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高中数学幂函数知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 16:02
tags:高中数学函数

人教版高中数学必修五第一章检测题答案-高中数学gx的含义



高中数学幂函数知识点总结(一)
定义:
形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量
的函数称为幂函数。
定义域和值域:
当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任 意实数,
则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过
这时函 数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x
不能小于0,这时函数的定义域 为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函
数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时 ,幂函数的值域的不同
情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数
的值域
性质:
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先 我们知道如果a=pq,q和p都是整数,则x^(pq)=q次根号(x的p
次方),如果q是奇数, 函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,
+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k, 则x=1(x^k),显然x≠0,函数的定义
域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受 到的限制来源于两点,一是有可能
作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那 么我们就
可以知道:
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排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数;
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是
负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如
下:
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数,则x肯定不能为0,不 过这时函数的定义域还必须根据q的
奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的 定义域为大
于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一
象限的各自情况.
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点。
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递
减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上
凸。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
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(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。
(6)显然幂函数无界。
高中数学幂函数知识点总结(二)
1 幂函数解析 式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量,指数是常数,可
以为任何实数;与指数函数的形式正好相反 。
2 幂函数的图像和性质比较复杂,高考只要求掌握指数为1、2、3、-1、
?时幂函数的图像和性质。
3 了解其它幂函数的图像和性质,主要有:
①当自变量为正数时,幂函数的图像都 在第一象限。指数为负数的幂函数都
是过点(1,1)的减函数,以坐标轴为渐近线,指数越小越靠近
x轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1,1)的增函数;在 x=1的右侧
指数越大越远离 x 轴。
②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出:要 么是x≥0,要么是关于原点
对称。前者只在第一象限有图像;后者一定具有奇偶性,利用对称性可以画 出二
或三象限的图像。注意第四象限绝对不会有图像。
③定义域关于原点对称的幂函数一 定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶
数的分数时是偶函数;否则是奇函数。
4 幂函数奇偶性的一般规律:
⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。
⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。
⑶指数是分母为偶数的分数时,定义域 x>0或 x≥0,没有奇偶性。
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⑷指数是分子为偶数的分数时,幂函数是偶函数。
⑸指数是分子分母为奇数的分数时,幂函数是奇数函数。


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