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死亡率公式数学公式(小学-大学版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 16:03
tags:小学数学公式

hurt的过去式是什么-适合女人创业的项目



小学数学公式大全
1、每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
3、速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
5、工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时
间=工作效率
6、加数+加数=和和-一个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数
8、因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
单位换算
(1)1公里=1千米1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米
(2)1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
(3)1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米
(4)1吨=1000千克1千克=1000克=1公斤=2市斤
(5)1公顷=10000平方米1亩=666.666平方米
(6)1升=1立方分米=1000毫升1毫升=1立方厘米
数量关系计算公式方面
1.单价×数量=总价
2.单产量×数量=总产量
3.速度×时间=路程
4.工效×时间=工作总量
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小学数学定义定理公式(二)
一、算术方面
1.加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变。
2.加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第
三个数相加,和不变。
3.乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变。
4 .乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个
数相乘,它们的积不 变。
5.乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把
两个积相加,结果不变。如:(2+4)×5=2×5+4×5。
6.除法的性质:在除法里, 被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。0
除以任何不是0的数都得0。
7.等式:等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质:
等式两边同时乘以 (或除以)一个相同的数,等式仍然成立。
8.方程式:含有未知数的等式叫方程式。
9.一元一次方程式:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次
方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10.分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11.分数 的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分
数相加减,先通分,然后再 加减。
12.分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。异分母的分数< br>相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。
13.分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
14.分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。
15.分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。
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16.真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。
17.假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于
1。
18.带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。
19.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的
大小不变。
20.一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。
21.甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。
长度单位换算
1千米=1000米1米=10分米
1分米=10厘米1米=100厘米
1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1立方米=1000升
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重量单位换算
1吨=1000千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年1年=12月
大月(31天)有:135781012月
小月(30天)的有:46911月
平年2月28天,闰年2月29天
平年全年365天,闰年全年366天
1日=24小时1时=60分
1分=60秒1时=3600秒
小学数学几何形体周长面积体积计算公式
1、长方形的周长=(长+宽)×2C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4C=4a
3、长方形的面积=长×宽S=ab
4、正方形的面积=边长×边长S=a.a=a
5、三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高S=ah
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7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2
8、直径=半径×2d=2r半径=直径÷2r=d÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr
10、圆的面积=圆周率×半径×半径
定义定理公式
三角形的面积=底×高÷2。公式S=a×h÷2
正方形的面积=边长×边长公式S=a×a
长方形的面积=长×宽公式S=a×b
平行四边形的面积=底×高公式S=a×h
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2公式S=(a+b)h÷2
内角和:三角形的内角和=180度。
长方体的体积=长×宽×高公式:V=abh
长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式:V=abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式:V=aaa
圆的周长=直径×π公式:L=πd=2πr
圆的面积=半径×半径×π公式:S=πr2
圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。公式:S=ch=πdh=2πrh
圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式:
S=ch+2s=ch +2πr2
圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高。公式:V=Sh
圆锥的体积=13底面×积高。公式:V=13Sh
分数的加、减法则:同分母的分数相加减,只 把分子相加减,分母不变。异分母的分数
相加减,先通分,然后再加减。
分数的乘法则:用分子的积做分子,用分母的积做分母。
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分数的除法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数。
和差问题的公式
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
和倍问题
和÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或者和-小数=大数)
差倍问题
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或小数+差=大数)
植树问题
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
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株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
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水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
小学数学图形计算公式
1、正方形C周长S面积a边长周长=边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a
2、正方体 V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a
3、长方形
C周长S面积a边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
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4、长方体
V:体积s:面积a:长b:宽h:高
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高
V=abh
5三角形
s面积a底h高
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积×2÷底
三角形底=面积×2÷高
6平行四边形
s面积a底h高
面积=底×高
s=ah
7梯形
s面积a上底b下底h高
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)×h÷2
8圆形
S面积C周长∏d=直径r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
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C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9圆柱体
v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
(4)体积=侧面积÷2×半径
10圆锥体
v:体积h:高s;底面积r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数=平均数
1、每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
3、速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
5、工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时
间=工作效率
6、加数+加数=和和-一个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数
8、因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
小学数学公式及换算
一、公式:
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⒈正方形的周长=边长×4
①正方形的面积=边长×边长
②S正=a×a
③正方形的边长=面积÷边长
④ a正=S÷a
⒉长方形的周长=(长+宽)×2
①长方形面积=长×宽
②s长=a×b
③长方形的长=面积÷宽
④a长=S÷b
⑤长方形宽=面积÷长
⑥b长=S÷a
⒊三角形的面积=底×高÷2
⑴S三=a×h÷2
⑵三角形的底=面积×2÷高⑶a三=S×2÷h
⑷三个形的高=面积×2÷底
⑸h三=S×2÷a
⒋平形四边形的面积=底×高
⑴S平=a×h
⑵平行四边形的底=面积÷高
⑶a平=S÷h
⑷平行四边形的高=面积÷底
⑸h平=S÷a
⒌梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
⑴S梯=(a+b)×h÷2
⑵梯形的高=面积×2÷(上底+下底)
⑶h梯=S×2÷(a+b)
⑷梯形的上底=面积×2÷高-下底
⑸a梯=S×2÷h-b
⑹梯形的下底=面积×2÷高-上底
⑺b梯=S×2÷h-a
⒍路程=速度×时间
⑴速度=路程÷时间
⑵时间=路程÷速度
⒎工作总量=工作效率×工作时间
⑴工作效率=工作总量÷工作时间
⑵工作时间=工作总量÷工作效率
(顶层根数+底层根数)×层数÷2
单位换算:
⑴1平方千米=100公顷
⑵1公顷=100公亩
⑶1公亩=100平方米
⑷1平方千米=1000000平方米
⑸1平方米=100平方分米
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⑹1平方分米=100平方厘米
⑺1平方厘米=100平方毫米⑻1公硕=10000平方米
基本公式:
⑴一个因数=积÷另一个因数⑵被除数=商×除数
⑶除数=被除数÷商
⑷一个加数=和-另一个加数
⑸被减数=差+减数
8、圆的直径=圆的半径×2
d=r×2=2r
9、圆的半径=直径×2
r=d÷2
10、圆的周长=圆周率×直径
C=πd
11、圆的直径=圆周长÷圆周率
d=C÷π
12、半径=圆的周长÷2÷圆周率
R=C÷2÷π
13、圆的面积=圆周率×半径的平方
S=π×r2
14.圆柱的表面积=侧面积+两个底面积
S圆柱表= S侧+2πr2
15.圆柱的体积=底面积×高
V圆锥=S×h
16.圆锥的体积= ×底面积×高
S圆柱表= ×S×h= Sh
17.图距∶实距=比例尺
图距÷比例尺=实距
实距×比例尺=图距


1.其他计量单位制->公制:
在等式左边文字输入框填入非标准计量单位数量,如“ 1”,在等式左边非标准计量单位下拉菜单中选择
单位,如“磅”;在等式右边公制计量单位下拉菜单中 选择单位,如“公斤”,点击“其他->公制”按钮,即在等
式右边的文字输入框中得到“0.4536 ”公斤。

2.公制->其他计量单位制:
在等式右边文字输入框填入公 制计量单位数量,如“1”,在等式右边公制计量单位下拉菜单中选择单位,
如“公斤”;在等式左边非 标准计量单位下拉菜单中选择单位,如“磅”,点击“公制->其他”按钮,即在等式左
边的文字输入框 中得到“2.205”磅。

3.其他计量单位之间换算:
例如计算“市 斤”与“磅”的关系。在等式左边文字输入框输入“1”,在左边下拉菜单选“市斤”,点击“其他
-> 公制”按钮,再从等式左边下拉菜单中选择磅,点击“公制->其他”按钮,即得到1市斤相当于“1.102”
磅。
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4.公制单位之间换算:
例如计算“公斤”与“克”的关系。在等式右边文字输入框输入“1”,在右边下拉菜单选“公斤” ,左边下拉
菜单选“市斤”(或其他有效单位),点击“公制->其他”按钮,得到“2”市斤,再从右 边下拉菜单中选择“克”,
点击“其他->公制”按钮,即得到1公斤相当于“1000”克。


度 量 衡 表
*英美制到公制换算 *公制到英制换算
Linear Measure 长度单位:

1 inch 英寸=25.4 millimetres 毫米
1 foot 英尺=12 inches 英寸=0.3048 metre 米
1 yard 码=3 feet 英尺=0.9144 metre 米
1 (statute) mile 英里=1760 yards 码
=1.609 kilometres 千米
1 nautical mile 海里=1852 m. 米


Square Measure 面积单位:

1 square inch 平方英寸=6.45 etres 平方厘米
1 square foot 平方英尺=144 .平方英寸
=9.29 tres 平方分米
1 square yard 平方码=9 . 平方英尺
=0.836 平方米
1 acre 英亩=4840 .平方码=0.405 hectare 公顷
1 square mile 平方英里=640 acres 英亩
=259 hectares 公顷


Cubic Measure 体积单位:
1 cubic inch 立方英寸=16.4 etres 立方厘米
1 cubic foot 立方英尺=1728 . 立方英寸
=0.0283 立方米
1 cubic yard 立方码=27 . 立方英尺
=0.765 立方米


Capacity Measure 容积单位:

Britich 英制

1 pint 品脱=20 fluid oz. 液量盎司
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=34.68 . 立方英寸=0.568 litre 升
1 quart 夸脱=2 pints 品脱=1.136 litres 升
1 gallon 加伦=4 quarts 夸脱=4.546 litres 升
1 peck 配克=2 gallons 加伦=9.092 litres 升
1 bushel 蒲式耳=4 pecks 配克=36.4 litres 升
1 quarter 八蒲式耳=8 bushels 蒲式耳
=2.91 hectolitres 百升

American dry 美制干量

1 pint 品脱=33.60 . 立方英寸=0.550 litre 升
1 quart 夸脱=2 pints 品脱=1.101 litres 升
1 peck 配克=8 quarts 夸脱=8.81 litres 升
1 bushel 蒲式耳=4 pecks 配克=35.3 litres 升

American liquid 美制液量

1 pint 品脱=16 fluid oz. 液量盎司
=28.88 . 立方英寸=0.473 litre 升
1 quart 夸脱=2 pints 品脱=0.946 litre 升
1 gallon 加伦=4 quarts 夸脱=3.785 litres 升


Avoirdupois Weight 常衡单位:

1 grain 格令=0.065 gram 克
1 dram 打兰=1.772 grams 克
1 ounce 盎司=16 drams 打兰=28.35 grams 克
1 pound 磅=16 ounces 盎司=7000 grains 谷
=0.4536 kilogram 千克
1 stone 英石=14 pounds 磅=6.35 kilograms 千克
1 quarter 四分之一英担=2 stones 英石
=12.70 kilograms 千克
1 hundredweight 英担=4 quarters 四分之一英担
=50.80 kilograms 千克
1 short ton 短吨(美吨)=2000 pounds 磅
=0.907 tonne 公吨
1 (long) ton 长吨(英吨)=20 hundredweight 英担
=1.016 tonnes 公吨 Linear Measure 长度单位:

1 millimetre 毫米=0.03937 inch 英寸
1 centimetre 厘米=10 mm. 毫米=0.3937 inch 英寸
1 decimetre 分米=10 cm. 厘米=3.937 inches 英寸
1 metre 米=10 dm. 分米=1.0936 yards 码=3.2808 feet 英尺
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1 decametre 十米=10 m. 米=10.936 yards 码
1 hectometre 百米=100 m. 米=109.4 yards 码
1 kilometre 千米=1000 m. 米=0.6214 mile 英里
1 mile marin 海里=1852 m. 米=1.1500 mile 英里


Square Measure 面积单位:

1 square centimetre 平方厘米=0.155 平方英寸
1 square metre 平方米=1.196 平方码
1 are 公亩=100 square metres 平方米
=119.6 平方码
1 hectare 公顷=100 ares 公亩=2.471 acres 英亩
1 square kilometre 平方公里=0.386 平方英里


Cubic Measure 体积单位:

1 cubic centimetre 立方厘米=0.061 立方英寸
1 cubic metre 立方米=1.308 立方码
Capacity Measure 容积
1 millilitre 毫升=0.002 pint (British) 英制品脱
1 centilitre 厘升=10 ml. 毫升=0.018 pint 品脱
1 decilitre 分升=10 cl. 厘升=0.176 pint 品脱
1 litre 升=10 dl. 分升=1.76 pints 品脱
1 decalitre 十升=10 l. 升=2.20 gallons 加伦
1 hectolitre 百升=100 l. 升=2.75 bushels 蒲式耳
1 kilolitre 千升=1000 l. 升=3.44 quarters 八蒲式耳


Weight 重量单位:

1 milligram 毫克=0.015 grain 谷
1 centigram 厘克=10 mg. 毫克=0.154 grain 谷
1 decigram 分克=10 cg. 厘克=1.543 grains 谷
1 gram 克=10 dg. 分克=15.43 grains 谷
1 decagram 十克=10 g. 克=5.64 drams 打兰
1 hectogram 百克=100 g. 克=3.527 ounces 盎司
1 kilogram 千克=1000 g. 克=2.205 pounds 磅
1 ton (metric ton) 吨,公吨=1000 kg. 千克
=0.984 (long) ton 长吨,英吨=1.1023 短吨,美吨


初中高中数学公式
1 过两点有且只有一条直线
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2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9 同位角相等,两直线平行
10 内错角相等,两直线平行
11 同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,同位角相等
13 两直线平行,内错角相等
14 两直线平行,同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对
的边也相等(等角对等边)
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
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42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平
分线
44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么
交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形
关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即
a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那
么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角
线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称
中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一
点平分,那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
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76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第
三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它
的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的
一半 L=(a+b)÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对
应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成
比例,那么这条直线平行于三 角形的第三边
89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边
与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构
成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA)
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)
94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
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103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半
径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直
平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦
相等,所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对
的弧也相等
118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所
对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角
三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
的内对角
121①直线L和⊙O相交 d<r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d>r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积
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相等
131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线
段长的积相等
134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)
④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含d<R-r(R>r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a/4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144弧长计算公式:L=n兀R/180
145扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
(还有一些,大家帮补充吧)

实用工具:常用数学公式


公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a -b-√(b2-4ac)2a

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根与系数的关系 X1+X2=-ba X1*X2=ca 注:韦达定理

判别式
b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)

倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB

某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3

正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角
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圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h' 正棱台侧面积 S=12(c+c')h'
圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=12*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=12*l*r

锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式 V=13*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

高等数学公式
导数公式:

(tgx)
?
?secx
(ctgx)
?
??cscx
(secx)
?
?secx?tgx
tgxdx? lncosx?C
?
(cscx)
?
?
??cscx?ctgx?lnsinx?C
?
ctgxdx
(a
x
)
?
?a
x
lna
xdx?lnsec
1
x?tgx?C
?< br>sec
(log
a
x)
?
?
x
csc
lna
cscxdx?lnx?ctgx?C
?
dx1x
?arctg?C
?
a
2
?x
2
aa
dx1x?a
?ln< br>?
x
2
?a
2
2ax?a
?C
dx1a?x
?
?
a
2
?x
2
2a
ln
a?x
?C
dxx
?arcsin?C
?
a
2
?x
2
a
?
2
n
2
2
(arcsinx)
?
?
1
1?x
2
1
(arccosx)
?
? ?
2
dx
2
1?x
?
cos
2
x
?
?
1
secxdx?tgx?C
(arctgx)
?
?< br>2
dx
2
1?x
xdx??ctgx?C
?
sin< br>2
x
?
?
csc
1
(arcctgx)
?< br>??
2
secx?tgxdx?secx?C
1?x
?
?cscx?ctgxdx??cscx?C
a
x
?
adx?
ln a
?C
x
?
shxdx?chx?C
?
chxdx?shx ?C
?
dx
x
2
?a
2
?ln(x?x
2
?a
2
)?C
?
2
I
n
?
?sinxdx?
?
cos
n
xdx?
00
n?1
I
n?2
n
?
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?
?
x< br>2
a
2
2
x?adx?x?a?ln(x?x
2
?a
2
)?C
22
x
2
a
2
222
x ?adx?x?a?lnx?x
2
?a
2
?C
22
x
2
a
2
x
222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
22

基本积分表:
三角函数的有理式积分:
2u1?u
2
x2du
sinx?, cosx?, u?tg, dx?

2
1?u
2
1?u
2
1?u
2
一些初等函数: 两个重要极限:
e
x
?e
?x
双曲正弦:shx?
2e
x
?e
?x
双曲余弦:chx?
2
shxe
x
?e
?x
双曲正切:thx??
chx
e
x
?e
?x
arshx?ln(x?x
2
?1)
archx??ln(x? x
2
?1)
11?x
arthx?ln
21?x

三角函数公式:
·诱导公式:
函数
角A

90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α
sin
lim
sinx
?1
x?0
x
1
lim(1?)
x
?e?2.7045...
x??
x
cos tg
-tgα
ctgα
ctg
-ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
-sinα cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-sinα -ctgα -tgα
-cosα -tgα
-sinα -cosα tgα
-cosα -sinα ctgα
-cosα sinα
-sinα cosα
sinα cosα
-tgα
tgα
-ctgα -tgα

·和差角公式: ·和差化积公式:
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?
sin
?< br>sin
?
tg(
?
?
?
)?
tg
?
?tg
?
1
?
tg
?
?tg
?
c tg
?
?ctg
?
?
1
ctg(
?
??
)?
ctg
?
?ctg
?
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
22
?
?< br>??
?
?
sin
?
?sin
?
?2coss in
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
22
?
?
??
??
cos
?
?cos
?
?2sinsin
22
cos
?
?
?
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·倍角公式:
sin2
?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
ctg2
?
?1
ctg2
?
?
2ctg
?
2 tg
?
tg2
?
?
1?tg
2
?

·半角公式:
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos?
3tg
?
?tg
3
?
tg3
?
?< br>1?3tg
2
?
sin
tg

?
2
??
??
1?cos
??
1?cos
?
             cos??
222
1?cos
?
1?cos
?
sin
??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
??  ctg????
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
21?cos
?
sin
?
1?cos
?
abc< br>???2R
·余弦定理:
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

sinAsinBsinC
?
2
·正弦定理:

·反三角函 数性质:
arcsinx?
?
2
?arccosx   arctgx??
2
?arcctgx


高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)
(n)k(n?k) (k)
?
?
C
n
uv
k?0
n
?u
(n)
v?nu
(n?1)
v
?
?
n(n?1)
(n?2)
n(n?1)
?
(n?k?1)
(n?k)(k)
uv< br>??
?
?
?uv?
?
?uv
(n)
2!k!

中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:f(b)?f(a)?f
?< br>(
?
)(b?a)
f(b)?f(a)f
?
(
?)
柯西中值定理:?
F(b)?F(a)F
?
(
?
)< br>曲率:

当F(x)?x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
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弧微分公式:ds?1?y
?
2
dx,其中y
?
?tg?
平均曲率:K?
?
?
.?
?
:从M点到M
?
点,切线斜率的倾角变化量;?s:MM
?
弧长。
?s
y
? ?
?
?
d
?
M点的曲率:K?lim??.

23
?s?0
?sds
(1?y
?
)
直线:K?0;
1
半径为a的圆:K?.
a
定积分的近似计算:
b
矩形法:
?
f(x)?
a
b
b?a
(y
0
?y
1< br>?
?
?y
n?1
)
n
b?a1
[(y
0
?y
n
)?y
1
?
?
?y
n?1]
n2
b?a
[(y
0
?y
n
)?2(y2
?y
4
?
?
?y
n?2
)?4(y
1
?y
3
?
?
?y
n?1
)]
3n

梯形法:
?
f(x)?
a
b
抛物线法:
?f(x)?
a
定积分应用相关公式:
功:W?F?s
水压力:F?p? A
mm
引力:F?k
1
2
2
,k为引力系数
r
b
1
函数的平均值:y?f(x)dx
?
b?a
a< br>1
2
均方根:f(t)dt
?
b?a
a
空间解析几何 和向量代数:
b
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空间2点的距离:d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
2
? (y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
向量在轴上的投影:Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?
是AB与u轴的夹角。
????
Prj
u
(a
1
?a
2
)?Prja
1
?Prja
2
?
?
?
?
a?b?a?bcos
?
?a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
,是一个数量,
两向量之间的夹角:cos
?
?
i
?
??
c?a?b?a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
?a
y
b
y
?az
b
z
a
x
?a
y
?a
z
? b
x
?b
y
?b
z
222222
k
??< br>?
???
a
z
,c?a?bsin
?
.例:线速度: v?w?r.
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z
?
?
?
b
z
?a?b?ccos
?< br>,
?
为锐角时,

c
z
a
x
??< br>????
向量的混合积:[abc]?(a?b)?c?b
x
c
x代表平行六面体的体积。
平面的方程:
?
1、点法式:A(x?x
0)?B(y?y
0
)?C(z?z
0
)?0,其中n?{A,B,C}, M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
2、 一般方程:Ax?By?Cz?D?0
xyz
3、截距世方程:???1
abc
平面外任意一点到该平面的距离:d?
Ax
0
?By
0
?Cz0
?D
A
2
?B
2
?C
2
?
x?x
0
?mt
x?x
0
y?y
0
z?z
0
?
?
空间直线的方程:???t,其中s?{m,n,p};参数方程:
?
y?y
0
?nt
mnp
?
z?z?pt
0
?
二次曲面:
x
2
y
2
z
2
1、椭球面:
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2y
2
2、抛物面:??z(,p,q同号)
2p2q
3、双曲面:
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面:
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面:
2
?
2
?
2
?(马鞍面) 1
abc

多元函数微分法及应用
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全微分:dz?
?z?z?u?u?u
dx?dy   du?dx?dy ?dz
?x?y?x?y?z
全微分的近似计算:?z?dz?f
x
(x,y )?x?f
y
(x,y)?y
多元复合函数的求导法:
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]   ???? 
dt?u?t?v?t
?z?z?u ?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]   ? ???
?x?u?x?v?x当u?u(x,y),v?v(x,y)时,
du?
?u?u?v?v
dx?dy    dv?dx?dy 
?x?y?x?y
隐函数的求导公式:
F
x
FF
dydyd
2
y??
隐函数F(x,y)?0,  ??,  
2
?(?
x
)+(?
x
)?
dxF
y
? xF
y
?yF
y
dx
dx
F
y
F
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0, ??
x
,  ??
?xF
z
?yF
z

?F
?
F(x,y,u,v)?0
? (F,G)
?u
隐函数方程组:   J??
?
?G
?(u,v)< br>?
G(x,y,u,v)?0
?u
?u1?(F,G)?v1?(F,G)???    ???
?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)
?u1?(F,G)?v1 ?(F,G)
???    ???
?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)
微分法在 几何上的应用:
?F
?v
?
F
u
?G
G
u
?v
F
v
G
v

?
x?
?(t)
x?xy?y
0
z?z
0
?
空间曲线
?
y?
?
(t)在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处的切线方程:
0
??
??
?
(t)
?
(t)
?
?
(t
0
)
00
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程:
?
?
(t
0< br>)(x?x
0
)?
?
?
(t
0
)(y?y< br>0
)?
?
?
(t
0
)(z?z
0
) ?0
?
?
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
?
F(x,y,z)?0
若空间曲线方程为:,则切向量T ?{,,
?
GG
G
x
G
x
?
yz
G
z
?
G(x,y,z)?0
曲面F(x,y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
),则:
?
1、过此点的法向量 :n?{F
x
(x
0
,y
0
,z
0
),F
y
(x
0
,y
0
,z
0
),F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3、过此点的法线方程:??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
方向导数与梯度:
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F
y
}
G
y
2、过此点的 切平面方程:F
x
(x
0
,y
0
,z
0
) (x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z< br>0
)(y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0

?f?f?f< br>函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:?cos
?
?s in
?
?l?x?y
其中
?
为x轴到方向l的转角。
?f< br>?
?f
?
i?j
?x?y
??
?f
??它与方向导数的关系是:?gradf(x,y)?e,其中e?cos
?
?i?sin< br>?
?j,为l方向上的
?l
单位向量。
?f
?是gradf( x,y)在l上的投影。
?l
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf( x,y)?

多元函数的极值及其求法:
设f
x
(x
0< br>,y
0
)?f
y
(x
0
,y
0
)? 0,令:f
xx
(x
0
,y
0
)?A, f
xy< br>(x
0
,y
0
)?B, f
yy
(x
0,y
0
)?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极大值
2
AC?B?0时,
?
?
?
A?0 ,(x
0
,y
0
)为极小值
?
?
2
则:值
?
AC?B?0时,      无极
?
AC?B
2
?0时 ,       不确定
?
?
?
重积分及其应用:

??
f(x,y)dxdy?
??
f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
DD
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??
D
?
?z
?
?
?z
?
1?
??< br>?
?
?
?y
?
?
dxdy
?x
??
??
2
2
平面薄片的重心:x?
M
x
?
M
??
x
?
(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D
,  y?
M
y
M
?
??
y
?
(x,y)d
?
D
??
?(x,y)d
?
D
D
平面薄片的转动惯量:对于x轴I
x
?
??
y
2
?
(x,y)d
?
,  对于y轴I
y
?
??
x
2
?
(x,y)d
?
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力:F?{F
x
,F
y
,F
z
},其中:
F
x
?f
??< br>D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
222
2,  F
y
?f
??
3
D
?
(x,y)yd< br>?
(x?y?a)
222
2
,  F
z
??fa??
3
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
22
3
2
2

柱面坐标和球面坐标:
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?
x?rcos
?
?
柱面坐标:f(x,y,z )dxdydz?
???
F(r,
?
,z)rdrd
?
dz ,
?
y?rsin
?
,   
???
??
?
z?z
?
其中:F(r,
?
,z)?f(rcos
?
,r sin
?
,z)
?
x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标:
?
y?rsin
?
sin
?,  dv?rd
?
?rsin
?
?d
?
?dr?rs in
?
drd
?
d
?
?
z?rcos
?< br>?
2
??
r(
?
,
?
)
???f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,
?
)r
??
2
sin
?
drd
?
d
??
?
d
?
?
d
?
00
?
F( r,
?
,
?
)r
0
2
sin
?
d r
重心:x?
1
M
???
x
?
dv,  y??
?
1
M
???
y
?
dv,  z?
?
?
1
M
???
z
?
dv,  其中M?x????
?
dv
??
?
转动惯量:I
x
?
???
(y
2
?z
2
)
?
dv,  I
y
?
???
(x
2
?z
2
)
?
d v,  I
z
?
???
(x
2
?y
2
)< br>?
dv

曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
?
x?
?
(t)
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:,  (< br>?
?t?
?
),则:
?
y?
?
(t)
?
?
L
?
x?t
f(x,y)ds?
?
f[?
(t),
?
(t)]
?
?
2
(t)?
?
?
2
(t)dt  (
?
?
?
)  特殊情况 :
?
?
y?
?
(t)
?
?
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第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
?
x?
?
(t)
设L的参数方程为,则:
?
y?
?
(t)
?
?
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
?
?
{P[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)?Q[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)}dt
L
两类曲 线积分之间的关系:
?
Pdx?Qdy?
?
(Pcos
?
? Qcos
?
)ds,其中
?

?
分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
?Q?P?Q?P
格林公式:(?)dxdy?Pdx? Qdy格林公式:(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy
?????
?x?y? x?y
DLDL
?Q?P1
当P??y,Q?x,即:??2时,得到D的面积:A?
??
dxdy?
?
xdy?ydx
?x?y2
LD
·平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数,且
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
·二元函数的全微分 求积:
?Q?P
在=时,Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
?x?y
(x,y)
?Q?P
=。注意奇点,如(0,0),应
?x?yu(x,y)?
(x
0
,y
0
)
?
P(x,y )dx?Q(x,y)dy,通常设x
0
?y
0
?0。

曲面积分:
22
对面积的曲面积分:f(x,y,z)ds?f[x,y,z(x, y)]1?z(x,y)?z(x,y)dxdy
xy
????
?D
xy对坐标的曲面积分:,其中:
??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx ?R(x,y,z)dxdy
?
号;
??
R(x,y,z)dxdy????
R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正
?D
xy
号;
??
P(x,y,z)dydz??
??
P[x(y,z),y,z] dydz,取曲面的前侧时取正
?D
yz
号。
??
Q(x,y,z) dzdx??
??
Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正
?D< br>zx
两类曲面积分之间的关系:
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?< br>??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
??

高斯公式:
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???
(
?
?P?Q?R
??)dv?
??
Pdy dz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?< br>?Rcos
?
)ds
?x?y?z
??
高斯公式的物理意义— —通量与散度:
?
?P?Q?R
?
散度:div
?
???, 即:单位体积内所产生的流体质量,若div
?
?0,则为消失...
?x?y?z< br>?
?
通量:
??
A?nds?
??
A
nds?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos?
)ds,
?
因此,高斯公式又可写成:
???
divAdv?
??
A
n
ds
??
???
斯托克斯公式——曲线积 分与曲面积分的关系:
??
(
?
?R?Q?P?R?Q?P
?)d ydz?(?)dzdx?(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy?Rdz
?y?z?z ?x?x?y
?
cos
?
?
?y
Q
cos
?
?
?z
R

dydzdzdxdxdycos
?
????
上式左端又可写成:?
????
?x?y?z?x
??
PQ RP
?R?Q?P?R?Q?P
空间曲线积分与路径无关的条件:?, ?, ?
?y ?z?z?x?x?y
ijk
?
???
旋度:rotA?
?x?y? z
PQR
??
?
向量场A沿有向闭曲线?的环流量:Pdx?Qdy?Rdz ?A
??
?tds
??
常数项级数:
1?q
n
等 比数列:1?q?q?
?
?q?
1?q
(n?1)n
等差数列:1? 2?3?
?
?n?

2
111
调和级数:1???
?
?是发散的
23n
2n?1
级数审敛法:
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1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):
?
?
?1 时,级数收敛
?
设:
?
?lim
n
u
n
, 则
?
?
?1时,级数发散
n??
?
?
?1时,不确 定
?
2、比值审敛法:
?
?
?1时,级数收敛
U
?
设:
?
?lim
n?1
,则
?
?
?1时, 级数发散
n??
U
n
?
?
?1时,不确定
?
3、定义法:
s
n
?u
1
?u
2
?
?< br>?u
n
;lims
n
存在,则收敛;否则发散。
n??

交错级数u
1
?u
2
?u
3
?u
4< br>??(或?u
1
?u
2
?u
3
??,u
n< br>?0)的审敛法——莱布尼兹定理:
?
?
u
n
?u
n ?1
如果交错级数满足s?u
1
,其余项r
n
的绝对值r
n
?u
n?1

?
limu?0
,那么级数收敛且其和
?
?
n??
n

绝对收敛与条件收敛:
(1)u
1
?u
2
?
?
?u
n
?
?
,其 中u
n
为任意实数;
(2)u
1
?u
2
?u
3
?
?
?u
n
?
?
如果(2)收敛,则(1)肯 定收敛,且称为绝对收敛级数;
如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。

1(?1)
n
调和级数:
?
n
发散,而
?
n
收敛;
1
  级数:
?
n
2
收敛;
p? 1时发散
1
  p级数:
?
n
p
  
p?1时收敛
幂级数:
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1
x?1时,收敛于
1?x
1?x?x
2
?x
3
?
?
?x
n< br>?
?
  
x?1时,发散
对于级数(3)a
0
?a< br>1
x ?a
2
x
2
?
?
?a
nx
n
?
?
,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛,则必存在R,使x?R时发散,其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1
?
?0时,R?
求收敛半径的方法:设lim
a
n?1
?< br>?
,其中a
n
,a
n?1
是(3)的系数,则
??0时,R???
n??
a
n
?
???时,R?0
?< br>
函数展开成幂级数:
f
??
(x
0
)f
(n)
(x
0
)
2
函数展开成泰勒级数:f(x)?f(x
0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)?
?
?(x?x
0
)
n
?
?
2!n!
f
(n?1)
(
?
)
余项:R
n
?(x?x
0
)
n? 1
,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limR
n
?0
n??(n?1)!
f
??
(0)
2
f
(n)
(0)
n
x
0
?0时即为麦克劳林公式:f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x?
?
?x?
?
2!n!

一些函数展开成幂级数:
m(m?1)
2
m(m?1)
?
(m?n?1)
n
x?
?
?x?
?
   (?1?x?1)
2!n!

352n?1
xxx
sinx?x???
??(?1)
n?1
?
?
   (???x???)
3!5!(2 n?1)!
(1?x)
m
?1?mx?
欧拉公式:
?
e< br>ix
?e
?ix
cosx?
?
?
2
ix
e?cosx?isinx   或
?
ix?ix
?
sinx ?
e?e
?
2
?
三角级数:
a
0
?f(t)?A
0
?
?
A
n
sin(n
?
t?
?
n
)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx)
2
n?1n?1
其中,a
0
?aA
0
,a
n
?A
n
sin
?
n
,b
n
?A
n
cos
?
n

?
t?x。正交性:1,sin
x
,cos
x
,sin2
x
,co s2
x?
sin
nx
,cos
nx?
任意两个不同项的乘积 在[?
?
,
?
]
上的积分=0。
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?


傅立叶级数:
a
0
?
f(x)? ?
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx),周期?2?
2
n?1
?
?
1
(n?0,1,2
?
)
?
a
n
?
?
f(x)cosnxdx   
?
?
?
?
其中
?
?
?
b?
1
f(x)sinnxdx   (n?1,2,3
?
)
?
n
??
?
?
?
11
?
2
1?
2
?
2
?
?
?
8
35
 
111
?2
???
?
?
24
2
2
4
2
6
2
正弦级数:a
n
?0,b
n
?
余弦级数:b< br>n
?0,a
n
?
111
?
2
1?
2
?
2
?
2
?
?
?(相加)
6
23 4
111
?
2
1?
2
?
2
?
2< br>?
?
?(相减)
12
234
f(x)sinnxdx  n? 1,2,3
?
 f(x)?
?
b
?
?
0
2
?
n
sinnx是奇函数
2
?
?
?
0f(x)cosnxdx  n?0,1,2
?
 f(x)?
a
0
?
?
a
n
cosnx是偶函数
2

周期为
2l
的周期函数的傅立叶级数:
word文档 可编辑

a
0
?
n
?
xn
?
x
f(x)? ?
?
(a
n
cos?b
n
sin),周期?2l
2
n?1
ll
l
?
1n
?
x
dx   (n ?0,1,2
?
)
?
a
n
?
?
f(x)c os
l
?l
l
?
其中
?
l
?
b?
1
f(x)sin
n
?
x
dx   (n?1,2,3?
)
?
n
l
?
l
?l
?

微分方程的相关概念:
一阶微分方程:y
?
?f(x,y) 或 P(x, y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x )dx的形式,解法:
?
g(y)dy?
?
f(x)dx  得:G(y)? F(x)?C称为隐式通解。
dyy
?f(x,y)?
?
(x,y),即写成 的函数,解法:
dxx
ydydududxduy
设u?,则?u?x,u??
?
(u),??分离变量,积分后将代替u,
xdxdxdxx
?
(u)? ux
齐次方程:一阶微分方程可以写成
即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:
dy
1、一阶线性微分方程:?P(x)y?Q(x)
dx
?P(x)dx
当Q(x)?0时,为齐次方程,y?Ce
?
P(x)d x?P(x)dx
当Q(x)?0时,为非齐次方程,y?(
?
Q(x)e
?
dx?C)e
?

dy
2、贝努力方程:?P(x)y?Q(x)y
n
,(n?0,1)
dx
全微分方程:
如果P(x,y)dx?Q (x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程,即:
?u?u
du(x,y)?P(x,y )dx?Q(x,y)dy?0,其中:?P(x,y),?Q(x,y)

?x?y
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
f(x)?0时为齐次
d
2
ydy

?P(x)?Q(x) y?f(x),
2
dx
dx
f(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次 线性微分方程及其解法:
word文档 可编辑

(*)y
??
?py
?
?qy?0,其中p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:( ?)r
2
?pr?q?0,其中r
2
,r的系数及常数项恰好是(*)式中y
??
,y
?
,y的系数;
2、求出(?)式的两个根r
1< br>,r
2

3、根据r
1
,r
2
的不同情况, 按下表写出(*)式的通解:
r
1
,r
2
的形式

两个不相等实根
(p
2
?4q?0)

两个相等实根
(p
2
?4q?0)

一对共轭复根
(p
2
?4q?0)

(*)式的通解 y?c
1
e
r
1
x
?c
2
e
r
2
x

y?(c
1
?c
2
x)e
r
1
x

y?e
?
x
(c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)

r
1
?
?
? i
?
,r
2
?
?
?i
?
4q?p
2

p
?
??,
?
?
22
二阶常系数非齐 次线性微分方程
y
??
?py
?
?qy?f(x),p,q为常数
f(x)?e
?
x
P
m
(x)型,
?
为常 数;
f(x)?e
?
x
[P
l
(x)cos
?x?P
n
(x)sin
?
x]型

概率公式整理

1.随机事件及其概率
A????A???A
吸收律:
A???A

A????

A?(AB)?A
A?(A?B)?A

A?B?AB?A?(AB)


反演律:
A?B?AB

AB?A?B


?
A?
?
A

?
A?
?
A

iiii
i?1i?1i?1i?1
nnnn

2.概率的定义及其计算

word文档 可编辑

P(A)?1?P(A)



A?B

?P(B?A)?P(B)?P(A)


对任意两个事件A, B, 有
P(B?A)?P(B)?P(AB)


加法公式:对任意两个事件A, B, 有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

P(A?B)?P(A)?P(B)

P(
?
A
i
)?
?
P(A
i
)?
i?1
i?1
n
n< br>1?i?j?n
?
P(AA)
ij
?
1?i?j?k?n?
P(AAA)???(?1)
ijk
n
n?1
P(A
1
A
2
?A
n
)


3.条件概率

P
?
BA
?
?


乘法公式
P(AB)

P(A)
P(AB)?P(A)P
?
BA?
(P(A)?0)

P(A
1
A
2
?
A
n
)?P(A
1
)P
?
A
2
A
1
?
?
P
?
A
n
A
1
A
2
?
A
n?1
?
(P(A
1
A
2
?
A
n?1
)?0)

全概率公式

P(A)?
?
P(AB
i
)

?
?
P(B
i
)?P(AB
i
)

i?1
i?1
nn

Bayes公式
P(B
k< br>A)
?
P(B
k
)P(AB
k
)
P(AB< br>k
)

?
n

P(A)
?
P(B< br>i
)P(AB
i
)
i?1

4.随机变量及其分布

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分布函数计算
P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)

?F(b)?F(a)

5.离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布
P(X?k)?p
k
(1?p)
1?k
,k?0,1


(2) 二项分布
B(n,p)

若P ( A ) = p
kk
P(X?k)?C
n
p(1?p)
n?k
,k?0,1 ,?,n


*Possion定理

limnp
n
?
?
?0

n??
有 < br>limCp(1?p
n
)
n??
k
n
k
n< br>n?k
k!

k?
0,1,2,?
?e
?
?
?
k

(3) Poisson 分布
P(
?
)

?
?
P(X?k)?e
?
k
k!
,
k?
0,1,2 ,?


6.连续型随机变量

(1) 均匀分布
U(a,b)

?
1
,a?x?b
?

f (x)?
?
b?a
?
0,其他
?
?
0,
?
?
x?a
F(x)?
?
,

?
b?a
?
1
?
word文档 可编辑


(2) 指数分布
E(
?
)

?
?
x
?
?
?
e,x?0

f( x)?
?
?
其他
?
0,
x?0
?
0,
F(x)?
?
?
?
x
1?e,x?0
?

(3) 正态分布 N (
?
,
?
2 )
f(x )?
?
1
e
2
??
(x?
?
)
2
2
?
2
???x???

1
F(x)?
2
??
?
x
??
e
?
(t?
?
)< br>2
2
?
2
dt


*N (0,1) — 标准正态分布

?
1
?
(x)?e
2
?
x
2
2

???x???

?
t
2
2

?(x)?
1
2
?< br>?
x
??
edt???x???


7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数
F(x,y)?
?
x
????
?
y
f(u,v)dvdu< br>

边缘分布函数与边缘密度函数
F
X
(x)?
?
x
????
?
??
f(u,v)dvdu

f
X
(x)?
?
f(x,v)dv

??
y
??
F
Y
(y)?
?
????
??
?< br>??
f(u,v)dudv

f
Y
(y)?
?
f(u,y)du

??

8.


连续型二维随机变量
word文档 可编辑

(1) 区域G 上的均匀分布,U ( G )
?
1
?
,(x, y)?G
f(x,y)?
?
A

?
其他
?
0,

(2)

二维正态分布
1
?
?
(x?
?
1
)
2
(x?< br>?
1
)(y?
?
2
)(y?
?
2
)
2
?
?2
?
?
??
1
f(x,y)?2(1?
?
2
)
?
?
?
1
?
1
?
2
2
??
1
?
2
1?
?2
?e
2
???x???,???y???

9.条件分布


二维随机变量的
f(x,y)?f
X
(x)f
YX
(yx)f
X
(x)?0


?f
Y
(y)f
XY
(xy)f
Y
(y)?0


f(x)?
?
????
X
??
f(x,y)dy?
???
f
XY
(xy)f
Y
(y)dy

f??
Y
(y)?
?
f(x,y)dx?
?
??
????
f
YX
(yx)f
X
(x)dx

f
f(x,y)
f
YX
(yx)f
X
(x)
X Y
(xy)

?
f

?

Y
(y )
f
Y
(y)
f
f(x,y)
f
XY
(x y)f
Y
(y
YX
(yx)

?
f

?
)

X
(x)
f
X
(x)

10.随机变量的数字特征


数学期望
??
E(X)?
?
x
k
p
k

k?1
E(X)?
?
??
??
xf(x)dx



随机变量函数的数学期望

word文档 可编辑
?
2
2
?
?


X 的 k 阶原点矩
E(X
k
)


X 的 k 阶绝对原点矩
E(|X|
k
)


X 的 k 阶中心矩
E((X?E(X))
k
)


X 的 方差
E((X?E(X))
2
)?D(X)


X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E(X
k
Y
l
)


X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
E(X?E(X))
k
(Y?E(Y))
l


X ,Y 的 二阶混合原点矩
??
E(XY)


X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
E
?
(X?E(X))(Y?E(Y))
?


X ,Y 的相关系数
?
(X?E(X))(Y?E(Y))
?
?
?< br>?
XY

E
?
??
D(X)D(Y)
??

X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X))2)
D(X)?E(X
2
)?E
2
(X)


协方差
cov(X,Y)?E
?
(X?E(X))(Y?E(Y))
?

word文档 可编辑






?E(XY)?E(X)E(Y)


??
1
?
D(X?Y)?D(X)?D(Y)
?

2
相关系数
?
XY
?

cov(X,Y)

D(X)D(Y)
线性代数部分

梳理:条理化,给出一个系统的,有内在有机结构的理论体系。
沟通:突出各部分内容间的联系。
充实提高:围绕考试要求,介绍一些一般教材上没有的结果,教给大家常见问题的实用
而简捷的方法。
大家要有这样的思想准备:发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同,有的方法
是你不知道的。但是我相信,只要你对它们了解了,掌握了,会提高你的解题能力的。

基本运算

A?B?B?A


?
A?B
?
?C?A?
?
B?C
?


c
?
A?B
?
?cA?cB

?
c?d
?
A?cA?dA


c
?
dA
?
?
?
cd
?
A


cA?0?c?0

A?0


A
T
??
T
?A

T

?
A?B
?
?A
T
?B
T

?
cA
?
T
T
?cA
T

??

?
AB
?
?B
T
A
T

?
?
n
?
n?1
?
?
21
?
?C
n
2
?
n
?
n?1
?

2
D?a
21
A
21
?a
22
A
22
???a2n
A
2n

T
转置值不变
A?A

逆值变
A
?1
?
1

A
word文档 可编辑

cA?c
n
A

?
,
?
1
?
?
2
,
?
?
?
,
?
1
,
?
?
?
,
?
2
,
?


A?
?
?
1
,
?
2
,
?
3
?
,3阶矩阵

B?
?
?
1
,
?
2
,
?
3
?


A?B?A?B


A?B?
?
?
1
?
?
1
,
?
2
?
?
2
,
?
3
?
?
3
?

A?B?
?
1
?
?
1
,
?
2
?
?
2
,
?
3
?
?
3

A?A0
??AB

0B?B
E
?
i,j
?
c
??
?1

有关乘法的基本运算

C
ij
?a
i1
b
1j
?a
i2
b
2j
???a
in
b
nj

线性性质
?
A
1
?A
2
?
B?A
1
B?A
2
B


A
?
B
1
?B
2
?
?AB
1?AB
2


?
cA
?< br>B?c
?
AB
?
?A
?
cB
?

结合律
?
AB
?
C?A
?
BC
?


?
AB
?
?B
T
A
T

T
AB?AB


AA?A

A
k
klk?l

??
l
?A
kl

k

?
AB
?
?A
k
B
k
不一定成立!
AE?A

EA?A

A
?
kE
?
?kA

?
kE
?
A?kA

AB?E?BA?E

与数的乘法的不同之处
word文档 可编辑


?
AB
?
?A
k
B
k
不一定成立!
k
无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵
A
的每个多项式可以因式分解,例如

A
2
?2A?3E?
?
A?3E
??
A?E
?

无消去律(矩阵和矩阵相乘)

AB?0

?
?
A?0

B?0


A?0

AB?0?
?
B?0


A?0

AB?AC?
?
B?C
(无左消去律)
特别的 设
A
可逆,则
A
有消去律。
左消去律:
AB?AC?B?C

右消去律:
BA?CA?B?C

如果
A
列满秩,则
A
有左消去律,即

AB?0?B?0


AB?AC?B?C


可逆矩阵的性质
i)当
A
可逆时,

A
也可逆,且
A
T
T
??
?1
?A
?1< br>。
?A
?1

?1
??
T
< br>A
也可逆,且
A
k
k
??
?1
??
k

c?0

cA
也可逆,
?
cA
?
?
1
?1
A

c
?1
ii)
A

B
是两个
n
阶可逆矩阵
?AB
也可逆,且< br>?
AB
?
?B
?1
A
?1

推论:设
A

B
是两个
n
阶矩阵,则
AB?E?B A?E

命题:初等矩阵都可逆,且
?
E
?
i,j
??
?1
?E
?
i,j
?

?
?
1
?
?
?E?
?
i
?
c
?
?
?

?
??
?
?1

?
E
?
i
?
c
???
?1

?
E
?
i,j
?
c
???
?E
?
i,j
?
?c
??

word文档 可编辑

命题:准对角矩阵
A
11
0
A?
0
A
22
0
0
0
0
可逆
?
每个
A
ii
都可逆,记
00
?
0
000A
kk
A
?1
11
000
A
?1
0A
?1
?
22
00
00
?
0

000A
?1
kk

伴随矩阵的基本性质:

AA*?A*A?AE


A
可逆时,
A
A*
A
?E

A
?1
?
A*
A

且得:
?
?
?
?
A
?1
?
*?A
?1
?
A
?1
?
?
?1
?
A
?< br>A
?
?

?
伴随矩阵的其他性质

A*?A
n?1
,
A*?AA
?1


?
A
T
?
*?
?
A*
?
T
,


?
cA
?
*?c
n?1
A*
,

?
AB
?
*?B*A*,


?
A
k
?
*?
?
A*
?
k


?
A*
?
*?A
n?2
A

n?2
时,
?
A*
?
*?A
关于矩阵右上肩记号:
T

k

?1
,*
i) 任何两个的次序可交换,

?
A
T< br>?
*?
?
A*
?
T


?
A*
?
?1
?
?
A
?1
?*

word文档 可编辑

?
A*
?
? 1
?
A
A
?
?
A
?1
?
?


A*?
?
?
a?b
?
?
??cd
?
?
?

(求逆矩阵的伴随矩阵法)



ii)
?
AB
?
?B
T
A
T
,
?AB
?
T?1
?B
?1
A
?1


?
AB
?
*?B*A*


?
AB
?
?B
k
A
k
不一定成立!
k

线性表示
0
?
?
1
,
?< br>2
,
?
,
?
s

?
i?
?
1
,
?
2
,
?
,
?s


?
?
?
1
,
?
2
,?,
?
s
?x
1
?
1
? x
2
?
2
???x
s
?
s
?
?< br>有解

?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
?
x?
?
有解
x
?
?
x
1
,< br>?
,x
s
?

Ax?
?
有解,即
?
可用A的列向量组表示

AB
?
C
?
?
r
1
,r
2
,
?
,r
s
?

A
?
?
?1
,
?
2
,
?
,
?
n
?

r
1
,r
2
,
?
,r
s
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n


?
T
?

?
1
,
?
2
,
?
,
?
t
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s

则存在矩阵
C
, 使得
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
t
?
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
?
C

线性表示关系有传递性 当
?
1
,
?
2
,
?< br>,
?
t
?
?
1
,
?
2
,< br>?
,
?
s
?
r
1
,r
2
,
?
,r
p


?
1
,
?
2
,
?
,
?
t
?
r
1
,r
2
,
?
,r
p
等价关系:如果
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s

?
1
,
?
2
,
?
,
?
t
互相可表示
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
t

记作
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
?

线性相关

s?1
,单个向量
?

x
?
?0
< br>?
1
,
?
2
,
?
,
?
t< br>。
?
相关
?
?
?0

?
1
,
?
2
相关
?a
1
:b
1
?a
2
:b
2
???a
n
:b
n

s ?2

?
1
,
?
2
相关
?
对应分 量成比例
word文档 可编辑

①向量个数
s
=维 数
n
,则
?
1
,?,
?
n
线性相(无)关
?
?
1
?
?
n
?
?
?
?
0


A
??
?
1
,
?
2
,
?
,
?n
?

Ax?0
有非零解
?A?0

如果
s?n
,则
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
一定相关

Ax?0
的方程个数
n?
未知数个数
s

②如果
?
1
,
?
2
,
?
,
?s
无关,则它的每一个部分组都无关
③如果
?
1
,< br>?
2
,
?
,
?
s
无关,而
?
1
,
?
2
,?,
?
s
,
?
相关 ,则
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s

证明:设
c
1
,
?
,c
s
,c
不全为0,使得
c
1
?
1?
?
?c
s
?
s
?c
?
?
0

则其中
c?0
,否则
c
1
,
?
,c
s
不全为0,
与条件
?
1
,< br>?
,
?
s
c
1
?
1
???c
s
?
s
?
0

无关矛盾。于是
?
??< br>c
c
1?
1
???
s
?
s

cc
④当
?
?
?
1
,
?
,
?
s
时,表示方式唯一
?
?
1
?
?s
无关
(表示方式不唯一
?
?
1
?
?
s
相关)
⑤若
?
1
,
?
,
?
t
?
?
1
,
?
,
?
s
,并且
t?s
,则
?
1
,
?
,
?
t
一定线性相关。
证明:记
A
?
?
?
1
,
?
,
?< br>s
?

B
?
?
?
1
,
?< br>,
?
t
?

则存在
s?t
矩阵
C
,使得
B?AC


Cx?0

s
个方程,
t
个未知数,
s?t
,有非零解
?

C
?
?0


B
?
?AC
?
?0,即
?
也是
Bx?0
的非零解,从而
?
1
,< br>?
,
?
t
线性相关。
各性质的逆否形式
word文档 可编辑

①如果
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
无关,则
s?n

②如果
?
1
,
?
2
,
?,
?
s
有相关的部分组,则它自己一定也相关。
③如果
?
1
?
?
s
无关,而
?
?
?
?
1
,
?
,
?
s
,则
?
1
,
?
,
?
s
?
无关。
⑤如果
?
1
?
?
t
?
?
1
?
?
s

?
1
?
?
t
无关,则
t?s

推论:若两个无关向量组
?
1
?
?
s
与< br>?
1
?
?
t
等价,则
s?t


极大无关组
一个线性无关部分组
?
I
?
,若
#< br>?
I
?
等于秩
?
1
,
?
2
,
?
4
,
?
6
?
?
I
?

?
I
?
就一定是极大无关


?1
,
?
2
,
?
,
?
s
无关< br>?
?

?
?
1
,
?
2
,< br>?
,
?
s
?
?
s

?
?
?
1
,
?
2
,
?
,?
s
?

?

?
?
1
,?
2
,
?
,
?
s
,
?
??
?

?
?
1
,
?
,
?
s
?

另一种说法: 取
?
1
,
?
2
,< br>?
,
?
s
的一个极大无关组
?
I
?


?
I
?
也是
?
1,
?
2
,
?
,
?
s
,
?的极大无关组
?
?
I
?
,
?
相关。
证明:
?
?
?
1
,?,
?
s
?
?
?
?
I
?
?
?
I
?
,
?
相关。
?
?

?
?
1
,
?,
?
s
?
,
?
?
?
1
??
s

?

?
?
1
,< br>?
,
?
s
,
?
?
?
?

??
?

?
,
?
,
?
?1,?
?
?
,
?
,
?
1s1s
?

?
可用
?
1
,
?
,
?
s
唯一表示
?
?

?
?
1
,
?
,
?
s
,
?
?
?
?

?
?
1
,
?
,
?
s
?
?
s


?
1
,
?
,
?
t
?< br>?
1
,
?
,
?
s
?
?
< br>?
?
1
,
?
,
?
s
,
?< br>1
,
?
,
?
t
?
?
?

?
?
1
,
?
,
?
s
?

?
?

?
?
1
,
?
,
?
t
?
?
?

?
?
1
,
?
,
?
s
?


?
1
,
?
,
?
s
?< br>?
1
,
?
,
?
t
?
?
< br>?
?
1
,
?
,
?
s
?
?< br>?

?
?
1
?
?
s
,
?< br>1
?
?
t
?
?
?

?
?
1
,
?
,
?
t
?


矩阵的秩的简单性质
nm,n
?

0?r
?
A
?
?mi
?

r
?
A
?
?0?A?0

word文档 可编辑


A
行满秩:
r
?
A
?
?m


A
列满秩:
r
?
A
?
?n


n
阶矩阵
A
满秩:
r
?
A
?
?n


A
满秩
?A
的行(列)向量组线性无关

?A?0


?A
可逆

?Ax?0
只有零解,
Ax?
?
唯一解。

矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩

rA
T
?r
?
A
?


c?0
时,
r
?
cA
?
?r
?
A
?


r
?
A?B
?
?r
?< br>A
?
?r
?
B
?


r< br>?
AB
?
?min
?
r
?
A
?,r
?
B
??


A
可逆时,
r?
AB
?
?r
?
B
?

弱化条件:如果
A
列满秩,则
?
?
AB
?
?
?
?
B
?

证:下面证
ABx?0

Bx?0
同解。

?

ABx?0
的解
?AB
?
?0


?B
?
?0?
?

Bx?0
的解
??< br>B
可逆时,
r
?
AB
?
?r
?
A< br>?

⑥若
AB?0
,则
r
?
A?
?r
?
B
?
?n

A
的列数,B
的行数)

A
列满秩时
r
?
AB
?
?r
?
B
?


B
行满秩时
r
?
AB
?
?r
?
A
?


r
?
AB
?
?n?r
?
A
?< br>?r
?
B
?


解的性质
word文档 可编辑

1.
Ax?0
的解的性质。
如果
?
1
,
?
2
,
?
,
?
e
是一组解,则它们的任意线性组合
c
1
?
1
?c
2
?
2
???c
e
?
e
一定也是解。

?
i
,A
?
i
?0?A
?
c
1< br>?
1
?c
2
?
2
???c
e
?e
?
?0

2.
Ax?
?
?
?
?0
?

①如 果
?
1
,
?
2
,
?
,
?
e

Ax?
?
的一组解,则

c
1
?
1
?c
2
?
2
???c
e
?
e
也是
Ax?
?
的解
?c
1
?c
2
???c
e
?1

< br>c
1
?
1
?c
2
?
2
???ce
?
e

Ax?0
的解
?c
1
?c< br>2
???c
e
?0


A
?
i
?
?
??i


A
?
c
1
?
1
?c
2
?
2
???c
e
?
e
?
?c
1
A
?
1
?c
2
A
?
2
???c
e
A< br>?
e


?
?
c
1
?c
2
???c
e
?< br>?

特别的: 当
?
1
,
?
2

Ax?
?
的两个解时,
?
1
?< br>?
2

Ax?0
的解
②如果
?
0

Ax?
?
的解,则
n
维向量
?也是
Ax?
?
的解
?
?
的解。
解的情况判别
方程:
Ax?
?
,即
x
1
?
1< br>?x
2
?
2
???x
n
?
n
??

有解
?
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n


?
?
?
A|
?
?
?
?
?
A
?
?
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
,
?
?
?
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
?

无解
?
?
?
A|
?
?
?
?
?
A
?

唯一解
?
?
?
A|
?
?
?
?
?
A?
?n

无穷多解
?
?
?
A|
?
?
?
?
?
A
?
?n

方程个数
m


?
?
A|
?
?< br>?m,
?
?
A
?
?m

① 当
?
?
A
?
?m
时,
?
?
A|< br>?
?
?m
,有解
?
?
0

Ax?0
word文档 可编辑

②当
m?n
时,
?
?
A
?
?n< br>,不会是唯一解
对于齐次线性方程组
Ax?0

只有零解
?
?
?
A
?
?n
(即
A
列满秩)
(有非零解
?
?
?
A
?
?n


特征值特征向量

?

A
的特征值
??

A
的特征多项式
xE?A
的根。
两种特殊情形:
(1)
A
是上(下)三角矩阵,对角矩阵时,特征值即对角线上的元素。
?
?

1
?

A?
?
0
?
0
?

xE?A?
*
?

2
0
*
?
?
?
?

?

3
?
?
?*
x?
?

2
0
?*
???
?
x?
?

1
??
x?
?

2
??
x?
?

3
?

x?
?

3
x?
?

1
0
0
(2)
r
?
A
?
?1
时:
A
的特征值为
0,0,?,0,tr
?
A
?

特征值的性质
命题:
n
阶矩阵
A
的 特征值
?
的重数
?n?r
?
?
E?A
?

命题:设
A
的特征值为
?

1
,
?

2
,?,
?

n
,则

?

1
?

2
?
?

n
?A


?

1
?
?

2
???
?

n
?tr
?
A
?

命题:设
?< br>是
A
的特征向量,特征值为
?
,即
A
?
?< br>??
,则
①对于
A
的每个多项式
f< br>?
A
?

f
?
A
?
?
?f
?
x
?
?

②当
A
可逆时,A
?
?
?1
1
?
?

A*
?
?
|A|
?
?

命题:设
A
的特征值为
?

1
,
?
2
,?,
?

n
,则

f
?
A
?
的特征值为
f
?
?

1
?
,f
?
?
2
?
,?,f
?
?

n
?


A
可逆时,
A
的特征值为
?1
111
,,
?
,

?

1
?
2
?

n
word文档 可编辑


A*
的特征值为
|A||A||A|

,,
?
,
?

1
?
2
?
n

A
的特征值也是
?

1
,
?

2
,?,
?

n

特征值的应用
①求行列式
|A|?
?

1
,
?
2
,?,
?

n

②判别可逆性

?

A
的特征值
?
T
?
E?A?0?A?
?
E
不可逆

A?
?
E
可逆
?
?
不是
A
的特征值。
当< br>f
?
A
?
?0
时,如果
f
?
c?
?0
,则
A?cE
可逆

?

A
的特征值,则
f
?
?
?

f
?
A
?
的特征值
?f
?
?
?
?0


f
?
c
?
?0?c
不是
A
的特征值
?AcE
可逆。
n阶矩阵的相似关系
AU?UA
时,
B?A
,而
AU?UA
时,
B?A
相似关系有i)对称性:
A~B?B~A


U
?1
AU?B
,则
A?UBU
?1

ii)有传递性:
A~B

B~C
,则
A~C


U
?1
AU?B

V
?1
BV?C
,则
?1

?
UV
?
A?
UV
?
?V
?1
U
?1
AUV?V
?1
BV?C

命题 当
A~B
时,
A

B
有许多相同的性质

A?B


?
?
A
?
?
?
?
B
?


A

B
的特征多项式相同,从而特征值完全一致。 ?

A
的属于
?
的特征向量
?U
?1
?

B
的属于
?
的特征
A

B
的特征向量的关系:
向量。
A
?
?
??
?BU
?1
?
?
?
U
?1
?
?

?


????

U
?1
A
?
?< br>?
U
?1
?
?U
?1
AUU
?1
?
?
?
U
?1
?

正定二次型与正定矩阵性质与判别
可逆线性变换替换保持正定性
word文档 可编辑
??

f
?
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?
变为
g
?
y
1,y
2
,
?
,y
n
?
,则它们同时正定或同时 不正定

A
~
?
B
,则
A
B
同时正定,同时不正定。
T
例如
B?CAC
。如果
A
正定,则对每个
x?0


x
T
Bx?x
T
C
T
ACx?
?
Cx
?
ACx?0

T

C
可逆,
x?0

?Cx?0
!)
我们给出关于正定的以下性质

A
正定
?A
~
?
E


?
存在实可逆矩阵
C

A?CC


?A
的正惯性指数
?n


?A
的特征值全大于
0


?A
的每个顺序主子式全大于
0


判断
A
正定的三种方法:
①顺序主子式法。
②特征值法。
③定义法。













基本概念
对称矩阵
A?A

反对称矩阵
A??A

简单阶梯形矩阵:台角位置的元素都为1 ,台角正上方的元素都为0。
如果
A
是一个
n
阶矩阵,< br>A
是阶梯形矩阵
?
A
是上三角矩阵,反之不一定
word文档 可编辑
T
T
T

矩阵消元法:(解的情况)
①写出增广矩阵
A
?
,用初等行变换 化
A
?
为阶梯形矩阵
B
?

②用
B
?
判别解的情况。
i)如果
B
?
最下面的非零行为
0,?,0d
,则无解,否则有解。
ii)如果有解,记
?

B
?
的非零行数,则

?
?n
时唯一解。

?
?n
时无穷多解。
iii)唯一解求解的方法(初等变换法)
去掉
B
?
的零行,得
B
0

?
0
,它是
n?
?
n?c
?
矩阵,
B
0
n
阶梯形矩阵,从而
是上三角矩阵。

b
n n
?0
?b
n?1 n?1
?0??b
ii
都不为
0

行行

A
?
???Br???E
?

?
就是解。
??????
??
????
??
?? ??
??????

a
11
a
21
一个
n
阶行列式
?
a
n1
①是
n!
项的代数和
a
12
a
22
?
a
n2
?
a1n
?
a
2n
的值:
??
?
a
nn
②每一项是
n
个元素的乘积,它们共有
n!

a
1j1
a
2j
2
?a
nj
n
其中
j
1
j
2
?j
n

1,2,?,n
的一个全排列。

a
1j
1
?a
nj
n
前面 乘的应为
?
?1
?
?
?
j
1
j
2
?j
n
?

?
?
j
1
j2
?j
n
?
的逆序数

?
j
1
j
2
?
j
n
?
?
jj
?
j
?
??
?1a
1j
a
2j
?
12n< br>12
?
a
nj
n

?
?
n
?
n?1
?
?
21
?
?C
n
2
?

代数余子式

M
ij

a
ij
的余子式。

A
ij
?
?
?1
?
i?j
n
?
n ?1
?

2
M
ij

定理:一个行列式的值
D
等于它的某一行(列),各元素与各自代数余子式乘积之和。
word文档 可编辑


D?a
21
A
21
?a
22
A
22
???a
2n
A
2 n

一行(列)的元素乘上另一行(列)的相应元素代数余子式之和为
0


范德蒙行列式

1
a
1
1
?
1
a
1
?
a
n
2

?
?
(a
j
?a
i
)

C
n
i?j

乘法相关

A B

?
i,j
?
位元素是
A
的第
i
行和
B
的第
j
列对应元素乘积之和。

C< br>ij
?a
i1
b
1j
?a
i2
b
2 j
???a
in
b
nj


乘积矩阵的列向量与行向量
(1)设
m?n
矩阵
A
??
?
1
,
?
2
,
?
,
?n
?

n
维列向量
?
?
?
b
1
,b
2
,
?
,b
n
?
,则
T

A
?
?b
1
?
1
?b
2
?
2
???b
n
?
n

矩阵乘法应用于方程组
方程组的矩阵形式

Ax?
?

?
?
?
?
b,b,
?
,b
?
?

T
12m
方程组的向量形式

x
1
?
1
? x
2
?
2
???x
n
?
n
?
?< br>
(2)设
AB?C


A B
?
?
A
?
1
,A
?
2
,
?
,A
?
s
?


ri
?A
?
i
?b
1i
?
1
?b
2i
?
2
???b
ni
?
n


AB
的第
i
个列向量是
A
的列向量组的线性组合,组合系数 是
B
的第
i
个列向量
的各分量。

AB
的第
i
个行向量是
B
的行向量组的线性组合,组合系数 是
A
的第
i
个行向量
的各分量。
矩阵分解
当矩阵
C
的每个列向量都是
A
的列向 量的线性组合时,可把
C
分解为
A
与一
个矩阵
B
的 乘积
特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题
word文档 可编辑

?
?
1
?
?
0

?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
?
?
0
?
?
0
?
0
?
?
?
2
00
?

?
?
?
1
?
1
,
?
2
?
2
,
?
,
?
n
?
n
?

?
0
?
0
?
00
?
n
?
?
对角矩阵从右侧乘一矩阵
A
,即用对角线上的元素依次乘
A
的各列向量
对角矩阵从左侧乘一矩阵
A
,即用对角线上的元素依次乘
A
的各行向量
于是
AE?A

EA?A


A
?
kE
?
?kA

?
kE
?< br>A?kA

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的
k
次方幂只须把每个对角线上元素作
k
次方幂
对一个
n
阶矩阵
A
,规定
tr
?< br>A
?

A
的对角线上元素之和称为
A
的迹数。
于是
00
?
??
?
?
?
??
?
T
k
T
k?1
??
T
?
?
tr
?
??
T
?
?
??
T

?
T
?
?tr
?
??
T
?

k?1
其他形式方阵的高次幂也有规律
?
101
?
??
例如:
A?
?
020
?

?
101
?
??
初等矩阵及其在乘法中的作用
( 1)
E
?
i,j
?
:交换
E
的第
i,j< br>两行或交换
E
的第
i,j
两列
(2)
E< br>?
i(c)
?
:用数
c
?
?0
?

E
的第
i
行或第
i

(3)
E
?
i,j(c)
?
:把
E
的第
j
行的c
倍加到第
i
行上,或把
E
的第
i
列的
c
倍加到第
j

上。
初等矩阵从左(右)侧乘一个 矩阵
A
等同于对
A
作一次相当的初等行(列)变换

乘法的分块法则
一般法则:在计算两个矩阵
A

B
的乘积 时,可以先把
A

B
用纵横线分割成若干小
矩阵来进行,要求
A
的纵向分割与
B
的横向分割一致。

两种常用的情况
(1)
A,B
都分成4块

word文档 可编辑


A?
?
?
?< br>A
11
?
A
21
A
12
??
B11
?

B?
?
??
BA
22
??< br>21
B
12
?
?

?
B
22
?
其中
A
i1
的列数和
B
1j
的行数相等,
A
i2
的列数和
B
2 j
的行数相关。
?
A
11
B
11
?A
1 2
B
21

AB?
?
?
AA?AB
2221
?
2111
(2)准对角矩阵
A
11
B
12
?A
12
B
22
?
?

A< br>21
B
12
?A
22
B
22
?
?< br>?
A
11
?
?
0

?
?
?
0
?

0
A
22< br>0
0
?
?
?
0
?
?

?< br>?
?
A
kk
?
?
?
0
B
2 2
?
0
0
??
A
11
B
11
??
?
0
??
0
?
??
??
??
?< br>?
B
kk
?
??
0
?
0
A
22
B
22
0
?
?
?
?
0
??

?
?
A
kk
B
kk
?
?
0
?
A
11
?
?
0
?
?
?
?
0
?
0
A
22
0
0
??B
11
??
?
0
??
0
??
????
?
?
A
kk
?
??
0
?

矩阵方程与可逆矩阵

两类基本的矩阵方程 (都需求
A
是方阵,且
A?0


?
I
?
Ax?B

?
II
?
xA?B

(I)的解法:


AB???Ex

????
(II)的解法,先化为
Ax?B

TTT

AB?Ex

TTT
????
?1
通过逆求解:
Ax?B

x?AB


可逆矩阵及其逆矩阵

定义:设
A

n
阶矩阵, 如果存在
n
阶矩阵
H
,使得
AH?E
,且
HA?E
,则称
A

可逆矩阵,称
H

A
的逆矩阵 ,证作
A

定理:
n
阶矩阵
A
可逆
?A?0

?1
word文档 可编辑


A
的方程(初等变换法)
?1
??EA
?1

AE?

伴随矩阵
??

??
?< br>A
11
?
?
A
12

A*?
?
?
?
?
A
?
1n
线性表示
A
21
A
22
?
A
2n
An1
?
?
?
A
n2
?
T
??
?A

ij
?
??
?
?
A
nn?
?
?


?
可以用
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
线性表示 ,即
?
可以表示为
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
的线性组合,
也就是存在
c
1
,c
2
,
?
,c
s
使得
c
1
?
1
?
c
2
?
2
?
?
?
c
s
?
s
?
?

记号:
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s


线性相关性
线性相关:存在向量
?
i
可用其它向量
?
1
,
?
,
?
i ?1
,
?
i?1
,
?
,
?
s
线性 表示。
线性无关:每个向量
?
i
都不能用其它向量线性表示
定义 :如果存在不全为
0

c
1
,c
2
,
?< br>,c
s
,使得
c
1
?
1
?c
2?
2
???c
s
?
s
?
0
则称
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
线性相关,否则称
?
1
,
?
2
,
?
,< br>?
s
线性无关。
即:
?
1
,
?< br>2
,
?
,
?
s
线性相(无)关
?x
1
?
1
???x
s
?
s
?
0
有( 无)非零解

?
?
?
1
,
?
2
,?,
?
s
?
x?0
有( 无)非零解

极大无关组和秩
定义:
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
的一个部分组
?
I
?
称为它的一个极大无关组,如果满足:
i)
?
I
?
线性无关。
ii)
?
I
?
再扩大就相关。
word文档 可编辑


?
I
?
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s

?
II
?
?
?
1
?
?
s
?
?
I
?

定义:规定
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
的秩
?

?
?
1
,
?
2
,?,
?
s
?
?#
?
I
?

如果
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
每个元素都是零向量,则规定其秩为
0


0?
?

?
?
1
,?,
?
s
?
?min
?
n,s
?



有相同线性关系的向量组
定义: 两个向量若有相同个数的向量:
?
1
,
?
2
,
?< br>,
?
s
,
?
1
,
?
2
,< br>?
,
?
s
,并且向量方程

x
1< br>,
?
1
?x
2
?
2
???x
s?
s
?0

x
1
?
1
?x
2
?
2
???x
s
?
s
?0
同解,则称它们 有相同的
线性关系。
①对应的部分组有一致的相关性。

?
1
,
?
2
,
?
4
的对应部分组
?
1
,
?
2
,
?
4


?
1
,
?
2
,
?
4
相关,有不 全为
0

c
1
,c
2
,c
4
使得

c
1
?
1
?c< br>2
?
2
?c
4
?
4
?0


?
c
1
,
c< br>2
,0,
c
4
,0,
?
,0
?
是< br>x
1
?
1
?x
2
?
2
???xs
?
s
?
0
的解,
从而也是
x
1
?
1
?x
2
?
2
? ??x
s
?
s
?0
的解,则有

c
1
?
1
?c
2
?
2
?c
4
?
4
?0


?
1
,
?
2
,
?
3
也相关。
②极大无关组相对应,从而秩相等。
③有一致的内在线表示关系。
设:
A
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
?

B
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
?
,则

x
1
?
1
?x< br>2
?
2
???x
s
?
s
?0

Ax?0


x
1
?
1
? x
2
?
2
???x
s
?
s
?0

Bx?0


?
1
,
?
2
,
?
,
?
s

?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
有相同的线性关系即
A x?0

Bx?0
同解。
反之,当
Ax?0
与< br>Bx?0
同解时,
A

B
的列向量组有相同的线性关系。

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矩阵的秩
定理:矩阵
A
的行向量组的秩=列向量组的秩
规定
r
?
A
?
?
行(列)向量组的秩。

r
?
A
?
的计算:用初等变换化
A
为阶梯形矩阵< br>B
,则
B
的非零行数即
r
?
A
?

命题:
r
?
A
?
?A
的非零子式阶数的最大值。


方程组的表达形式

?
a
11
x
1
?a
12
x
2
?
?
?a
1n
x< br>n
?b
1
?
ax?ax?
?
?ax?b
?< br>2112222nn2
1.
?

?
?
??
a
m1
x
1
?a
m2
x
2
?
?
?a
mn
x
n
?b
m
2.
Ax?
?

?
是解
?A
?
?
?

3.
x
1
?
1
?x
2
?
2
???x
n
?
n
?
?
有解
?
?
??
1
,
?
2
,
?
,
?
n


基础解系和通解
1.
Ax?0
有非零解时的基础解系

?
1
,?
2
,
?
,
?
e

Ax?0
的基础解系的条件:
①每个
?
i
都是
Ax?0
的解

?1
,
?
2
,
?
,
?
e
线性无 关

Ax?0
的每个解
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
e


l?n?
?
?
A
?




通解
①如果
?
1
,
?2
,
?
,
?
e

Ax?0
的一个基础 解系,则
Ax?0
的通解为
word文档 可编辑

< br>c
1
?
1
?c
2
?
2
???ce
?
e

c
i
任意
②如果
?
0

Ax?
?
?
?
?0
?
的一 个解,

Ax?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
e

Ax?0
的基础解系,
的通解 为

?
0
?c
1
?
1
?c
2
?
2
???c
e
?
e

c
i
任意

特征向量与特征值
定义:如果
?
?0< br>,并且
A
?

?
线性相关,则称
?

A
的一个特征向量。此时,有数
?
,使得
A
?
?
??
,称
?

?
的特征值。

A
是数量矩阵
?
E
,则对每个
n
维列向量
?
A
?
?
??
,于是,任何非零列向量都

?
E
的特征向量,特征值都是
?

①特征值有限特征向量无穷多

A
?
?
??

A
?
c
?
?
?cA
?
?c
??
?
?
?
c
?
?

A
?
1
?
??
1
?

?
?A
?
c
1
?
1
?c
2
?
2
?
?c
1
A
?
1
?c
2< br>A
?
2
?
?
?
c
1
?
1< br>?c
2
?
2
?

A
?
2
?
??
2
?
②每个特征向量有唯一特征值,而有许多特征向量有相同的特征值。
③计算时先求特征值,后求特征向量。

特征向量与特征值计算

A
?
?
??
,
?
?0


?
?
?
E?A
?
?
?0,
?
?0


?
?

?
?
E?A
?
x?0
的非零解
命题:①
?

A
的特征值
?
?
E?A?0


?
是属于
?
的特征向 量
?
?

?
?
E?A
?
x?0
的非零解
称多项式
xE?A

A
的特征多项式。

?

A
的特征值
?
?

A
的特征多项式
x E?A
的根。

?
的重数:
?
作为
xE?A
的根的重数。

n
阶矩阵
A
的特征值有
n
个:
?

1
,
?

2
,?,
?

n
,可能其中有的不是实数,有的是多重的。
word文档 可编辑

计算步骤:
①求出特征多项式
xE?A

②求
xE?A
的根,得特征值。
③对每个特征值
?

i
,求
?
?

i
E?A
?
x?0
的非零解,得属于
?

i
的特征向量。

n阶矩阵的相似关系

A< br>,
B
是两个
n
阶矩阵。如果存在
n
阶可逆矩阵
U
,使得
U
相似,记作
A~B


n阶矩阵的对角化
基本定理
A
可对角化
?
A

n
个线性无关的特征向量。
设可逆矩阵
U
?
?
?
1
,
?2
,
?
,
?
n
?
,则
?1
AU?B
,则称
A

B
?
?
1
?
?
0
?1

UAU?
?
0
?
?
0
?

0
?
2
0
0
0
?
?
00
?

?
0
?
?
0
?
n
?
?
00
?
?
00
?
?
?
?
1
?< br>1
,
?
2
?
2
,
?
,
?< br>n
?
n
?

?
0
?
?
0< br>?
n
?
?
0
0
?
?
1
?< br>?
0
?A
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
?
?U
?
0
?
?
0
?
?
2
0
0

?A
?
i
?
?
i
?
i

i?1,2,?,n

判别法则

A
可对角化?
对于
A
的每个特征值
?

?
的重数
?n?
?
?
?
E?A
?

计算:对每个 特征值
?
i
,求出
?
?
i
E?A
?
x?0
的一个基础解系,把它们合在一起,得

n
个线性无关的特征向量,
?
1
,
?
,
?
n
。令
U
?
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
?
,则
?
?
1
?
?
0
?1

UAU?
?
0
?
?
0
?

二次型(实二次型)
word文档 可编辑
0
?
2
0< br>0
0
?
?
00
?
,其中
?
i

?
i
的特征值。
?
0
?
?
0< br>?
n
?
?
0

二次型及其矩阵
一个
n
元二次型的一般形式为

f
?
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?
?
?
a
i?1
n
2
iii
x?2
?
a
ij< br>x
i
x
j

i?j
只有平方项的二次型称为标准二次型。
2222
形如:
x
1
?x
2
???x
2
p
?x
p?1
???x
p?q

n
元二次型称为规范二次型。
对每个
n
阶实矩阵
A
,记
x
?
?
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?
,则
xAx
是一个二次 型。
T
T

f
?
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?
?x
T
Ax


A
的秩
?
?
A
?
为这个二次型的秩。
标准二次型的矩阵是对角矩阵。
规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。

可逆线性变量替换

设有一个
n
元二次型
f?
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?
,引进新的一组变量
y
1
,y
2
,
?
,y
n
,并把
x
1
,x
2
,
?
,x< br>n
用它们表示。
?
x
1
?c
11
y
1
?c
12
y
2
?
?
?c
1n
y
n
?
c
11
?
?
x?cy?cy?
?< br>?cy
?
2
?
c
212112222nn

?
(并要求矩阵
C?
?
?
?
?
??
c
?
?
n1
?
x
n
?c
n 1
y
1
?c
n2
y
2
?
?
?c< br>nn
y
n
阵)
代入
f
?
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?
,得到
y
1
,
?
,y
n
的一个二次型
g
?
y
1
,
?
,y
n
?
这样的操作称为对
?
c
1n
?
?
c
22
?
c
2n?
是可逆矩
???
?
?
c
n2
?
c< br>nn
?
?
c
12
f
?
x
1
?x
n
?
作了一次可逆线性变量替换。

Y
?< br>?
y
1
,y
2
,
?
,y
n
?
,则上面的变换式可写成
T

x?CY


f
?
x
1
?
x
n
?
?
xAx
?
YCACY
?
g?
y
1
,
?
,y
n
?

TTT
于是
g
?
y
1
,?y
n< br>?
的矩阵为
CAC

T

C
T
AC
??
T
?C
T
A
T
C
T
? C
T
AC


实对称矩阵的合同
word文档 可编辑

两个
n
阶实对称矩阵
A

B
, 如果存在
n
阶实可逆矩阵
C
,值得
CAC?B
。称
A

T
B
合同,记作
A
~
?
B

命题:二次型
f
?
x
1
?x
n
?
?x
T
Ax
可用可逆线性变换替换化为

g
?
y
1
?
y
n
?
?Y
T
BY? A
~
?
B

二次型的标准化和规范化
1.每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。
也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。

A
是 一个实对称矩阵,则存在正交矩阵
Q
,使得
D?Q
?1
AQ
是对角矩阵。
T?1

QAQ?QAQ?D

A~D

A
~
?
D

2.标准化和规范化的方法
①正交变换法
② 配方法
3.惯性定理与惯性指数
定理:一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方 项的系数中,大于0
的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的,分别称为原二次型的正、负惯性指数 。
一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的,也即相应的规范对角矩阵是
唯一的。
用矩阵的语言来说:一个实对称矩阵
A
合同于唯一规范对角矩阵。
定理 :二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变;两个二次型可互相转化
的充要条件是它们的正、 负惯性指数相等。
实对称矩阵的正(负)惯性指数就等于正(负)特征值的个数。

正定二次型与正定矩阵
定义:一个二次型
f
?< br>x
1
,x
2
,
?
,x
n
?
称为正定二次型,如果当
x
1
,
?
,x
n
不全为0 时,
f
?
x
1
,x
2
,?,x
n
?
?0

例如,标准二次型
f
?
x
1
,x
2
,?,x
n
?
?d
1
x
1
?d
2
x
2
???d
n
x
n
正定
?d
i
?0

222
i?1,?,n

(必要性“
?
”,取
x
1
?1

x
2
???x
x
?0
,此时
f
?
1,0,?,0
?
?d
1
?0
同样
可证每个
di
?0

word文档 可编辑

TT
实对称矩阵正定即二次型
xAx
正定,也就是:当
x?0
时,
xAx ?0

?
?

1
?
?
0
例如实对角矩阵
?
0
?
?
0
?
0
?

2
0
0
0
?
?
00
?
正定< br>?
?

i
?0

i?1,?,n

?
0
?
?
0
?

n
?
?
0
定义:设
A
是一个
n< br>阶矩阵,记
A
r

A
的西北角的
r
阶小方阵 ,称
A
r

A
的第
r

顺序主子式(或< br>r
阶顺序主子式)。


附录一 内积,正交矩阵,实对称矩阵的对角化

一.向量的内积
1.定义
两个
n
维实向量
?
,
?
的内积 是一个数,记作
?
?
,
?
?
,规定为它们对应分量乘积之和 。
?
a
1
??
b
1
?
????
a
?
2
??
b
2
?
T
?
?,?
?

?
?
??
?
?
,则
?
?
,
?
?
?a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n

?
??

????
?
a
??
b
?
?
n
??
n
?
2.性质
①对称 性:
?
?
,
?
?
?
?
?
,
?
?

②双线性性质:
?
?
1
?
?
2
,
?
?
?
?
?
1
,
?
?
?
?
?
2
,
?
?


?
?
,
?
1
?
?
2
?
?
?
?
,
?
1
?
?
?
?
,
?
2
?


?
c
?
,
?
?
?c
?
?
,
?
?
?
?
?
,c
?
?

③正交性:
?
?
,
?
?
?0
,且
?
?
,
?
?
?0?
?
?0

?
?
,
?
?
?
3.长度与正交
向量
?
的长度
?
?
?
a
i?1
n
2
i

?
?
,
?
?
?
?
a
i
2
i?1
n


?
?0?
?
?0

?

c
?
?c
单位向量:长度为
1
的向量
word文档 可编辑

?
2
?
??
10
????
?
2
?
????
?

?0
?

?
1
?

?
0
??
0
??
0
?
?
????
?
2
?
?
??
?
2
?

?
?0,则
?
1
?
?
?
?1
是单位向量,称为
?
的单位化。
??
?
两个向量?
,
?
如果内积为0:
?
?
,
?
?< br>?0
,称它们是正交的。
如果
n
维向量组
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
两两正交 ,并且每个都是单位向量,则称为单位正交向
量组。
例1.如果向量组
?< br>1
,
?
2
,
?
,
?
s
两两 正交,并且每个向量都不为零向量,则它们线性无
关。
证:记
A
?
?

?
1
,
?
2,
?
,
?
s
?
,则
?
?
1
?
?
0

A
T
A?
?
?
0
?
0
?
2
00
2
?
2
0
0
0
?
0
0?
?
0
?
?

0
?
2
?
s
?
?

rA A?s,?r
?
A
?
?s

r
?
?
1
,
?
,
?
s
?
?s

T
??
例2.若
A
是一个实的矩阵,则
rAA?r
?
A
?

T
??
二.正交矩阵
一个实
n
阶矩阵
A
如果满足
AA?E
,就 称为正交矩阵。
A?A

定理
A
是正交矩阵
?A
的行向量组是单位正交向量组。

?A
的列向量组是单位正交向量组。
例3.正交矩阵
A
保持内积,即

?
A
?
,A
?
?
?
?
?
,
?
?


A
?
?
TT?1
?

TTT
证:
?
A
?
,A
?
??
?
AA
?
?
??
?
?
?
,
?
?

word文档 可编辑

?
1
?
??
例4.(04)
A
是3阶正交 矩阵,并且
a
11
?1
,求
Ax?
?
0
?
的解。
?
0
?
??
三.施密特正交化方法
这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。


?
2
?
?
?
?
1
?
?
? c
?


?
1
,
?
2
,
?
3
线性无关
①正交化:令
?
1
?
?
1


?
2
?
?
2
?
?
?
1
,
?
2
?
?

?
?
1
,
?
1
?
1
(设
?
2
?
?
2
?k
?
1

?
?
2
,
?
1
?
?
?
?
2
,
?
1
?
?k
?
?
1
,
?
1
?


k?
?
?
2
,
?
1
?
时,
?
,
?
正交。)
21
?
?
1
,
?
1
?
?
?1
,
?
3
??
?
,
?
?
?< br>1
?
23
?
2

?
?
1
,
?
1
??
?
2
,
?
2
?
?
?
1
?

?
2
?
2

?
3
?
3

?
1
?
3
?
2

?
3
?
?
3
?
②单位化:令
?
1
?

?
1
,
?
2
,
?
3
是与
?
1
,
?
2
,
?
3
等价的单位正交向量组。
四.实对称矩阵的对角化

A
是一个实的对称矩阵,则

A
的每个特征值都是实数。
②对每个特征值
?
,重数< br>?n?r
?
?
E?A
?
。即
A
可以对角化。
③属于不同特征值的特征向量互相正交。
于是:存在正交矩阵
Q
,使得
QAQ
是对角矩阵。
对每个 特征值
?
,找
?
?
E?A
?
x?0
的一个 单位正交基础的解,合在一起构造正交矩阵。
word文档 可编辑
?1


A

6
阶的有
3
个特征值
?< br>1
(二重),
?
2
(三重),
?
1
(一重)

?
1

2
个单位正交特征向量
?
1
,
?
2


?
2

3
个单位正交特征向量
?
3
,
?
4
,
?
5


?
3
的一个单位特征向量
?
6

Q?
?
?
1
,
?
2
,
?
3< br>,
?
4
,
?
5
,
?
6
?< br>
例5.(04)
A

3
阶实对称矩阵,
r
?
A
?
?2

6
是它的一个二重特征值,
?
1
??
2
??
1
?
??????

?
1
?

?
1
?

?
? 2
?
都是属于
6
的特征向量。
?
0
??
1
??
3
?
??????
(1)求
A
的另一个特征值。
(2)求
A

解:(1)另一个特征值为
0

?
x
1
?
??
(2)设
?
x
2
?
是属于
0
的特征向量,则 ?
x
?
?
3
?
?
x
1
?x< br>2
?0
?

?
2x
1
?x
2
?x
3
?0

?
x?2x?3x?0
23
?
1
此方程组
n?3

r
?
A
?
?2

n?r
?
A
?
?1
,基础解系包含一个解,任何两个解都相关。
于是,每个非零解都是属于
0
的特征向量。
?
110
??
101
??
1
?
??????

?
211
?
?
?
01?1
?

?
?
?
?1
?
是一个解。
?
1?23< br>??
000
??
?1
?
??????
?
12 1
??
6120
?
????

A
?
11?1
?
?
?
660
?

?
01?1
??
060
?
????
?
11 0660
??
100422
?
????
11266
?
?
?
01024?2
?

?
21
?< br>1?1?1000
??
0012?24
?
????
word文 档 可编辑

2
??
42
??

A?
?
24?2
?

?
2?24
?
??


附录二 向量空间

1.
n
维向量空间及其子空间

记为
R
由全部
n
维实向量构成的集合,这是一个规定了加法和数乘这两种线性 运算的
集合,我们把它称为
n
维向量空间。

V

R
的一个子集,如果它满足
(1)当
?< br>1
,
?
2
都属于
V
时,
?
1
?
?
2
也属于
V

(2)对
V
的每个元素
?
和任何实数
c

c
?
也在
V
中。
则称
V

R
的一个子空间。
n
例如
n
元齐次方程组
AX?0
的全部解构成R
的一个子空间,称为
AX?0
的解空间。
n
n
n
但是非齐次方程组
AX?
?
的全部解则不构成
R
的子空间。
对于
R
中的一组元素
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
,记它们的全部线性组合的集合为

L
?
?
1
,
?
2
,?,
?
s
?
?c
1
?
1
?c
2
?
2< br>???c
s
?
s
c
i
任意
,它也是
R
的一个子空间。
n
n
n
??

2.基,维数,坐标


V

R
的一个非
0
子空间(即它含有非
0
元素),称
V
的秩为其维数,记作
dimV


V
的排了次序的极大无关组为
V
的基。
例如
A X?0
的解空间的维数为
n?r
?
A
?
,它的每个有序的基 础解系构成基。
又如
dim
?
L
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
?
?
?
r
?
?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
?

?
1
,
?
2
,
?
,
?
s
的每个有序的极大无关
组构成基。

?
1
,
?
2
,
?
,< br>?
k

V
的一个基,则
V
的每个元素
?都可以用
?
1
,
?
2
,
?
,
?
k
唯一线性表
示:

n
?
?c
1
?
1
?c
2
?
2
???c
k
?
k

word文档 可编辑

称其中的系数
?< br>c
1
,c
2
,
?
,c
k
?

?
关于基
?
1
,
?
2
,
?,
?
k
的坐标,它是一个
k
维向量。
坐标有线性性质:
(1)两个向量和的坐标等于它们的坐标的和:
如果向 量
?

?
关于基
?
1
,
?
2,
?
,
?
k
的坐标分别为
?
c
1,c
2
,
?
,c
k
?

?
d
1
,d
2
,
?
,d
k
?
,则?
?
?
关于基
?
1
,
?
2
,
?
,
?
k
的坐标为

?
c
1
?
d
1
,c
2
?
d
2
,?
,c
k
?
d
k
?
?
?
c< br>1
,c
2
,
?
,c
k
?
?
?
d
1
,d
2
,
?
,d
k
?
(2)向量的数乘的坐标等于坐标乘数:
如果向量
?
关于基
?
1
,
?
2
,
?
,
?< br>k
的坐标为
?
c
1
,c
2
,
?,c
k
?
,则
c
?
关于基
?
1
,
?
2
,
?
,
?
k

坐标为< br>?
cc
1
,cc
2
,
?
,cc
k< br>?
?
c
?
c
1
,c
2
,
?
,c
k
?

坐标的意义:设
V
中的一个 向量组
?
1
,
?
2
,
?
,
?t
关于基
?
1
,
?
2
,
?
,
?
k
的坐标依次为
?
1
,
?
2
,
?
,
?
t
,则
?
1
,
?
2
,
?
,
?
t

?
1
,
?
2
,
?
,
?
t
有相同的线性关系。
于是,我们可以用坐标来判断向量组的相关性,计算秩和极大无关组等等。

3.过渡矩阵,坐标变换公式


?
1
,
?2
,
?
,
?
k

?
1
,?
2
,
?
,
?
k
都是
V
的一 个基,并设
?
1

?
1
,
?
2
,
?
,
?
k
中的坐标为
?
c
1i
, c
2i
,
?
,c
ki
?
,构造矩阵
?
c
11
?
?
c
21

C ?
?
?
?
?
c
?
k1
?
c
1k
?
?
c
22
?
c
2k
?

?
???
?
c
k2
?
c
kk
?< br>?
c
12

C

?
1
,< br>?
2
,
?
,
?
k

?
1< br>,
?
2
,
?
,
?
k
的过渡矩阵。

?
?
1
,
?
2
,
?,
?
k
?
?
?
?
1
,
?2
,
?
,
?
k
?
C

如果
V
中向量
?
在其
?
1
,
?
2
,
?
,
?
k

?
1
,
?
2
,
?
,
?
k
中的坐标分别为

x
?
?
x
1
,x
2
,
?
,x
k
?

y
?
?
y
1
,y2
,
?
,y
k
?
,则
TT


?
?
?
?
1
,
?
2,
?
,
?
k
?
x

?
??
?
1
,
?
2
,
?
,
?k
?
y?
?
?
1
,
?
2
,< br>?
,
?
k
?
Cy

word文档 可编辑

于是关系式:

x?Cy

称为坐标变换公式。

4.规范正交基

如果
V
的一基
?
1
,
?
2
,
?
,?
k
是单位正交向量组,则称为规范正交基。
两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。

?
的坐标为?
c
1
,c
2
,
?
,c
k
?

?
的坐标为
?
d
1
,d
2
,< br>?
,d
k
?


?
?
,
?
?
?c
1
d
1
?c
2
d
2
???c
k
d
k

两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。


做题思路
先化简再计算
T
例5.(03)设
n
维列向量
?
?
?
a,0,?,0,a
?

a?0
。规定
A?E?
??

T
1
B?E?
??
T
。 已知
AB?E
,求
a

a
注意化简技巧(中间过程也很重要)
?
10
?
?
01
例13.(00)己知
A *?
?
10
?
?
0?3
?
0
0
1
0
0
?
?
0
?
?1?1
B
ABA ?BA?3E
. ,求矩阵,使得
?
0
?
8
?
?< br>证明一个矩阵可逆切入点 行列式=0 ,证明Ax=E ,
证明两式相等切入点 AB=某个等式=BA
(从对称性想到AB可逆BA也可逆的着手点
AB?E?BA?E

例20.设
n
阶矩阵
A

B
满足等式
AB?aA? bB

ab?0
, 证明:
AB?BA




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人力资源管理做什么-十位数


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