高一数学函数值域解题技巧

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一．观察法
通过对、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .
点评：具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观 察算术的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简
捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
二．法
当函数的存在时，则其的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)(x+2)的 反函数为:x=(1－2y)（y－1）,其定义域为y≠1的
实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1, y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方
法 体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)(10x －10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣
y<－1或y>1｝）
三．
当所给函数是或可化为的时,可以利用求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成，利用的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－< br>12）2＋94∈[0，94]
∴0≤√－x2+x+2≤32,函数的值域是[0,32]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域
的制约作用。是 数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四．法
若可化为关于某变量的的函数或无理函数,可用法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的，应用根的，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤103
当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤103。
点评：把函数关系化为二次 方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非
负数，可求得函数的值域。常适应于形如y =(ax2+bx+c)(dx2+ex+f)及
y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法
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对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并 与边
界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2 x2-x-3)(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出
函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤32，又x+y =1，
将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤32),
∴z =-(x-2)2+4且x∈[-1,32],函数z在区间[-1,32]上连续，故只需比较边界的大
小。
当x=-1时，z=－5；当x=32时，z=154。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤154｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的 最值。对开区间，若存在最值，也
可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）
A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）
（答案：D）。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为，作出其图象。
解：原函数化为 －2x+1 (x≤1)
y= 3 (-12x-1(x>2)
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的、换元法等方法求函数的
值域。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤13)的值域。
点拨：由已知的函数是，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤13 ，在
此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤13),易知它们在定义域内为增函数，从而
y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤13上也为增函数，而且y≤f(13)+g(13)=43,因此，所求的函数值域为｛y|y≤43｝。
点评：利用求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结
合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，
进而求出值域。
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例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二 次函数，利用二次函数的最值，确
定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则
x=12(t2-1)。
于是 y=12(t2-1)-3+t=12(t+1)2-4≥12-4=-72.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－72｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函 数，通过求出二次函数的最值，
从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。 它的应
用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－34｝
九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨：将原函数变形，构造，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。
由知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几 何
图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，< br>进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)4=(y-1)3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=－35时，x=35,y=－45时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设
参数，可将原函 数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有
一定的创新意识。
练习：已知 x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：
｛f(x,y) |f(x,y)≥1｝）
十一．利用的除法
例5求函数y=(3x+2)(x+1)的值域。
点拨：将原函数，利用转化为一个与一个之和。
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解：y=(3x+2)(x+1)=3－1(x+1)。
∵1(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
十二．不等式法
例6求函数Y=3x(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x(1-x)],
由的定义知 x(1-x)＞0
1-x≠0
解得，0＜x<1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造，求出，进而求值域。
不等式法是重 要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域
1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）
2．Y=2x(2x－1)。 （y>1或y<0）

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