高中数学常见函数讲义

高中数学常见函数研究 讲义

一、一次函数和常函数：
（一） 、一次函数 （二）、常函数
定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域: （- ∞，+ ∞）
值 域：（- ∞，+ ∞） 正 k=0 反 值 域：{ b }
解析式：y = kx + b( k≠ 0 ) 解析式：y = b ( b为常数)
图 像：一条与x轴、y轴相交的直线
y b>0 b=0 b<0 y

o x 0 x
b<0 b=0 b>0
K > 0 k < 0
单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑
k < 0 ,在（- ∞，+ ∞）↓
奇偶性：
b?0?奇函数


b?0?非奇非偶

周期性: 非周期函数
反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数
反函数仍是一次函数
例题：








图 像：一条与x轴平行或重合的直线
y
b>0
o x b=0
b<0
单调性：在（- ∞，+ ∞）上不单调
奇偶性: 偶函数
周期性：周期函数，周期为任意非零实数
反函数:在（- ∞，+ ∞）上没有反函数
1

二、二次函数
1、定义域：（- ∞，+ ∞）
2、值 域：
a?0,y?[
4ac?b
2
4a
,??)


2
a?0,y?(??,
4ac?b
]

4a
3、解析式：
y?ax
2
?bx?c(a?0)

4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线
,开口向下

a
正负：a?0，开口向上；a?0
绝对值：随着a增大，开口缩小

c?0,与y正半轴相交

c
c?0,与y负半轴相交

对称轴：
b
；
b4ac?b
2
对称轴：x? ?
2a
顶点：(?
2a
,
4a
)


??b
2
?4ac?图像与x轴交点个数
：与x轴交点的个数
??0 ,两个交点
??0,一个交点
??0,无交点

5、单调性：
a?0 ,(??,?
b
2a
]?[?
b
2a
,??)?


a?0,(??,?
b
2a
]?[?
b
2a
,??)?

6、奇偶性：
b?0?偶函数

7、周期性：非周期函数
8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数，

在(??,?
b
]或[?
b
a
,??)上及其子集上有反函 数

2a2
例题:






2
。

三、反比例函数和重要的分式函数
（一）、反比例函数 （二）、分式函数
y?
定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 定义域：
(??,?)
?
(?
cx?d

ax?b
b
a
b
,??)

a
cc
aa
cx?db
(x??)

解析式：
f(x)?
k
(k?0)
解析式：
y?
值 域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域:
(??,)
?
(,??)

x
图 像：以x轴、y轴为渐进线的双曲线
y y
0 x 0 x

k > 0 k < 0
单调性： k>0,（- ∞，0）↓,（0，+ ∞）↓
k<0,（- ∞，0）↑,（0，+ ∞）↑
奇偶性：奇函数
对称性：关于原点对称
周期性：非周期函数
反函数：在定义域上有反函数，
反函数是其本身。
（三）、
f(x)?x?
k
x
(k?0)

定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞）
值 域：
(??,?2k)?(2k,??)

图 像：

ax?ba
图 像：以
x??
b
a
和
y?
c
a
为
渐近线的双曲线


单调性:在
(??,?
b
)
和
(?
b
aa
,??)
上
单调性相同
奇偶性：非奇非偶
对称性：关于点(?
bc
a
,
a
)
成中心对称
周期性：非周期函数
反函数：在定义域有反函数，
反函数是
y?
?bx?d
ax?c
(x?
c
a
)

（四）、
f(x)?x?
k
x
(k?0)

定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞）
值 域:
（- ∞，+ ∞）
图 像：
3

(??,?k)?,(?k,0)?
单调性：
(0,k)?,(k,??)?
单调性：
（- ∞，0）↑（0，+ ∞）↑
奇偶性：奇函数 奇偶性：奇函数
对称性：关于原点对称 对称性：关于原点对称
四、指数函数、对数函数和幂函数
（一）、指数和对数运算及性质：
1、根式
过去，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质：
整数指数幂概念 整数指数幂运算性质
mnm
＋
n
a
n
＝
a?a< br>?
a
（
n
∈N*） （1）
aa
＝
a
（
m
，
n
∈Z）
?????
n个a
a
0
＝1
a
－
n
＝
（2）（
a
m
）n
＝
a
m
·
n
（
m
，
n∈Z）
1
nnn
（3）（
ab
）＝
a
·
b
（
n
∈Z） < br>n
a
因为
a
m
÷
a
n
可看作
a
m
·
a
－
n
，所以
a
m
÷< br>a
n
＝
a
m
－
n
可以归入性质(1)； < br>a
n
a
n
a
n
n-n
又因为()可看作a
·
b
，所以（）＝
n
可以归入性质(3).
bb
b
现在我们来研究如何用幂表示底数。
（1）、
n
次 方根的定义：若
x
n
＝
a
（
n
＞1且
n< br>∈N*），则
x
叫
a
的
n
次方根.
问题
：x
如何用
a
表示呢?
【平方根】偶次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；
【立方根】奇次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.
（2）、
n
次方根的性质：
n
?
?
a,n?2k ?1
x?
?
(k?N
*
)
，其中
n
a叫根式，
n
叫根指数，
a
叫被开方数.
n
?
?
?a,n?2k
（3）、根式的运算性质

4

?
a,n为奇数
①（
(
n
a)
n
?a
）②
n
a
n
?
?

?
|a|,n为偶数
性质①推导过程：
当
n
为奇数时，< br>x
＝
n
a
，由
x
n
＝
a
得 （
n
a
）
n
＝
a
；
当
n
为偶数时，
x
＝±
n
a
，由
x
n
＝a
得（
n
a
）
n
＝
a
；
综上所述，可知：（
n
a
）
n
＝
a.
性质②推导过程：
当
n
为奇数时，由
n
次方根定义得：
a
＝
n
a
n
；
当
n
为偶数时， 由
n
次方根定义得：
a
＝±
n
a
n
则｜
a
｜＝｜±
n
a
n
｜＝
n
an

?
a,n为奇数;
综上所述：
n
a
n＝
?

?
|a|,n为偶数.
例1、求下列各式的值
(1)
3
(?8)
3
（2）
(?10)
2

(3)
4
(3?
?
)
4
（4）
(a?b)
2
（
a
＞
b
）
解：(1)
3
(?8)
3
＝－8
(2)
(?10)
2
＝｜－10｜
(3)
4
(3?
?
)
4
＝｜3－π｜＝π－3
(4)
(a?b)
2
＝｜
a
－
b
｜＝
a
－
b
（
a
＞
b
）
例2、求值：
(1) 5?26?7?43?6?42;
(2)23?1.5?12
3
6

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
解：

5

(1)5?26?7?43?6?42
?(3)
2
?23?2?(2)
2
?2
2
?2?23?(3)
2< br>?2
2
?2?22?(2)
2
?((3?2))
2
? (2?3)
2
?(2?2)
2
?|3?2|?|2?3?|?|2?2|?3?2?2?3?(2?2)
?22
注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉 绝对值符号。
(2)23?
3
1.5?
6
12
＝2?3?< br>3
6
3
3
6
2
?2?3
2
2
3
＝2?3?
6
2
?
6
2
2
?3

2
2
3
＝2?
6
3?
2
?2
2
?3
2
＝2?3?6
3
2、
分数指数幂
（1）.正数的正分数指数幂的意义
a?
n
a
m
?
m
n
m
n
(a?0,m、n?N*,n?1)

1
m
n
（2）.规定：
(1)
a?(a?0,m、n?N*,n?1)

a
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规 定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当
a
＞0时，整数指数幂 的运算性质，对于有理指数幂也同样适用. 若a＞0，p是
一个无理数，则a
p
表示 一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无
理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质.
3.幂的运算性质
(1)
a
m
?a
n
?a
m?n
(2)
(am
)
n
?a
m?n
(a?0,m、n?R)

(a?0,m、n?R)

(a?0,b?0,m?R)

6
(3)
(a?b)
m
?a
m
?b
m

例：求下列各式的值：
(1)25
3
36
（3）（）
2

49
3
2
（2）27
2
3
3
?
25
（4）（）
2

4
（5）
81?9

3
2
2
3
2
4
2
3
（6）2
3
×
3
1.5
×
6
12

解：(1)
25?(5)
＝5
3
＝125
(2)
27?(3)?3
2
3
3
2
3
3?
3
2< br>＝3
2
＝9
33
3
2?
36
3
6 666216
23
(3)
()
2
?[()]
2
?( )
2
?()?
3
?

497777343
25?
3
5
2
?
3
5
2?
3
5< br>?3
2
3
2
3
8
222
(4)
() ?[()]?()?()?()?
3
?

422255125
4< br>2
3
4
42
2
3
1
2
4
4
21
?2?
32
4
4
2
3
4
2< br>3
1
4
(5)
81?9?3?[(3)]?3?3
=
(3)?(3)?3?3?3
6
3

4
1
4
2< br>3
1
4
1
6
?3?3?(3?3)

111 11
1
3
2
(6)2
3
×
3
1.5
×
6
12
＝2×3×（）
3
×（3×2）
6
＝2 ×3
2
×3
3
×2
3
×3
6
×
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
2
1
3
1
6
11
1??
33
2＝（2×2< br>?
×2）×（3×3×3）＝2×3
111
??
236
＝2× 3＝6
3、对数运算及运算性质：
引例：假设1995年我国的国民生产总值为
a
亿元，如每年平均增长8%，那
么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过
x
年国民生产总值是1995年的2倍
则有 a（1＋8%）
x
＝2a 1.08
x
＝2
用计算器或计算机作出函数图像，计算出x值
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 a
b
＝N中，已知a 和N
求
b
的问题。（这里 a＞0且a≠1）
（1）．定义：

7

一般地，如果 a（a＞0且a≠1）的b次幂等于N, 就是 a
b
＝N，那么数 b
叫做 a为底 N的对数，记作 log
a
N＝b，a叫做对数的底数，N叫做真数。
（2）、指数式和对数式的互换：
a
b
＝N + - log
a
N＝b
例如：4
2
＝16 log
4
16＝2 ； 10
2
＝100 log
10
100＝2
1
4＝2 log
4
2＝ ； 10
－2
＝0.01 log
10
0.01＝－2
2
（3）、对数的性质
①、负数与零没有对数 ← 在指数式中 N > 0
②、
log
a
1?0,log
a
a?1(a?0,a?1)

∵对任意 a＞0且a≠1， 都有 a＝1 ∴log
a
1＝0
同样易知： log
a
a＝1
③、对数恒等式：
a
log
a
N
?N(a?0,a?1)

1
2
0
如果把 a
b
＝N 中的 b写成 log
a
N, 则有 a
log
a
N
＝N
④、指数恒等式：
log
a< br>a
b
?b(a?0,a?1)

⑤、常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,
N
的常用对数log
10
N,简记为lgN

例如：log
10
5简记作lg

5 log
10
3.5简记作lg3.5.
⑥、自然对数
在科学技术中常常使 用以无理数
e
＝2.71828……为底的对数，以
e
为
底的对数叫 自然对数，为了简便，
N
的自然对数
log
e
N,简记为lnN。
例如：log
e
3简记作ln3 log
e
10简记作ln10
（4）.运算性质：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
M?N?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N< br>;
N
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M

(n?R)

8

【现在我们来证明运算性质，为了利用已知 的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的
定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡 作用】.
证明：(1)设log
a
M＝p，log
a
N＝q
由对数的定义得：M＝a
p
，N＝a
q
∴MN＝a
p
·a
q
＝a
p+q

再由对数定义得 log
a
MN＝p＋q，即证得log
a
MN＝log
a
M ＋log
a
N
(2)设log
a
M＝p，log
a
N＝q 由对数的定义可以得
＝a
p
，N＝a
q
， ∴
M
＝
a
p
M
p－q
Na
q
＝a，
再由对数的定义得 log
M
a
N
＝p－q
即证得log
M
a
N
＝log
a
M－log
a
N
(3)设log
a
M＝p 由对数定义得M＝a
p

∴M
n
＝（a
p
）
n
＝a
np
再由对数定义得
log
a
M
n
＝np 即证得log
a
M
n
＝nlog
a
M
例：计算：
（1）lg14－2lg
7
3
＋lg7－lg18 （2）
lg243
lg27 ＋lg8－3lg10
lg9
（3）
lg1.2

【解析】(1)、解法一：lg14－2lg
7
＋lg7－lg18＝lg(2×7 )－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(3
2
3
×2)
＝lg2＋lg7 －2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0
解法二：lg14－2lg
7
3
＋lg7－lg18＝lg14－lg（
7
3
）
2
＋lg7－lg18
＝lg
14×7
＝lg1＝
（
7
3
）
2
0
×18
（2）
lg243
lg9
＝
lg3
5
lg3
2
＝
5lg35
2lg3
＝
2

1
1
lg27 ＋lg8－3lg10 lg（3
3
）
2< br>＋lg2
3
－
2
（3）
3lg（10）
lg1.2< br> ＝
lg
3×2
2
10


9

3
（lg3＋2lg2－
＝
2
1）
lg3＋2lg2－1
＝
3
2

（5）.对数换底公式：
log
a
N ?
log
m
N
log
(a?0且a?1,m?0且m?1,N?0)

m
a
证明：设log
a
N＝x , 则 a
x
＝N
两边取以m为底的对数：log
m
a
x
＝log
m
N
?
x log
m
a＝log
m
N
从而得：x＝
log
m
N
loga
∴ log
log
m
N
m
a
N＝
log

m
a
???
两个常用的推论:
①
log
a
b?log
b
a?1

②
lo g
n
n
a
m
b?
m
log
a
b( a、b?0且均不为1）

证：①log
lg
a
b·log
b
a＝

b
lg

a
lg

b
＝1

a
lg

n
②log
n
lg

bnlg

b
a
m

b＝
lga
m

＝
a
＝
n
m
log
a
b

mlg

例：设
x
、
y
、
z
∈（0，＋∞）且3
x
＝4
y
＝6
z

1? 求证
111
x
＋
2
y
＝
z
； 2? 比较3
x
，4
y
，6
z
的大小
证明1?：设3
x
＝4
y
＝6
z
＝
k
∵
x
、
y
、
z
∈（0，＋∞） ∴
k
＞1
取对数得：
x
＝
lg

k
lg3
，
y
＝
lg

k
lg4
，
z
＝
lg

k
lg6


∴
11lg

3lg

42lg

3＋lg42lg

3＋2lg2lg

61
x
＋
2
y
＝
lg
＋ ＝ ＝ ＝ ＝

k
2lg

k
2lg

k
2lg

k
lg

kz
lg
k
·lg
64
2? 3
x
－4
y
＝（
34lg64－lg81
81

lg
－
lg
）lg
k
＝ lg
k
＝ ＜0

3

4lg

3lg4lg

3lg4
∴3
x
＜4
y

lgk·lg
9
又4y－6z＝（
4
lg
－
6
6
）lgk＝
lg36－lg64
lg
lgk＝
16

＜0

4lg

2lg6lg

2lg6
∴4y＜6z ∴3x＜4y＜6z
（二）、指数函数、对数函数和幂函数

10

已知
a?N
，我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系：
关系一：N如何随着b的变化而变化→以指数为自变量、以幂为因变量的函数→指数函数；
关系二：N如何随着a的变化而变化→以底数为自变量、以幂为因变量的函数→幂函数；
关系三：a如何随着b的变化而变化→
a?
→指数函数；
+ —
关系四：b如何随着N的变化而变化→
b?log
a
N
（以真数 为自变量、以对数为因变量）
→对数函数；
关系五：a如何随着N的变化 而变化→
a?
b
N?N
（以底数为自变量、幂为因变量）
→指数函数
关系六：b如何随着a的变化而变化→
b?log
a
N
；
定义：
函数
y?a
x
1
b
b
b
N?N< br>(指数为自变量、幂为因变量)
1
b
(a?0,a?1)
叫做指数函数，其中
x
是自变量。
函数
y?log
a
x(a?0,a?1)
叫做对数函数。
函数
y?x
?
叫做幂函数，其中x是自变量。

(
?
为常数）
1、指数函数 2、对数函数
定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域:（0，+ ∞）
值 域：（0，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞）
解析式：
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
解析式：
f(x)?log
a
x(a?0且a?1)

图 像：位于x 轴上方，向x轴无限接近 图 像：位于y轴右侧，向y
轴无限接近
y y y y
1 1

0 x 0 x 0 1 x 0 1 x


a?1

0?a?1

a?1

0?a?1

【特殊点】恒过（0，1），（1，a) 【特殊点】恒过（1，0)，（a，1）
【y = 1】 【x = 1】

11

y?a
x
?1?

a?10?a?1a?10?a?1
或
y?log
a
x?0?
或
x?0x?0x?10?x?1
a?10?a?1a?10?a?1
或
y?log
a
x?0?
或

x?0x?00?x?1x?1
y?a
x
?1?

【底数的大小】 y 【底数的大小】
y?c
x

y?d
x

y?a
x

y?b
x
y
y?log
a
x





y?log
b
x

x

0
x
0
y?log
c
x





0?d?c?1?b?a

0?d?c?1?b?a

单调性：
a?1,在（??，??）?
单调性：
a?1,在（0，??）?


0?a?1,在（??，??）?

0?a?1,在（0，??）?

奇偶性：无 奇偶性：无
周期性：无 周期性：无
反函数：
y?log
a
x(a?0,a?1)
反函数：
y?a(a?0,a?1)

3、幂函数
y?x
?
x
y?log
d
x

(
?
为常数）
问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各 函数先化成根式形式，再指
出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有 什么共同点？
（1）
y
＝
x
；（2）
y
＝< br>x
；（3）
y
＝
x
；（4）
y
＝
x
．
思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数
x
的集合；
奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋
?
），（2 ）（3）（4）定义域都是
R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4） 是偶函数．它们的
图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．
问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？
（1）
y
＝
x
；（2）
y
＝
x
；（3）< br>y
＝
x
－1－2
1
2
1
3
2
3
4
3
－
1
2
；（4）
y
＝
x
1
－
3
．
思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂 化为根式，函数的定义域就是使这
些分式和根式有意义的实数
x
的集合；（1）（2） （4）的定义域都是{
x
|
x
≠0}，（3）的定

12

义域是（0，＋
?
）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3 ）既不是奇函数也不是偶
函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以 两坐标轴为渐
近线．
总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂 化为根式（幂
指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是
使这些分式和根式有意义的实数
x
的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问 题1
和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．
【五个重要的幂函数】：
1
2
（1）
y?x
；（2）y?x
；（3）
y?x
2
；（4）
y?x
?1
；（5）
y?x
3
．












定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
y?x

y?x
2

y?x
3

y?x
1
2

y?x
?1


































【幂函数性质】．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特 别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1时，幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边
趋向原点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??< br>时，图象在
x
轴上方
无限地逼近
x
轴正半轴．
［例 1］讨论函数
y
＝
x
的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图 ．
2
5

13

思路：函数
y
＝
x
是幂函数．
5
2
（1）要使
y
＝
x
＝
x
有意义，
x
可以取任意实数，故函数定义域为R．
（2）∵
x
?
R，∴
x
≥0．∴
y
≥0．
（3）
f
（－
x
）＝（－
x
） ＝
x
＝
f
（
x
）， ∴函数
y
＝
x
是偶函数；
2
（4）∵
n
＝ ＞0， ∴幂函数
y
＝
x
5
在［0，＋
?
］上单调递增．
5
由于幂函数
y
＝
x
是偶函数，
∴幂函数
y
＝
x
在（－∞，0）上单调递减．
（5）其图象如右图所示．
［例2］比较下列各组中两个数的大小：
（1）1.5，1 .7；（2）0.7，0.6；（3）（－1.2）
3
5
3
5
35
1.51.5
2
2
5
2
5
5
25
2
2
5
2
2
5
2
5
?2
3
，（－1.25）
?
2
3
．
解析：（1）考查幂函数
y
＝
x
的单调性，在第一象限内函数单调递增，
∵1.5＜1.7 ∴1.5＜1.7
（2）考查幂函数
y
＝
x
的单调性，同理0.7＞0.6．
1.51.5
3
5
3
5
3
2
（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
∵（－1.2）
∴（－1.2）
?
2
3
2
3
＝1.2
?
2
3，（－1.25）
?
2
3
?
2
3
＝1.25< br>?
2
3
，又1.2
?
2
3
＞1.25
?
2
3

?
＞（－1.25）
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比
较大小．
［例3］求函数
y
＝
x
＋2
x
＋4（
x
≥－32）值域．
解析：设
t
＝
x
，∵
x
≥－32，∴
t
≥－2，则
y
＝
t
＋2
t
＋4＝（
t
＋1）＋3．
当
t
＝－1时，
y
min
＝3．
1
5
22
2
5
1
5

14

∴函数
y
＝
x
＋2
x
＋4（< br>x
≥－32）的值域为［3，＋∞）．
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．

2
5
1
5

15