高一数学函数的基本性质知识点及练习题有答案

函数的基本性质
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数
f
(
x
)定义域内的任意
x
都有
f
(－
x
) =－
f
(
x
)，则称
f
(
x
)为奇函数； 如果对于函
数
f
(
x
)定义域内的任意
x
都有f
(－
x
)=
f
(
x
)，则称
f(
x
)为偶函数。
如果函数
f
(
x
)不具有 上述性质，则
f
(
x
)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则< br>f
(
x
)既是奇
函数，又是偶函数。
注意：
1
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个
x
，则－
x
也○
一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对 称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2
确定
f
(－
x
)与
f
(
x
)的关系； ○
3
作出相应结论： ○
若
f
(－
x
) =
f
(
x
) 或
f
(－
x
)－
f
(
x
) = 0，则
f
(
x
)是偶函数；
若
f
(－
x
) =－
f
(
x
) 或
f
(－
x
)＋
f
(
x
) = 0，则
f
(
x
)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的 对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条
件是它的 图象关于
y
轴对称；
②设
f(x)
，
g(x)
的 定义域分别是
D
1
,D
2
，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇
?
奇=偶，偶+偶=偶，偶
?
偶=偶
2．单调性
（1）定义：一般地，设函数
y
=
f
(
x
)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间
D
内的任意两个自
变 量
x
1
，
x
2
，当
x
1
<
x
2
时，都有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)（
f
(
x
1
)>
f(
x
2
)），那么就说
f
(
x
)在区间
D
上是增函数（减函数）；
注意：
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2
必须是对于区间
D
内的任意两个自变量
x
1
，
x
2
；当< br>x
1
<
x
2
时，总有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
) ○
（2）如果函数
y
=
f
(
x
)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y
=
f
(
x
)在这一区间具有（严格的）
单调性，区间
D
叫做
y
=
f
(
x
)的单调区间。
（3）设复合函数
y
=
f
[g(
x
)]，其中
u
=g(
x
) ,
A
是
y
=
f
[g(
x
)]定义域的某个区间，
B
是映射g :
x
→
u
=g(
x
)
的象集：
①若
u
=g(
x
) 在
A
上是增（或减）函数，
y
=
f
(
u
) 在
B
上也是增（或减）函数，则函数
y
=
f
[g(
x
)]在
A
上
是增函数；
②若
u
=g(
x
)在
A
上是增（或减）函数，而
y
=< br> f
(
u
)在
B
上是减（或增）函数，则函数
y=
f
[g(
x
)]在
A
上是
减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数
f
(
x
)在给定的区间
D
上的单调性的一般步骤：
1
任取
x
1
，
x
2
∈
D
，且
x
1
<
x
2
； ○
2
作差
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)； ○
3
变形（通常是因式分解和配方）○；
4
定号（即判断差
f
(
x< br>1
)－
f
(
x
2
)的正负）○；
5
下结论（即指出函数
f
(
x
)在给定的区间
D
上的单调性）○。
（5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：

增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数；减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数；增函数
f(x)?
减函数
g(x )
是增
函数；减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
3．最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数
y
=
f
(
x
)的定义域为
I
，如果存在实数M满足：①对于任意的
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≤M；
②存在x
0
∈
I
，使得
f
(
x
0
) = M。那么，称M是函数
y
=
f
(
x
)的最大值。 最小值：一般地，设函数
y
=
f
(
x
)的定义域为I
，如果存在实数M满足：①对于任意的
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≥M；
②存在
x
0
∈
I
，使得
f
(
x
0
) = M。那么，称M是函数
y
=
f
(
x
)的最大值。
注意：
1
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在
x
0
∈
I
，使得
f
(
x
0
) = M； ○
2
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≤M（
f
(
x
)≥M）○。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
1
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○
2
利用图象求函数的最大（小）值； ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○< br>如果函数
y
=
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上单调递增，在区间[
b
，
c
]上单调递减则函数< br>y
=
f
(
x
)在
x
=
b
处 有最大值
f
(
b
)；
如果函数
y
=
f< br>(
x
)在区间[
a
，
b
]上单调递减，在区间[b
，
c
]上单调递增则函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
b
处有最小值
f
(
b
)；
4．周期性
（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x
，都有
f
(
x+T
)=
f
(
x
)，则称
f
(
x
)
为周期函数；
（2）性质：①
f
(
x+T
)=
f
(
x
)常常写作
f(x?
TT
)?f(x?),
若
f
(
x
)的周期中，存在一个最小的正数，则称它
22
T
|
?< br>|
。 为
f
(
x
)的最小正周期；②若周期函数
f< br>(
x
)的周期为T，则
f
(ω
x
)（ω≠0）是周期 函数，且周期为
函数的基本性质
一、典型选择题
1．在区间上为增函数的是（ ）
A．
2．函数
A．
B． C． D．

是单调函数时，的取值范围 （ ）
B． C ． D．
有 （ ）


3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
4．函数，是（ ）
有关
那么（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与
5．函数在和都是增函数，若，且

A．
6．函数
A．< br>7．函数
B．
在区间是增函数，则
C． D．无法确定
的递增区间是 （ ）
D．

B． C．
在实数集上是增函数，则（ ）
A． B． C．
，满足
B．
D．
D．
，且在区间



上为递增，则（ ） 8．定义在R 上的偶函数
A．
C．
9．已知
A．
C．
二、典型填空题
1．函数
2．函数
三、典型解答题
1．（12分）已知





在实数集上是减函数，若
B．
D.
，则下列正确的是 （ ）


在R上为奇函数，且，则当， .
，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .
，求函数得单调递减区间.
2．（12分）已知









，，求.