最新高一数学函数经典题目及答案

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1函数解析式的特殊求法
例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式


）?x?2x
,求f(x) 例2 若
f(x?1


例3 已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x?1)



例4已知：函数
y?x
2
?x与y?g(x)
的图象关于 点
(?2,3)
对称，求
g(x)
的解析式


例5 已知f(x)满足
2f(x)?f(
1
)?3x
，求
f(x)

x


2函数值域的特殊求法
2
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。 例1. 求函数

1?x?x
2
y?
1?x
2
的值域。 例2. 求函数



例3求函数y=(x+1)(x+2)的值域

e
x
?1
y?
x
例4. 求函数
e?1
的值域。




例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
(x?3)(x?5)
y
2
?x?5
①
y
1
?
x?3

②
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)


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③
f
1
(x)?(2x?5)
2

f
2
(x)?2x?5


2若函数
f(x)
的图象经过
(0,?1)
，那么
f(x?4)
的反函数图象 经过点
(A)
(4,?1)
(B)
(?1,?4)
(C)
(?4,?1)
(D)
(1,?4)


< br>例3
已知函数
f(x)
对任意的
a、b?R
满足：
f (a?b)?f(a)?f(b)?6,

当a?0时,f(a)?6
；
f(?2)?12
。
（1）求：
f(2)
的值；
（2）求证：
f(x)
是
R
上的减函数；
（3）若
f(k?2)?f(2k)?3
，求实数
k
的取值范围。











例4已知
A?{(x,y)|x?n,y?an?b,n?
Z}，
B?{(x,y)|x?m,y?3m
2
?15,m?
Z}，
C?{(x, y)|x
2
?y
2
≤
14}
，
(1)
AI B??
，(2)
(a,b)?C
同时成立.








证明题
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问是否存在实数
a,b
，使得

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1.已知二 次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
对于
x
1
、< br>x
2
?
R，且
x
1
＜
x
2
时
1
f(x
1
)?f(x
2
)
，求证：方程f(x)
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]
有不 等实根，且必有一根属于区间（
x
1
，
x
2
）.
2







答案
1解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x?1
?
?
k< br>2
?4
?
k??2
?
k?2
1
则
?
或
?

?
?
b??
b?1
(k?1) b??1
?
?
?
3
?
1
∴
f(x)?2x ?
或
f(x)??2x?1

3
2换元法：已知复合函数
f [g(x)]
的表达式时，还可以用换元法求
f(x)
的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。解法一（换元法）：令t=
x?1
则x=t
2?1, t≥1代入原式有

f(t)?(t?1)
2
?2(t?1)?t
2
?1

∴
f(x)?x
2
?1
（x≥1）
解法二（定义法）：
x?2x?(x?1)
2
?1

∴
f(x?1)?(x?1)
2
?1

x?1
≥1
∴
f(x)?x
2
?1
(x≥1)
4代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
解：设
M(x,y)
为
y?g(x)
上任一点，且
M
?
(x
?
,y
?
)
为
M(x,y)
关于点
(?2,3)
的对称点
?
x
?
?x
?
2
??2
?
y
?
?y
?
x
?
??x?4
?
?3
?
?
2
?
则，解得：
?
y?6?y
，
?
点
M
?
(x
?
,y
?
)
在
y?g(x)
上
?y
?
?x
?
2
?x
?

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?
x
?
??x?4< br>?
?
把
?
y?6?y
代入得：
2
y??x?7x?6
整理得
2
?
g(x)??x?7x?6

例5构造方程组法：若已知 的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通
过解方程组求得函数解析式。
∵已知
2f(x)?f(
1
)?3x
①，
x
将①中x换成
1
得
2f(
1
)?f(x)?3
②，
x
xx
x
①×2-②得
3f(x)?6x?
3
∴
f(x)?2x?
1
.
x
值域求法
2
例1 解：将函数配方得：
y?(x?1)?4

∵
x?[?1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，
y
min
?4
，当
x ??1
时，
y
max
?8

故函数的值域是：[4，8]
2. 判别式法例2. 解：原函数化为关于x的一元二次方程
(y?1)x
2
?(y?1)x?0

（1）当
y?1
时，
x?R

??(?1)
2
?4(y?1)(y?1)?0

13
?y?
2
解得：
2
?
13
?
?
13
?
1?
?
,
?
,
??
（ 2）当y=1时，
x?0
，而
?
22
?
故函数的值域为?
22
?


当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例3求函数y=(x+1)(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)(x+2)的反函数为:x=(1－2y)（y－1）,其定义域为y ≠1的实数,故函数y
的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数 的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维
的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
y? 1
e
x
?1
e
x
?
y?
x
y?1
例4. 求函数
e?1
的值域。解：由原函数式可得：
x
∵
e?0

y?1
?0
y?1
∴
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解得：
?1?y?1

故所求函数的值域为
(?1,1)

例1
（定义域不同）（定义域不同） （定义域、值域都不同）
例3解: （1）
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,
令
a?b?0
，得
f(0)?6

令
a?2,b??2
，得
f(2)?0

（2）证明：设
x
1
,x
2
是
R
上的任意 两个实数，且
x
1
?x
2
，即
x
2
?x< br>1
?0
，
从而有
f(x
2
?x
1
)?6
，
则
f(x
2
)?f(x
1
)?f[(x
2
?x
1
)?x
1
]?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?f(x
1
)?6?f(x
1
)

?f(x
2
?x
1
)?6?0
∴
f(x
2
)?f(x
1
)
即
f(x)
是
R
上的减 函数
（3）
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,
令
a?1,b?1
，得
f(1)?3

∵
f(k?2)?f(2k)?3
∴
f(k?2)?3?f(2k)
，又
f(1)?3
，
f(2)?0

即有
f(k?2)?f(1)?f(2k)?f(2)

∴
f(k?2)?f(1)?6?f(2k)?f(2)?6

∴
f[(k?2)?1]?f[(2k)?2]

又∵
f(x)
是
R
上的减函数 ∴
(k?2)?1?(2k)?2
即
k??3

(A)∴实数
k
的取值范围是
k??3

例4分析：假设存 在
a,b
使得(1)成立，得到
a
与
b
的关系后与x
2
?y
2
≤
14
联立，然后讨论联立的
不等式组. 解：假设存在实数
a,b
，使得
AIB??
，
(a,b)?C< br>同时成立，则集合
A?{(x,y)|x?n,y?an?b,n?
Z}与集合
B?{(x,y)|x?m,y?3m
2
?15,m?
Z}分别对应集合
A< br>1
?{(x,y)|y?ax?b,x?
Z}与
B
1
?{(x ,y)|y?3x
2
?15,x?
Z}，
A
1
与
B
1
对应的直线
y?ax?b
与抛物线
?
y?ax?b
2
y?3x
2
?15
至少有一个公共点，所以方程组
?
3 x?15?ax?b
必有解. 有解，即方程
2
?
y?3x?15
因 此
??a
2
?12(15?b)
≥
0??a
2
≤< br>12b?180
，①
又∵
a
2
?b
2
≤
14
②
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由①②相加，
b
2
得≤
12b?36
，即
(b?6)
2
≤
0
.∴
b?6
.
将
b?6
代入①得
a
2
≥
108
， 再将
b?6
代入②得
a
2
≤
108
，因此a??63
，
将
a??63
，
b?6
代入方程
3x
2
?15?ax?b
得
3x
2
?63x?9?0，
解得
x??3?
Z.

所以不存在实数
a,b
，使得(1)，(2)同时成立.
证明题1

1
1解：设F（
x
）＝
f(x)
－
[f (x
1
)?f(x
2
)]
，
2

1
则方程
f(x)
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]
①
2

与方程 F（
x
）＝0 ② 等价
11
∵F（
x
1
）＝
f(x
1
)< br>－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]

22

11
F（
x
2
）＝
f(x
2
)
－
[f(x< br>1
)?f(x
2
)]
＝
[?f(x
1
)?f (x
2
)]

22

1
∴ F（
x
1
）·F（
x
2
）＝－
[f(x
1
)?f(x< br>2
)]
2
，又
f(x
1
)?f(x
2
)

4

∴F（
x
1
）·F（
x
2
）＜0
故方程 ②必有一根在区间（
x
1
，
x
2
）内.由于抛物线y＝F（
x
）在
x
轴上、下方均有分布，所以此抛
物线与
x
轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且
必有一根属于 区间（
x
1
，
x
2
）.

1
点 评：本题由于方程是
f(x)
＝
[f(x
1
)?f(x
2< br>)]
，其中因为有
f(x)
表达式，所以解题中有的学生不理
2
解函数图像与方程的根的联系，误认为证明
f(x)
的图像与
x
轴相交于两 个不同的点，从而证题中着眼
1
于证
f(x
1
)f(x
2< br>)
＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（
x
）＝
f(x)
－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
的图
2< br>像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.


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