高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1 ）对于函数
y?f(x)
，我们把方程
f(x)?0
的实数根叫做函数
y?f(x)
的零点。
（2）方程
f(x)?0
有实根
?
函数
y?f(x)
的图像与x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。因此判断一个
函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程
f(x)?0
是 否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：
解方程
f(x)?0
，所得实数根就是
f(x)
的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数
f(x)的变号零点。
②若函数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧 的函数值同号，则称该零点为函数
f(x)
的不变号零点。
③若函数
f(x )
在区间
?
a,b
?
上的图像是一条连续的曲线，则
f(a )f(b)?0
是
f(x)
在区间
?
a,b
?
内有 零点的充分
不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数< br>y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的曲线，并且有
f (a)?f(b)?0
，
那么，函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
x
0
?(a,b)
，使得
f(x
0
)?0
，这个
x
0
也就是方程
f(x) ?0
的
根。
（2）函数
y?f(x)
零点个数（或方程
f (x)?0
实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数
y?f(x)
的零点
?
f(x)?0
的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利 用函数的性质
找出零点。
（3）零点个数确定
??0?
y?f(x)有2个零点
?
f(x)?0
有两个不等实根；
??0?
y ?f(x)
有1个零点
?
f(x)?0
有两个相等实根；
??0?
y?f(x)
无零点
?
f(x)?0
无实根；对于二次函数在区间< br>?
a,b
?
上的零点个数，要结合图像进行确
定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间
[a,b]
上连续不断且
f(a) ?f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地把函数
y?f(x)
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间
[a,b]
,验证< br>f(a)?f(b)?0
,给定精确度
?
;
②求区间
(a,b)
的中点
c
;
1

③计算
f(c)
;
(ⅰ)若
f(c)?0
,则
c
就是函数的零点;
(ⅱ) 若
f(a)?f(c)?0
,则令
b?c
(此时零点
x
0< br>?(a,c)
);
(ⅲ) 若
f(c)?f(b)?0
,则令
a?c
(此时零点
x
0
?(c,b)
);
④判断是否达 到精确度
?
,即
a?b?
?
,则得到零点近似值为
a
(或
b
);否则重复②至④步.
【经典例题】
1．函数
f(x)=2+x?2
在区间
(0,1)
内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3

2．函数 f(x)＝2
x
＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2)
3
．若函数
f(x)?
a
x
?x?a
(
a?0
且
a?1
)
有两个零点，则实数
a
的取值范围是 .
4．设函数f(x)
(x?R)
满足f(
?x)=f(x)，f(x)=f(2
?
x)，且当
x?[0,1]
时，f( x)=x
3
.又函数g(x)= |xcos
(
?
x)
|， 则
函数h(x)=g(x)-f(x)在
[?,]
上的零点个数为 （ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
5．函数
f(x)?xcosx
在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A、4 B、5
6．函数
f(x)?
C、6 D、7
2
x3
13
22
x?cosx
在
[0,??)
内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
?
?
a，a－b≤1，
7．对实数a和b，定义运算“ ?”：a?b＝
?
设函数f(x)＝(x
2
－2)?(x－x
2)，x∈R，若函数y＝f(x)
?
b，a－b>1.
?

－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )
33
－1，
?
B、(－∞，－2]∪
?
－1，－
?
A、(－∞，－2]∪
?2
?
4
???
1131
－1，
?
∪
?
，＋∞
?
D、
?
－1，－
?
∪
?
，＋∞
?
C、< br>?
4
??
44
??
4
????
8．已知函数
f（x）
=
log
a
x?x?b(a＞0，且a?1).
当 2＜a＜3＜b＜4时，函数
f（x）
的零点
x
0
?(n,n?1) ,n?N
*
,则n=
.
9．求下列函数的零点：
（1）
f(x)?x?2x?x?2
； （2）
f(x)?x?



2

32
4
.
x

10．判断函数y＝x3
－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．






【课堂练习】
1、在下列区间中，函数
f(x)?e?4x?3
的零点所在的区间为 （ ）
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
(,)

2、若x
0
是方程
lgx?x?2
的解，则
x
0
属于 区间 （ ）
A、
(0,1)
B、
(1,1.25)
C、
(1.25,1.75)
D、
(1.75,2)

3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
x
1
4
1
4
11
42
13
2 4

4、函数f
?
x
?
=2+3x的零点所在的一个区间是 （ ）
x
A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）
5、设函数f
?
x
?
=4sin（2x+1）-x ，则在下列区间中函数f
?
x
?
不存在零点的是 （ ）
A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4]
6、函数
f
?
x< br>?
=
x
-
cosx
在[0，
??
﹚内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、若函数
f(x)
的零点与
g(x)?4?2x?2
的零点之差的绝对值不超过0.25，则
f(x)
可以是（ ）
2
A、
f(x)?4x?1
B、
f(x)?(x?1)
C、
f(x)?e?1
D、
f(x)?ln(x?)

x
x
1
2
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
2
32
A、
f(x)?x?8
B、
f(x)?lnx?3
C、
f(x)?x?22x?2
D、
f(x)??x?4x?1

9、函数f(x)=log
2
x+2x-1的零点必落在区间 （ ）
3

11
?
A、
?
?
,
?

?
84
?

11
?
B、
?
?
,
?

?
42
?

?
C、
?
?
,1
?

1
?
2
?
D、(1,2)
10、
lgx?
1
?0
有解的区域是 （ ）
x
C、
(10,100]
D、
(100,??)

A、
(0,1]
B、
(1,10]

11、在下列区间中，函数
f(x)?e
x?4x?3
的零点所在的区间为 （ ）
11
1113
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
(,)

4224
44
12、函数
f(x)?
?
x?log
2
x
的零点所在区间为（ ）
A、
[0,]

x
1
8
B、
[,]

11
84
C、
[,]

x
11
42
D、
[,1]

1
2
13、设
f
?
x
?
?3?3x?8
,用二分法求方程
3?3x?8?0在x?
?
1,2
?
内近似解的过程中得
f
?
1
?
?0,f
?
1.5
?
?0,f
?
1.25
?
?0,
则方程的根落在区间（ ）
A、
(1,1.25)
B、
(1.25,1.5)
C、
(1.5,2)
D、不能确定
14、设函数
f(x)?4sin(2x?1)?x
，则在下列区间中 函数
f(x)
不存在零点的是（ ）
．
A、
?
?4,?2
?
B、
?
?2,0
?
C、
?
0,2
?
D、
?
2,4
?

?
x
2
?2x?3,x ?0
15、函数
f(x)?
?
， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0
?2?lnx,x?0
?
16、若函数
f(x)?x
3
?x
2
?2x?2
的一个正数零点附近的函 数值用二分法计算，其参考数据如下：
f (1) = －2
f (1.375) = －0.260
f (1.5) = 0.625
f (1.4375) = 0.162
f (1.25) = －0.984
f (1.40625) = －0.054
那么方程
x
3
?x
2
?2x?2?0
的一个近似根（精确 到0.1）为 （ ）
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
17、方程
2
?x
?x
2
?3
的实数解的个数为 .
22
18、已知函数
f(x)?x?(a?1)x?a?2
的一个零点比 1大，一个零点比1小，求实数
a
的取值范围。
2
3
x
在区间
[?1,1]
上零点的个数，并说明理由。
3
32
20 、求函数
f(x)?x?2x?3x?6
的一个正数零点(精确度0.1)．
19、判断函数
f(x)?4x?x?
2



4

【课后作业】
1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )

2、设
f(x)?3?x
，则在下列区间中，使函数
f(x)有零点的区间是 ( )
A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0]
x 2
3、已知
f(x)
唯一的零点在区间
(1,3)
、
(1, 4)
、
(1,5)
内，那么下面命题错误的 （ ）
A、函数f(x)
在
(1,2)
或
?
2,3
?
内有零点 B、函数
f(x)
在
(3,5)
内无零点
C、函数
f(x)
在
(2,5)
内有零点 D、函数
f(x)
在
(2,4)
内不一定有零点
4、若函数
f(x)?x?3x?a
有3个不同的零点,则实数
a
的取值范围是 （ ）
A、
?
?2,2
?
B、
?
?2,2
?
C、
?
??,?1
?
D、
?
1,??
?

3
5、函数
f(x)?x?lnx
的零点所在的区间为 （ ）
A、（－1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e）
6、求函数
f(x)?2x?3x?1
零点的个数为 （ ）
A、
1
B、
2
C、
3
D、
4

3
2< br>7、如果二次函数
y?x?x?m?3
有两个不同的零点，则
m
的取值 范围是
（ ）
A、
(
11111111
,??)
B、
(??,)
C、
(??,)
D、
(,??)

4242
8、方程
lgx?x?0
根的个数为 （ ） A、无穷多 B、
3
C、
1
D、
0

9、用二分法求方程
f(x)?0
在(1,2)内近似解的 过程中得
f(1)?0,f(1.5)?0,f(1.25)?0
f(1)<0，则方程的根在区间 ( )
A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定
1
10、设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x) ( )
3
1
?
1
，1
，(1，e)内均有零点 B、在区间
?
，1
?
，(1，e)内均无零点 A、在区间
?
?
e
??
e
?
1
?
1
，1
内有 零点，在区间(1，e)内无零点 D、在区间
?
，1
?
内无零点，在区间(1，e)内有零点 C、在区间
?
?
e
??
e
?
5

11、设函数
f(x)?lnx?
1
2
x ?1(x?0)
，则函数
y?f(x)
( )
2
A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点
C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数
f(x )?x?3x?1
的零点时，第一次经计算
f(0)?0，f(0.5)?0
，可得其 中一个零点
3
x
0
?
， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、（0，0.5），
f(0.2< br>（0，1），
f(0.2
（0.5，1），
f(0.7
（0，0.5） ，
f(0.15)

B、
5)
C、
5)
D、
25)

13、函数
f(x)?2
x
?x
3< br>?2
在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
14、（已知函数< br>f(x)?log
a
x?x?b(a?0,且a?1).
当
2?a?3 ?4
是，函数
f(x)
的零点
x
0
?(n,n?1),n?
*
N,
. 则n=
15、用二分法求函数
y ?f(x)
在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取 区间(2,4)
2＋4
的中点x
1
＝＝3，计算得f(2)·f(x
1
)<0，则此时零点x
0
∈________．
2
x2
16、已知函数 f(x)＝
{
2－1，x>0，－x－2x，x≤0，

若函数 g(x)＝ f(x)－m有3个零点，则实数m的
取值范围是________．
17、函数
f(x)?x?5x?6
的零点组成的集合是 . 3
18、用“二分法”求方程
x?2x?5?0
在区间
[2,3]
内的实根，取区间中点为
x
0
?2.5
，那么下一个有根的
2区间是
19、函数
f(x)?lnx?x?2
的零点个数为 .
20、证明方程6－3x＝2
x
在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这 个实数解(精确度0.1)．



函数与方程
【考纲说明】
2、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
3、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数
y?f(x)
，我们把方程
f (x)?0
的实数根叫做函数
y?f(x)
的零点。
6

（2）方程
f(x)?0
有实根
?
函数< br>y?f(x)
的图像与x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点 。因此判断一个
函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程
f(x)?0
是否有实数 根，有几个实数根。函数零点的求法：
解方程
f(x)?0
，所得实数根就是
f(x)
的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数
f(x)
的变 号零点。
②若函数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧的函数值 同号，则称该零点为函数
f(x)
的不变号零点。
③若函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图像是一条连续的曲线，则
f(a)f(b )?0
是
f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点的充 分
不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数
y ?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的曲线，并且有
f(a)? f(b)?0
，
那么，函数
y?f(x)
在区间
?
a,b< br>?
内有零点，即存在
x
0
?(a,b)
，使得
f(x
0
)?0
，这个
x
0
也就是方程
f(x)?0的
根。
（2）函数
y?f(x)
零点个数（或方程
f(x)? 0
实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数
y?f(x)
的零点
?
f(x)?0
的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利 用函数的性质
找出零点。
（3）零点个数确定
??0?
y?f(x)有2个零点
?
f(x)?0
有两个不等实根；
??0?
y ?f(x)
有1个零点
?
f(x)?0
有两个相等实根；
??0?
y?f(x)
无零点
?
f(x)?0
无实根；对于二次函数在区间< br>?
a,b
?
上的零点个数，要结合图像进行确
定.
4、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间
[a,b]
上连续不断且
f(a) ?f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地把函数
y?f(x)
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间
[a,b]
,验证< br>f(a)?f(b)?0
,给定精确度
?
;
②求区间
(a,b)
的中点
c
;
③计算
f(c)
;
(ⅰ)若
f(c)?0
,则
c
就是函数的零点;
(ⅱ) 若
f(a)?f(c)?0
,则令
b?c
(此时零点
x
0< br>?(a,c)
);
(ⅲ) 若
f(c)?f(b)?0
,则令
a?c
(此时零点
x
0
?(c,b)
);
7

④判断是否达到精确度
?
,即
a?b?
?
,则得到零点近似值为
a
(或
b
);否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】 函数
f(x)=2+x?2
在区间
(0,1)
内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】B
【解析】解法1：因为
f(0)=1+0?2=?1
，
f(1)=2+2?2=8
，即
f(0)?f(1)<0
且函数
f( x)
在
(0,1)
内连
续不断，故
f(x)
在
(0 ,1)
内的零点个数是1.
解法2：设
y
1
=2
，
y
2
=2?x
，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.
4
x3
3
x3
2
510

【例2】 函数 f(x)＝2
x
＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(
4
－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2)
【答案】B
5
－
【解析】∵ f(－1)＝2
1
＋3×(－1)＝－<0，
6
2
0
f(0)＝2＋0＝1>0，
∴ f
8
(－1) f(0)<0.
∴ f(x)＝2
x
＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例
3
】若函数
f(x)?
a
x
?x?a
(
a?0
且
a?1
)
有两个零点，则实数
a
的取值 范围是
.

【答案】
（1，??）
2
?
函数
f(x)
=
a
x
?x?a
(
a?0
且
a?1
)
有两个零点，
?
方程
a
x?x?a?0
有两个不相等的实数【解析】
x
根，即两个函数
y?a与
y?x?a
的图像有两个不同的交点，当
0?a?1
时，两个函数的图 像有且仅有
一个交点，不合题意；当
a?1
时，两个函数的图像有两个交点，满足题意
.
【例4】设函数f(x)
(x?R)
满足f(
?x
)= f(x)，f(x)=f(2
?
x)，且当
x?[0,1]
时，f(x)=x
3
.又函数g(x)= |xcos
(
?
x)
|，
则函数h(x)=g(x)-f(x)在
[?,]
上的零点个数为 （ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
【答案】B
【解析】因为当
x?[0,1]
时，f(x)=x
3
. 所以当x?[1,2]
时，
(2?x)?[0,1]
，
f(x)?f(2?x) ?(2?x)
，
8

3
13
22

13
22
13
偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，
g()?g()?0
，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除 了0、
22
1113
1这两个零点之外，分别在区间
[?,0]、[0,]、 [,1]、[1,]
上各有一个零点，共有6个零点，故选B
2222
当
x ?[0,]
时，
g(x)?xcos(
?
x)
；当
x?[, ]
时，
g(x)??xcos(
?
x)
，注意到函数f(x)、 g(x)都是
【例5】函数
f(x)?xcosx
在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A、4 B、5
【答案】C
C、6 D、7
2
1
2
【解析】：f(x)=0 ，则x=0或cosx
2
=0，x
2
=kπ+

【例6】函数
f(x)?
π

,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C．
2
x?cosx
在
[0,??)
内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
【答案】B
【解析】解法一：数形结合法，令
f(x)?x? cosx
?0
，则
x?cosx
，设函数
y?x
和
y?cosx
，
x?cosx
在它们在
[0,??)
的图像如图所示 ，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数
f(x)?
[0,??)
内有且仅 有一个零点；

解法二：在
x?[
在
x?(0,
?
2
,??)
上，
x?1
，
cosx?1
，所以
f (x)?x?cosx
?0
；
1
2x
?sinx?0
，所 以函数
f(x)?x?cosx
是增函数，又因为
f(0)??1
，
?
2
]
，
f
?
(x)?
f()?
2
??
?0
，所以
f(x)?x?cosx
在
x?[0,]
上有且只有一个零点．
2
2
?
?
?
a，a－b≤1，【例7】对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝
?
设函数f(x)＝(x
2< br>－2)?(x－x
2
)，x∈R，若函数y
?
b，a－b>1.
?

＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )
33
－1，
?
B、(－∞，－2]∪
?
－1，－
?
A、(－∞，－2]∪
?
2
?
4
???
9

1131
－1，
?
∪
?
，＋∞
?
D、
?
－1，－
?
∪
?
，＋∞
?
C、< br>?
4
??
44
??
4
????
【答案】B
?
?
x－2，x－2－
(
x－x
)
≤1，
【解析】f(x)＝
?
＝
?
2
22
3
x－x()
x－x，x－2－>1
?
x－x
2
，x<－1，或x>，< br>22
2

3
x
2
－2，－1≤x≤，
2
?
2


则f
(
x
)
的图象如图

∵ y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴ y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，
3
由图象知c≤－2，或－14
【例8】已知函数
f（ x）
=
log
a
x?x?b(a＞0，且a?1).
当2＜a＜3＜ b＜4时，函数
f（x）
的零点
*
x
0
?(n,n?1), n?N则,n=
.
【答案】5
【解析】方程
loga
x?x?b(a＞0，且a?1)
=0的根为
x
0
,即函数< br>y?log
a
x(2?a?3)
的图象与函数
y?x?b(3?b?4 )
的交点横坐标为
x
0
,且
x
0
?(n,n?1) ,n?N
*
,结合图象,因为当
x?a(2?a?3)
时,
y?1< br>,此时对应直线上
y?1
的点的横坐标
x?1?b?(4,5)
;当< br>y?2
时, 对数函数
y?log
a
x(2?a?3)
的图象 上点的横坐标
x?(4,9)
,直线
y?x?b(3?b?4)
的图象上点的 横坐标
x?(5,6)
,故所求的
n?5
.
【例9】求下列函数的零点：
（1）
f(x)?x?2x?x?2
；
（2）
f(x)?x?
32
4
.
x
2
【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.
【解析】（1）由
x?2x?x?2?0,

3
x
2
(x?2)?(x?2)?0,
?(x?2)(x?1)(x?1)?0,

?x?2或x?1或x??1.
故函数的零点是2，1，-1.
4x
2
?4
?0,
（2）
由x??0,得
xx< br>(x?2)(x?2)
??0,?(x?2)(x?2)?0,

x
?x?2或x=-2.
10

故函数的零点是2，-2.
【例10】判断函数y＝x
3
－x－1在区间[ 1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．
【答案】1.312 5
【解析】 因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x
3
－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]
内有零点，用二分法逐次计算，列表如下 ：
区间
(1,1.5)
(1.25,1.5)
(1.25,1.375)
(1.312 5,1.375)
中点值
1.25
1.375
1.312 5
1.343 75
中点函数近似值
－0.3
0.22
－0.05
0.08
由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似零点为1.312 5.
【课堂练习】
1、在下列区间中，函数
f(x)?e?4x?3
的零点所在的区间为 （ ）
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
(,)

2、若x
0
是方程
lgx?x?2
的解，则
x
0
属于 区间 （ ）
A、
(0,1)
B、
(1,1.25)
C、
(1.25,1.75)
D、
(1.75,2)

3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
x
1
4
1
4
11
42
13
2 4

4、函数f
?
x
?
=2+3x的零点所在的一个区间是 （ ）
x
A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）
5、设函数f
?
x
?
=4sin（2x+1）-x ，则在下列区间中函数f
?
x
?
不存在零点的是 （ ）
A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4]
6、函数
f
?
x< br>?
=
x
-
cosx
在[0，
??
﹚内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、若函数
f(x)
的零点与
g(x)?4?2x?2
的零点之差的绝对值不超过0.25，则
f(x)
可以是（ ）
2
A、
f(x)?4x?1
B、
f(x)?(x?1)
C、
f(x)?e?1
D、
f(x)?ln(x?)

x
x
1
2
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
2
32
A、
f(x)?x?8
B、
f(x)?lnx?3
C、
f(x)?x?22x?2
D、
f(x)??x?4x?1

9、函数f(x)=log
2
x+2x-1的零点必落在区间 （ ）
11

11
?
A、
?
?
,
?

?
84
?

11
?
B、
?
?
,
?

?
42
?

?
C、
?
?
,1
?

1
?
2
?
D、(1,2)
10、
lgx?
1
?0
有解的区域是 （ ）
x
C、
(10,100]
D、
(100,??)

A、
(0,1]
B、
(1,10]

11、在下列区间中，函数
f(x)?e
x?4x?3
的零点所在的区间为 （ ）
11
1113
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
(,)

4224
44
12、函数
f(x)?
?
x?log
2
x
的零点所在区间为（ ）
A、
[0,]

x
1
8
B、
[,]

11
84
C、
[,]

x
11
42
D、
[,1]

1
2
13、设
f
?
x
?
?3?3x?8
,用二分法求方程
3?3x?8?0在x?
?
1,2
?
内近似解的过程中得
f
?
1
?
?0,f
?
1.5
?
?0,f
?
1.25
?
?0,
则方程的根落在区间（ ）
A、
(1,1.25)
B、
(1.25,1.5)
C、
(1.5,2)
D、不能确定
14、设函数
f(x)?4sin(2x?1)?x
，则在下列区间中 函数
f(x)
不存在零点的是（ ）
．
A、
?
?4,?2
?
B、
?
?2,0
?
C、
?
0,2
?
D、
?
2,4
?

?
x
2
?2x?3,x ?0
15、函数
f(x)?
?
， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0
?2?lnx,x?0
?
16、若函数
f(x)?x
3
?x
2
?2x?2
的一个正数零点附近的函 数值用二分法计算，其参考数据如下：
f (1) = －2
f (1.375) = －0.260
f (1.5) = 0.625
f (1.4375) = 0.162
f (1.25) = －0.984
f (1.40625) = －0.054
那么方程
x
3
?x
2
?2x?2?0
的一个近似根（精确 到0.1）为 （ ）
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
17、方程
2
?x
?x
2
?3
的实数解的个数为 .
22
18、已知函数
f(x)?x?(a?1)x?a?2
的一个零点比 1大，一个零点比1小，求实数
a
的取值范围。
2
3
x
在区间
[?1,1]
上零点的个数，并说明理由。
3
32
20 、求函数
f(x)?x?2x?3x?6
的一个正数零点(精确度0.1)．
19、判断函数
f(x)?4x?x?
2
【课后作业】
1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )
12

2、设
f(x)?3?x，则在下列区间中，使函数
f(x)
有零点的区间是 ( )
A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0]
x2
3、已知
f(x)唯一的零点在区间
(1,3)
、
(1,4)
、
(1,5)
内，那么下面命题错误的 （ ）
A、函数
f(x)
在
(1,2 )
或
?
2,3
?
内有零点 B、函数
f(x)
在
(3,5)
内无零点
C、函数
f(x)
在
(2,5)
内有零点 D、函数
f(x)
在
(2,4)
内不一定有零点
4、若函数
f(x)?x?3x?a
有3个不同的零点,则实数
a
的取值范围是 （ ）
A、
?
?2,2
?
B、
?
?2,2
?
C、
?
??,?1
?
D、
?
1,??
?

3
5、函数
f(x)?x?lnx
的零点所在的区间为 （ ）
A、（－1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e）
6、求函数
f(x)?2x?3x?1
零点的个数为 （ ）
A、
1
B、
2
C、
3
D、
4

3
2< br>7、如果二次函数
y?x?x?m?3
有两个不同的零点，则
m
的取值 范围是
（ ）
A、
(
11111111
,??)
B、
(??,)
C、
(??,)
D、
(,??)

4242
8、方程
lgx?x?0
根的个数为 （ ） A、无穷多 B、
3
C、
1
D、
0

9、用二分法求方程
f(x)?0
在(1,2)内近似解的 过程中得
f(1)?0,f(1.5)?0,f(1.25)?0
f(1)<0，则方程的根在区间 ( )
A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定
1
10、设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x) ( )
3
1
?
1
，1
，(1，e)内均有零点 B、在区间
?
，1
?
，(1，e)内均无零点 A、在区间
?
?
e
??
e
?
1
?
1
，1
内有 零点，在区间(1，e)内无零点 D、在区间
?
，1
?
内无零点，在区间(1，e)内有零点 C、在区间?
?
e
??
e
?
11、设函数
f(x)?ln x?
1
2
x?1(x?0)
，则函数
y?f(x)
( )
2
13
A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点

C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数
f(x )?x?3x?1
的零点时，第一次经计算
f(0)?0，f(0.5)?0
，可得其 中一个零点
3
x
0
?
， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、（0，0.5），
f(0.2< br>（0，1），
f(0.2
（0.5，1），
f(0.7
（0，0.5） ，
f(0.15)

B、
5)
C、
5)
D、
25)

13、函数
f(x)?2
x
?x
3< br>?2
在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
14、（已知函数< br>f(x)?log
a
x?x?b(a?0,且a?1).
当
2?a?3 ?4
是，函数
f(x)
的零点
x
0
?(n,n?1),n?
*
N,
. 则n=
15、用二分法求函数
y ?f(x)
在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取 区间(2,4)
2＋4
的中点x
1
＝＝3，计算得f(2)·f(x
1
)<0，则此时零点x
0
∈________．
2
x2
16、已知函数 f(x)＝
{
2－1，x>0，－x－2x，x≤0，

若函数 g(x)＝ f(x)－m有3个零点，则实数m的
取值范围是________．
17、函数
f(x)?x?5x?6
的零点组成的集合是 . 3
18、用“二分法”求方程
x?2x?5?0
在区间
[2,3]
内的实根，取区间中点为
x
0
?2.5
，那么下一个有根的
2区间是
19、函数
f(x)?lnx?x?2
的零点个数为 .
20、证明方程6－3x＝2
x
在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这 个实数解(精确度0.1)．





函数与方程【参考答案】
【课堂练习】
1-16、CDCBA BACCB CCBABC
17、2
22
18、解：设方程
x?(a?1)x?a?2 ?0
的两根分别为
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
，
则
(x
1
?1)(x
2
?1)?0
，所以
x
1
?x
2
?(x
1
? x
2
)?1?0

由韦达定理得
a?2?(a?1)?1?0
，
2
14

即
a?a?2?0
，所以
?2?a?1

19、解：因为
f
?
?1
?
??4?1?
2
27213
???0
，
f
?
1
?
?4?1??? 0

3333
所以
f
?
x
?
在区间
[?1,1]
上有零点
91
??
又
f
?
x?
?4?2x?2x??2
?
x?
?

22
? ?
'2
2
当
?1?x?1
时，
0?f
'
?
x
?
?
9

2
所以在
[?1,1]
上单调递增函数，所以
f
?
x
?
在
[?1,1]
上有且只有一个零点。
20、解 由于
f(1)??6?0,f(2)?4?0
，< br>可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表
如下：
区间
(1,2)
(1.5,2)
(1.5,1.75)
(1.625,1.75)
(1.687 5,1.75)
中点
1.5
1.75
1.625
1.687 5
1.718 75
中点函数值
－2.625
0.234 4
－1.302 7
－0.561 8
－0.170 7
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．
【课后作业】
1-13、BDCAB CCDAD AAB
14、2
15、(2,3)
16、 (0,1)
17、
{2,3}

18、
[2,2.5)

19、2
20、证明 设函数f(x)＝2
x
＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2
x
＋3x－6在区间[1,2]内有唯 一的零点，
则方程6－3x＝2
x
在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x
0
，则x
0
∈[1,2]，
取x
1
＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x
0
∈(1,1.5)，
取x
2
＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x
0
∈(1,1.25)，
取x
3
＝1.125，f(1.125)＝－0.445<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，∴x
0
∈(1.125,1.25)，
取x
4
＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，
15

f(1.187 5)·f(1.25)<0，
∴x
0
∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
∴1.187 5可以作为这个方程的实数解．



16