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高一数学函数的三要素

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 16:13
tags:高中数学函数

高职面向高中数学-高中数学增减函数教学视频


1.2.2函数的三要素
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)了解函 数三要素的含义,掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数
的方法.
(2)会求简 单函数的定义域和函数值.
2.过程与方法
通过示例分析,让学生掌握求函数定义域的基本题型 及方法,进一步加深对函数概念的
理解.通过求出函数的函数值,加深对应法则的认识.
3.情 感、态度与价值观
通过动手实践研究数学问题,提高分析问题,解决问题能力;体会成功地解答数学问题
的学习乐趣,培养钻研精神.
(二)教学重点与难点
重点:掌握函数定义域的题型及求 法.
难点:理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.
(三)教学方法
启发 式教学,在老师引导,学生在合作的状态下理解知识、应用知识,提升学生应用知
识和基本技能探究解决 问题的能力.
(四)教学过程
教学环节 教学内容
1.回顾函数的定义.
2.示例剖析
师生互动 设计意图
1.老师引导学生分析例1函数
解析式的结构特征. 结合函数的定
例1 已知函数f (x) =
x?3
+
义,感知函数定义域即使解析式有
意义的 自变量的取值范围.
1
.
x?2
2.分析例2的题型特点,结合
(1 )求函数的定义域;函数的定义,阐明确定函数的因素
为定义域和对应法则,并了解值域
2(2)求f (–3),
f()
的值;
3
由这二要素决定.
(3 )当a>0时,求f (a),f (a –
例1解:使根式
x?3
有意义的
1)的值.实数x的集合是{x | x≥–3},使分式
复习回顾
例2 下列函数中哪个与函数y
1
有意义的实数x的集合是{x | x
范例分析
x?2
= x相等?
强化概念
≠–2}. 所以,这个函数的定义域就
(1)
y?(x)
2

是 {x | x≥–3}∩{x|x≠–2}
={x|x≥–3,且x≠–2}.
(2)
y?
3
x
3

1
(2)
f(?3)??3?3?
= –1;
?3?2
(3)
y?x
2

2113
12
?

?3
=+=
f()
2
38
3< br>x
2
3
?2
(4)
y?
.
3
x2.函数定义的理解.
333
=
?
.
83
由函数的定义 可知,一个函数的构成
从回顾概
念入手,引
入求定义
域的思考
方法及 求
定义域的
基本原则.


要素为:定义域、对应关系和值域.
由于值域是由定义域和对应关系决
定的,所以,如果两个函数的定义域
相同,并且对应关系完全一致,我们
就称这两个函数相等 .
3.区间的概念:
(1)不等式a≤x≤b,用闭区间
[a,b]表示;
( 2)不等式a<x<b,用开区间
(a, b)表示;
(3)不等式a≤x<b (或a<x≤
b)用半开半闭区间[a,b](或(a,b])表
示;
(4)x≥a,x>a,x≤ b,x<b
分别表示为[a,+∞),(a, +∞),(–∞,
b],(–∞, b).
(3)因为a>0,所以f (a),f (a – 1)
有意义.
f(a)?a?3?
1

a?2
f (a–1) =
a?1?3
+
1
1
=
a?2
+.
(a?1)?2
a?1
例2解:(1)
y?(x)
2
= x (x
≥0),这个函数与函数y = x (x∈R)
虽然对应关系相同,但是定义域不
相同. 所以,这个函数与函数y = x (x∈R)不相等.
(2)
y?
3
x
3
?x
( x∈R),这个函数
与函数y = x(x∈R)不仅对应关系相
同,而且定义域也相同. 所以,这
个函数与函数y = x(x∈R)相等.
(3)
y?x
2
?|x|
=
?
?
x,x?0,

?
?x,x?0.
个函数与函数y = x(x∈R)的定义域
都是实数集R,但是当x<0时,它
的对应关系与函数y = x(x∈R)不相
同. 所以,这个函数与函数y = x(x
∈R)不相等.
x
2
(4)
y?
的定义域是{x | x≠0},
x
与函数y = x (x∈R)的对应关系相
同但定义域不相同. 所以,这个函
数与函数y = x(x∈R)不相等.
训练题1:求下列函数的定义域.(1)
f(x)?
1

x?2
(2)
f(x)?3x? 2

(3)
f(x)?x?1?
应用举例
1
.
2?x
小结:从上例可以看出,求用解
析式y = f (x) 表示的函数的定义域,常
有以下几种情况:
1.函数的定义域即使函数解析
式有意义的 实数集.
2.已知函数y = f (x)
(1)若f (x)为整式,则定义域为

学生合作交流完成训练题1并

说明解法原理.

老师点评学生的解法及总结、

题型.
师生合作小结求定义域的方法固化定义
及求解步骤. 域的求法
训练题1解:(1)x – 2≠0,即及求解原
理.
1
x≠2时,有意义,
x?2

∴这个函数的定义域是{x | x≠强化函数
2}.
值的基本
求法、加深
2
(2)3x + 2≥0,即x≥
?
时,
3
对函数三
3x?2
有意义,∴函数y =
3x?2
要素含义


R.
的理解.
2
的定义域是
[?
,+∞).
3

(2)若f (x)为分式,则定义域是
?
x?1?0
?
x??1

使分母不为零的实数的集合;
?
?
(3)
?
,∴
(3)若f (x)是偶次根式,那么函
?
2?x?0
?
x?2
数的定义域是根号内的式子不小于这个函数的 定义域是{x | x≥–1}∩
零的实数的集合; {x | x≠2} = [–1,2)∪(2,+∞).
(4)若f (x)是由几个部分的数学注意:函数的定义域常用二种
式子构成的,那么函数的定义域是使方法表示:集合、区间.

各部分式子都有意义的实数的集合

(即使每个部分有意义的实数的集

合的交集);

(5)若f (x)是由实际问题列出

的,那么函数的定义域是使解析式本

身有意义且符合实际意义的实数的
集合. 学生自主完成训练题2,体会
训练题2:(1)已知f (x) = 2x + 3,求函数值与对应法则之间的关系.
求f (1),f (a),f (m + n),f [f (x)]. 训练题2解:(1)f (1) = 2×1+3=5.
(2)①已知f (x) = x
2
+ 1,则f (3x f (a) = 2×a + 3 = 2a + 3.
+ 2) = ; f (m + n) = 2×(m + n) + 3
= 2 (m+n) + 3.
②已知f (x) = 2x
3
– 1,则f (–x)
= .
f [f (x)] = 2×f (x) + 3
= 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9.
(3)已知函数
(2)①9x
2
+ 12x + 5;②–2x
3
–1.
?
x?1,(x?0)
(3)
?
?1
;(4)D.
?
(x?0)
, f (x) =
?
?
,
?
0,
?
(x?0)
则f {f [f (–1)]} = .
(4)在函数
?
x?2,(x??1)
?
(?1?x?2)
中,若f (x) =
?
x
2
,
?
2x,(x?2)
?
f (x) = 3,则x的值是( )
3
A.1 B.1或
2
C.±
3
D.
3

1.求函数定义域的原理:使函
归纳总结 数解析式有意义的自变量取值范围. 师生合作归纳小结
2.求函数值的方法:代入法.
课后作业 1.2 第二课时习案 学生独立完成
训练归纳
概括能力
固化技能
备选例题
例1 求下列函数的定义域
1
(1)
y??x
2
?1

2
(2)
y?
x?2

x
2
?4


(3)
y?
1

x?|x|




(4)
y?x?1?4?x?2

(6)
y?ax?3
(a为常数). (5)
y?4?x
2
?
1

|x|?3
【解析】(1)x∈R;
(2)要使函数有意义,必须使x
2
– 4≠0,得原函数定义域为{x | x∈R且x≠±2};
(3)要使函数有意义,必须使x + |x|≠0,得原函数定义域为{x | x>0};
(4)要使函数有意义,必须使
?
?
x?1?0,
得原函数的定义域为{x | 1≤x≤4};
4?x?0,
?
?
4?x< br>2
?0,
(5)要使函数有意义,必须使
?
得原函数定义域为{x | –2≤x≤2};
|x|?3?0;
?
(6)要使函数有意义,必须使ax – 3≥0,得
当a>0时,原函数定义域为{x | x≥
当a<0时,原函数定义域为{x | x≤
3
};
a
3
};
a
当a = 0时,ax – 3≥0的解集为
?
,故原函数定义域为
?
.
例2 (1)已知函数f (x)的定义域为(0, 1),求f (x
2
)的定义域.
(2)已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1),求f (x)的定义域.
(3)已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3],求f (2x
2
– 2)的定义域.
【解析】(1)∵f (x)的定义域为(0, 1),
∴要使f (x< br>2
)有意义,须使0<x
2
<1,即–1<x<0或0<x<1,∴函数f (x
2
)的定义域为
{x| –1<x<0或0<x<1}.
(2)∵f (2x + 1)的定义域为(0, 1),即其中的函数自变量x的取值范围是0<x<1,令t =
2x + 1,∴1<t<3,∴f (t)的定义域为1<x<3,∴函数f (x)的定义域为{x | 1<x<3}.
(3)∵f (x + 1)的定义域为–2≤x≤3,
∴–2≤x≤3.
令t = x + 1,∴–1≤t≤4,
∴f (t)的定义域为–1≤t≤4.
即f (x)的定义域为–1≤x≤4,要使f (2x
2
– 2)有意义,须使–1≤2x
2
– 2≤4,

?3
≤x≤
?
2
2
或≤x≤
3
.
2
2
2
2
或≤x≤
3
}.
2
2
注意:对于以上(2)(3)中的f (t)与f (x)其实质是相同的.
函数f (2x
2
– 2)的定义域为{x |–
3
≤x≤
?




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