高中数学抽象函数专题打印

抽象函数
特殊模型
正比例函数f(x)=kx (k≠0)
幂函数 f(x)=x
n

指数函数 f(x)=a
x
(a>0且a≠1)
对数函数 f(x)=log
a
x (a>0且a≠1)
抽象函数
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(xy)=f(x)f(y) [或
f(
x
)?
f(x)
]
yf(y)
f(x+y)=f(x)f(y) [
或f(x?y)?
f(x)

f(y)
f(xy)=f(x)+f(y)
[
或f(
x
)?f(x)?f(y)]

y
正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx
正切函数 f(x)=tanx
余切函数 f(x)=cotx
f(x+T)=f(x)
f(x?y)?
f(x?y)?
f(x)?f(y)
1?f(x)f(y)
1 ?f(x)f(y)
f(x)?f(y)


一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。

?
练习：已知函数f(x)的定义域是
?
?1,2
?
，求 函数
f
?
?
log
1
?
3?x
?
?
的定义域。
??
?
2
?


例2：已知函数
f
?
log
3
x
?
的定义域为 [3，11]，求函数f(x)的定义域 。

练习：定义在
?3,8
?
上的函数f(x)的值域为
?
?2,2
?
，若 它的反函数为f
-1
(x)，则y=f
-1
(2-3x)的定
义域为 ，值域为 。


二、求值问题----- 抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
22
例3.①对 任意实数x,y，均满足f(x+y)=f(x)+2[f(y)]且f(1)≠0,则f(2001)=___ ____.

② R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f
-1
(x), 由y=f(x+1)与y=f
-1
(x+2)互为反函数，则
f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+ 5)≥f(x)+5,f(x+1)≤
f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002 )=_________.
练习： 1. f(x)的定义域为
(0,??)
，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则
f(2)?

2.
如果f(x?y)?f(x) f(y),且f(1)?2,则
f(2)f(4)f(6)f(2000)
?????的值是< br> 。
f(1)f(3)f(5)f(2001)
f
2
(1 )?f(2)
f
2
(2)?f(4)f
2
(3)?f(6)f
2
(4)?f(8)
?
???
.
f(1)
f (3)f(5)f(7)
3、对任意整数
x,y
函数
y?f(x)
满 足：
f(x?y)?f(x)?f(y)?xy?1
，若
f(1)?1
，则< br>f(?8)?

A.-1 B.1 C. 19 D. 43

1

< br>4、函数f(x)为R上的偶函数，对
x?R
都有
f(x?6)?f(x)?f (3)
成立，若
f(1)?2
，则
f(2005)
=（ ）
A . 2005 B. 2 C.1 D.0
5、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f
-1
(x)，又Y=f( x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为
Y=f
-1
(2x)，则Y=f-1
(16)为（ ）
1
1
A） B） C）8 D）16
8
16
6、已知a为实数，且0?a?1,f(x)是定义 在[0，1]
上的函数，满足f(0)?0,f(1)?1,对所有x?y,
x?y
均 有f()?(1?a)f(x)?af(y)
2
1
(1)求a的值(2)求f()的值
7










三、值域问题
例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在
x
1
?x
2
,
使得
f(x
1
)?f(x
2
)
，求函数f(x )的值域。









四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，
例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos
2
x, 求f(x)







2

x?1
?
例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,
f
?< br>x
?
?f
?
??
?1?x
,求f(x)的解析
?
x
?
式。






例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x
2
-4x,求f(x).






例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:
①f(n)>0,n∈N;②f(n
1
+n
2
)=f(n
1
)f(n
2
),n
1
,n
2
∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)
的解析式；若不存在，说明理由.






31
例9、已知
f(x)
是定义在R上的偶 函数，且
f(x?)?f(x?)
恒成立，当
x?
?
2,3
?
时，
f(x)?x
，
22
则
x?(?2,0)
时 ，函数
f(x)
的解析式为（ ）
A．
x?2
B．
x?4
C．
2?x?1
D．
3?x?1

练习：1、
设y?f(x)是实数函数(即x,f(x) 为实数),且f(x)?2f()?x,求证:|f(x)|?
1
x
2
2.< br>
3





22
2.（重庆）已知定义域为R的函数f(x)满足
f
(
f
(
x
)-
x
+
x
)=
f
(
x
)-
x
+
x.

（Ⅰ）若
f
(2)=3，求
f
( 1)；又若
f
(0)=
a
，求
f
(
a
)； （Ⅱ）设有且仅有一个实数
x
0
，使得
f
(
x
0< br>)=
x
0
，
求函数
f
(
x
)的解析 表达式。







3

3、函数
f
(
x
)对一切实数
x
,y均有
f
(
x
+y)-
f
(y)=(
x
+2y+1)
x
成立，且
f
(1)=0， （1）求
f(0)
的
值；
11
（2）对任意的
x< br>1
?(0,)
，
x
2
?(0,)
，都有
f< br>(
x
1
)+2<
log
a
x
2
成立 时，求
a
的取值范围．
22








五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）
例10.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)< 0,且f(1)= -2,
求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.







练习：设f(x)定义于实数集上，当x >0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，
求证：f(x) 在R上为增函数。







< br>例11、已知偶函数
f
(
x
)的定义域是
x
≠0的一 切实数，对定义域内的任意
x
1
,
x
2
都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)< br>，且当
x?1
时
f(x)?0,f(2)?1
， （1）
f
(
x
)在(0,+∞)上是增函数； （2）
解不等式
f(2x
2
?1)?2







练习：已知函数
f
(
x
)的定义域为R，且对
m
、
n
∈R,恒有
f
(
m< br>+
n
)=
f
(
m
)+
f
(
n
)－1,且
f
(－)=0,
当
x
>－时，
f(
x
)>0.求证：
f
(
x
)是单调递增函数；
1
2
1
2

4

例12、定义在R上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x
m
)=mf(x); ②f(2)=1。(1)求
证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R
+
上的单调增函数; (3)
若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.
练习1：已知f(x)是定义在 (0,??)上的单调增函数，对于任意的m、n(m,n?(0,??))满足
a?b
f(m )?f(n)?f(mn),且a、b(0?a?b)满足f(a)?f(b)?2f()
2
( 1)求f(1);.......(2)若f(2)?1，解不等式f(x)?2;...........(3 )求证：3?b?2?2
+







练习2 定义在R上的函数
y
=
f
（
x
），
f
（0）≠0，当
x
＞0时，
f
（
x
）＞1，且 对任意的
a
、
b
∈
R，有
f
（
a
+
b
）=
f
（
a
）·
f
（
b）.
（1）求证：
f
（0）=1；（2）求证：对任意的
x
∈R，恒有
f
（
x
）＞0；（3）求证：
f
（
x
）是R
上的增函数；（4）若
f
（
x
）·
f
（2
x
－
x
2
）＞1，求
x
的取值范围.






练习3.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有
f(a)?f(b)
＞0
a?b
（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）.若f（＜0对x∈ [－1，1]恒成立，求实数k的取值
?
k
3
x
)?f(3
x
?9
x
?2)
范围。




练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy )=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1。试
判断f(x)在(0,+∞) 上的单调性。




练习5、奇函数f(x)在(??,0)上 单调递减，且f(2)?0，则(x?1)f(x?1)?0的解集为(C
A、(?2,?1)?(1, 2)B、(?3,1)?(2，??)
??
C、(?3,?1)D、(?2,0)?(2，?? )

练习6、. 已知函数
f(x)
的定义域为
?
0,1< br>?
，且同时满足：(1)对任意
x?
?
0,1
?
，总 有
f(x)?2
；
(2)
f(1)?3
，
(3)若
x
1
?0,x
2
?0
且
x
1
?x
2
?1
，则有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?2
.
(I)求
f(0)
的值；(II)求
f(x)
的最大值； (III)设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n，且满足

5
)

*
.求证：
f(a
1
)?f(a
2
)?f(a
3
)?
Sn
??
1
2
(a
n
?3),n?N
?f(a< br>n
)?
3
?2n?
2
1
.
2?3
n?1




六、奇偶性问题
例13. （1）已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x﹒y)= f(x)+f(y)，
试判断函数f(x)的奇偶性。



< br>（2）已知
y=f
(2
x
+1)是偶函数，则函数
y=f(2
x
)的图象的对称轴是（ ）
11
A.
x
=1 B.
x
=2 C.
x
=－ D.
x
=
22
f(x)f(y)?1
例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足
?
1
?
f(x?y )?
，（2）存在正常
f(y)?f(x)
数a，使f(a)=1.求证：f(x)是 奇函数。





例15：设
f(x)< br>是定义在
R
上的偶函数，且在
(??,0)
上是增函数，又
f (2a
2
?a?1)?f(3a
2
?2a?1)
。
求实数< br>a
的取值范围。




例16：定义在
R
上的单调函数
f
(
x
)满足
f
(3)=
log
2
3且对任意
x
，
y
∈R都有
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)+
f
(
y
)．
(1)求证
f
(
x
)为奇函数； (2)若
f
(
k
·3
x
)+
f
(3
x
-9
x
-2)＜0对任意
x∈R
恒成立，求实数
k的
取值范围．
．




练习：1、已知 f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足
f(ab)=af(b)+b f(a).
(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明 你的结论;(3)若f(2)=2,u
n
=f(2
n
)
(n∈N*),求证:u
n+1
>u
n
(n∈N*).




6

2. 定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时
f(x)＜0恒成立.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为 减函数；若函数f(x)在[-3，3）
上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件；11
(3)解关于x的不等式f(ax
2
)?f(x)?f(a
2
x)?f(a),(n是一个给定的自然数,a?0)
nn




3、已知
f
(
x
)是定义在［－1，1］上的奇函数，且
f
(1)=1,若
a
,
b
∈［－1,1］,
a
+b
≠0时，有
f(a)?f(b)
a?b
＞0.
(1)判断函 数
f
(
x
)在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2 )解不等式：
11
f
(
x
+)＜
f
();
2x?1
(3)若
f
(
x
)≤
m
2
－2
pm
+1对所有
x
∈［－1,1］,
p
∈［－1,1］(< br>p
是常数）恒成立，求实数
m
的取值范围.






七、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）
．．．
编
号 周 期 性
f
?
x?a
?
?f
?
x?a
?
→T=2
a

对 称 性
f
?
x?a
?
?f
?
?x?a?
→对称轴
x?a
?
y?f
?
x?a
?
是偶函
数；
f
?
x?a
?
??f
?
? x?a
?
→对称中心（a,0）?
y?f
?
x?a
?
是
奇函数
f
?
a?x
?
?f
?
b?x
?
→对称轴
x?
a?b
；
2
1
2 < br>f
?
a?x
?
?f
?
b?x
?
→T =
b?a

f
?
a?x
?
??f
?
b?x
?
→对称中心
(
a?b
,0)
；
2
3
f(x)= -f(x+a)→T=2
a

f
?
a?x
?
??f
?
b?x
?
→
?a
?
f(x)= -f(-x+a)→对称中心
?
,0
?

?
2
?
4
5
T=2
b?a

f(x)=±
f(x)=1-
1
→T=2
a

f< br>?
x
?
1
?
f(x)?0
?
→
f< br>?
x?a
?
?
a?b
?
,0
?

?
2
?
?
ab
?
f(x)= b-f(-x+a)→对称中心
?
,
?

?
22
?
f
?
a?x
?
??f
?
b?x
?
→对称中心
?
6
T=3
a


结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

7

(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0) 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且
T=2|a-b|
(3) 函数图象关于 直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且
T=4|a-b|
(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:
b?a b?a
y=f(a+x)与y=f(b-x)关于
x?
对称；y=f(a+x)与y= -f(b-x)关于点
(,0)
对称
22
（可以简单的认为：一个函 数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同
法则不同表达式的函数，对应法则下的两 式相减等于0，解得的x为对称轴）
例17：①已知定义在R上的奇函数
f
(
x
)满足
f
(
x
+2) = –
f
(
x
)，则
f
(6)的值为（ ）
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。
1
（重庆）已知函数
f
?
x
?
满足：f
?
1
?
?
，
4f
?
x
?< br>f
?
y
?
?f
?
x?y
?
?f?
x?y
??
x,y?R
?
，则
4
f
?
2010
?
=_____________.
例18. 已知函数y=f (x)满足
f(x)?f(?x)?2002
，求
f
?1
?
x
?
?f
?1
?
2002?x
?
的值。



例19. 奇函数
f
(
x
)定义在R上，且对常数
T
> 0，恒有
f
(
x
+
T
) =
f
(
x
)，则在区间［0，
2
T
］上，方程
f
(
x
) = 0根的个数最小值为（ ） A. 3个 B.4个
C.5个 D.6个

例20．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)
在[5，9]上单调。求a的值。
②设y= f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对< br>称，且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)
3
(a为常数且a R) （1）求f(x); （2）是
否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最 高点位于直线y=12上？若存在，求出
a的值；若不存在，说明理由.



练习1、函数
y?f(x?1)
是偶函数，则
y?f(x)
的图象关于 对称。
1
2、函数
y?f(x)
满足
f(x?3)??
， 且
f(3)?1
，则
f(2010)?
。
f(x)11
3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且
f(?x)?f(?x)
,则< br>f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?

22
4、已知函数
y?f(2x?1)
是定义在R上的奇函数，函数y?g(x)
是
y?f(x)
的反函数，若
x
1
?x< br>2
?0
则
g(x
1
)?g(x
2
)?
( )
A）2 B）0 C）1 D）-2
5.设
f
(
x
)是
R
的奇函数,
f
(x+2)= —
f
(
x
),当0≤
x
≤1,时,f
(
x
)=
x
,则f(7.5)=
6.定义 在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f
-1
(x)+f
-1(3-x)= .
7、
f
（
x
）是定义在R上的以 3为周期的奇函数，且
f
（2）=0，则方程
f
（
x
）=0 在区间（0，
6）内解的个数的最小值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7

8

8、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的 图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]
时f(x)= 2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.

9、（山东）已知定义在R上的奇函数
f (x)
，满足
f(x?4)??f(x)
,且在区间[0,2]上是增函数,
若方程f(x)=m(m>0)在区间
?
?8,8
?
上有四个不同的根
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?______ ___.
-8
八、综合问题
例21. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实 数m，
时，0，
n，总有，且当x>0
，若
A?B?
?
，试确定a的取
值范围。
例22.设定义在R上的函数 f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有
f(x+y)=f(x)f(y) ,f(1)=2
1
(1)解不等式f(3x?x
2
)?4,;(2)解方程 [f(x)]
2
?f(x?3)?f(2)?1.

2
例23.定义在(?1,1)上的函数f(x)满足:(1)对任意x,y?(?1,1),都有f(x)?f(y) ?f(
(2)当x∈(-1,0)时,有
x?y
)

1?xy
f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数； （Ⅱ）
1111
f()?f()???f(
2
)?f().

11193
n?5n?5
函数综合
1.奇函数在关于原点对称的区间内单调 性一致（在整个定义域内未必单调），推广：函数在其对
称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称 的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴
两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远 近。解“抽象不等式（即函数不等
式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化 ”。
[举例1]设偶函数
f
(
x
)=log
a
|
x
-
b
|在（-∞，0）上递增，则
f
(
a
+1)与
f
(
b
+2) 的大小关系是
A.
f
(
a
+1)=
f
(
b
+2) B.
f
(
a
+1)＞
f
(
b
+2) C.
f
(
a
+1)＜
f
(
b
+2) D.不确定
解析：函数
f
(
x
)=log
a
|< br>x
-
b
|为偶函数，则b=0，
f
(
x
)= log
a
|
x
|,令g(x)=|x|,函数g(x)（图象为
“V ”字形）在（-∞，0）递减，而函数
f
(
x
)=log
a
g(x) 在（-∞，0）上递增,∴0又函数
f(
x
)为偶函数且在（-∞，0）上递增，∴
f
(
x
) 在（0，+
?
）上递减，∴
f
(
a
+1)>
f(
b
+2),
故选B。
?
[举例2] 设函数
f(x )?x
3
?x
，若
0
≤
?
≤时，
f(ms in
?
)?f(1?m)?0
恒成立，则实数
m
的
2
取值范围是
解析：此题不宜将msin
?
及1-m代入函 数
f(x)?x
3
?x
的表达式，得到一个“庞大”的不等式，
因为 运算量过大，恐怕很难进行到底。注意到：函数f(x)为奇函数，原不等式等价于：
?
f(m sin
?
)?f(m?1)
，又函数f(x)递增，∴msin
?
> m-1对
0
≤
?
≤恒成立，分离参变量m（这
2
1
是求参变量取值范围的通法）得：m<,（0<1- sin
?
≤1,事实上当sin
?
=1时不等式恒
1?sin
?
1
成立，即对m没有限制，所以无需 研究）,记g(
?
)=,则m?
)
min
，
1?sin
?
又∵0<1- sin
?
≤1，∴g(
?)
min
=1（当且仅当
?
=0时等号成立），∴m<1。

9

[巩固]定义在[-1，a]上的函数f(x)满足:f(2+ x)=f(2-x),且在[2,5]上递增，方程f(x)=0的一
根为4，解不等式f(3+x)> 0
1
[提高]定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=,且f(x)在[-3，- 2]上是减函数，又
?
、
?
f(x)
是钝角三角形的两锐角，则下列 结论中正确的是: A.f(sin
?
)>f(cos
?
) B.
f(sin
?
)?
) C.f(sin
?
)?
) D. f(cos
?
)?

2．关注“分段函数”。分段函数 的反函数、值域一般分段求，分段函数的奇偶性、单调性一般
要借助于图象。f(x)=max{g(x ),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一种分段函数,作出它的图
象是研究 这类函数的有效途径。
?
sinx
当sinx?cosx时
[举例]对于函 数
f(x)?
?
给出下列四个命题：
cosx
当sinx?cosx时
?
① 该函数的值域为[-1,1]，②当 且仅当
x?2k
?
?
?
2
(k?Z)
时，该函数取 得最大值1，③该函数
3
?
(k?Z)
时,
f(x)?0

2
是以
?
为最小正周期的周期函数，④当且仅当
2k
??
?
?x?2k
?
?
上述命题中错误的命题个数为（ ）
．．
A、1 B、2 C、3 D、4
?
3
?
解析：作出函数y=f(x)在[
?
，]上的图象如右（先分 别作函数
22
y=sinx,y=cosx
的图象，观察图象，保留两者中之较“高 ”者）。从图象上不难看出：
2
?
该函数的值域为[-,1]，当
x?2k< br>?
?(k?Z)
或
x?2k
?
时函数取
2
2
得最大值1，该函数是以2
?
为最小正周期的周期函数，当且仅当
2k
?
?
?
?x?2k
?
?
时,
f(x)?0
，∴命题中错误的命题个数为3个，选C。
．．
3
?
(k?Z)
2
?
(3a?1)x?4a,x?1
[巩固]已知
f(x)?
?是（-
?
，+
?
）上的减函数，那么a取值范围
?
lo g
a
x,x?1
是 。
3.研究方程根的个数、超越 方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二
次函数的值域、三角函数的性质（包 括值域）、含有绝对值的函数性质、已知函数值域研究定义
域等一般用函数图象（作图要尽可能准确）。
[举例1]若在
[0,]
内有两个不同的实数值满足等式
cos2x?3si n2x?k?1,
则
k
的范围是
2
?
?
?
?
7
?
解析：
cos2x?3sin2x=2sin(
2x?
)，∵
x
∈
[0,]
，将
2x?
视为一个角
?
，
?
∈[,],
62666
?
7
?
?
作函数
y?2sin
?
在[,]上的图象（ 注意：无需作函数
y
=2sin(
2x?
)
666
的图象） ，容易看出，当
y
=
k
+1∈[1，2
)
时，函数
y?2sin
?
与函数
y
=
k
+1
的图象有两个交 点，此时
k
∈[0，1
)
。
O
[举例2]不等式
x
2
?1?ax
的解集为[1,2)，则a的值为
解析：分别作函数
y?x
2
?1
和函数
y?ax
的 图象如右，（函数
y?x
2
?1
即
x
2
?y
2
?1
，
y?0
，
1
?

10

双曲线在x轴上方的部分）。两图象交于M点，要使不等式解集为[1,2) ，则M（2，
3
），即
a?
[巩固]已知函数f(x)=
log2
x
的定义域为[a,b]，值域为[0，2],则a,b满足：
3
。
2
1111
,b=1或 a=1,b=4, B．a=，1≤b≤4, C．≤a≤1,b=4, D. a=，
4444
1
1≤b≤4或≤a≤1,b=4。
4
4. 求最 值的常用方法：①单调性：研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值域的最重要也
是最根本的方法。 ②基本不等式：满足条件“一正、二定、三相等”时方可使用，如果“不相
a
等”，常用函数< br>y?x?,(a?0)
的单调性解决。③逆求法：用y表示x，使关于x的方程有解
x< br>的y的范围即为值域，常用于求分式函数的值域，判别式法就是其中的一种。
④换元法：需要把一个式子看作一个整体即可实施换元，“三角换元”是针对“平方和 等于1”
实施的，目的多为“降元”；求值域时的换元主要是为了“去根号”。⑤数形结合。
x
2
?2x?2
(x??1)
，则其图象的最低点的坐标是 （ ） [举例1]已知函数
y?
x?1
A、（1，2） B、
(1,?2)
C、（0，2） D、不存在
解析：求函数图象的最低点的坐标即求函数当x取何值时函数取得最小值，最小值是多少；
此 题不宜“逆求”（判别式法），因为⊿≥0不能保证x>-1（这是使用“判别式法”时需特别注
(t? 1)
2
?2(t?1)?2t
2
?11
??t??2
(当且 仅当t=1意的）。记x+1=t,(t>0),此时x=t-1,设g(t)=
ttt
即x= 0时等号成立，（注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体落实，将需要“整体化”的
部分换成一个 变量，比“凑”更具一般性也更易实施），选C。
1
[举例2]已知
a?b?1,a ,b?R
+
，则
ab?
的最小值为
ab
1
解析：本题关注
ab
的取值范围，对
ab?
使用基本不等式，当且仅 当
ab
=±1时等号成立，事
ab
a?b
2
1
1< br>实上：
0?ab?()?
，∴等号不成立，即不能使用基本不等式。记
ab=
t
（0<
t
≤）,
4
24
111117< br>ab?
=
t
+=g(
t
),函数g(
t
)在 （0，
]
上递减，∴g(
t
)
min
=g()=。
abt444
5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的值域或最值；也可以整 体研究
函数y=f(a,x)的最值。
[举例] 关于x的方程2
2x
- m2
x
+4=0(x<0)有解，求实数m的取值范围。
解析：令2
x=t,(02
-mt+4=0在（0，1）上有解，这里显然 不能简单地用判
别式处理，因为⊿≥0不能保证方程在（0，1）上有解，还需附加更多的条件才成，繁 ！事实
4
上，求参变量范围的问题首先考虑的是“分离参变量”：
m?t?
=
g(t)
，所谓方程有解，即
m
在
t
函数
g(t)
的值域内（这也是解决方程有解问题的通法），∵t∈（0，1），∴不能使用基本不等式
（等 号不成立），注意到函数
g(t)
在（0，1）上递减，∴
g(t)
∈（5，
??
）即
m
∈（5，
??
）。
a
[迁 移]若函数f(x)=log
a
(x
2
-ax+3),(a>0且a
?
1)满足:对任意x
1
,x
2
,当x
1
2
?
2
时,f(x
1
)-f(x
2
)>0,则 实数a的取值范围是
A.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) C. (0,1)∪(1,
23
) D. (1,
23
)
A．a=

11