高一数学函数的基本性质知识点及练习题含答案

函数的基本性质
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f( x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，
则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定 义域内的任意x都有f(－
x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不 具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时
具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又 是偶函数。
注意：
1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数
的整体性○质；
2 由函 数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对
于定义域○内的任意一个x，则－x也一定 是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2
确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x) = f(x)
或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象 的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原
点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它 的图象关于y轴对称；

②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
DD,)(xx)g(f
21
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶
??
2．单调性
内的某个I如果对于定义域 ，I的定义域为)x(f=y）定义：一般地，
设函数1（．
区间D内的任意两个自变量x， x，当x（f(x)>f(x)），那么
21121221< br>就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
注意：
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性
质； ○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x，x；当x总有f(x)22 2111
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数
或是减函数，那么就说函数y=f (x)在这一区间具有（严格的）单调
性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域
的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或
减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；
②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或
增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1 任取x，x∈D，且x2211
2 作差f(x)－f(x)； ○
21
3 变形（通
常是因式分解和配方）○；

4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）○；
21
5 下结论（即指出函数
f(x)在给定的区间D上的单调性）○。
（5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数f(xx))(fx)??gf(x)?(g(x)
减函数是增函数；减函数增函数是减函
数。
)()?xg(x)gf(x
3．最值
（1）定义：
最大值： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满
足：①对于任意的x∈I，都有f(x) ≤M；②存在x∈I，使得f(x) =
M。那么，称M是函数y=f(x)
00
的最大值。
最小值：一般地，设 函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满
足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存 在x∈I，使得f(x) =
M。那么，称M是函数y=f(x)
00
的最大值。
注意：
1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x∈I，使得f(x)
= M； ○
00
2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即
对于任意的x∈I，○都有f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利

用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的
最大（小）值： ○如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增， 在区
间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增
则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；
4．周期性
，都有x，使得对于函数定义域内的任意T）定义：如果存在一个非
零常数1（．
)，则称f(x)为周期函数；x+Tf()= f(x
TT
的周期中，存在一个最
x))f）性质：①(x+T)= f(x若f常常 写作(（2
),(fx?)?f(x?22
（ω)则T，
f(ωx)②若周期函数(小 的正数，则称它为fx)的最小正周期；f(x的
周期为
T
。≠ 0）是周期函数，且周期为
?
||

函数的基本性质
一、典型选择题


） 上为增函数的是（．在区间1．


． D ． B ． A C．


（考点：基本初等函数单调性）


．函数是单调函数时，的取值范围 （ 2 ）


C ． A． B． D．



（考点：二次函数单调性）


具有最大值，那么该函数在有 （ 3 ．如果偶函数在）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值（考点：
函数最值）


．函数，是（ 4）


A．偶函数 B．奇函数C．不具有奇偶函数 D．与有关（考点：函
数奇偶性）


若，且那么（ 5．）函数 在和都是增函数，

． A D． B
C．．无法确定
（考点：抽象函数单调性）

是增函数，则的递增区间是 （ 6 ．函数 在区间）


． C B． D A．．


（考点：复合函数单调性）


．函数在实数集上是增函数，则（ 7）


C． D． A ． B．

（考点：函数单调性）


且在区间上为递增，则（ 上的偶函数满足， ） 定义在8．R，


． ． B A

． D．C


（考点：函数奇偶、单调性综合）


．已知 ） 9 ，则下列正确的是（在实数集上是减函数，若


．． B A

D.． C


（考点：抽象函数单调性） 二、典型填空题

. ，（考点：1．R
函数在上为奇函数， 且，则当

利用函数奇偶性求解析式）


2．函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .
（考点：函数单调性，最值）
三、典型解答题


1．（12分）已知，求函数得单调递减区间.
（考点：复合函数单调区间求法）




.
，，求2．（12分）已知（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）

一、BAABDBAAD 二、1．； 2．和，；


三、函数 ．3解：，，

.
故函数的单调递减区间为

=中中 4．解：已知为奇函数，即，

.
，，也即，得