初中高中数学七大函数的性质 图像

初中高中数学七大函数的性质 图像
1.一次函数(包括正比例函数)
最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R
值域：R
奇偶性：无
周期性：无
平面直角坐标系解析式(下简称解析式):
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）
③y-y1=k(x-x1)[点斜式]
（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）
④（y-y1）(y2-y1)=(x-x1)(x2-x1)[两点式]
（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）
⑤xa-yb=0[截距式]
（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）
解析式表达局限性：
①所需条件较多（3个）；
②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；
④参数较多，计算过于烦琐；
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：
题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物
线。
定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推< br>断）①[(4ac-b^2)4a，正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b2a，(4ac-b^2)4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b+√Δ]2a，0）和（[-b+√Δ]2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+t[配方式]
此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b2a，t=(4ac-b^2)4a）；

3.反比例函数
在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
定义域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）
值域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）
奇偶性：奇函数
周期性：无
解析式：y=1x

4.幂函数
y=x^a
①y=x^3
定义域：R
值域：R
奇偶性：奇函数
周期性：无
图象类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称
后得到的图象（类比，这个方法不能得到三次函数图象）
②y=x^(12)
定义域：[0，正无穷）
值域：[0，正无穷）
奇偶性：无（即非奇非偶）
周期性：无
图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转
90°，再去掉y轴下方部分得到的图象（类比，这个方法不能得到三次
函数图象）

5.指数函数
在平面直角坐标系上的图象（太难描述了，说一下性质吧……）
恒过点（0，1）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1
则函数在定义域上单调减。
定义域：R
值域：（0，正无穷）
奇偶性：无
周期性：无
解析式：y=a^x
a＞0

性质：与对数函数y=log(a)x互为反函数。
*对数表达：log(a)x表示以a为底的x的对数。

6.对数函数
在定义域上的图象与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线
y=x轴对称。
恒过定点（1，0）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a
＜1 则函数在定义域上单调减。
定义域：（0，正无穷）
值域：R
奇偶性：无
周期性：无
解析式：y=log(a)x
a＞0
性质：与对数函数y=a^x互为反函数。

7.三角函数
⑴正弦函数：y=sinx
图象为正弦曲线（一种波浪线，是所有曲线的基础）
定义域：R
值域：[-1，1]
奇偶性：奇函数
周期性：最小正周期为2π
对称轴：直线x=kπ2 (k∈Z）
中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）

⑵余弦函数：y=cosx
图象为正弦曲线，由正弦函数的图象向左平移π2个单位（最小平移量）所得。
定义域：R
值域：[-1，1]
奇偶性：偶函数
周期性：最小正周期为2π
对称轴：直线x=kπ (k∈Z）
中心对称点：与x轴的交点：（π2+kπ，0）(k∈Z）

⑶正切函数：y=tg x
图象的每个周期单位很像是三次函数，很多个，均匀分布在x轴上。
定义域：{x│x≠π2+kπ}
值域：R
奇偶性：奇函数
周期性：最小正周期为π
对称轴：无

中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）。

*三角函数的性质略了， 太多，光公式就不止千个。另外，三角函数的图象平移、
拉伸变化，在图象平移内容中说得很清楚（不在 这里，在教材里）我就不多说了。

大功告成！希望对你的学习有所帮助。




对数函数
对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里
对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图 形的关于直线y=x的对称图形，
因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小 于1大于0时，函数为单
调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。

指数函数
指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得
x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1） 指数函数的定 义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不
大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存 在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然
不能等于0）， 函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数
的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7） 函数总是通过（0，1）这点。
（8） 显然指数函数无界。

奇偶性

注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
1．定义
一般地，对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(- x)=－f(x)，那么函数f(x)
就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任 意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫
做偶函数。
（3）如果对 于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，
那么函数f (x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x， f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，
那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶 函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点
对称，则这个函数一定不是 奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再< br>严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2．奇偶函数图像的特征：
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对
称图形。
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3. 奇偶函数运算
(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域
（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对
于集合A中的任意一 个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么
就称f:A--B为集合A到集合B的一 个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x
叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
值域

名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的 值域,在数学中是函数在
定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合），
（3）函数单调性法，
（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7） 判别式法，（8）
复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实 行“定义
域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，
往往 就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对
函数的掌握时好时坏，事 实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此
薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型 的例子是互为反函数定义域与
值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是 容易
的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、
有界性、 周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，
求值域的问题有时比求定义域问题 难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究
和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质 的认识。


“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域”是我们在 学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为
一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所 有函数值的集合（即集合中每一
个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值 所在的集
合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，
而“范围”却不一定是“值域