高中数学专题训练(教师版)—函数的奇偶性和周期性

高中数学专题训练（教师版）—函数的奇偶性和
周期性

一、选择题
1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )
1＋x
－
A．y＝e
x
－e
x
B．y＝lg
1－x
C．y＝cos2x D．y＝sinx＋cosx
答案 D
2．(2011·山东临沂)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
答案 D
3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
答案 B
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x )＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
232
4．若f(x)＝ax＋bx＋c(a ≠0)是偶函数，则g(x)＝ax＋bx＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案 A
解析 由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax
3
＋cx是奇函数．
5．(201 0·山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2
x
＋2x＋b(b 为常数)，
则f(－1)＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
答案 D
－
解析 令x≤0，则－x≥0，所以f(－x)＝2
x
－2x＋b，又因为f(x)在R上是奇函数，所
－
以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0 ，即b＝－1，f(x)＝－2
x
＋2x＋1，所以f(－1)＝－2－2＋1＝－3，
故选D.
6．(2011·北京海淀区)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x＋5)＝f (x)，若f(2)>1，f(3)
＝a，则( )
A．a<－3 B．a>3
C．a<－1 D．a>1
答案 C
解析 ∵f(x＋5)＝f(x)，∴f( 3)＝f(－2＋5)＝f(－2)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，
又f(2) >1，∴a<－1，选择C.
7．(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝x< br>3
－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
答案 B
解析 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)
3
－8＝－x
3
－8，
又f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x
3
－8，
3
?
?
x－8，x≥0
∴f(x)＝
?
3
.
?
－x－8，x<0
?

3
?
?< br>?x－2?－8，x≥0
∴f(x－2)＝
?
，
3
?
－?x－2?－8，x<0
?

?
?
?
x≥0
?
x<0
?
或
?
，
3
3
?
?
?
－?x－2?－8>0
?
?x－2?－8>0

解得x>4或x<0.故选B.
二、填空题
8．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________.
答案 －1
解析 f(x)＝x
2
＋(a＋1)x＋a.
∵f(x)为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
9．设f(x)＝ax
5
＋bx
3
＋cx＋7(其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2011)＝－17，则 f(2011)
＝________.
答案 31
解析 f(2011)＝a·2011
5
＋b·2011
3
＋c·2011＋7
53
f(－2011)＝a(－2011)＋b(－2011)＋c(－2011)＋7
∴f(2011)＋f(－2011)＝14，∴f(2011)＝14＋17＝31.
10．函数f(x)＝x
3
＋sinx＋1的图象关于________点对称．
答案(0,1)
解析 f(x)的图象是由y＝x
3
＋sin x的图象向上平移一个单位得到的．
11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R， 总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则
f(19)＝________.
答案 0
解析 依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f (19)＝
f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，且f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1) ＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.
12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f( x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为
1
偶函数，则f(－1)，f(4 )，f(5)的大小关系是__________．
2
1
答案 f(5)2
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数
∴y＝f(x)关于x＝2对称
又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数
∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)
1
∴f(5)＜f(－1)＜f(4)．
2
13．(2011·山东潍坊) 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增
函数，给出下列 关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)关于直线x＝1对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；
④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(2)＝f(0)，
其中正确的序号是________．
答案 ①②⑤
解析 由f(x＋1)＝－f(x)得
f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
∴f(x)是周期为2的函数，①正确，
f(x)关于直线x＝1对称，②正确，
f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，
∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1 ,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综

上，①②⑤正确 ．
三、解答题
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ x
2
＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．
2
答案 f(x)＝x－2，g(x)＝x
解析 ∵f(x)＋g(x)＝x
2
＋x－2.①
∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)
2
＋(－x)－2.
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x
2
－x－2.②
由①②解得f(x)＝x
2
－2，g(x)＝x.
15．已知f(x)是定 义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2－x)＝
f(x)，若方程 f(x)＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和．
答案 2
解析 由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)是 奇函
数，则f(x)在(－1,1)上单调递减，根据函数f(x)的单调性，方程f(x)＝－1在( －1,1)上有唯一
的实根，根据函数f(x)的对称性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的 实根，这两个实根关于直
线x＝1对称，故两根之和等于2.
－2
x
＋b< br>16．已知定义域为R的函数f(x)＝
x
＋
1
是奇函数．
2＋a
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t
2< br>－2t)＋f(2t
2
－k)<0恒成立，求k的取值范围．
1
答案 (1)a＝2，b＝1 (2)k<－
3
b－1
解析 (Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0?b＝1
a＋2
1－2
x
∴f(x)＝
＋

a＋2
x1
1
1－
2
1－2
又由f(1)＝－f(－1)知＝－?a＝2.
a＋4a＋1
1－2
x
(Ⅱ)解法一 由(Ⅰ)知f(x)＝
＋，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是
2＋2
x1
奇函数 ，从而不等式：f(t
2
－2t)＋f(2t
2
－k)<0
等价于 f(t
2
－2t)<－f(2t
2
－k)＝f(k－2t
2
)，因f(x)为减函数，由上式推得：
t
2
－2t>k－2t
2
.即对一切t∈R有：3t
2
－2t－k>0，
1
从而判别式Δ＝4＋12k<0?k<－
3
x
1－2
解法二 由(Ⅰ)知f(x)＝
＋
.又由题设条件得：
2＋2
x1
1－2t
2
－2t1－22t
2
－k
＋<0，
2＋2t
2
－2t＋12＋22t
2
－k＋1
即：(22t
2
－k＋1 ＋2)(1－2t
2
－2t)＋(2t
2
－2t＋1＋2)(1－22t2
－k)<0，
整理得23t
2
－2t－k>1，因底数2>1，故： 3t
2
－2t－k>0
1
上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0?k<－
3

1．(2010·上海春季高考)已知函数f(x)＝ax＋2x是奇函数，则实数a＝_______ _.
答案 0
－
2．(2010·江苏卷)设函数f(x)＝x(e
x< br>＋ae
x
)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
答案 －1
－
解析 令g(x)＝x，h(x)＝e
x
＋ae
x
，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)
2

＝e
x
＋ae
x
为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1 .
3．(2011·《高考调研》原创题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且{x|f(x)＞ 0}＝{x|1＜x
＜3}，则f(π)＋f(－2)与0的大小关系是( )
A．f(π)＋f(－2)＞0 B．f(π)＋f(－2)＝0
C．f(π)＋f(－2)＜0 D．不确定
答案 C
解析 由已知得f(π)<0，f(－2)＝－f(2)＜0，因此f(π)＋f(－2)＜0.
4．如果奇 函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]
上是( )
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
答案 B
解析 先考查函数f(x)在[－7，－3]上的最值 ，由已知，当3≤x≤7时，f(x)≥5，则当
－7≤x≤－3时，f(－x)＝－f(x)≤－5即 f(x)在[－7，－3]上最大值为－5.再考查函数f(x)在[－
7，－3]上的单调性，设－7 ≤x
1
2
≤－3.则3≤－x
2
<－x
1≤7，由已知－f(x
2
)＝f(－x
2
)1
)
＝－f(x
1
)，从而f(x
2
)>f(x
1
)，即f(x)在[－7，－3]上是单调递增的．
f?x?－f?－x?
5．(08·全国 卷Ⅰ)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式
x
<0的解集 为________．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 由f(x)为奇函数，则不等式化为xf(x)<0
－
法一：(图象法)由，可得－11
法二：(特值法)取f(x)＝x－，则x
2
－1<0且x≠0，解得－1x
?
?
1 ?－16．定义在R上的函数 f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝
?
，则f(3)＝
?
－1 ?0?
________.
解析 ∵f(x＋1)＝－f(x) ，则f(x)＝－f(x＋1)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，
f( 3)＝f(1)＝－1.
1＋x
7．(2011·深圳)设f(x)＝，又记f
1< br>(x)＝f(x)，f
k
＋
1
(x)＝f(f
k
(x ))，k＝1,2，…，则f
2011
(x)
1－x
＝( )
1
A．－ B．x
x
x－11＋x
C. D.
x＋11－x
答案 C
1＋xx－11＋x
11
x－1
解析 由题得f
2
(x)＝ f()＝－，f
3
(x)＝f(－)＝，f
4
(x)＝f()＝x，f
5
(x)＝＝
xx
x＋11－xx＋11－x
x－1
f
1
(x)，其周期为4，所以f
2011
(x)＝f
3
(x)＝.
x＋1


1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f( 2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]
上，只有f(1)＝f(3)＝0.
(1)证明函数f(x)为周期函数；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．

?
?
f?2－x?＝f?2＋x?
解析 (1)由
?

?
f?7－x?＝f?7＋x?
?
?
?
f?x?＝f?4－x?
?
?
?f(4－x)＝f(14－x)
?
?
f?x?＝f?14－x?


?f(x)＝f(x＋10)
∴f(x)为周期函数，T＝10.
(2)∵f(3)＝f(1)＝0, f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0
故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，
从而可知函数y＝f(x)在[0,2005]上有402个解，
在[－2005,0]上有400个解，
所以函数y＝f(x)在[－2005,2005]上有802个解．