高中数学：函数解析式的十一种方法

高中数学：函数解析式的十一种方法
一、定义法
二、待定系数法
三、换元（或代换）法
四、配凑法
五、函数方程组法
七、利用给定的特性求解析式.


一、定义法：
六、特殊值法
八、累加法
九、归纳法
十、递推法
十一、微积分法
【例1 】
设
f(x?1)?x
2
?3x?2
，求
f(x)
.
?f(x?1)?x
2
?3x?2?[(x?1)?1]
2
?3 [(x?1)?1]?2
=
(x?1)
2
?5(x?1)?6

?f(x)?x
2
?5x?6


【例2】
设f[f(x)]?
【解析】设
?
x?1
，求
f(x)
.
x?2
f[f(x)]?
x?1x?1
??
x?2x?1?1
1
1?
1
1?x
?f(x)?
1

1?x

1111
【例3】
设
f(x?)?x
2< br>?
2
,g(x?)?x
3
?
3
，求
f[g( x)]
.
xx
xx
111
22
【解析】
?f(x ?)?x?
2
?(x?)?2?f(x)?x
2
?2

xx
x
111
3
1
3
又
?g(x?)?x?
3
?(x?)?3(x?)?g(x)?x
3
?3x

xxx
x
故

f[g(x)]?(x
3
?3x)< br>2
?2?x
6
?6x
4
?9x
2
?2

【例4】
设
f(cosx)?cos17x,求f(sinx)
.
【解析】
f(sinx)?f[cos(?x)]?cos17(?x)

22
??
?cos(8
?
?


?
?17x)?cos(?17x)?sin17x
.
22
?
二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例1】 设
f(x)
是一次函数，且
f[f(x)]?4 x?3
，求
f(x)

【解析】设
f(x)?ax?b

(a?0)
，则
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a
2
x?ab?b

?
a?2
?
a
2
?4
?
a??2
?
?

?
?

　或　　
?
?< br>b?3
?
ab?b?3
?
b?1
?f(x)?2x?1　　或 　　f(x)??2x?3

【例2】
已知
f(x?2)?2x?9x?13
，求
f(x)
.
【解析】显然，
则
又
2
f(x)
是一个一元二次函数。设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)< br>
f(x?2)?a(x?2)
2
?b(x?2)?c

?ax
2
?(b?4a)x?(4a?2b?c)

f(x?2)?2x
2
?9x?13

?
a?2
?
a?2
??
2
比较系数得：
?
b?4a??9
解得：
?
b??1
?f(x)?2x?x?3

?
4a?2 b?c?13
?
c?3
??
三、换元（或代换）法：已知复合函数
f [g(x)]
的表达式时，还可以用换元法求
f(x)
的
解析式。与配凑法一 样，要注意所换元的定义域的变化。

【例1】 已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x?1)

【解析】令
t?x?1
，则
t?1
，
x?(t?1)
2

Q
f(x?1)?x?2x

?
f(t)?(t?1)
2< br>?2(t?1)?t
2
?1,

?f(x)?x
2
?1

(x?1)

?f(x?1)?(x?1)
2
?1?x
2
?2x

(x?0)

【例2】
已知
1?xx
2
?11< br>f()??,
求
f(x)
.
xx
x
2
1? xx
2
?1111
1?x1
)???1??

?t,
则
x?
【解析】设则
f(t)?f(
22
xxx
xxxt?1
?1?
11
??1?(t?1)
2
?(t?1)?t< br>2
?t?1
?f(x)?x
2
?x?1

1
2
1
()
t?1t?1

【例3】
设
f(cosx?1)?cosx
，求
f(x)
.
解：令
t
2
?cosx?1,?cosx?t?1
又
?1?cosx?1, ??2?cosx?1?0即?2?t?0

?f(t)?(t?1)
2
,( ?2?t?0)即f(x)?(x?1)
2
,x?[?2,0]

x?1
)?1?x
（1）
x
x?1
? 1
x?1x?1
x?1
x
)?f()?1?
在（1）式中以代替x
得
f(

x?1
xx
x
x
x?112x?1
即
f(
（2）
)?f(?)?
xx?1x
11x?2
又以
?
代替 （1）式中的
x
得：
f(?
（3）
)?f(x)?
x?1x?1x?1
【例4】
若
f(x)?f(
x?22x?1x
3
?x
2
?1x
3
?x
2
?1
(1)?(3)?(2)得:2f(x)?1?x????f(x)?

x?1xx(x?1)2x(x?1)
【例5】
设
f(x)满足af(x)?bf( )?cx
【解析】
af(x)?bf(
1
x
(其中a,b,c均不为 0
，
且a??b)
，求
f(x)
。
1111
)?cx
（1）用来代替
x
，得
af()?bf(x)?c?
（2）
xxxx
22
acx
2
?bc
由
a?(1)?b? (2)得:(a?b)f(x)?
?a??b
x

acx
2
?bc

?f(x)?
22
(a?b)x
【例6】
已知
f(a
【解析】设
t
x?1
)?x< br>2
?2
，求
f(x)
.
?a
x?1
?0
，则
x?1?log
a
t
即
x?log
a
t?1

f(t)?(log
a
t ?1)
2
?2?log
2
a
t?2log
a
t?3
代入已知等式中，得：
?f(x)?log
2
a
x?2loga
x?3

四、配凑法
已知复合函数
f[g(x)]
的表达式，要求
f(x)
的解析式时，若
f[g(x)]
表达式右边易配成< br>g(x)
的运
算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
【例1】
已知
f(x?1)?x?2x,
求
f(x)
的解析式。
【解析】
Qx?2x
可配凑成

?
可用配凑法
由
f(x?1)?x?2x?(x?)
2
?1

令
t?x?1

Qx?0

?t?1

则
f(t)?t
2
?1
即
f(x)?x
2
?1(x?1)

当然，上例也可直接使用换元法
令
t?x?1
则
t?x?1

得
x?(t?1 )
2
?f(t)?(t?1)
2
?2(t?1)?t
2
?1
即
f(x)?x
2
?1(x?1)

由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
11
2
【 例 2】
已知
f(x?)?x?
2
,
求
f(x)
.
xx
【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
111
由
f(x?)?x
2
?
2
?(x?)< br>2
?2

xxx
1
令
t?x??x
2
?tx?1?0

x
由
??0
即
t
2
?4?0
得
t?R


?f(t)?t
2
?2

即：
f(x)?x
2
?2(x?R)

实质上，配凑法也缊含换元的 思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合
函数的内函数来表示出来，在通过整体换 元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。

五、函数方程组法。
函数方程组 法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数
f(x)
混合运算，则要充分
利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
1
【 例1】
设
f(x)< br>满足
f(x)?2f()?x,
求
f(x)
的解析式。
x< br>11
【解析】要求
f(x)
可消去
f()
,为此，可根据题中 的条件再找一个关于
f(x)
与
f()
的等式，
xx
通过解 方程组达到消元的目的。
1

Q
f(x)?2f()?x
………………………①
x
1
显然，
x?0
,将
x
换成得
x
11

f()?2f(x)?
……………………………..②
xx
1
?< br>f(x)?2f()?x
?
?
x
由
?

11
?
f()?2f(x)?
?
x
?
x
1
消去
f()
，得
x
12
f(x)??x?

33x< /p>

小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、
f()< br>；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通
过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f( x)的解析式。


x?1
1
x
【 例 2】
已知
f(a
【解析】设
t
)?x
2
?2
，求
f (x)
.
?a
x?1
?0
，则
x?1?log
a
t
即
x?log
a
t?1

f(t)?(log
a
t ?1)
2
?2?log
2
a
t?2log
a
t?3
代入已知等式中，得：
?f(x)?log
2
a
x?2loga
x?3

【例 3】设
f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇函数，又
f(x)?g(x)?
【解析】
f(x)
为偶函数，< br>g(x)
为奇函数，
1
,
试求
f(x)和g(x)
的解析式
x?1
?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)

又
f(x)?g(x)?
1
① ，
x?1
1

x?1
用
?x
替换
x
得：
f(?x)?g(?x)??< br>即
f(x)?g(x)??
1
②
x?1
解① ②联立的方程组，得

f(x)?
11
，
g(x) ?
x
2
?1x
2
?x
六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）
【例1】
设
f(x)
是定义在N上的函数，满足
f(1)?1
，对于任意正整数
x,y
，均有
f(x)?f(y)?f(x?y)?xy
，
求
f(x)
.
解：由
设
f(1)?1
，
f(x)?f(y)?f(x?y)?xy

y?1
得：
f(x)?1?f(x?1)?x

即：
f(x?1)?f(x)?x?1

,t?1
代替，然后各式相加 在上式中，
x
分别用
1,2,3,?
可得：
111
(t?2)(t?1)?1?t
2
?t
222
11
?f(x)?x
2
?x(x?N
?
)

22
f(t)?
【例2】 已知：
f(0)?1
，对于任意实数 x、y，等式
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
恒成立，求
f(x)
【解析】对于任意实数x、y，等式
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，
不妨令
x?0
，则有
f(?y)?f(0)?y(?y?1) ?1?y(y?1)?y?y?1

2

再令
?y?x
得函数解析式为：
f(x)?x?x?1

2
七．利用给定的特性求解析式.
【例1】设
f(x)
是偶函数，当x＞0时，
f(x)?e?x?e
，求当x＜0时，
f(x)
的表达式.
【解析】对x∈R，
f(x)
满足
f(x)??f(x?1)
，且当x∈[－1，0]时，
f(x)?x?2x
求当x∈[9，10]
时
f(x)
的表达式.
2
2x
七．利用给定的特性求解析式.
八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）
【例1】
若
f(1)? lg
【解析】
?
递推得：
1
x?1
，且当
x?2时 ,满足f(x?1)?f(x)?lga,(a?0,x?N?)
，求
f(x)
.
a
(a?0,x?N
?
)

f(x)?f(x?1)?lg a
x?1
f(x?1)?f(x?2)?lga
x?2

f(x?2)?f(x?3)?lga
x?3

……
……

f(3)?f(2)?lga
2

f(2)?f(1)?lga

以上
(x?1)
个等式两边分别相加，得：
f(x)?f(1)?lga? lga
2
???lga
x?2
?lga
x?1

?f(1)?lga
1?2???(x?2)?(x?1)

1
?l g?lga
a
x(x?1)
2
?lga
x(x?1)
?1< br>2

?[
x(x?1)
?1]lga

2
九、归纳法：
1
f(x),(x?N?)且f(1)?a
，求
f(x)
.
2
111
【解析】
?f(1)?a,f(2)?2?f(1)?2?a?4?2?a

222
1111
f(3)?2?f(2)?2?(2?a)?4?2
0
?
2
a

222
2
1111
f(4) ?2?f(3)?2?(3?a)?4?2
?1
?
3
a

2 24
2
【例1】已知
f(x?1)?2?

f(5)?2?11111
f(4)?2?(3?a)?4?2
?2
?
4
a
2228
2
1
2
x?1
………………………………， 依此类推，得
f(x)?4?2
3?x
?

a

再用数学归纳法证明之。

十、递推法
：若题中所给条件含有某种递进关系 ，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭
代等运算求得函数解析式。
【例1】 设
f(x)
是定义在
N
?
上的函数，满足
f(1)?1
，对任意的自然数
a,b
都有
f(a)?f(b)?f(a?b)?ab
，求
f(x)

【解析】
f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，a,b?N
?
， ?
不妨令
a?x,b?1
，得：
f(x)?f(1)?f(x?1)?x
，
又
f(1)?1,故f(x?1)?f(x)?x?1
①
分别令①式中的
x?1,2Ln?1
得：
f(2)?f(1)?2,

f(3)?f(2)?3,
LL
f(n)?f(n?1)?n,

将上述各式相加得：
f(n)?f(1)?2?3??n
，
?f(n)?1?2?3??n?
?f(x)?
n(n?1)

2
1
2
1
x?x,x?N
?

22

十一、微积分法：（当你学了导数和微积分之后，就会用到，不过平时的考题还
是比较少出现的，多见识下各种题型对你有帮助的。）
【例1】
设
f
?
(sinx)?cosx,
【解析】
?
因此
22
f(1 )?2
，求
f(x)
.
f
?
(sin
2
x)?cos
2
x?1?sin
2
x
?f
?
(x) ?1?x(|x|?1)

f(x)?
?
f
?
(x)d?< br>?
(1?x)dx?x?
1
2
x?c?f(1)?2
2
?f(x)?x?




1
2
3
x?(|x|?1)
A、
f(x?T)??f(x)
B、
22
13
?c?2?c?

22
11

f(x?T)?或f(x?T)??
f(x)f(x)
?1?