高中数学函数的单调性练习题和答案

..
函数的单调性


一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
2
A．
y
=2
x
＋1 B．
y
=3
x
＋1
C．
y
=


（ ）
2

x
2
D．
y
=2
x
＋
x
＋1
2
2．函数
f
(
x
)=4
x
－
m x
＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，
则
f< br>(1)等于 （ ）
A．－7 B．1
C．17 D．25
3．函数
f
(
x
)在区间(－2，3)上是增函数，则
y< br>=
f
(
x
＋5)的递增区间是 （ ）
A．(3，8) B．(－7，－2)
C．(－2，3) D．(0，5)
4．函数
f
(
x
)=

ax?1
在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数
a
的取值范围是
x?2
11
A．(0，) B．( ，＋∞)
22
（ ）
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
5．已知函数
f(
x
)在区间[
a
，
b
]上单调，且
f
(
a
)
f
(
b
)＜0，则方程
f
(x
)=0在区间[
a
，
b
]内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
22
6．已知函数
f
(
x
)=8＋2
x
－
x
，如果
g
(
x
)=
f( 2－
x
)，那么函数
g
(
x
)
（ ）
A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减
函数
C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增
函数
7．已知函数
f
(
x
) 是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式
|
f
(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ）
A．(－1，2) B．(1，4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋
∞） < br>8．已知定义域为R的函数
f
(
x
)在区间(－∞，5)上单调递减， 对任意实数
t
，都有
f
(5＋
t
)
＝
f< br>(5－
t
)，那么下列式子一定成立的是 （ ）
A．
f
(－1)＜
f
(9)＜
f
(13) B．
f
(13)＜
f
(9)＜
f
(－1)
C．
f
(9)＜
f
(－1)＜
f
(13) D．
f
(13)＜
f
(－1)＜
f
(9)
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..
9．函数
f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)
的递增区间依次是
A．
(??,0],(??,1]

C．
[0,??),(??,1]

（ ）
B．
(??,0],[1,??)

D
[0,??),[1,??)

10．已知函数
f
?x
?
?x
2
?2
?
a?1
?
x?2< br>在区间
?
??,4
?
上是减函数，则实数
a
的取值范 围是（ ）
A．
a
≤3 B．
a
≥－3 C．
a
≤5 D．
a
≥3
11．已知
f
(x
)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，
a
、
b
∈R且
a
＋
b
≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
f(
a
)＋
f
(
b
)≤－
f
(
a
)＋
f
(
b
)］ B．
f
(
a
)＋
f
(
b
)≤
f
(－
a
)＋
f
(－
b
)
C．
f
(
a
)＋
f
(
b
)≥－
f
(
a
)＋
f
(b
)］ D．
f
(
a
)＋
f
(
b)≥
f
(－
a
)＋
f
(－
b
) 12．定义在R上的函数
y
=
f
(
x
)在(－∞，2) 上是增函数，且
y
=
f
(
x
＋2)图象的对称轴是
x
=0，则
（ ）
A．
f
(－1)＜
f
(3) B．
f
(0)＞
f
(3) C．
f
(－1)=
f
(－3) D．
f
(2)
＜
f
(3)
二、填空题：
13．函数
y
=(
x
－1)的减区间是___ _．
14．函数
y
=
x
－2
1?x
＋2的值域为__ ___．
15、设
y?f
?
x
?
是
R
上 的减函数，则
y?f
2
-
2
?
x?3
?
的 单调递减区间为

.
16、函数
f
(
x
) =
ax
＋4(
a
＋1)
x
－3在[2，＋∞]上递减，则
a
的取值范围是__ ．
三、解答题：
17．
f
(
x
)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且
f
(
（1）求
f
(1)的值．
（2）若
f
(6)= 1，解不等式
f
(
x
＋3 )－
f
(
x
) =
f
(
x
)－
f
(
y
)
y
1
) ＜2 ．
x





3
18．函数
f
(
x
)=－
x
＋1在R上 是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减
函数？试证明你的结论．


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..


19．试讨论函数
f
(
x
)=
1?x
2
在区间［－1，1］上的单调性．










20．设函数
f
(
x
) =
x
2
?1
－
ax
，(
a
＞0)，试确定 ：当
a
取什么值时，函数
f
(
x
)在0，＋∞)
上 为单调函数．









21．已知
f
(
x
)是定义在(－2，2)上的减函数， 并且
f
(
m
－1)－
f
(1－2
m
)＞0 ，求实数
m
的取
值范围．











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..



x
2?2x?a
22．已知函数
f
(
x
)=，
x
∈ ［1，＋∞］
x
1
（1）当
a
=时，求函数
f
(
x
)的最小值；
2
（2）若对任意
x
∈[1，＋∞
)
，
f
(
x
)＞0恒成立，试求实数
a
的取值范 围．

参考答案
一、选择题： CDBBD ADCCA BA
二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.
?
3,??
?
，

?
??,?
?

2
?
?
1
??
三、解答题：17.解析：①在等式中
令x?y?0
，则
f
( 1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则
f(
36
)?f(36)?f (6),?f(36)?2f(6)?2.

6
故原不等式为：
f(x?3 )?f()?f(36),
即
f
[
x
(
x
＋3)] ＜
f
(36)，
又
f
(
x
)在(0，＋∞)上为增函数，
1
x< br>?
x?3?0
?
1153?3
?
故不等式等价于：
?
?0?0?x?.

2
?
x
?
?
0?x(x?3)?36
18.解析：
f
(
x
)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：
33< br>设
x
1
、
x
2
∈(－∞，＋∞)，
x
1
＜
x
2
，则
f
(
x
1
)=－
x
1
＋1，
f
(
x
2
)=－
x
2
＋1．
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)=
x2
3
－
x
1
3
=(
x
2
－< br>x
1
)(
x
1
2
＋
x
1
x
2
＋
x
2
2
)=(
x
2
－
x
1
)［(
x
1
＋
∵
x
1
＜< br>x
2
，∴
x
2
－
x
1
＞0而(x
1
＋
x
2
2
3
2
)＋
x< br>2
］．
4
2
x
2
2
3
2
)＋
x
2
＞0，∴
f
(
x
1
)＞
f
(
x
2
)．
4
2
3
∴函数
f
(
x
)=－
x
＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
19.解析： 设
x
1
、
x
2
∈－1，1］且x
1
＜
x
2
，即－1≤
x
1
＜
x
2
≤1．
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)=
1?x
1
－
1?x
2
=
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2
2
(1?x
1
)?(1?x2
)
1?x
1
?1?x
2
22
22
=
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
)
1?x
1
?1?x
2
22

..
∵
x
2
－
x
1
＞0，
1 ?x
1
?1?x
2
＞0，∴当
x
1
＞0，
x
2
＞0时，
x
1
＋
x
2
＞0，那么f
(
x
1
)＞
f
(
x
2
)．
当
x
1
＜0，
x
2
＜0时，
x
1
＋
x
2
＜0，那么
f
(
x
1
)＜
f
(
x
2
)．
故
f
(
x
)=
1?x
2
在区间［－1，0］上是增函数，
f
(
x< br>)=
1?x
2
在区间［0，1］上是减函
数．
20.解析： 任取
x
1
、
x
2
∈0，＋
?
?
且
x
1
＜
x
2
，则
22
f
(x
1
)－
f
(
x
2
)=
x
1
?1
－
x
2
?1
－
a
(
x
1
－
x
2
)=
x
1
?x
2
x< br>1
?1?x
2
?1
(1)当
a
≥1时，∵
2 2
22
x
1
?x
2
2
22
2
－< br>a
(
x
1
－
x
2
)
x
1
?1?x
2
?1
=(
x
1
－
x
2
)(－
a
)
x
1
?x
2
x
1< br>?1?x
2
?1
22
＜1，
又∵
x
1－
x
2
＜0，∴
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＞0，即
f
(
x
1
)＞
f
(
x
2
)
∴
a
≥1时，函数f
(
x
)在区间［0，＋∞)上为减函数．
(2)当0＜
a< br>＜1时，在区间［0，＋∞］上存在
x
1
=0，
x
2
=
∴0＜
a
＜1时，
f
(
x
)在［０，＋
?
?
上不是单调函数
注： ①判断单调性常规思路为定义法；
②变形过程 中
2a
，满足
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
)=1
2
1?a
x
1
?x
2
x
1
?1?x
2
?1
22
＜1利用了
x
1
?1
＞|
x
1
|≥
x
1
;x
2
?1
＞
x
2
；
2
2
③ 从
a
的范围看还须讨论0＜
a
＜1时
f
(
x
)的单调性，这也是数学严谨性的体现．
21.解析： ∵
f
(
x
)在(－2，2)上是减函数
∴由
f
(
m
－1)－
f
(1－2
m
)＞0，得
f
(
m
－1)＞
f
(1－2
m
)
?
?
?1?m?3
?
?2?m?1?2
?
12
3
12
??
1
∴
?
?2?1?2m?2,即
?
??m?
解得
??m?
，∴
m
的取值范围是(－
,
)
2< br>23
23
?
m?1?1?2m
?
2
?
2?
m?
?
3
?
22.解析： (1)当
a
=< br>11
时，
f
(
x
)=
x
＋＋2，
x
∈1，＋∞)
2
2x
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..
设
x
2
＞
x
1
≥1，则
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)=x
2
＋
x?x
2
11
=(
x
2
－
x
1
)＋
1
=(
x
2
－
x< br>1
)(1－
?x
1
?
2x
2
2x
1
2x
1
x
2
1
)
2x
1
x2
∵
x
2
＞
x
1
≥1，∴
x
2
－
x
1
＞0，1－
1
＞0，则
f
(x
2
)＞
f
(
x
1
)
2x
1
x
2
可知
f
(
x
)在［1，＋∞)上是增函数． ∴
f
(
x
)在区间［1，＋∞
)
上的最小值为
f< br>(1)=
7
．
2
x
2
?2x?a
2
(2)在区间［1，＋∞
)
上，
f
(
x
)=＞0恒成立< br>?
x
＋2
x
＋
a
＞0恒成立
x
2 2
设
y
=
x
＋2
x
＋
a
，
x
∈1，＋∞)，由
y
=(
x
＋1)＋
a
－1可 知其在[1，＋∞)上是增函数，
当
x
=1时，
y
min
=3＋
a
，于是当且仅当
y
min
=3＋
a
＞0时 函数
f
(
x
)＞0恒成立．故
a
＞－3．
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