高中数学函数单调性的判定和证明方法

函数单调性的判定和证明方法

（一）、定义法
步骤：
①取值，设x＜x, 并是某个区间上任意二值;
12
②作差：；或作商： ,≠0；
③变形 向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1
方向变形；
（常 用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；
2、通分，当原函数是分 式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，
当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便 于判定符号；4、分子有理化，当原函
数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；
④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

作差法：
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：
设－11
2
，
则f(x
1
)－f(x
2
)＝－
＝
＝
∵－11
2
，
∴x1
－x
2
<0，x
1
＋1>0，x
2
＋1>0 .
∴当a>0时，f(x
1
)－f(x
2
)<0， 即f(x
1
)2
)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
当a<0时，f(x
1
)－f(x
2
)>0， 即f(x
1
)>f(x
2
)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。（增两端，减中间）
证明：设，则
因为，所以,
所以，
所以

所以

设
则，
因为，
所以，
所以
所以

同理，可得



作商法：
例3.
设函数y =f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n）且
当x＞0时， 0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1?且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数．
证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n），
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）?f（0），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
则f（m+n）=f（0）=f（-x）?f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=
1
f(-x)
＞1．
（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）?f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．

（二）、运算性质法.

函
数

当
k?0
时，
y
在R上是增函数；
当
k?0
时，
y
在R上是减函数。

函数表达式 单调区间 特殊函数图像
一
次
函
数

y?kx?b(k?0)



当
a?0
时，
x??
b
时
y
单调减,
2a

二
次
函
数
b
时
y
单调增；
2a
(a?0,a,b,c?R)

b
当
a?0
时 ，
x??
时
y
单调增，
2a
b
x??
时< br>y
单调减。
2a
x??

当
k?0
时,
y
在
x?0
时单调减，在

y?
k

x
y?ax
2
?bx?c

反
比
例
函
数

x?0
时单调减；
当
k?0
时,
y
在
x?0
时单调增，在
(k?R
且
k?0
)

x?0
时单调增。
指
数
函
数

当
a?1
时，
y
在R上是增函数；

y?a
x



当
0?a?1
，时
y
在R上是减函数。

对
数
函
数

当
a?1
时，
y
在
(0,??)
上是增函数；

当
0?a?1
时，
y
在
(0,??)
上 是减函
数。
y?log
a
x

关于函数单调的性质可总结如下几个结论：
①
f(x)
与
f(x)
+
C
单调性相同。（
C
为常数）

②当k?0
时，
f(x)
与
kf(x)
具有相同的单调性；当
k?0
时，
f(x)
与
kf(x)
具有相反的
单调性。
③当
f(x)
恒不等于零时，
f(x)
与
1
具有相 反的单调性。
f(x)
④当
f(x)
、
g(x)
在
D
上都是增（减）函数时，则
f(x)
＋
g(x)
在
D< br>上是增（减）函数。
⑤当
f(x)
、
g(x)
在
D
上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，
f(x)
g(x)
在
D< br>上是增
（减）函数；当
f(x)
、
g(x)
在
D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，
f(x)g(x)
在
D
上是减 （增）函数。
⑥设
y?f(x)
,
x?D
为严格增（减）函数，则
f
必有反函数
f
上也是严格增（减）函数。

例4.判断
f(x)?x?x?log
2
x?2
33x?1
?1
，且< br>f
?1
在其定义域
f(D)
(x
2
?1)?5
的单调性。
解:函数
f(x)
的定义域为
(0,??)
，由简单 函数的单调性知在此定义域内
x,x
3
,log
2
x
3 均为增函数，因为
2
x?1
?0
,
x
2< br>?1?0

由性质⑤可得
2
x?1
(x
2
?1)
也是增函数；
3
由单调函数的性质④知
x?x?log
2
x
为增函数，
再由性质①知函数
f(x)?x?x?log
2
x?2
函数。 33x?1
(x
2
?1)
+5在
(0,??)
为单调递 增

例5.设函数
f(x)?
x?a
(a?b?0)
，判断
f(x)
在其定义域上的单调性。
x?b
x?a
解:函数
f(x)?
的定义域为
(??,?b)?(?b,??)
.
x?b
先判断
f(x)
在
(?b,??)
内的单调性，由题可把
a?b
x?a
转化为
f(x)?1?
，又
a?b?0
故
a ?b?0
由性质③可得
x?b
x?b
1a?b
为减函数；由性质②可得为减函数；
x?b x?b
f(x)?

再由性质①可得
f(x)?1?
a?b在
(?b,??)
内是减函数。
x?b
同理可判断
f(x)< br>在
(??,?b)
内也是减函数。故函数
f(x)?
(??,?b)? (?b,??)
内是减函数。
x?a
在
x?b

（三） 、图像法.
根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例6.求函数的单调区间。
解：

在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
减区间为.

（四）、同增异减法（复合函数法）.

定理1： 若函数
y?f(u)
在
U
内单调，
u?g(x)
在
X
内单调，且集合{
u
︳
u?g(x)
，
x?X
}
?U

（1）若
y?f(u)
是增函数，
u?g(x)< br>是增（减）函数，则
y?f[g(x)]
是增（减）函数。
（2）若
y ?f(u)
是减函数，
u?g(x)
是增（减）函数，则
y?f[g(x)]
是减（增）函数。
归纳此定理，可得口诀：
同则增，异则减（同增异减）

复合函数单调性的四种情形可列表如下：

第①种情形 第②种情形 第③种情形 第④种情形
内层函数
u?g(x)

外层函数
y?f(u)

复合函数
y?f[g(x)]

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

显然对于大于2次的复合函数此法也成立。
推论 ：若函数
y?f(x)
是K(K≥2),
K?N
)个单调函数复合而成其中有
m?K
个减函数：

①
当m?2k?1时，则y?f(x)是减函数
；
②
当m?2k时，则y?f(x)是增函数
。
判断复合函数
y?f[g(x)]
的单调性的一般步骤：
⑴合理地分解成两个基本初等函数
y?f(u),u?g(x)
；
⑵分别解出两个基本初等函数的定义域；
⑶分别确定单调区间；
⑷若两个基本初等 函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则
y?f[g(x)]
为增函数，若 为一增一减，则
y?f[g(x)]
为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数
y?f[g(x)]
的单调区间。
以 上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可
以解决一些复 合函数的单调性问题。

2
例7.求
f(x)?log
a
(3x?5x?2)
（
a?0
且
a?1
）的单调区间。
2
解：由题可得函数
f(x)?log
a
(3x?5x?2)
是由外 函数
y?log
a
u
和内函数
1
u?3x
2
?5x?2
符合而成。由题知函数
f(x)
的定义域是
(??,?2)?( ,??)
。内函数
3
1
u?3x
2
?5x?2
在< br>(,??)
内为增函数，在
(??,?2)
内为减函数。
3
1
①若
a?1
，外函数
y?log
a
u
为增函数， 由同增异减法则，故函数
f(x)
在
(,??)
上
3
是增函 数；函数
f(x)
在
?
??,?2
?
上是减函数。
③
若
0?a?1
，外函数
y?log
a
u
为减函数，由同增异减法则，故函数
f(x)
在
(
1
,??)上
3
是减函数；函数
f(x)
在
?
??,?2
?
上是增函数。


例8.

求函数的单调区间

解
原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；
易知是外层函数的单调增区间；
令，解得的取值范围为；
由于是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。

例9. 求函数的单调区间.

解
原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；
易知和都是外层函数的单调减区间；
令，解得的取值范围为；
结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间，但可以把区 间划分成内层
函数的两个单调子区间和，其中是其单调减区间，是其单调增区间；
于是根据复 合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调增区间，是原函数
的单调减区间。
同理，令，可求得是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。
综上可知，原函数的单调增区间是和，单调减区间是和.


（五）、含参数函数的单调性问题.

例10.设
（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）
解：由题意得原函数的定义域为 ，
当上为减函数；
当上为增函数。

（六） 、抽象函数的单调性
.

抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题。常采用的方法有：
① 定义法.
通过作差(或者作商)，根据题目提出的信息进行变形，然后与0（或者1）比较大小关系< br>来判断其函数单调性。通常用凑差、添项、增量、放缩法求解。





例11.已知函数
f(x)
对任意实数
m
、< br>n
均有
f(m?n)?f(m)?f(n)
，且当
m?0
时，
f(m)?0
，试讨论函数
f(x)
的单调性。
此题多种方法解答如下：
凑差法：根据单调函数的定义，设法从题目中“凑出”“
较
f(x
1
)?f(x
2
)
”的形式，然后比
f(x
1
)?f(x
2
)
与0的大小关系。
解：由题得
f(m?n)?f(m)?f(n)
，

令
x
1
?m?n,x
2
?m
，且
x
1
?x
2
，
n?x
1
?x
2
?0

又由 题意当
m?0
时，
f(m)?0
?f(x
1
)?f(x2
)?f(n)?0
，
所以函数
f(x)
为增函数。

添项法 ：采用加减添项或乘除添项，以达到判断“
f(x
2
) ?f(x
1
)
”与0大小关系的目的。
解:任取
x
1,x
2
?R,x
1
?x
2
，则
x
2< br>?x
1
?0
，
f(x
2
)?f(x
1)
?f[(x
2
?x
1
)?x
1
]?f(x< br>1
)

由题意函数
f(x)
对任意实数
m
、
n
均有
f(m?n)?f(m)?f(n)
，
且当
m?0
时，
f(m)?0
?f(x
2
)?f (x
1
)?f(x
2
?x
1
)?0
，
所以函数
f(x)
为增函数。

增量法 ：由单调性的定义出发， 任取
x
1
,x
2
?R,x
1
?x
2
设
x
2
?x
1
?
?
(
?
?0)
,然后联系题
目提取的信息给出解答。
解：任取
x
1
,x
2
?R,x
1
?x
2
设
x
2
?x
1
?
?
(
?
?0)
由题意函数
f(x)< br>对任意实数
m
、
n
均有
f(m?n)?f(m)?f(n)< br>，
?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
1
?
?
)?f(x
1
)?f(
?
)
，
又由题当
m?0
时，
f(m)?0
?f(x
2
) ?f(x
1
)?f(
?
)?0(
?
?0)
，
所以函数
f(x)
为增函数。

例13.已知函数
f(x )
的定义域为（0，+∞），对任意正实数
m
、
n
均有
f (mn)?f(m)f(n)
，且当
m?1
时
0?f(m)?1
，判 断函数
f(x)
的单调性.
此题用放缩法，先判断
f(x
1)
与
f(x
2
)
的大小关系，从而得
f(x)
在其定义域内的单调性。

解： 设
0?x
1
?x
2
，则
x
2
?1

x
1
x
2
)?1

x
1
又当m?1
时
0?f(m)?1
，故
0?f(
再由
f(mn )?f(m)f(n)
中
令
m?1
，
n?1
得
f(1)?1

当< br>0?x?1
时，
1
1
?1
，由
f(1)?f(x)f ()
易知此时
f(x)?1
，
x
x
故
f(x)?0
恒成立。
因此
f(x
2
)?f(
x
2
x
?x
1
)?f(
2< br>)f(x
1
)?1?f(x
1
)?f(x
1
)
?f(x
2
)?f(x
1
)

x
1
x< br>1
即
f(x)
在（0，+∞）上为单调递减函数。

② 列表法
对于比较复杂的复合函数，除了用复合函数单调性判断法外，还可以用列表，将各个函
数的单调性都列出来，然后再判断复合函数单调性。
例15.已知
y?f(x)在R上是偶函数，且在[0,+
?
）上是增函数，求
f(2?x
2
)
是
减函数的区间
解：列表如下








由表知
f(2?x
2
)
是减函数的区间
(??,?2)
，
[0,2)
。
函数
表达式
单调性
(??,?2)

?

[?2,0)

[0,2)

[2,??)

?

?

?

y?2?x
2

y?f(u)

?

?

?

?

?

?

y?f(2?x
2
)

?

?