人教版高一数学函数复习教案(有答案)

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

高一函数复习
一、函数的概念与表示
1、映射
映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法 则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B
中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、 B以及A到B的对应法则f）叫做集合A
到集合B的映射，记作f：A→B。
注意点：（1）对映射定义的理解；
（2）判断一个对应是映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.
给定一个集合
A
到集合
B
的映射，且
a?A,b?B
．如果元素
a和元素
b
对应，那么我们把元
素
b
叫做元素
a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原象．
注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
【例题1】
设集合A＝｛x｜0 ≤ x ≤ 6｝，B＝｛y｜0 ≤ y ≤ 2｝，从A到B的对应法则f不是映射的是
（ ）.
A. f：x→y＝
1
x
2
1
11
B. f：x→y＝x C. f：x→y＝x D. f：x→y＝x
46
3
【变式练习1】
若
f:A?B
能构成映射，下列说法正确的有 （ ）
（1）
A
中的任一元素在
B
中必须有像且唯一；
（2）
A
中的多个元素可以在
B
中有相同的像；
（3）
B
中的多个元素可以在
A
中有相同的原像；
（4）像的集合就是集合
B
.

A
、1个
B
、2个 C、3个 D、4个
2、函数
构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域
两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.

1

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【例题1】
下列各对函数中，相同的是（ ）
A、
f(x)?lgx,g(x)?2lgx
B、
f( x)?lg
2
x?1
,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1)

x?1
C、
f(u)?
1?u1?v
D、f（x ）=x，
f(x)?
,g(v)?
1?u1?v
x
2
【例题2】
M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}
给出下列四个图形，其中能 表示从集合M到集
合N的函数关系的有 （ ）
y
2
1
O
1
2 x
2
1
O
1 2
x
y
3
2
1
O
1
2 x
y
2
1
O
1 2 x

y
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
【变式练习】

1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.
y?1,y?
x
B.
y?x?1
x
x?1,y?x
2
?1

C.
y?x,y?
3
x
3
D.
y?|x|,y?(x)
2

2．集合
M?
?
x? 2?x?2
?
，
N?
?
y0?y?2
?
，给出下列 四个图形，其中能表示以M为定义域，N
为值域的函数关系的是（ ）





3．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）

【巩固练习】

2

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1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
⑴
y
1
?
⑵
y
1
?
(x?3)(x?5)
，
y
2
?x?5
；
x?3
x?1x?1
，
y
2
?(x?1)(x?1)
；
⑶
f(x)?x
，
g(x)?x
2
； ⑷
f(x)?
3
x
4
?x
3
，
F(x)? x
3
x?1
；
⑸
f
1
(x)?(2x?5)2
，
f
2
(x)?2x?5
。
A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸
2、设
x
取实数， 则
f
(
x
)与
g
(
x
)表示同一个函数的 是（ ）
x
(x)
2
A
、
f(x)?x
，
g(x)?x

B
、
f(x)?
，
g(x)?

2
x
(x)
2
x
2
?9
C、
f(x)?1
，
g(x)?(x?1)
D、
f(x)?
，
g(x)?x?3

x?3
0
3 、下列四个函数中，与
y
=
x
表示同一函数的是（ ）
A
.
y
= (
x
)
2
B
.
y
=
x

3
3
C.
y
=
x

2

x
2
D.
y
=
x
4．下列图象中表示函数图象的是 （ ）



0
x
0
x
0
x
0
x
y y y y
A B C D
5．已知集合
A?
?
1,2,3 ,k
?
,B?4,7,a
4
,a
2
?3a
，且a?N,x?A,y?B
，使
B
中元素
y?3x?1
和
A
*
??
中的元素
x
对应，则
a,k
的值分别为（ ）
A．
2,3
B．
3,4
C．
3,5
D．
2,5

二、函数的解析式与定义域
1、函数解析式的七种求法
? 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】
设
f(x )
是一次函数，且
f[f(x)]?4x?3
，求
f(x)
．
3

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解：设
f(x)?ax?b

(a?0)
，则
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a
2
x?ab?b

?
a?2
?
a
2
?4
?
a??2
?
?

?
?

　或　　
?
?< br>b?3
?
ab?b?3
?
b?1
?f(x)?2x?1　　或 　　f(x)??2x?3

? 二、配凑法：已知复合函数
f[g(x)]
的表达式，求
f(x)
的解析式，
f[g(x)]
的表达式容易
配成
g(x)
的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数
f(x)
的定义域不 是原复合函数
的定义域，而是
g(x)
的值域。
【例2】
已知
f(x?)?x
2
?
1

(x?0)
，求
f(x)
的解析式．
2
x
1 11
解：
?f(x?)?(x?)
2
?2
，
x??2

xxx
2
1
x

?f(x)?x?2

(x?2)

? 三、换元法：已知复合函 数
f[g(x)]
的表达式时，还可以用换元法求
f(x)
的解析式。与配< br>凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
【例3】
已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x?1)
．
解：令
t?x?1
，则
t?1
，
x?(t?1)
2

f(x?1)?x?2x

?
f(t)?(t?1)
2
?2(t?1)?t
2
?1,

?f(x)?x
2
?1

(x?1)

?f(x?1)?(x?1)
2
?1?x
2
?2x

(x?0)

? 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

【例4】< br>已知：函数
y?x
2
?x与y?g
(
x
)
的 图象关于点
(?2,3)
对称，求
g(x)
的解析式
4

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解：设
M(x, y)
为
y?g(x)
上任一点，且
M
?
(x
?,y
?
)
为
M(x,y)
关于点
(?2,3)
的对称点
?
x
?
?x
?
2
??2
?x
?
??x?4
则
?
，解得：
?
，
y
?
?y
?
y?6?y
?
?
?3
?
2
?
点
M
?
(x
?
,y
?
)
在
y?g(x)
上
?y
?
?x
?
2
?x
?

?
x
?
??x?4
把
?
代入得：
?y?6?y
?
6?y?(?x?4)
2
?(?x?4)

整理得
y??x?7x?6

2
?
g(x)??x
2
?7x?6

? 五、构造 方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造
方程组，通过解方程组求 得函数解析式。
【例5】
设
f(x)满足f(x)?2f(
)
?x
,
求
f(x)

解
?
f(x)?2f()?x
①
1
x
1
x< br>111
，得：
f()?2f(x)?
②
xxx
x2
解① ②联立的方程组，得：
f(x)???

33x
1
【例6】
设
f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇函数，又
f(x)?g(x)?
,
试求
f(x)和g(x)
的解 析式
x?1
显然
x?0,
将
x
换成
解
?
f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇函数，
?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)
又
f(x)?g(x)?
1
① ，
x?1
11
用
?x
替换
x
得：
f(?x)?g(?x)??
即
f(x)?g(x)??
②
x?1x?1
11
解① ②联立的方程组，得
f(x)?
2
，
g(x)?
2

x?1x?x
? 六、赋值法：当题中所给变量较多 ，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”
的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而 求得解析式。
5

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【例7】
已知：
f(0)?1
，对于任意实数x、y，等式
f(x?y) ?f(x)?y(2x?y?1)
恒成立，求
f(x)

解对于任意实数x、y，等式
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
恒成立，
2
不妨令
x?0
，则有
f(?y)?f(0)?y(?y?1)?1 ?y(y?1)?y?y?1

再令
?y?x
得函数解析式为：
f(x)?x?x?1

2
? 七、递推法：若题中所给条 件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过
迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式 。
【例8】
设
f(x)
是定义在
N
?
上的函数， 满足
f(1)?1
，对任意的自然数
a,b
都有
f(a)?f(b) ?f(a?b)?ab
，求
f(x)

解
?

f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，a,b?N
?
，
?
不 妨令
a?x,b?1
，得：
f(x)?f(1)?f(x?1)?x
，
又
f(1)?1,故f(x?1)?f(x)?x?1
①
分别令①式中的
x?1,2n?1
得：
f(2)?f(1)?2,

f(3)?f(2)?3,
f(n)?f(n?1)?n,

将上述各式相加得：
f(n)?f(1)?2?3??n
，
?f(n)?1?2?3??n?
?f(x)?
n(n?1)

2
1
2
1
x?x,x?N
?

22
【变式练习】


1、已知
f
?
1?
?
?
1
?
1
?
?
2
?1
，求
f
?
x
?
的解析式。（换元法）
x
?
x

6

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2、设二次函数
y?f
?
x
?
的最小值等于4，且
f
?
0
??f
?
2
?
?6
，求
f
?
x
?
的解析式。（待定系数法）





3、已知
f(x?)?x
3
?





4、已知
f
(
x
－1)=3
x
－1，求
f(x)
；






5、 已知
f(x)
是一次函数，且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求
f(x)
；



7
1
x
1
，求
f(x)
；
x
3

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6、已知
f(x)
满足
2f(x)?f(
1< br>x
)?3x
，求
f(x)
．





7、
已知
f
?
x?1
?
?x ?2x
，求
f
?
x
?
。




8、
已知
f(x)
是一次函数，且
f
?
f
?
x
??
?4x?1
，求
f(x)
的解析式。




9、
设
f(x)
是R上的函数， 且满足
f
?
0
?
?1
，并且对任意实数
x,y，
f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?y
?
2x?y?1
?
，求
f
?
x
?的表达式。


8
有

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【巩固练习】

1．设函数
f(x)?2x?3,g(x?2)?f(x)
，则
g(x)
的 表达式是（ ）
A．
2x?1
B．
2x?1
C．
2x?3
D．
2x?7

2．函数
f(x )?
cx3
,(x??)
满足
f[f(x)]?x,
则常数
c
等于（ ）
2x?32
A．
3
B．
?3
C．
3或?3
D．
5或?3

1?x
2
1
(x?0)
3．已知< br>g(x)?1?2x,f[g(x)]?
，那么
f()
等于（ ）
x
2
2
A．
15
B．
1
C．
3
D．
30

2
4．已知
f (
1?x
)?
1?x
2
，则
f(x)
的解析式为（ ）
1?x1?x
A．
x2x2xx
B． C． D．
??
2222
1?x1?x1?x1?x
2
5．若函数
f(2x?1)?x?2x
，则
f(3)
= .
6．已知
f(2x?1)?x
2
?2x
，则
f(3)
=_________.
1?x
7．已知函数
f()?x
. 求：（1）
f(2)
的值；（2）
f(x)
的表达式．
1?x







8．已知
f(x)?ax
2
?bx?c
，
f(0)?0
，且
f(x?1)?f(x)?x?1
，试求
f(x)
的表达式.






9

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2、求函数定义域的主要依据：
（1）
f(x)
是整式时，定义域是全体实数．
（2）
f(x)
是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
（3）
f(x)
是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
（4）零（负）指数幂的底数不能为零．
（5）对数函数的真数必须大于零．
（6）指数函数、对数函数的底数必须大于零且不等于1.
（7）若
f(x)< br>是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初
等函数的定义域 的交集．
（8）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
f(x)
的定义域 为
[a,b]
，其复合函数
f[g(x)]
的定义域应由不等式
a? g(x)?b
解出．
（9）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 求函数定义域的两个难点问题
1、已知
f(x)
的定义域是[－2，5 ]，求
f(2x?3)
的定义域。




< br>2、已知
f(2x?1)
的定义域是[－1，3]，求
f(x)
的定义 域。





10

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【例1】
函数
y?log
0.5< br>(4x
2
?3x)
的定义域为 .



【例2】
设
f(x)?lg
2?x
2?x，则
f(
x
2
)?f(
2
x
)
的定义 域为__________.




【变式练习】
1 、求下列函数的定义域：（1）
y?
1
；（2）
y
x?3
x ?2?1
?
3
x?1?2
.





2．函数
y?
(x?1)
0
x?x
的定义域是_ ____________________。



3．已知函数
y?f(x?1)
定义域是
[?2，3]
，则
y?f(2x?1)
的定义域是（
A．
[0，
5
2
]
B.
[?1，4]
C.
[?5，5]
D.
[?3，7]
4．设函数
f(x)
的定义域为
[0，1]，则函数
f(x?2)
的定义域为__________。



11
）

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5．
f(2?x)?4?x
2
，求
f(x)
的定义域。




【巩固练习】
1．函数
y?
1 ?x
2x
2
?3x?2
的定义域为（ ）
A.
(??,1]
B.
(??,2]
C.
(??,?
1
)(?
1
22
,1]
2．已知函数
f(x)
的定义域为
[?1,2)
，则
f(x?1 )
的定义域为（ ）.
A．
[?1,2)
B．
[0,?2)
C．
[0,?3)
D．
[?2,1)
3．已知
y
=
f
(
x
+3)的定义 域为[1，3]，求
f
(
x
-1)的定义域.





12
D.
(??,?
1
)(?
1
22
,1]