高一数学函数关系的建立、函数的和与积(教师版)

学科教师辅导讲义

年 级： 辅导科目： 数学 课时数：
课 题
函数关系的建立及函数的运算
1、 能够把实际问题通过建模建立函数解决；
2、 理解函数运算的意义，会求两个函数的和或积。
教学内容
教学目的
【知识梳理】
一、函数关系的建立
1.怎样求实际问题中两个变量间的函数关系式？
2.建立函数关系的一般步骤都有哪些？
3.怎样通过建立数学模型解决实际问题？

建立函数关系的一般步骤
步骤：（1）审题：分析题意，设出两个变量。
（2）建模
（3）得出函数关系式，根据实际情况写出函数定义域
【注意】建立函数关系时，除了要写出变量之间 的关系式外，还必须确定定义域，而确定定义域除了考虑函数解析式
有意义外，还应考虑实际问题背景下 自变量的限制条件。
二、和函数、积函数
和函数与积函数的概念
1、定义：一般 的，函数
f
?
x
??
x?D
1
?
与
g
?
x
??
x?D
2
?
，设
D?D1
ID
2
并且D不是空集，我们把
y?f
?
x
?
?g
?
x
??
x?D
?
叫做函数
f?
x
?
与g
?
x
?
的和；把
y?f< br>?
x
?
?g
?
x
?
叫做
f
?
x
?
与g
?
x
?
的积
2、函数
f
?
x
?
与g
?
x
?
的和
F< br>?
x
?
或积
G
?
x
?
的解析式由< br>f
?
x
?
与g
?
x
?
的解析式的和 （
F
?
x
?
?f
?
x
?
?g?
x
?
）
或积（
G
?
x
?
? f
?
x
?
?g
?
x
?
）表示
【注意】
（1）如果
f
?
x
?
的定义域与
g
?
x
?
的定义域的交集是空集，那么
f
?
x< br>?
?g
?
x
?
无意义
（2）两个函数的和与积，都 是在两函数的公共定义域中定义的，在这个公共定义域D中，任取
x?D
，
????< br>f
?
x
?
?g
?
x
?
,f
?
x
?
gg
?
x
?
都有唯一的一个值和它对应，因 此，这样的和与积都是函数。
（3）求积函数的函数值与求和函数的函数值类似，需要先看自变量是否在定义域内。
3、和函数与积函数的图像与应用
和函数的的图像可以看做是由若干个函数的图像在其对应的 位置上的叠加而成的，积函数的图像一般只能用列

表描点法完成。
例如：函数
y?ax?
bb
a,b?R
?
?
是由
y?ax
和
y?
两个函数相加得到的和函数。
?
xx
【典型例题分析】
【例1】等腰三角形周长为20
（1） 若底边是
x
，腰长是
y
，将
y
表示成
x
的 函数
（2）若腰长是
x
，底边长是
y
，将
y
表示 成
x
的函数
【答案】（1）
y??
1
x?10,x??
0,10
?

2
（2）
y??x?20,x?
?
5,10
?

【点拨】函数 有三要素。其中函数关系
f
和定义域决定了函数的值域，因此建立函数关系式时，必须求出自变 量的
范围，在实际问题中定义域的确定应考虑变量的实际意义。
变式练习：某工厂今年1月， 2月，3月分别生产某产品1万件，1.2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，
以这三个月 的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量
y
与月份数
x
的关系，模 拟函数可选函数
y?ab?c
（其中
a,b,c
为常数）或二次函数。已知4 月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，
并说明理由。
【解析】先确定两种函数的解析式，再判别
x?4
时，哪个函数更接近1.37
2
【答案】
y
1
??0.05x?0.35x?0.7

y
2
??0.8?
?
0.5
?
?0.4

x
x
用
y
2
??0.8?
?
0.5
?
?0.4
作为模拟函数较好
【例2】要建造一个高为3米，容积为48立方米的 无盖的长方体储水池，已知池底的造价为每平方米1500元，池壁
的造价为每平方米1000元，试将 该储水池的总造价
y
表示成池底一边长
x
的函数。
【解析】因为储 水池容积为48立方米，高是3米，所以池底面积为16平方米，池底是矩形，设池底一边长
x
米，则
另一边长
x
16
?
16
?
米，侧面积为
2
?
3x?3
g
?
平方米
x
?
x
?
?
?
16
?
?
?
x?0
?
可拓展：什么时候造价最低？
x
?
【答案】
y ?24000?6000
?
x?
【例3】在
Rt
△ABC中，∠C= 90°,∠CAB=30°,AB=2,以A为原点、射线AB为x轴正半轴，建立直角坐标系，若点
E
?
t,0
?
、F
?
t?1,0
?
在线段A B上移动，其中
t?
?
0,1
?
，过点E、F且垂直于x轴的直线< br>a,b
所夹三角形部分的面积记为
y
，求
y
关于
t< br>的函数关系式。
【解析】这里需要注意区分过点F且垂直于x轴饿直线b是与线段AC相交 ，还是线段
BC相交这两种情况。
y
C
H
G
E

F
B

?
?
?
【答案】
y?
?
?
?
?< br>31
?
2t?1
?
,当0?t?
62

31
3t?2t
2
?
,当?t?1
?
32
【点拨】在有 关函数的问题中，对自变量变化所引起的不同情况应该区分清楚，
分类加以研究。
变式练习 ：有一个附有进水管和出水管的容器，单位时间的进出水量都是恒定的，设
从某时刻开始4分钟只进水不 出水，在随后的8分钟内既进水又出水。容器中的水量
y
（升）关于时间
x
（ 分钟）的函数关系式如图，现在假设12分钟之后只放水不进
水，求从这12分钟起这段时间里容器中的 水量
y
（升）关于时间
x
（分钟）的函数
关系式。
【解析 】根据题意，列出
y
与
x
的函数关系式，还应强调
x
的定义 域，包括它的实际
意义。
【答案】
y?30?
y
30
20
412x
15
?
x?12
?
,12?x?20
< br>4
?
【点拨】认真读题，包括读图像，分析容器中的水量与时间
x
的关 系，是解决问题的关键。
【例4】如图所示，设矩形ABCD
(AB?CD)
的周长 为2，把△ABC沿对角线翻折180°到△
ABC
位置，
AB
与
C D
相交于点
P
，若设
AB?x,
试将△
ADP
的面 积
S
表示成
x
的函数。

【答案】
S?

?

B

1112x?1
DPgAD?t
?
1 ?x
?
?gg
?
1?x
?

2222x
D
C
P
1
?
1
??
1
?
3?2x? ,x?
???
,1
?

4
?
x
??
2
?
A


【点拨】皆此类题，关键是要认真分析图形，根据已知量得出结论。
【例5】某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销
电价表如下：
高峰时间段用电价表
高峰月用电量
（单位千瓦时）
50及以下部分
超过50至200的部分
超过200的部分
高峰电价
（单位：元千瓦时）
0.568
0.598
0.668
高峰时间段用电价表
低峰月用电量
（单位千瓦时）
50及以下部分
超过50至200的部分
超过200的部分
低峰电价
（单位：元千瓦时）
0.228
0.318
0.388
B< br>若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按
这种计费方法，该家庭本月应付的电费为______元（用数字作答）
【解析】对于应付的 电费应分为两部分构成，高峰部分为
50?0.568?150?0.598
；对于低峰部分为
50?0.228?50?0.318
，两部分之和为148.4
【答案】148.4

【例6】设
f
?
x
?
?
11

? 3x,gx?x?1?
??
x
2
x
2
（1）求
f< br>?
x
?
?g
?
x
?
，并求它的定义域 （2）求
f
?
?
?
1
??
1
?
?g
??
?
?
,f
?
3
?
?g
?
3
?
,f
?
?2
?
?g
?
?2
?

?
2
??
2
?
【解析】两个函数的和 或积所得的函数的定义域不能孤立来求，必须要注意到原来函数的定义域。
【答案】（1）
f
?
x
?
?g
?
x
?
?3x?x?1,x?
?
?
?1,0
?
U
?
0,??
?

2?3
?
1
??
1
?
f
?
??
?g
?
?
?
?,
（2）
?
2
?

f
?
?2
?
?g
?
?2
?
无意义
22
??
f
?
3
?
?g
?
3?
?11,
变式练习：
1、
f(x)?x?2?3?x,g(x)?x ?1?3?x,则函数f(x)?g(x)的定义域是
（ B ）
A、
?
1,3
?
B、
?
2,3
?
C、
?
1，??
?
D、
?
2，??
?

2、设
f(x)?
1
3?2x?x
2
,g(x)?x
2
?2x?3,则f(x)?g(x)?
答案：
?3?2x?x
2
,x?(?3,1)

x
2
?3x2x?1
【例7】已知
f
?
x
?
?

,g
?
x
?
?
x?3
2x?1
（1） 求函数
f
?
x
?
?g
?
x
?
< br>（2）求
f
?
?1
?
gg
?
?1
?
,f
?
1
?
gg
?
1
?

【答案】（1）
f
?
x
?
?g
?
x
?< br>?x,x?
?
?
?
1
?
,3
?
U< br>?
3,??
?

2
??
（2）
f
?
?1
?
g
g
?
?1
?
不存在,
f
?
1
?
g
g
?
1
?
?1

【点拨】求
f
?
x
?
,g
?
x
?
时，一定要先求定义域，而两个函数是否相同还要看对应法法则与定于域是否一致。
【例8】 已知
f
?
x
?
?x,g
?
x
?
?
4

x
（1）求
F
?
x
?
?f< br>?
x
?
?g
?
x
?

（2）在直角坐标系中做出
F
?
x
?
的图像
【答 案】（1）
F
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
?x?
4
,x?
?
??,0< br>?
U
?
0,??
?

x
【点拨】和函数F
?
x
?
的图像可以看作为有
f
?
x
?
和g
?
x
?
的函数图像在对应的自变量所得的函数值叠加而成，< br>这即是和函数的意义。

【课堂小练】
1、红旗中学高一年级学生，对某蔬 菜基地的收益做了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月
1日起的300天内，西 红柿市场售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系
用图②的抛 物线表示，试解答下列问题。
（1）写出图①表示的市场售价与上市时间的函数关系式
P?f
?
t
?
，写出图②表示的种植成本与上市时间的函数关系
式
Q?g
?
t
?
；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
h
300
200
100
200
①

【答案】（1）
f
?
t
?
?
?

g
?
t
?
?
300
t

?
300?t,0?t?200

?
2t?300,200?t?3 00
1
2
t?150
??
?100
?
0?t?30 0
?

200
?
1
2
1175
?t?t? ,
?
0?t?200
?
?
?
20022
（2）
h
?
t
?
?
?

?
?1
t
2
?
7
t?
1025
,
?
200?t?300
?
?
22
?
200
当
t?50,h
?
t
?
取得在
t?
?
0, 300
?
上的最大值100，即从2月1日开始的第50天，上市的西红柿收益最大。
【点拨】仔细阅读，分析图像，得出关系式是本题解决问题的关键。
2、某小型自来水厂的储蓄池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注入自来水6

吨， 若蓄水池向居民小区不间断地供水，且
t
小时内供水总量为
1206t
吨?
0?t?24
?
；
（1）供水开始几小时后，蓄水池中的水量最少？最少水量为多少吨？
（2）若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天的24小时内，有
多少小时会出现供水紧张现象，并说明理由。
【解析】蓄水池的入水、供水关系已确定，可较 容易确定解析式，但解析式中会含有
6t
，
需进一步处理。
【答案】（1 ）设
t
小时后蓄水量为
y
，则
y?400?60t?1206t
当
t?6时，y
min
?40

（2）
832
在一天的24小时内，有8小时供水紧张
?t?
33
11
?1,g
?
x
?
?x
2
?
，求f
?
x
?
?g
?
x
?

xx
3.已知函数
f
?
x
?
?x?
【答案】
f
?
x
?
?g
?
x
?
?x
2
?x?1
?
x?0
?

4. 已知函数
f
?x
?
?2x,g
?
x
?
?
2
1
，设
G
?
x
?
?2x
，则函数
G
?x
?
与f
?
x
?
gg
?
x
?
是不是同一函数？为什么？
x
【答案】函数
G
?
x
?
?2x,x?
?
??,??
?
,f
?
x
?
gg
?
x
?
?2x,x?
?
??,0
?
U
?
0,??
?

G
?
x
?< br>与f
?
x
?
gg
?
x
?
的表达式虽 然相同，但定义域不同，所以它们不是同一函数。
5. （1）作函数
y?x?2x?1

（2）作函数
y?
2
1
x
2
的图像
【解析】转化为已知的函数（如二次函数，反比例函数）的图像问题．
2
2
?
x?2x?1?x?1?2
?
x?0
???
?
2
【答案】（1）(l)
y?x?2x?1?
?

2
2
?
?
x?2x?1?
?
x?1
?
?2
?
x?0
?
图像如图3-3-2①
?
1
x?0
??
?
?
x
（2）
y?
?
图像如图3-3-2②．
?
?
1
?
x?0
?
?
?
x

6.
已知函数
f
?
x
?
?x,g?
x
?
?
【解析】列表描点、叠加
作图略

1
，在同一坐标系中，作函数
f
?
x
?
?g
?x
?
与
f
?
x
?
?g
?
x< br>?
的图像
x




【课堂总结】
1 解应用题的一般思路可表示如下：
实际问题
数学化
转化为数学问题< br>数学问题
数学解答
问题解决
实际问题结论
回到实际问题
数学问 题结论

2 解应用题的一般程序
（1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础
（2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建
“模”是关键的一关
（3）解 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化
过程
3．在求函数的和或者是积得时候注意定义域。

【课后练习】
函数关系的建立：
一、基础巩固
1.在一定范围内，某产品的购买量
y< br>吨与单价
x
元满足一次函数的关系，如果购买1000吨，每吨800元，如果购买2000吨，每吨700元，如果一客户购买400吨，单价应该是（ ）
A 820元 B 840元 C 860元 D 880元
3.某种书籍，每 本5.60元，买
x
本这种书所需的钱为
f
?
x
?
?5.60x
（元），则此时
x
可取一切
（ ）
A 实数 B 整数 C 有理数 D 非负整数
4.将一根长为
l
的铁丝折成一个正三角形，则这个正三角形的面积
S
与铁丝上
l
的函数关系为
（ ）

3
2
3
2
3
2
l
2
l
B
S?l
C
S?l
?
l?0
?
D A
S?

36636
36
5.向高为
H
的水 瓶中注水，如果水瓶的形状如图所示，那么请你画出注水量
V
与水深
h
的函数 关系的大致图像。

二、能力提升
6.正三角形的边长为
x< br>，周长为
C
,面积为
S
,那么关于周长
C
关于边长< br>x
的函数关系是___________________,面积
S
关于边长< br>x
的函数关系是__________________
7.有一块边长为10cm的 正方形铁皮，在它的四个角上各截去一块边长为
x
cm的小正方形铁皮，剩余部分围成一个无< br>盖的长方形盒子，将盒子的体积记作
y
cm
，那么
y
关于x
的函数关系是______________________
两地相距50
km
，甲驾车于9点从A出发，9点50分到B地，停留1
h
后以同一速度返回原地， 乙在9点30
分骑自行车以15
kmh
的速度由B向A行驶（设他们都做匀速运动）
（1）设甲在时刻
t
距离A为
S
km，写出
S
关于
t
的函数关系式。
（2）设乙在时刻
t
距离A为
S
km，写出
S
关于
t
的函数关系式。









三、开放探究
9.对于函 数
f
?
x
?
若存在
x
0
?R
使得
f
?
x
0
?
?x
0
成立，则称
x
0
为
f
?
x
?
的不动点，已知函数
3< br>f
?
x
?
?ax
2
?
?
b?1?
x?
?
b?1
??
a?0
?

（1 ）当
a?1,b??2
，求函数
f
?
x
?
的不动点 ；
（2）若对于任意实数
b
，函数
f
?
x
?恒有两个相异的不动点，求实数
a
的取值范围。

四、高考体验
10.某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当的范围内 ，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市
场价格为
x
元千克，政府补贴
t
元千克，根据市场调查，
8?x?14
时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日 需求
量Q千克近似满足关系：
P?1000
?
x?t?8
??
x?8,t?0
?
,Q?50040?
?
x?8
?
价格为 市场平衡价格。
（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
（2）为使市场价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？







答案：1.C 3.D 4.C
5.
v
2
?
8?x?14
?
，当< br>P?Q
时的市场
0
H
h

6.
C?3x?
x?0
?
,S?
7.
y?x
?
10?2x< br>?
2
3
2
x
?
x?0
?

4
?
0?x?5
?

?5
??
60t?5 409?t?9
??
?
6
??
?
?
?
55
?
8.（1）
S?
?
60
?
9?t?10
?

6
?
?
?
6
?
2
??
5
?60t?70010?t?11
?
??
3
??
6?
（2）
S?50?
?
t?9
?
?
1
?
5
??
1
?15,9?t?12
???

2?
6
??
2
9.（1）
f
?
x
?的不动点为
?1,3

（2）
0?a?1

10 .（1）
x?8?
42
t?50?t
2
0?t?10

55
??
（2）
t?1

和函数、积函数
一、基础巩固
1.函数
f
?
x
?
?x?2x,g
?
x
?
?
32
1
,h
?
x
?
?x?1
，那么
h
?
x
?
与f
?x
?
gg
?
x
?
是相同函数吗？__________ ____，说
x?2
明理由______________
2.如果函数
y ?f
?
x
?
和
y?g
?
x
?
满足 条件：
f
?
x
?
gg
?
x
?
?x ?1
，且
x?
?
0,1
?
，那么
f
?x
?
?
___________________，
g
?
x
?
?
____________________
3.已知函数
f
?
x
?
的定义域是
?
?2,3
?
，函 数
g
?
x
?
的定义域是
?
0,4
?
，则
f
?
x
?
gg
?
x
?
的定 义域是__________________
4.设函数
f
?
x
?
?
x
2
,g
?
x
?
?
x?1< br>x?1
，则
f
?
?2
?
gg
?
?2
?
的值是 （ ）
2x
A
?1
B 1 C
?2
D 不存在
5.函数
y?
x?31
?
的定义域为 （ ）
x?2
1?x
A
?
??,2
?
B
?
?2,1
?
C
?
??,2
?
U
?
?2,1
?
D
?
??,2
?
U
?
1,??
?
6.已知函数
f
?
x
?
?
x
,g
?< br>x
?
?
x?1
x
2
?1
，设
F?
x
?
?f
?
x
?
gg
?
x
?
，则函数
F
?
x
?
的解析式和定义域是
x
2
x?1
,x?
?
??,0
?
U
?< br>0,??
?

x
x?1
,x?
?
?1,0< br>?
U
?
0,??
?

?
x
A F
?
x
?
?
x?1
,x?
?
1,??
?
B
F
?
x
?
?< br>x
x?1
,x?
?
?1,??
?
D
F
?
x
?
?
?
x
C
F
?
x
?
?
二、能力提升
7.若函数
f
?
x
?
?
x?1
，则
f
?
x?
的定义域是___________________
x
8.已知
f
?
x
?
?3x?1,g
?
x
?
?2x?3 ,并且fh
?
x
?
?g
?
x
?
，则
h
?
x
?
?
______________
9.设函数
f
?
x
?
?x,g
?
x
?
?




??
1
,求f
?
x
?
?g
?
x
?
,f
?
x
?gg
?
x
?

x

三、开放探究
x
2
?2xx?3
10.已知
f
?
x
?
?
，作出
F
?
x
?
?f?
x
?
gg
?
x
?
的图像
,g
?
x
?
?
x?2
x?3

四、高考体验
11.已知定义域为R的函数
f
?
x
?满足
f
?
f
?
x
?
?x
2
? x
?
?f
?
x
?
?x
2
?x
< br>（1）若
f
?
2
?
?3
，求
f
?< br>1
?
；又若
f
?
0
?
?a
，求f
?
a
?

（2）设有且只有一个实数
x
0< br>，使得
f
?
x
0
?
?x
0
，求函数
f
?
x
?
的解析式

答案：
1.不相同，因为定义域不同
2.
f
?
x
?
?< br>x?1
x?x
2
,g
?
x
?
?x?x
2

3.
?
0,3
?
4.D 5.C 6.A
7.
?
?
?1,0
?
U
0,1
?
8.
9.
f
?
x
?
?g
?
x
?< br>?x?
?
2x?4

3
1
,x?0

f
?
x
?
gg
?
x
?
?1,x? 0

x
10.
F
?
x
?
?x
?< br>x??3,x??2
?
图像略
11.（1）
f
?1
?
?1,f
?
a
?
?a

（2）< br>f
?
f
?
x
?
?x
2
?x
?
?f
?
x
?
?x
2
?x
有且只有一个实 数
x
0
，使得
f
?
x
0
?
?x< br>0

2
所以有对于任意
x?R

f
?
x
?
?x?x?x
0

2
在 上式中，令
x?x
0
f
?
x
0
?
?x0
?x
0
?x
0
，又
f
?
x
0
?
?x
0

2
所以
x
0
?x
0
?0
所以
x
0
?0或1

2
2
若
x
0
?0
，则
f
?
x
?
?x?x?0
，但方程
x?x?x
有两个不同的实根，与题设矛盾，故
x
0
?0

2
若
x
0
?1
，则
f
?
x
?
?x?x?1
，易验证该函数满足题设条件，
综上，所求函数
f
?
x
?
?x?x?1
?
x?R
?

2