高中数学函数性质培优

高中数学函数性质培优
例1已知函数
f(x)?
2x?1
．
x?1
（1）确定
f(x)
在区间 [3,5]上的单调性并证明；（2）求
f(x)
在区间 [3,5]上的最值．





例2 已知函数
f(x)?x
2
?4x?3
．
（1）画出该函数的图象；（2）写出函数的单调区间．





例3 判断函数
y?x?
1
在
(0,??)
的单调性，并用定义证明之．
x




配套练习：1、下列四个函数中，在(0,＋
?
)上增函数的是
A．
f(x)
＝
3?x
B．
f(x)?(x?1)
C．
f(x)
＝
?
2
（ ）
1
D．
f(x)
＝?｜x｜
x?1
2、函数
y?(m?1)x?3
在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A．
(1,??)
B．
(??,0)
C．
(0,??)
D．
(??,1)

3、已知函数
f(x)?4x?kx?8
在［5,20］上是单调函数，则实数k的取值
范围是
（ ）
A．
(??,40]
B．
[160,??)
C．［40,160］ D．
(??,40]
2
[160,??)

（－?，4]
上递减，则a的取值范围是（ ） 4、
f(x)
＝x
2
?2(a?1)x?2
在区间
A．.[－3,
??
) B．(
??
,－3] C． (
??
,5] D． [3,
??
)
5、函数
f(x)?2x?mx?3
，当x?[?2,??)
是增函数，当
x?(??,?2]
时是减函数，则
m= ．
知识二：函数奇偶性的判定及应用
2

函数定义域的求法
例1判断下列函数的奇偶性
?
1
2
x?1,x?0
?
1?x
2
?
2
（ 1）
f(x)?
（2）
f(x)?
?

1
x?2?2
?
?x
2
?1,x?0
?
?2




例2 设函数
f(x)
与
g(x)
的定义域是
x?R
且
x??1
,
f(x)
是偶函数,
g(x)
是奇函数,且
f(x)?g(x)?



1
,求
f(x)
和
g(x)
的解析式.
x?1
ax
2
?1
例3 设函数
f(x)
＝是奇 函数，其中
a,b,c?N
，
f(1)?2
，
bx?c
⑴求
a,b,c
的值；
⑵判断并证明
f(x)
在
[1,??)
上的单调性．


f(2)?3
．
配套练习：1、已知
f(x)
是定义在 R上的奇函数，且当x＜0时，
f(x)
＝
x
2
?2x
+1 ．求
f(x)
的解析式，并作出
f(x)
的图象．
2、已知
f(x)?ax
4
?bx?3a?b
是偶函数，且其定义域为
[a?1,2 a]
，则
a
＝ ，
b＝ ．
3．已知
f(x)
与
g(x)
都是定义在R上的奇函数，若
G(x)
＝af(x)?bg(x)
＋2，且
G(?2)?5
，
则
G(2)
＝ ．
4．已知函数
f(x)
是定义在
?
?6,6
?
上的偶函数，
f(x)
的部分图象如图所示，求不等式
xf(x)?0
的解集．


5、下列判断正确的是（ ）
0 3 6
1?x
x
2
?2x
A．函数
f(x)?
是奇函数 B．函数
f(x)?(1?x)
是偶函数
1?x
x?2
C．函数< br>f(x)?x?x
2
?1
是非奇非偶函数 D．函数
f(x)?1
既是奇函数又是偶函数

知识三：函数单调性和奇偶性综合应用
例1 已知定义在（－1,1）上的 奇函数
f(x)
，在定义域上为减函数，且
f(1?a)?f(1?2a)?0
，求实数a的取值范围．



例2．已知函数
f(x)
的定义域是
(0,??)
，且满足
f(xy)?f(x)?f(y)
,f()?1
,
如果对于
0?x?y
,都有
f(x)?f(y)
,
（1）求
f(1)
；
（2）解不等式






1
2
f(?x)?f(3?x)??2
。
例3、已知函数
f(x)
对任意的x，y
?R,
总有
f(x )?f(y)?f(x?y)
且当x
?0
时，
2
（1）求证
f(x)
在R上是奇函数；
f(x)?0
，
f(1)??
．3
（2）求证
f(x)
在R上是减函数；（3）求
f(x)
在[ -3，3]上的最大值和最小值．




配套练习:1、如果奇函数
f(x)
在区间
[3,7]
上是增函数且最大值为
5
，
那么
f(x)
在区间
?
?7,?3
?
上是（ ）
A．增函数且最小值是
?5
B．增函数且最大值是
?5

C．减函数且最大值是
?5
D．减函数且最小值是
?5

2、若
f(x)
＝
(k?2) x
2
?(k?1)x?3
是偶函数，则
f(x)
的递增区间是 ．
3、若
f(x)
满足
f(?x)??f(x)
，且在
?
??,0
?
上是增函数，又f（-2）=0，则
xf(x)?0
的
解集是（ ）
A．
(?2,0)
?
??,?2
?
?
?
0,2
?
C．
?
??,?2
?
?
?
2,??
?
D．
?
?2,0
?
?
?
2,??
?

(0,2)
B．
4、已知函数
f(x)
的定义域为
?< br>?1,1
?
，且同时满足下列条件：（1）
f(x)
是奇函数； （2）
f(x)
在定义域上单调递增；（3）
f(1?a)?f(1?a)?0,
求
a
的取值范围。



2

知识四：函数的图象及图象变换
例1作出下列函数的图象：（1）
y?2?x
2
，
x?[?2,3]
．
（2）
f(x)?x?1?x?1

（3）已知函数
y?f(x)
如下表所示：


例2 函数y=1－
x

－2 －1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
y?f(x)

－1
1
的图象是（ ）
x?1

配套练习：1．某人从A地跑步到B地，随路程的增加速度减小，以纵轴表示 离B地的距离，横
轴表示出发后的时间，则下列图形较符合该人走法的是（ ）


d


t
t
O O
O
t
O
（A） （B） （C） （D）
2．直线
y?2
与函数
y?x
2
?6x
图象的交点个数为（ ）
（A）4个 （B）3个 （C） 2个 （D）1个
3、将y=2
x的图象_____，再作关于直线y=x对称的图象，可得到y=log
2
（x+1）的图 象（ ）
A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位
4、在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，动点P从A点出发，沿着矩形的边按A→B→C→D→A
的顺序运动到A，设 点P到对角线AC的距离为
y
，点P所经过的路程为
x
，将
y
表示成
x
的
函数，并画出此函数的图象．


t
d
d
d