
?
x
?
的单调性
（3）本题可以采用 分析法来进行证明，一步步的往上推导出一个很
容易证明或者是公理的式子再进行证明即可得到所求答案 ．
试题解析：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得
∵当
∴当 时，
时，f′（x）＜0；当
．
．
时，f′（x）＞0
（2） F′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣
（x＞0）．
当a≤0时，F′（x）＞ 0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，
函数F（x）的单调增区间为（0，+∞）．
当a＞0时，由F′（x）＞0，得x＞；由F′（x）＜0，得0＜x＜．
所以函数F（x）的单调增区间为，单调减区间为．
（3）证明：因为x
1
、x
2
是方程F（x）=m的两个不等实根，由（1）
知a＞0．

< br>不妨设0＜x
1
＜x
2
，则
两式相减得
即+2x1
﹣
﹣（a﹣2）x
1
﹣alnx
1
=c，﹣（a﹣2 ）x
2
﹣alnx
2
=c．
+（a﹣2）?x
2
+alnx
2
=0， ﹣（a﹣2）x
1
﹣alnx
1
﹣
﹣2x
2
=ax
1
+a lnx
1
﹣ax
2
﹣alnx
2
=a（x
1
+lnx
1
﹣x
2
﹣lnx
2
）．
．因为F′
，
+2x
1
﹣﹣2x
2
，
=0， 所以a=
即证明x
1
+x
2
＞
即证明﹣+ （x
1
+x
2
）（lnx
1
﹣lnx
2
） ＜
＜．设t=即证明ln （0＜t＜1）．
． 令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=< br>因为t＞0，所以g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，所以
g（t）在（0， +∞）上是增函数．
又g（1）=0，所以当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．所以原题
得证
考点：导数的综合应用
19．（1）1；（2）
a?1

【解析】
试题分析：（1）对
f
?
x
?
进行求导得到其导函数，因为
f(x)
的一个极值
点为1，所以
f
'
?
1
?
?0
，代入即可求出
a
的值；
（2）对
g
?
x
?
进行求导得到其导函数，判断出其在
[1,4]
上的单调性，从
而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值
b
；代入
f(x)?b，
分离参数
a
，构造一个新函数
h
?
x
?，只需
a
小于等于其最小值即可．

试题解析： （1）
f
?
(x)?2x?a?
，令
f
?
(1)?2?a?a?0
，则a＝1
经检验，当a＝1时，1是
f(x)
的一个极值点
（2）
g
?
(x)??3x
2
?5x?2??(x?2) (3x?1)
，
所以
g(x)
在[1,2]上是增函数，[2,4]上是减 函数
g(x)
max
?g(2)?0

f(x)?0
在
x?
?
1,??
?
上恒成立，
a
x
由x∈[1，＋∞）知，x＋ln x＞0，
x
2
所以f（x）≥0恒成立等价于a≤在x∈[e，＋∞）时恒成立，
x ?lnx
x
?
x?1
?
?2lnx
x
2
? 0
令h（x）＝，x∈[1，＋∞），有h′（x）＝
2
x?lnx
?x?lnx
?
所以h（x）在[1，＋∞）上是增函数，有h（x）≥h（1）＝1，所以
a≤1
考点：利用导数研究函数的极值和最值
1
??
c|0?c?或c?1
??
2
?
． 20．
?
【解析】
试题分析：根据题意可求得命题
p
为真命题时，
0?c?1，
命题
q
为真命
题时，
c?
1
2
，因为
p
或
q
为真命题，
p
且
q
为假命题，所以可得
p
、
q
中必有一真一假，分两种情况求解．
x
y?c
p0?c?1，
试题解析：因为函数为减函数，所以
0?c?1，：

因为
2?x?
1111
?2c?c?
x
，要使不 等式恒成立，需
c
，即
2
，q：
2
，
若
p
或
q
为真命题，
p
且
q
为假命题，则
p
、
q
中必有一真一假，

?
0?c?1
?
?
1
1
0?c?
0?c?
?
2
，解得2
， 当
p
真
q
假时，
?
?
c?1< br>?
?
1
c?
?
当
p
假
q
真 时，
?2
，解得
c?1
．
1
??
?
c|0?c?或c?1
?
2
?
． 综上可知，
c
的取值范围是
?
考点：1．不等式恒成立问题；2．判断复合命 题的真假．
21．
a?0
或
0?a?1
．
【解析】 < br>试题分析：因为一元二次方程
ax
2
?2x?1?0
?
a?0
?
至少有一个负的实数
根，包括有一个负的实数根和有两个负的实数根的情况，当有一 个负
?
?
a?1
?
?
2
?
?
?? 0
?
a?1
?
a
?
?
?
1
?1
?0
?0
?
?
的实数根时
?
a
，有 两个负的实数根
?
a
．
2
试题解析：由题意得
a?0< br>，一元二次方程
ax?2x?1?0
有实数根的充
要条件是
??4?4 a?0
，即
a?1
，设方程
ax
2
?2x?1?0
?
a?0
?
的根是
x
1
,x
2
，
21
2
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?
ax?2x?1?0
?
a?0
?
aa
，可知， 方程由有一个负的实数
?
a?1
?
?
?
1
?02
?
ax?2x?1?0
?
a?0
?
根
?a
，即
a?0
，方程有两个负的实数根

?
?a?1
?
?
2
?
?
??0
?
a
?
1
?0
?
2
?
a
，即
0?a?1，综上所述，一元二次方程
ax?2x?1?0
至少有
一个负实数根的充要条件是
a?0
或
0?a?1
．
考点：一元二次次根的分布．
1
??
c|0?c?或c?1
??
2
?
． 22．
?
【解析】
试题分析：根据题意可求得命题
p
为真命题时，
0?c?1，
命题
q
为真命
题时，
c?
1
2
，因为
p
或
q
为真命题，
p
且
q
为假命题，所以可得
p
、
q
中必有一真一假，分两种情况求解．
x
y?c
p0?c?1，
试题解析：因为函数为减函数，所以
0?c?1，：

因为
2?x?
1111
?2c?c?
x
，要使不 等式恒成立，需
c
，即
2
，q：
2
，
若
p
或
q
为真命题，
p
且
q
为假命题，则
p
、
q
中必有一真一假，
?
0?c?1
?
?1
1
0?c?
0?c?
?
2
，解得
2
， 当
p
真
q
假时，
?
?
c?1
?
?
1
c?
?
当
p
假
q
真时，
? 2
，解得
c?1
．
1
??
c|0?c?或c?1
??
2
??
．
c
综上可知，的取值范围是
考点：1．不等式恒成立问题；2．判断复合命题的真假．
23． 产甲产品
5
吨，乙产品
7
吨时，日产值
124
吨．

【解析】
试题分析：设每天生产甲产品
x
吨，乙产品
y
吨，则日产值
z?8x?12y
，
由表格可列出线性约束条件，然后可 以画出可行域，把
z?8x?12y
变
形为一组平行直线系
l:y??
z?8x?12y
有最大值．
8z
x?
，
l
经过点
M(5,7)
时，
1212
试题解析：设该厂每天安排生产甲产品
x
吨，乙产品
y
吨， 则日产值
z?8x?12y
，
?
7x?3y?56
?线性约束条件为
?
20x?50y?450
．
?
x?0,y?0
?
作出可行域．
由图可知，当直线
l
经过可行域上的点
M
时，截距
大值．
解方程组
?
?
7x?3y?56
，得交点
M(5,7)
20x?50y?450
?
z
最大，即
z
取 最
12
z
max
?8?5?12?7?124
．
所 以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最
大，最大日产值为124万元．
考点：1、线性规划的应用；2、可行域与最优解．
24．（1）
f(x)
的单调减区间为
(?2,)
．
（2）
(??,?
（3）当
a?
1
3
71
)U (?,??)


548
2525
时，存在常数
?
?4
，使得
k
2
?
?
k
1
；当
a ?
时，不存在常数
?
使得
1212
k
2
?
?
k
1
．

【解析】

试题分析： （1）先求原函数的导数，根据
f
'
(x)?0
求得的区间是单调减区间，即 可；

（2）由于存在唯一的实数
x
0
2
?
3x< br>0
?5x
0
?a?0
?
?
3
5
2< br>?
x
0
?x
0
?ax
0
?b?x
0
?2
，
使得
f(x
0
)?x
0
与
f
?
(x
0
)?0
同时成立，则

即
2x
0
3
?
5
2
5
2
3
x?x
存在唯一的
x
0
?x
0
?b?0
存在唯一的实数根
x
0
，即
b?2x?
2
2
就把问题转化为求函数最值问题 ；

，
实数根
x
0
（3）假设存在常数
?
，依据曲线
C
在点
A
处的切线
l
1
与曲线
C
交于另一点
B
，曲线
C
在
点处
B
的切线
l
2
，得到关于
?
的方程，有解则存在，无解则不存在．

试题解析：（1）当
a??2
时，
f
?
(x)?3x2
?5x?2?(3x?1)(x?2)
．令
f
'
(x)?0< br>，解得
?2?x?
1
，

3
f(x)
的单调减区间为
(?2,)
．

2
?
3x
0
?5x
0
?a?0
?
2（Ⅱ）
f
?
(x)?3x?5x?a
，由题意知
?
3
5
2
消去
a
，得
x?x?ax?b?x
?
0000
?2
1
3
2x
0
3
?
5
2
x
0
?x
0
?b?0
2
有唯一解．令
1
2
g(x)?2x
3
?
1
3
5
2
x?x
2
，则
g
?
(x)?6x
2
?5x?1?( 2x?1)(3x?1)
，以
g(x)
在区间
(??,?)
，
(?,??)
上是增函数，在
11
17
11
，故实数
b< br>的取值范围是
(?,?)
上是减函数，又
g(?)??
，
g( ?)??
23
354
28
(??,?
71
)U(?,??)
．

548
（Ⅲ） 设
A(x
0
, f(x
0
))
，则点
A
处切线方程为
y?f(x
0
)?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
，

与曲线
C
：
y?f(x)
联立方程组，得
f(x)?f (x
0
)?f
?
(x
0
)(x?x
0
)< br>，即
5
5
(x?x
0
)
2
[x?(2x0
?)]?0
，所以
B
点的横坐标
x
B
??( 2x
0
?)
．由题意知，
2
2
2
2
?20 x
0
?
k
1
?f
'
(x
0
)?3 x
0
?5x
0
?a
，
k
1
?f
'
(?2x
0
?)?12x
0
5
2
25
?a
，若存在常数
4
2
?
，使得
k
2
?
?
k
1
，则
12x
0
?20x
0
?25
2
?a?
?
(3x
0
?5x
0
? a)
，即常数
?
使得
4
?
4?
?
?025
25
?
2
，所以
?
，解得
?
?4 ,a?
．故当
(3x
0
?5x
0
)(4?
?
)?(
?
?1)a?
25
12
4
(
?
? 1)a??0
?
4
?

a?
2525
时，存在 常数
?
?4
，使得
k
2
?
?
k
1
；当
a?
时，不存在常数
?
使得
k
2
?< br>?
k
1
．

1212
考点：利用导数研究函数的性质

【名师点评】本题考查导数知识的 运用，函数的单调性，曲线的切线等知识，属难题．解题
时对于方程根的问题，一般要转化为函数的最值 来解决．

25．（Ⅰ）y=6x-9；（Ⅱ）0＜a＜5．
【解析】
试 题分析：（1）函数在其图象上某点的切线的斜率等于该点处的导数，
f
?
(x)?3 x
2
?3x
，则点
(2,3)
处的切线斜率为
k?3?2< br>2
?3?2?6
，由点斜式
?
?,
可求出切线的方程；（2） 函数在区间
?
上，
f(x)?0
恒成立，可
??
?
22
?
11
先利用导函数判断函数区间上的单调性，从而使得最小值大于
0< br>；令
f
?
(x)?3ax
2
?3x

得x
1
?1,x
2
?
?3x(ax?1)?0
，
得取值范围．
1
，对
0?a?2以及a?2
分别进行讨论从而求
a
a
试题解析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x
3
-x
2
+ 1，f（2）=3；
f′（x）=3x
2
-3x，f′（2）=6，
所以 曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），
即y=6x-9．
（Ⅱ）f′（x）=3ax
2
-3x=3x（ax-1），
令f′（x）=0，解得x=0或x=，
以下分两种情况讨论：
若0＜a≤2，则
下表：
，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如

当x∈时，f（x）＞0等价于，即，
解不等式组得-5＜a＜5，因此0＜a≤2；
若a＞2，则，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
当x∈
解不等式组得
时，f（x）＞0等价于
或
，即，
，因此2＜a＜5；
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．
考点：导函数的运用，函数的最值．
【方法点睛】求函数（曲线）在某点处的切线，经常使用 点斜式，所
以首先要求得该点的坐标以及切线的斜率，而切线的斜率等于函数在
该点的导数，所 以求导数是求切线的关键步骤；解含参数的高次不等
式在区间上恒成立的问题时，主要方法是利用导数判 断函数在区间上
的单调性以及函数的极值，确定函数的最值，然后将不等式关系转化
为与最值有 关的不等式，并求出参数的范围．
26．（Ⅰ）
f
?
(2)?9
； （Ⅱ）函数
f
?
x
?
的单调增区间是
?
??,?1
?
，
?
1,??
?
，
单调减区间是
??1,1
?
，
f(x)
极小值
??2
，
f(x )
极大值
?2
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导函数， 再求点
(2,f(2))
上的导数；（Ⅱ）
令函数的导函数为零，求零点，这些零点将 函数的定义域分为几个区

间，然后根据导函数在这些区间上值域的正负，来判断函数的单 调区
间以及极值．
?3x
2
?3
，所以
f
?
(2)?9
． 试题解析：（Ⅰ）
f
?
(x）
（Ⅱ）
f
?
(x)? 3x
2
?3
，
解
f
?
(x)?0
，得< br>x?1
或
x??1
．
解
f
?
(x)?0
，得
?1?x?1
．
所以
(??,?1)
，
(1,??)
为函数
f(x)
的单调 增区间，
(?1,1)
为函数
f(x)
的单
调减区
f(x )
极小值
?f（1）??2
．
f(x)
极大值
?f(?1) ?2

考点：导函数的运用，极值．
27．（1）见解析（2）
k?1
（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）由已知
f
?
x
?
?
lnx?1? lnx
?
x?0
?
，
f'
?
x
?
?
2
分别解出
x
x
（2）由
ln
?
x?1
?
?k?1?kx
，分离参数
f'
?
x
?
?0,f'
?
x
?
?0
，即可得出单调区间、极值；
可得：
ln
?
x?1
?
?1
?k
对任意的
x＞1
恒成立，由（1）即可得出
k?1
（3）
x?1
lnx?1lnx? 1lnx1
?1??1?
（当且仅当
x?1
取
?
x?0?
，由（1）知：
f
?
x
?
?
xxxx
lnn1
2
（n?N
*
，n?2）
等号）．令
x?n，即
2
?1?
2
，再利用“累加求和”、“裂项求和”即
nn< br>f
?
x
?
?
可得出．

试题解析：（1）< br>f'
?
x
?
?
?lnx
，由
f'
?
x
?
?0?x?1
，列表如下：

x
2
1

0

极大值1





+

单调递增


-

单调递减

因此增区间
?
0,1
?< br>，减区间
?
1,??
?
，极大值
f
?
1?
?1
，无极小值.

（2）因为
x?1
，
ln
?
x?1
?
?k?1?kx?
ln< br>?
x?1
?
?1
x?1
?k?f
?
x?1< br>?
?k
，所以
f
?
x?1
?
max
?k?k?1
，

（3）由（1）可得
f
?
x
?< br>?
取等号
lnx?1lnx1
当且仅当
x?1
时
?f
?
x
?
max
?f
?
1
?
?1? ?1?
，
xxx
.令
2
x?n（n?N
*
，n?2 ）
，则
，
lnn1lnn1
?
1
?1???1?
?
2
?
n
2
n
2
n
2
n
2
?
1
?
111
??
1
?
?1??1??< br>??
???
,
?
n?2
?
??
?
2
?
n
?
n?1
?
?
2
?
nn?1
?
ln2ln3lnn1
?
11
?
1
?
1 1
?
1
?
11
?
1
?
11
?2n
2
?n?1
?
2
+???+
2
?
?
1??
?
?
?
1??
?
?????
?< br>1???
?
?
?
?
?
n?1?
2
2
?
23
?
2
?
34
?
2
?
nn?1
?
2
?
n?12
?
4
?
n?1
?
23n
考点：利用导数研究函数的性质，数列求和

【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，数列求和等知识，属难题．

解题时利用到恒成立问题的等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法，利用研究证明的
结论 证明不等式，同时应用到“累加求和”、“裂项求和”、“放缩法”等方法，要求有较高推
理能力与计算 能力，

28．（1）
b?
【解析】

试题分析：（1）由 求导公式和法则求
g
，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题
（?x）
意和点斜式方程求出切线方程，把
x?1
代入求出切点坐标，代入
g
?
x
?
求出
b
的值；

（2）求出方程
f
?
x
?
?x?xf'
?
x
?
的表达式，利用参数分 离法构造函数，利用导数求出函
数的取值范围即可求实数
b
的取值范围；（3）求函数
F
?
x
?
以及定义域，求
F
?
?
x
?
出，利用
导数和极值之间的关系将条件转化：（0，+∞）上有根，即
2 x
2
?ax?1?0
F
?
?
x
?
?0在
F
?
?
x
?
在上有根，根据二次方程根的分布问题列 出方程组，根据条件列出关于
a
的不等式，
（0，??）
求出
a的范围．

试题解析：（1）设
g
?
x
?
在< br>x?1
处的切线方程为
y?kx?5
，因为
7
??
1
3
??
U
?,??
（2）
?
??,?
?? ?
（3）
?
4,??
?

54
??
82
??
1
g'
?
x
?
?3x
2
?7x?,g'
?
1
?
?11
，所以
k?11
， 故切线方程为
y?11x?5
.

x
73
当
x?1
时，
y?6
，将（1,6）代入
g
?
x
?
?x
3
?x
2
?lnx?b
，得
b?
.

22
5
2
（2）
f'
?
x
?< br>?3x?5x?a
，由题意得方程
x
3
?x
2
?ax ?b?3x
3
?5x
2
?ax?x
有唯
2

< br>一解，即方程
2x
3
?
5
2
5
x?x?b< br>有唯一解.令
h
?
x
?
?2x
3
?x
2
?x
，则
22
?
?
1
??
1
??
?
?
h'
?
x
?
?6x
2
? 5x?1=
?
2x?1
??
3x?1
?
，所以
h< br>?
x
?
在区间
?
??,?
?
,
?< br>?,??
?
上是增函
23
数，在区间
?
-
1
?
1
?
7
?
11
??
1
?
,?
?
上是减函数.又
h
?
?
?
??,h
?
?
?
??
.故实数
b
的取值范围
8
?
3
?
54
?
2
?
?
23
?
是
?
??,?
?
?
7
??
1
?
?
U
?
?,??
?
.

54< br>??
8
?
2
2x
2
?a?1
（3）
F
?
x
?
?ax?x?lnx
，所以
F'
?
x
?
??
.因为
F
?
x
?
存在极值，所 以
x
2x
2
?a?1
F'
?
x
?
???0
在
?
0,??
?
上有限，即方程
2x
2< br>?ax?1?0
在
?
0,??
?
上有限，
x
则有
??a
2
?8?0
.显然当
??0
时，
F?
x
?
无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正
跟.记方程
2x
2
?ax?1?0
的两根
x
1
,x
2
1
?
xx??0
?
?
12
2
，则
?
?
x+x=
a
12
?
?2
，
a
2
a
2
11
F
?
x
1
?
?F
?< br>x
2
?
?a
?
x
1
?x
2
?
?
?
x?x
2
?
?
?
lnx
1
?lnx
2
?
???1?ln?5?ln
2422
2
1
2
，解得
a
2
?16
，满足
??0
， 又
x
1
+x
2
=
考点：利用导数研究函数的性质

【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，
综合 考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包
括构造新函数，分 离变量，以及求极值、最值等.

29．（1）
a??1
（2）
b??3?
【解析】

a
?0
，即
a?0
，故所求
a
的取值范围是
?< br>4,??
?
.

2
33
ln2
或
b?3?ln2
.

22
试题分析：（I）先求出函数在
x?
?
?4,?2
?
上 的解析式与当
x?
?
0,2
?
时解析式之间的关系，
利用函 数的导数求出函数的最大值（用
a
表示），令其等于-4，从而求出
a
；
（2）由任意的
x
1
?
?
1,2
?
，总存在
x
2
?
?
1,2
?
，使
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
，函数
f
?
x
?
的值域是函
数
g
?
x< br>?
值域的子集，即转化为求两个函数的值域，用函数的导数法即可解决．

试题解析：（1）当
x?
?
0,2
?
时，
f?
x
?
?
11
f
?
x?2
?
?f
?
x?4
?
，由条件，当
24
x?4?
??4,?2
?
，
f
?
x?4
?
的最大值为-4 ，所以
f
?
x
?
的最大值为-1.

因 为
f'
?
x
?
?
11?ax11
，令
f'
?
x
?
?0
，所以
x??
.因为
a??< br>，所以
?a?
xxa2
1
?
1
??
1
?
?
?
时，
f'
?
x
?
?0
，
f
?
x
?
是增函数；当
x?
?
?，2?
时，
??
?
0,2
?
，当
x?
?< br>0，
a
?
a
??
a
?
f'
?
x
?
?0
，
f
?
x
?
是减函数.

则当
x??
1
时，
f
?
x
?< br>取得最大值为
a
?
1
??
1
?
f
?
?
?
?ln
?
?
?
?1??1
，所以a??1
.

?
a
??
a
?
（2）设
f
?
x
?
在
x?
?
1,2?
的值域为
A
,
g
?
x
?
在
x?
?
1,2
?
的值域为
B
，则依题意知
A?B< br>.
因为
f
?
x
?
在
x?
?
1,2
?
上是减函数，所以
A?
?
ln2?2,?1
?，又
g'
?
x
?
?bx
2
?b?b
?
x
2
?1
?
，因为
x?
?
1,2
?
，所以
x
2
?1?
?
0,3
?
.

①
b?0
时，
g'
?
x
?
? 0
，
g
?
x
?
是增函数，
B?
?
?
?
22
?
b,b
?
.因为
A?B
，所以
?
33
?
23
?b?ln2?2
，解得
b?3?l n2
.

32
②
b?0
时，
g'
?
x
?
?0
，
g
?
x
?
是减函数，
B?
?
2
??
2
b,?b
?
，因为
A?B
，所以
3
??
3
23
b?ln2?2
，
b??3?ln2
.

32
33
由①②知，
b??3?ln2
或
b?3 ?ln2
.

22
考点：利用导数研究函数的性质

30．（1）
1
（2）
a?2?e

2
?
e?1
?
【解析】

试题分析：（1）当a?1
时，
f'
?
x
?
?e?1
，根据导数的 几何意义可求得在点
1,f
?
1
?
处
x
??
的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与
x
轴、
y
轴的 交点
A,B
，利
用直角三角形的面积公式即可求得；

1?x
2
?e
x
（2）将
f
?
x
?
?x
在
?
0,1
?
上恒成立利用参变量分离法转化为
a?
在< br>?
0,1
?
上恒
x
2

成立，再利用导 数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a
的取值范围．

试题解析：（1）当
a?1
时，
f
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x
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，
f
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1
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x
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1
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函
xx数
f
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x
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在点
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1
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处的切线方程为
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e?1
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x?1
?
，即
y?
?
e?1
?
x?1


设切线与
x,y
轴的交点分别为
A,B
，令
x? 0
，得
y??1
，令
y?0
，得
x?
∴
A
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1
，

e?1
?
1
?,0
?
，
B
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1
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处的切线与坐标轴围成的三角形 的面积为
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2
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2
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（2） 由
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得
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2
x
x
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2
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x
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x
1
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2
x
2
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x
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x
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0,1
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,?k'
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x
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?< br>x
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在
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0,1
?
为
xxx< br>减函数，∴
k
?
x
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?k
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0
?< br>?0
，又∵
x?1?0,x
2
?0,?h'
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x?
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x?1
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x?1?e
x
?< br>x
2
?0
.

∴
h
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x< br>?
在
x?
?
0,1
?
为增函数，
h
?
x
?
?h
?
1
?
?2?e
，因此只需< br>a?2?e

考点：利用导数研究函数的性质