2018高中数学(函数难题)-高中数学难题

难点突破

一．选择题（共18小题）

1．已知 奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x
＞0时，f'（x）＜2f （x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（ ）

A．e
2
f（1）＞﹣f（2） B．e
2
f（﹣1）＞﹣f（2）
C．e
2
f（﹣1）＜﹣f（2）
2．当x＞0时，不等式
（ ）

A．[0，1）∪（1，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）

3．设n∈N
*
，函数f
1
（x）=xe
x
，f
2
（x ）=f
1
′（x），f
3
（x）=f
2
′（x），…，f< br>n
+
1
（x）
=f
n
′（x），曲线y=f
n
（x）的最低点为P
n
，△P
n
P
n
+
1
P
n
+
2
的面积为S
n
，则（ ）

A．{S
n
}是常数列 B．{S
n
}不是单调数列


D．f（﹣2）＜﹣e
2
f（﹣1）

恒成立，则a的取值范围是
C．{S
n
}是递增数列 D．{S
n
}是递减数列

4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史 上是一个伟大的创造，算筹实
际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．


例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位
数的个数（算筹不能剩余）为（ ）

A．48 B．60 C．96 D．120

5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x ）的导函
数，若
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6

，且f'（2）=2，那么f（2）=（ ）

6．函数f（x）=x﹣ln（x+ 2）+e
x
﹣
a
+4e
a
﹣
x
，其中e为 自然对数的底数，若存在实
数x
0
使f（x
0
）=3成立，则实数a 的值为（ ）

A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1

第1页（共44页）

7．已知函数f（x）=（ax+ lnx）（x﹣lnx）﹣x
2
有三个不同的零点x
1
，x
2
，x
3
（其
中x
1
＜x
2
＜x
3
），则
A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1

的球上，四边形ABCD是正方形，
的值为（ ）

8．四棱锥P﹣ABC D的所有顶点都在半径为
PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（ ）

A．8 B． C． D．4

9．如图，O是坐标原点，过E（p，0 ）的直线分别交抛物线y
2
=2px（p＞0）于A、
B两点，直线BO与过点A平行 于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相
切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|
2
﹣|NE|
2
=（ ）


A．2p
2
B．2p C．4p D．p

10．已知函数f（x ）=ln+，g（x）=e
x
﹣
2
，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的
最小值为（ ）

A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e
2
﹣3

=，若M为△11．边长为8的等边△ABC所在平面内一点 O，满足
ABC边上的点，点P满足|
A． B． C． D．
，则|MP|的最大值为（ ）


12．已知定义在R上的函数f（ x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x）
=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f （x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是
（ ）

A．1



第2页（共44页）

B．2 C．4 D．6

13．已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点 ，且
若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（ ）

A．4π B．13π C．16π D．52π

14．已知函数f（x）=（x
2
﹣ x﹣1）e
x
，设关于x的方程
n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（ ）

A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6

，若=α+β，
有
15．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=
的最大值为（ ）

A． B． C． D．

，则α+β
16．定义在R上的函数 f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等的实数x
1
，
x
2< br>∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）
≥2f（3）﹣f（﹣ 2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（ ）

A．[，1+] B．[，2+] C．[，2+] D．[，1+]

17．已知函 数f（x）=e
x
，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f
（a ）=g（b），则b﹣a的最小值为（ ）

A．2﹣1 B．e
2
﹣ C．2﹣ln2 D．2+ln2

，点P是△ABC所在平面内一点，则
=（ ）

18．在△ABC中，
当
A．

二．填空题（共12小题）

B．
取得最小值时，
C．9 D．﹣9

19．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且
则

第3页（共44页）

﹣2a﹣b=，
的最小值是 ．

20．设函数
是 ．

，则满足f（x） +f（x﹣1）＜2的x的取值范围
21．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段 BD上一点，则
的最小值是 ．

22．在△ABC中，，△ABC的面积为 3，M为边BC的中点，，且
AC＞BC，则sin∠BAC= ．

23． 已知函数f（x）=x（2
x
﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是 ．

24．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，
如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范
围是 ．

25．在平面自角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A（0，4），B（0，2），平面
向量，，满足（2
，|
﹣）（﹣）=0，则对任意t＜0的实数和任意
|的最 小值 ．

的取值范围是 ．

满足条件的向量﹣t?﹣[ ln（﹣t）﹣1]?
，?26．在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=
27．已 知函数如果使等式
成立的实数x
1
，x
3
分别都有3个，而使该等式 成立的实数x
2
仅有2个，则
的取值范围是 ．

28．设 函数与g（x）=a
2
lnx+b有公共点，且在公共点处的
切线方程相同，则实数b 的最大值为 ．






第4页（共44页）

29．如图，网格纸上的小正方形 边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，
则此三棱锥的外接球的体积为 ．


30．若正项递增等比数列{a
n
}满足1+（a
2
﹣a
4
）+λ（a
3
﹣a
5
）=0（λ∈R），则a
8
+λa
9
的最小值为 ．



三．解答题（共10小题）

31．已知函数f（x）=ln（x+1）．

（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；

（2）设函数 g（x）=e
x
﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x
1
，x
2
（x
1
＜x
2
），

①求实数a的取值范围； ②求证：x
1
+x
2
＞0．
< br>32．已知函数f（x）=e
x
﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．< br>
（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；

（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．


33．已知函数f（x）=e
x
+lnx．

（1）求函数y=f'（x）在x∈[1，+∞）上的最小值；

（2）若对任意x∈[1，+∞）恒有f（x）≥e+m（x﹣1），求实数m的取值范围．


34．已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性

（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=
x1
＜x
2
，证明：x
1
x
2
2
＜2．

第5页（共44页）

+m（m＜﹣2）有两个相异实根x
1< br>，x
2
，且

35．已知函数f（x）=alnx﹣bx﹣3（a∈R且a≠0）

（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a=1时，设g（x）=f （x）+3，若g（x）有两个相异零点x
1
，x
2
，求证：
lnx
1
+lnx
2
＞2．

36．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．

（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）记[a]表示不超过实数a 的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的
最大值．

37．已知函数f（ x）=ae
x
+x
2
﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数 底数），其导
函数为y=f'（x）．

（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；

（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，
是否存在 实数x
0
（x
0
≠m），使得
结论．

38．已知函数f（x）=
（1）当
（x＞0，a∈R）．

成立？证明你的
时，判断函数f（x）的单调性；

（2）当f（x）有两个极值点时，

①求a的取值范围；

②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．

39．已知函数
（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；

（2）若函数 f（x）有两个零点x
1
，x
2
，求a的取值范围，并证明x
1+x
2
＞2．

40．已知函数f（x）=e
x
+px﹣﹣2lnx

（1）若p=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；

（2）若函 数F（x）=f（x）﹣e
x
在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（3）设函数g（x）=e
x
+，若在[1，e]上至少存在一点x
0
， 使得f（x
0
）＞g（x
0
）
．

成立，求实数p的取值范围．


第6页（共44页）

第7页（共44页）

2018年05月14日郭小波的高中数学组卷

参考答案与试题解析



一．选择题（共18小题）

1．已知奇函数f（x）是定义在 R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x
＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不 等关系一定正确的是（ ）

A．e
2
f（1）＞﹣f（2） B．e
2
f（﹣1）＞﹣f（2）
D．f（﹣2）＜﹣e
2
f（﹣1）

，

＜0恒成立，

C．e
2
f（﹣1）＜﹣f（2）
【解答】 解：设g（x）=
∴g′（x）=
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，

∵g（1）＞g（2），

∴＞，

∴e
2
f（1）＞f（2），

∵f（x）为奇函数，

∴f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣2）=﹣f（2），

∴e
2
f（﹣1）＜﹣f（2），

故选：C．



2．当x＞0时，不等式
（ ）

A．[0，1）∪（1，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣
∞，1）∪（1，+∞）

【解答】解：由题意令f（x）=x
2< br>+（1﹣a）x﹣alnx﹣2a+a
2
，

则f′（x）=x+（1﹣a）x﹣=，

恒成立，则a的取值范围是
a＜0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，

第8页（共44页）

x→0时，f（x）→﹣∞，故不合题意，

a=0时，f（x）=x
2
+x＞0，符合题意，

a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

故f（x）min=f（a）=a（a﹣1﹣lna），

令h（a）=a﹣1﹣lna，（a＞0），

故h′（a）=1﹣=，

令h′（a）＞0，解得：a＞1，令h′（a）＜0，解得：0＜a＜1，

故h（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

故h（a）≥h（1）=0，

故a﹣1﹣lna≥0，

故a＞0时，只要a≠1，则h（a）＞0，

综上，a∈[0，1）∪（1，+∞），

故选：A．



3．设n∈N
*
，函数f
1
（x）=xe
x
，f< br>2
（x）=f
1
′（x），f
3
（x）=f
2
′（x），…，f
n
+
1
（x）
=f
n
′（x） ，曲线y=f
n
（x）的最低点为P
n
，△P
n
P
n
+
1
P
n
+
2
的面积为S
n
， 则（ ）

A．{S
n
}是常数列 B．{S
n
}不是单调数列

C．{S
n
}是递增数列 D．{S
n
}是递减数列

【解答】解：根据题意，函数f
1
（x）=xe
x
，
其导数f
1
′（x）=（x）′e
x
+x（e
x
）′= （x+1）e
x
，

分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f
1
′ （x）＜0，f
1
（x）为减函数，

在（﹣1，+∞）上，f
1< br>′（x）＞0，f
1
（x）为增函数，

曲线y=f
1
（x）的最低点P
1
，（﹣1，﹣），
对于函数f
2
（x）=f
1
′（x）=（x+1）e
x
，

其导数f
2
′（x）=（x+1）′e
x
+（x+1） （e
x
）′=（x+2）e
x
，

分析可得在（﹣∞，﹣2 ）上，f
1
′（x）＜0，f
1
（x）为减函数，

在（﹣ 2，+∞）上，f
1
′（x）＞0，f
1
（x）为增函数，

第9页（共44页）

曲线y=f
1
（x）的最低点P
1
，（﹣2，﹣
…

），

分析可得曲线y=f
n
（x）的最低点P
n
，其坐标为（﹣n，﹣
则P
n
+
1
（﹣n﹣1，﹣
∴|P< br>n
P
n
+
1
|=
），P
n
+
2
（﹣n﹣2，﹣
=
）；

，

）；

直线P
n
P
n
+
1
的方程为，即为（e﹣1）x+ e
n
+
1
y+e﹣n=0，

故点P
n
+
2
到直线P
n
P
n
+
1
的距离d=
∴S
n
=|P
n
P
n
+
1
|?d=，< br>
，

设g（n）=
故{S
n
}是递减数列，

故选：D．



，易知函数g（n）为单调递减函数，

4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实
际上是一根根同 样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．


例如：163可表示为 “”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位
数的个数（算筹不能剩余）为（ ）

A．48 B．60 C．96 D．120

【解答】解：8根算筹由1，2，5构成，可得组成6个三位数；

由1，3，4构成，可得组成6个三位数；

第10页（共44页）

由2，1，5构成，可得组成6个三位数；

由2，2，4构成，可得组成3个三位数；

由2，3，3构成，可得组成3个三位数；

由于2根算筹看做6，3根算筹看做7，4根算筹看做8，5根算筹看做9，

由1，2，9构成，可得组成6个三位数；

由1，6，5构成，可得组成6个三位数；

由1，6，9构成，可得组成6个三位数；

由1，7，4构成，可得组成6个三位数；

由1，3，8构成，可得组成6个三位数；

由1，7，8构成，可得组成6个三位数；

由6，1，5构成，可得组成6个三位数；

由2，1，9构成，可得组成6个三位数；

由6，1，9构成，可得组成6个三位数；

由6，6，4构成，可得组成3个三位数；

由2，2，8构成，可得组成3个三位数；

由6，6，8构成，可得组成3个三位数；

由6，3，3构成，可得组成3个三位数；

由2，7，7构成，可得组成3个三位数；

由6，7，7构成，可得组成3个三位数．

则共有12×6+8×3=96，

故选：C．


5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函
数，若< br>A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6

，

，且f'（2）=2，那么f（2）=（ ）

【解答】解：∵
∴[f（x）+xf′（x）]≥0，

而f′（2）=2，

第11页（共44页）

故f（2）+2f′（2）=0，

故f（2）=﹣4，

故选：C．



6．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex
﹣
a
+4e
a
﹣
x
，其中e为自然对数的底 数，若存在实
数x
0
使f（x
0
）=3成立，则实数a的值为（ ）

A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1

【解 答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+e
x
﹣
a
+4e
a﹣
x
，

令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，

故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，

故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，

而e
x
﹣< br>a
+4e
a
﹣
x
≥4，

（当且仅当ex
﹣
a
=4e
a
﹣
x
，即x=a+ln2时， 等号成立）；

故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；

故x=a+ln2=﹣1，

即a=﹣1﹣ln2．

故选：D．



7．已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣ lnx）﹣x
2
有三个不同的零点x
1
，x
2
，x
3
（其
中x
1
＜x
2
＜x
3
），则
A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1

，

的值为（ ）

【解答】解：令f（x）=0，分离参数得a=
令h（x）=
由h′（x ）=
，

=0，得x=1或x=e．

当x∈（0，1）时，h′（ x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+
∞）时，h′（x）＜0．

即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．

第12页（共44页）

∴0＜x
1
＜1＜x
2
＜e＜x
3
，

a==，令μ=，

则a=﹣μ，即μ
2
+（a﹣1）μ+1﹣a=0，

μ
1
+μ
2
=1﹣a＜0，μ
1
μ
2
=1﹣a＜0，< br>
对于μ=，μ′=

则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．

画其简图，

不妨设μ
1
＜μ
2
，则μ
1
=，μ
2
==μ
3
=，

=（1﹣μ
1< br>）
2
（1﹣μ
2
）（1﹣μ
3
）

=[（1﹣μ
1
）（1﹣μ
2
）]
2
=[1﹣（1﹣a）+ （1﹣a）]
2
=1．

故选：D．



8．四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是正方形，
PA⊥平面ABC D，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（ ）

A．8 B． C． D．4

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，

∴BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，

第13页（共44页）

∴△PCB，△PCD，△PAC是有公共斜边PC的直角三角形，取PC中点O

∴OA=OB=OC=OP，O为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，直径PC=2
设四棱 锥的底面边长为a，PA=
△PAB面积S=
当且仅当a
2
=12﹣a
2
，即a=
四棱锥P﹣ABCD的体积V=
故选：D

=
时，△PAB面积最大，此时PA=
=，

．

=3，

，

，

，



9．如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y
2
=2p x（p＞0）于A、
B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|
2
﹣|NE|
2
=（ ）


A．2p
2
B．2p C．4p D．p

【解答】解：过E（p，0）的直线分别交抛物线y
2
=2px（p＞0）于A、B两点为< br>任意的，

不妨设直线AB为x=p，

第14页（共44页）

由，解得y=±2p，

p），

则A（﹣p，﹣p），B（p，
x，

p，

∵直线BM的方程为y=
直线AM的方程为y=﹣
解得M（﹣p，﹣p），

∴|ME|
2
=（2p）
2
+2p
2
=6p
2
，

设过点M与此抛物线相切的直线为y+
由
p=k（x+p），

p+2p
2
k=0，

，消x整理可得ky
2
﹣2 py﹣2
p+2p
2
k）=0，

∴△=4p
2
﹣4k（﹣2
解得k=，

∴过点M与此抛物 线相切的直线为y+
由
∴|NE|
2
=4p
2
，

∴|ME|
2
﹣|NE|
2
=6p
2
﹣4p
2
=2p
2
，

故选：A．



p=（x+p），

，解得N（p，2p），

10．已知函数f（ x）=ln+，g（x）=e
x
﹣
2
，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m 的
最小值为（ ）

A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e
2
﹣3

【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，

∴e
m
﹣
2
=ln+=t，（t＞0）

∴m﹣2 =lnt，m=2+lnt，n=2?e
故n﹣m=2?e
令h（t）=2?e


﹣2﹣lnt，（t＞0）

﹣2﹣lnt，（t＞0），

第15页（共44页）

h′（t）=2?e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，

当t＞时，h′（t）＞0，

当0＜t＜时，h′（t）＜0，

即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，

此时h（）=2?e
故选：B．

﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；




11．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足
ABC边上的点，点P满足 |
A． B． C． D．
=，若M为△
，则|MP|的最大值为（ ）


【解答】解：如图，由
即
则，即
=，得，

，取AB中点H，BC中点G，连接GH，

，

取GH中点K，延长KG到O，使KG=GO，则O为所求点，

∵点P满足|，M为△ABC边上的点，

∴当M与A重合时，|MP|有最大值为|OA|+|OP|，

而|OA|=
∴|MP|的最大值为

，

，

第16页（共44页）

故选：D．




12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x ）
=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点 个数是
（ ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【解答】解：定义在R上的函数f（x）

满足f（x）=f（﹣x），

可得f（x）为偶函数，

图象关于y轴对称，

又当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；

当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），

可得x≥3时的图象，可将f（x）在[1 ，3]的图象向右平移2k（k为正整数）个
单位；

在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称，

作出f（x）的图象和函数y=|ln|x||的图象，

可得它们有4个交点，

则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是4．

故选：C．


第17页（共44页）

13．已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且
若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球 O的表面积为（ ）

A．4π B．13π C．16π D．52π

【解答】解：∵SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且
∴∠SAC=∠SBC=90°，< br>
cos∠ACB==﹣，

，

，
∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°，

∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB=
∴SC=
∴球半径R=1，

∴球O的表面积S=4πR
2
=4π．

故选：A．

=2，

，




14．已知函数f（ x）=（x
2
﹣x﹣1）e
x
，设关于x的方程
n个不同的实数解， 则n的所有可能的值为（ ）

A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6

有
【解答】解：f′（x）=e
x
（2x﹣1）+）+（x
2
﹣x﹣1）e
x
=e
x
（x
2
+x﹣2），

∴当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，+∞）
第18页（共4 4页）

上单调递增，

f（x）的极大值为f（﹣2）=，f（x）的极小值为f（1）=﹣e．

作出f（x）的函数图象如图所示：


∵
△=m
2
+＞0，

，∴f
2
（x）﹣mf（x）﹣=0，

令f（x）=t则，则t< br>1
t
2
=﹣．不妨设t
1
＜0＜t
2
，
（1）若t
1
＜﹣e，则0＜t
2
＜
（2）若t1
=﹣e，则t
2
=
，此时f（x）=t
1
无解，f（ x）=t
2
有三解；

，此时f（x）=t
1
有一解，f（x）=t
2
有两解；

，此时f（x）=t
1
有两解，f（x）=t
2
有一解；

（3）若﹣e＜t
1
＜0，则t
2
＞
综上，f
2< br>（x）﹣mf（x）=有三个不同的实数解．

故选：A．




15．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=
的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，

BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）．

由外接圆的性质可得∠BOD=∠COD=∠BAC．

第19页（共44页）

，若=α+β，则α+β

由A为锐角且sinA=，

不妨设外接圆的半径R=3．则OA=OB=OC=3．

∵cos∠COD=
∴OD=1，DC=
∴B（﹣2，0），C（2
=cosA=，

=2．

，0），O（0，1），A（m，n），

则△ABC外接 圆的方程为：x
2
+（y﹣1）
2
=9．（*）

∵=α+β，

∴（﹣m，1﹣n）=α（﹣2﹣m，﹣n）+β（2﹣m，﹣
∴，

∵α+β≠1时，否则=α，由图可知是不可能的．

∴可化为，

代入（*）可得+=9，

化为18（α+β）=9+32αβ，

利用基本不等式可得18（α+β）≤9+32（）
2
，

化为8（α+β）
2
﹣18（α+β）+9≥0，

解得α+β≤或α+β≥．

又α+β＜1，故α+β≥应舍去．

∴α+β≤，

则α+β的最大值为，

故选：D．

第20页（共44页）

n），

16．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等 的实数x
1
，
x
2
∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f （2mx﹣lnx﹣3）
≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实 数m的取值范围（ ）

A．[，1+] B．[，2+] C．[，2+] D．[，1+]

【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，

∴函数f（x）为偶函数，

∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f （3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，

即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．

∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，

即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥
3]恒成立．

令g（x）=，则 g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，

且2m≤对x∈[1，
∴g（x）
max
=．

令h（x） =
∴h（x）
min
=
综上所述，m∈[
，h′（x）=
．

，]．

＜0，在[1，3]上递减，

第21页（共44页）

故选：D．



17．已知函数f（x）=e
x
，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b ∈（0，+∞）使f
（a）=g（b），则b﹣a的最小值为（ ）

A．2﹣1 B．e
2
﹣ C．2﹣ln2 D．2+ln2

，

【解答】解：令 y=e
a
，则 a=lny，令y=ln+，可得 b=2
则b﹣a=2﹣lny，∴（b﹣a）′=2﹣．

显然，（b﹣a）′是增函 数，观察可得当y=时，（b﹣a）′=0，故（b﹣a）′有唯一
零点．

故当y=时，b﹣a取得最小值为2
故选：D．



18．在△ABC中，
当
A． B．
取得最小值时，
C．9
?
D．﹣9

=||?||?cosB=||
2
，

，点P是△ABC所在平面内一点，则
=（ ）

﹣lny=2﹣ln=2+ln2，

【解答】解：∵
∴|
∴
|?cosB=|
⊥
|=6，

，

，即∠A=
以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，

则B（6，0），C（0，3），设P（x，y），

则=x
2
+y
2
+（x﹣6）
2
+y
2
+x
2
+（y﹣ 3）
2
，

=3x
2
﹣12x+3y
2
﹣6y+45，

=3[（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
+10]，

第22页（共44页）

∴当x=2，y=1时取的最小值，

此时?=（2，1）?（﹣6，3）=﹣9

故选：D．




二．填空题（共12小题）

19．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且
则的最小值是 2
﹣2a﹣b
﹣2 ．

=，

﹣2a﹣b=，
【解答】解：由
得=2a+b，

由A，B，C共线，

得：2a+b=1且a＞0，b＞0，

故
=
=
≥2

﹣1+
+
﹣2，

﹣2

﹣1

当且仅当a+2b=
故答案为：


20．设函数
（a+b）时“=”成立，

．

，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围
第23页（共44页）

是 （﹣∞，2） ．

【解答】解：当x＜0时，f（x ）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（﹣x﹣1）]=﹣x（x+1），

①若x＜0，则x﹣1＜﹣1，

由f（x）+f（x﹣1）＜2得﹣x（x+1）﹣（x﹣1）x＜2，

即﹣2x< br>2
＜2，即x
2
＞﹣1，此时恒成立，此时x＜0．

②若x≥1，则x﹣1≥0，

由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2）＜2，

即x
2
﹣2x＜0，即0＜x＜2，此时1≤x＜2，

③若0≤x＜1，则x﹣1＜0，

则由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）﹣（x﹣1）x＜2，

即0＜2，此时不等式恒成立，此时0≤x＜1，

综上x＜2，

即不等式的解集为（﹣∞，2），

故答案为：（﹣∞，2）



21．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则
的最小值是 ．

【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，

菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，

可设P（0，b），且﹣1≤b≤1；

∴A（﹣
∴
∴
∴< br>=（﹣
+=（
，0），C（
，﹣b），
，0），D（0，1），

=（，﹣b），=（0，1﹣b），

，1﹣2b），

=﹣3﹣b（1﹣2b）=﹣3﹣b+2b
2
=2
取得最小值﹣．

﹣，

当且仅当b=时，
故答案为：﹣．

第24页（共44页）

22．在△ABC中，
AC＞BC，则sin∠BAC=
，△ABC的面积为3，M为边BC的中点，
．

，且
【解答】解：设AC=x，BC=y，

由于：△ABC中，
AC＞BC，

则：
解得：①，

②

，

或，

，

，△ABC 的面积为3，M为边BC的中点，，且
利用余弦定理得：
由①②得：
解得：
由 于：AC＞BC，

则：．

，

在△ABC中，
解得：AB=．

，

．


利用正弦定理得：
解得：
故答案为：


第25页（共44页）

23．已知函数f（x）=x（2
x
﹣
∞，） ．

），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是 （﹣
【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，

而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，

故f（x）在（﹣∞，0）递减，

若f（x﹣1）＞f（x），

则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）
2
＞x
2
，

解得：x＜，

故答案为：（﹣∞，）．



2 4．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，
如果任意转动该长方体 ，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范
围是 （1，5） ．

【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，

则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；

而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，

液面的形状都不可能是三角形；

所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，

并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，

又长方体体积为1×2×3=6，

所以液体体积取值范围是×6＜V
液体< br>＜×6，即1＜V
液体
＜5．

故答案为：（1，5）．

第26页（共44页）

25．在平面自角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A（0，4），B（0，2），平面
向量，，满 足（2
，|
﹣）（﹣）=0，则对任意t＜0的实数和任意
|的最小值 4 ．

满足条件的向量
【解答】解：设
又（2﹣）（
﹣t?﹣[ln（ ﹣t）﹣1]?
=（0，4），=（x，y），则
﹣）=0，

=（0，2）；

∴（2x﹣0）（x﹣0）+（2y﹣4）（y﹣2）=0，

化简为x
2
+（y﹣2）
2
=0，

解得x=0，y=2，

∴
∴
=（0，2）；

﹣t?﹣[ln（﹣t）﹣1]?

=（0，2）﹣t?（0，4）﹣[ln（﹣t）﹣1]?（0，2）

=（0，2）﹣（0，t）﹣（0，ln（﹣t）﹣1）

=（0，3﹣t﹣ln（﹣t）），

∴|﹣t?﹣[ln（﹣t）﹣1]?|

=|3﹣t﹣ln（﹣t）|

=3﹣t﹣ln（﹣t）；

设f（t）=3﹣t﹣ln（﹣t），t＜0；

则f′（t）=﹣1+，

令f′（t）=0，解得t=﹣1，

第27页（共44页）

∴t∈（﹣∞，﹣1）时，f′（t）＜0，f（t）是单调减函数，

t∈（﹣1，0）时，f′（t）是单调增函数，

∴f（t）的最小值是f（﹣1）=3﹣（﹣1）﹣ln1=4．

故答案为：4．



26．在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=
] ．

【解答】解：锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，其对应的边分别为a，b，c，

∴2B=A+C，

又A+B+C=π，

∴B=，

====2，

，?的取值范围是 （1，
由正弦定理可得
∴a=2 sinA，c=2sinC=2sin（
∴ac=2sinA（
+1，

∵0＜A＜
∴
∴
＜A＜
＜2A﹣
，0＜

﹣A）=2（cosA+sinA）=cosA+sinA，

）cosA+sinA ）=sin2A+2sin
2
A=sin2A﹣cos2A+1=2sin（2A﹣
﹣ A＜

＜，

）≤1，

）+1≤3，

∴＜sin（2A﹣
∴2＜2sin（2A﹣
∴2＜ac≤3，

∵
∴
?
?
=accosB=ac，

的取值范围是（1，]

故答案为：（1，]

第28页（共44页）

27．已 知函数如果使等式
成立的实数x
1
，x
3
分别都有3个，而使该等式 成立的实数x
2
仅有2个，则
的取值范围是 （1，3] ．

【解 答】解：当﹣3≤x≤0时，y=﹣x（x+2）
2
的导数为y′=﹣（x+2）（3x+2） ，

可得﹣2＜x＜﹣时，函数递增；﹣3＜x＜﹣2，﹣＜x＜0，函数递减；
< br>当x＞0时，y=2e
x
（4﹣x）﹣8的导数为y′=2e
x
（3﹣ x），

当x＞3时，函数递减；0＜x＜3时，函数递增，

x=3时，y=2e
3
﹣8，

作出函数f（x）的图象，

等式=k表示点（﹣4，0），（﹣2，0），（﹣，0）与

f（x）图象上的点的斜率相等，

由（﹣3，3）与（﹣4，0）的连线与f（x）有3个交点，

且斜率为3，则k的最大值为3；

由题意可得，过（﹣2，0）的直线与f（x）的图象相切，转到斜率为3的时候，

实数x
2
仅有2个，

设切点为（m，n），（﹣2＜m＜0），

求得切线的斜率为﹣（m+2）（3m+2）=
解得m=﹣1，

此时切线的斜率为1，

则k的范围是（1，3]．

故答案为：（1，3]．

，

第29页（共44页）

28．设函数与g（x）=a
2
lnx+b有公共点，且在公共点处的
．

切线方程相同，则实数b的最大值为
【解答】解：设公共点坐标为（x
0
，y
0
），则
所以有f'（x
0
）=g'（x
0
），即
又y
0
=f（x
0
）=g（x
0
） ，所以有
故
所以有
故b关于a的函数在
所以当时b有最大值
．

，

，对b求导有b'=﹣2a（1+lna），

为增函数，在
．

为减函数，

，解出x
0
=a（
，

舍去），

，

故答案为：


29．如图，网格纸上的小正方形边长 为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，
第30页（共44页）

则此三棱锥的外接球的体积为 4π ．


【解答】解：直观图如图所示的正四面体，

构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示，

正方体的边长为2，此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球，

∴此三棱锥的 外接球的半径为R=
三棱锥的外接球的体积为V=
故答案为：4π．


．




30．若正项递增等比数列{a
n}满足1+（a
2
﹣a
4
）+λ（a
3
﹣a
5
）=0（λ∈R），则a
8
+λa
9
的最小值为 ．
< br>【解答】解：根据题意，设等比数列{a
n
}的公比为q，又由{a
n
}为正项递增等比
数列，则q＞1．

数列{a
n
}满足1+（a< br>2
﹣a
4
）+λ（a
3
﹣a
5
）=0，
则有1=（a
4
﹣a
2
）+λ（a
5
﹣a< br>3
）=（a
4
﹣a
2
）+λq（a
4
﹣a< br>2
）=（1+λq）（a
4
﹣a
2
），

则有1+λq=，

第31页（共44页）

< br>a
8
+λa
9
=a
8
+λqa
8
= a
8
（1+λq）==，

令g（q）=，（q＞1）

则 导数g′（q）=
分析可得：1＜q＜
当q＞
则当q=
=
，g′（q ）＜0，g（q）在（0，
，

）为减函数；

，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数；

，

时，g（q）取得最小值，此时g（q）=
，

即a
8
+λa
9
的最小值为
故答案为：


．

三．解答题（共10小题）

31．已知函数f（x）=ln（x+1）．

（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；

（2）设函数 g（x）=e
x
﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x
1
，x
2
（x
1
＜x
2
），

①求实数a的取值范围； ②求证：x
1
+x
2
＞0．
< br>【解答】解：（1）记q（x）=x﹣ln（x+1），则
在（﹣1，0）上，q'（x）＜0< br>
即q（x）在（﹣1，0）上递减，

所以q（x）＞q（0）=0，即x＞ln（x+1）=f（x）恒成立

记m（x）=x+ln（﹣x+1），则
在（﹣1，0）上，m'（x）＞0

即m（x）在（﹣1，0）上递增，

所以m（x）＜m（0）=0，即x+ln（﹣x+1）＜0恒成立，

x＜﹣ln（﹣x+1）=﹣f（﹣x）…（5分）

第32页（共44页）

，

，

（2）①g（x）= e
x
﹣ln（x+1）﹣a，定义域：（﹣1，+∞），则
易知g'（x）在（﹣1， +∞）递增，而g'（0）=0，所以在（﹣1，0）上，

，

g'（x） ＜0g（x）在（﹣1，0]递减，在[0，+∞）递增，x→﹣1
+
，y→+∞，x→+∞，y→+∞

要使函数有两个零点，则g（x）
极小值
=g（0）=1﹣a＜0

故实数a的取值范围是（1，+∞）…（7分）

②由①知﹣1＜x
1
＜0＜x
2
，记h（x）=g（x）﹣g（﹣x），x∈（﹣1，0），


当x∈（﹣1，0）时，由①知：x＜﹣ln（﹣x+1），则
再由x＞ln（x+1）得，，


故h'（x）＜0恒成立，h（x）=g（x）﹣g（﹣x）在x∈（﹣1，0）单调递减，

h（x）＞h（0）=0，

即g（x）＞g（﹣x），而﹣1＜x
1
＜0，g（x
1
）＞g（﹣x
1
）g（x
1
）=g（x< br>2
）=0，

所以g（x
2
）＞g（﹣x
1
），

由题知，﹣x
1
，x
2
∈（0，+∞），g（x）在[0，+∞）递增，

所以x
2
＞﹣x
1
，即x
1
+x
2
＞0 …（12分）



32．已知函数f（x）=e
x
﹣2， 其中e≈2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；

（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：设h（x）=e
x
﹣x﹣1，则h'（x）=e
x﹣1，

令h'（x）=0，得x=0，

当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，

当x∈（0，+∞）时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，

∴h（x）≥h（0）=0，当且仅当x=0时取等号，

∴对任意x∈R，e
x
≥x+1…（2分）

∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1

∴当x＞﹣1时，x≥ln（x+1）

第33页（共44页）

∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx…（4分）

（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，+∞）

当m≤0时，由（Ⅰ）知，g（x）= e
x
﹣lnx﹣2﹣m＞﹣m≥0，故g（x）无零点…
（6分）

当m=1时，g（x）=e
x
﹣lnx﹣3，
∵g'（1）=e﹣1＞0，
∴ g'（x）有唯一的零点


，且g'（x）为（0，+∞）上的增函数

当x∈（0，x
0
）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减

当x∈（x
0
，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增

∴ g（x）的最小值为
由x
0
为g'（x）的零点知，
∴g（x）的最小值由知，

…（8分）

，于是

，即g（x
0
）＜0…（10分）

又g（2）=e
2
+ln2﹣3＞0，
∴g（x）在

上有一个零点，在（x
0
，2）上有一个零点

∴g（x）有两个零点…（11分）

综上所述，m的最小值为1…（12分）



33．已知函数f（x）=e
x
+lnx．

（1）求函数y=f'（x）在x∈[1，+∞）上的最小值；

（2）若对任意x∈[1，+∞）恒有f（x）≥e+m（x﹣1），求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）由于y=h（x）=f′（x）=e
x
+，

则h′（x）=e
x
﹣，

＜1，

则当x∈（1 ，+∞）时，e
x
＞e，
所以h′（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上是增函数 ，

第34页（共44页）

于是y在[1，+∞）上的最小值为h（1）=e+1；

（2）考虑函数g（x）=f（x）﹣e﹣m（x﹣1），

即为g（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，

且发现g（1）=0，于是g′（x）=+e
x
﹣m，

由（1）知：当m≤e+1时，g′（x）≥0，

此时g（x）单调增，于是g（x）≥g（1）=0，成立；

若m＞e+1，则存在t∈（1，+∞）使得：g′（t）=0，

当x∈（1，t）时，g′（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，g′（x）＞0，

此时g（x）≥g（t）＜0，矛盾．

综上，m≤e+1．



34．已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性

（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=
x1
＜x
2
，证明：x
1
x
2
2
＜2．

【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=
f′（x）=x﹣a+=
﹣ax+al nx（a＞0）的定义域为（0，+∞）

+m（m＜﹣2）有两个相异实根x
1，x
2
，且
，（a＞0），△=a
2
﹣4a．

①当△≤0，即0＜a≤4时，函数f（x）在（0，+∞）递增，

②当△＞0，即＞4时，f′（x）=0的根，

x∈（0，x
1
） 时，f′（x）＞0，x∈（x
1
，x
2
）时，f′（x）＜0，x∈（x< br>2
，+∞）时，
f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，x
1
），（x
2
，+∞）上单调递增，在（x
1
，x
2
）递减．

（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=
x
2
?方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x
1
，x
2
．< br>
令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1

第35页（共44页）

+m（m＜﹣2）有两个相异实根x
1
，

令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1

所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），

又lnx
1
﹣x
1
﹣m=lnx
2
﹣x
2
﹣m=0，

由题意可知lnx
2
﹣x
2
=m＜﹣2＜ln2﹣2，

又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x
2
＞2，
令h（x）=g（x）﹣g（
h（x）=g（x）﹣g（
h′（x）=﹣
），（x ＞2），

）=）=﹣x+
，

+3lnx﹣ln2（x＞2），

当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数 ，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．

所以当x
2
＞2 时，g（x
2
）﹣g（ ）＜0，即g（x
1
）＜g（），

因为g（x）在（0，1）上单调递增，

所以x
1
＜，故x
1
?x
2
2
＜2．

综上所述：x
1
?x
2
2
＜2．



35．已知函数f（x）=alnx﹣bx﹣3（a∈R且a≠0）

（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a=1时，设g（x）=f （x）+3，若g（x）有两个相异零点x
1
，x
2
，求证：
lnx
1
+lnx
2
＞2．

【解答】解：（1）由f（x）=alnx﹣bx﹣3知f′（x）=，

当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞），

当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）．

证明：（2）g（x）=lnx﹣bx，设g（x）的两个相异零点为x
1
，x
2< br>，

设x
1
＞x
2
＞0，

∵g（x
1
）=0，g（x
2
）=0，

∴lnx
1
﹣bx
1
=0，lnx
2
﹣bx
2
=0 ，

第36页（共44页）

∴lnx
1
﹣lnx
2
=b（x
1
﹣x
2
），lnx
1
+lnx
2
=b（x
1
+x
2
），

要证lnx
1
+lnx
2
＞2，即证b（x
1
+x
2
）＞2，

即＞，

即ln＞，

设t=＞1上式转化为lnt＞
，

＞0，

，t＞1．

设g（t）=lnt﹣
∴g′（t）=
∴g（t）在（ 1，+∞）上单调递增，

∴g（t）＞g（1）=0，

∴lnr＞，

∴lnx
1
+lnx
2
＞2．



36．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a（a∈R）．

（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）记[a]表示不超过实数a 的最大整数，不等式f（x）≤x恒成立，求[a]的
最大值．

【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0）．

f′（x）=﹣1=，

令f′（x）=0，解得x=1．

∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；

x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．

（2）不等式 f（x）≤x恒成立，即lnx﹣（a+1）x+a≤0恒成立，x∈（0，+∞）．

令g（x）=lnx﹣（a+1）x+a，x∈（0，+∞）．

g′（x）=﹣（a+1）．

第37页（共44页）

①a≤﹣1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
< br>而g（e）=1﹣（a+1）e+a=（1﹣e）（1+a）≥0．可得x＞e时，g（x）＞0，不满< br>足题意，舍去．

②a＞﹣1时，g′（x）=
函数g（x）取得极大值即最大值．
+a﹣1，

令a+1=t＞0，h（t）=﹣lnt+t﹣2．

h′（t）=﹣+1=，

，可得x=
=
时，

﹣ （a+1）×+a=﹣ln（a+1）
可得h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递 增．

h（3）=﹣ln3+1＜0，h（4）=﹣ln4+2＞0．

∴（a+1）
max
∈（3，4），

∴[a]=2．



37．已知函数f（x）=ae
x
+x
2
﹣b x（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导
函数为y=f'（x）．

（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；

（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，
是否存在 实数x
0
（x
0
≠m），使得
结论．

【解答】解 （1）当b=0时，f（x）=ae
x
+x
2
，由题意ae
x
+x
2
=0只有一解．

由ae
x
+x
2
=0得
x=2

当x≤0时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为[0，+∞）；
< br>当0＜x＜2时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，G（x）的取值范围为
当x≥2时，G' （x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为；

；

，令，则，令G'（x）=0得x=0或
成立？证明你的
第38页（共44页）

由题意，得﹣a=0或，从而a=0或，

所以，当a=0或时，函数f（x）只有一个零点．

（2）f（x）=ae
x
+x
2
﹣2x，f'（x）=ae
x
+2x﹣2，

假设存在，则有，

即，又
，

∴，∵a≠0，∴，

不妨设t=x
0
﹣m＞0，则，两边同除e< br>m
，
（*），

令，

令，

∴h（t）在（0，+∞）上单调递增，

∵h（0）=0，∴h（0）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，

∴g（t）在（0，+∞）上单调递增

又g（0）=0，∴g（t）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，

∴方程te=e
t
﹣1无解，

∴不存在实数x
0
（x
0
≠m），使得成立．



38．已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．

（1）当时，判断函数f（x）的单调性；

第39页（共44页）

，
得

（2）当f（x）有两个极值点时，

①求a的取值范围；

②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．

【解答】解：（1）由题f′（x）=
方法1：由于
又
，（x＞0）

，﹣e
x
＜﹣1＜0，（﹣x
2
+3x﹣3）e
x
＜﹣，

，所以（﹣x
2
+3x﹣3）e
x
﹣a＜0，从而 f'（x）＜0，

于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）

方 法2：令h（x）=（﹣x
2
+3x﹣3）e
x
﹣a，则h′（x）=（﹣x
2
+x）e
x
，

当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；

当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数．

故h（x）在x=1时取得极大值，也即为最大值．

则h（x）
max=﹣e﹣a．由于，所以h（x）
max
=h（1）=﹣e﹣a＜0，

于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）

（2）①令h（x）=（﹣x< br>2
+3x﹣3）e
x
﹣a，则h′（x）=（﹣x
2
+x）e
x
，

当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，

当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，

当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞．

由于f（x）有两个极值点，所以f'（x）=0有两不等实根，

即h（x）=0有 两不等实数根x
1
，x
2
（x
1
＜x
2
） ，

则，解得﹣3＜a＜﹣e，

②可知x
1
∈（0，1） ，由于h（1）=﹣e﹣a＞0，h（）=﹣
＜0，则
而f′（x
2
）=．

=0，即=
﹣a＜﹣+3
（#）

第40页（共44页）

所以g（x）极大值=f（x< br>2
）=
令
，于是
，则（*）可变为
，（*）

，

可得，而﹣3＜a＜﹣e，则有，

下面再说明对于任意﹣3＜ a＜﹣e，
又由（#）得a=
所以当
（﹣
，f（x
2
）＞2 ．

，

+3x
2
﹣3），把它代入（*）得f（x
2
）=（2﹣x
2
）
＜0恒成立，

时，f′（x
2
）=（1﹣x
2
）
故f（x
2
）为的减函数，所以f（ x
2
）＞f（）=＞2，

所以满足题意的整数m的最小值为3．



39．已知函数
（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；

（2）若函数f（x）有两个零点x
1
，x
2
，求a的取值范围，并 证明x
1
+x
2
＞2．

【解答】解：（1）由
得，

，

．

当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，

故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．

，

（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值
且当x趋 向于0时，f（x）趋向于负无穷大，

又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点， 则
当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若
，

，解得a＞2．

；若
第41页（共44页）

则f（x）在x=1处取得极大值，在
f（x）仅有一个零点．

当a=﹣1 时，
当a＜﹣1时，若
处取得极小值，由于，则
，则f（x）仅有一个零点．

；若；

若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，

在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个零点．

综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．

两零点分别在区间（ 0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x
1
＜1，x
2
＞1．
< br>欲证x
1
+x
2
＞2，需证明x
2
＞2﹣x
1
，

又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x
1
）＞f（x
2
）=0
即可．

，

又，

所以f（2﹣x
1
）=ln（2﹣x
1
）﹣ ln（x
1
）+2x
1
﹣2，

令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），

则，

则h（x）在（0，1）上单调递减，

所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x
1
）＞0，

所以x
1
+x
2
＞2．



40．已知函数f（x）=e
x
+px﹣﹣2lnx

（1）若p=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；

（2）若函 数F（x）=f（x）﹣e
x
在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（3）设函数g（x）=e
x
+，若在[1，e]上至少存在一点x
0
， 使得f（x
0
）＞g（x
0
）
成立，求实数p的取值范围．

【解答】解：因为函数f（x）=e
x
+px﹣﹣2lnx，

第42页（共44页）

（1）当p=2时，f（x）=e
x
+2x﹣﹣2lnx，f（1）=e，

又，∴f′（1）=e+2，

则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣e=（e+2）（x﹣1），

即（e+2）x﹣y﹣2=0；

（2）F（x）=f（x）﹣e
x
=px﹣，，

由F（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，∴F'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

∴px
2
﹣2x+p≥0，即
设
对任意x＞0恒成立，

，

可知h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

则h（x）
max
=h（1）=1，∴p≥h（1）=1，即p∈[1，+∞）；
（3）设函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣，x∈[1，e]，

则 原问题?在[1，e]上至少存在一点x
0
，使得φ（x
0
）＞0?φ（x）
max
＞0（x∈
[1，e]）．

，

当p=0时，
（舍）；

max
=φ（e）=﹣4＜0，
当 p＜0时，φ（x）=p（x﹣）﹣
∵x∈[1，e]，∴x﹣≥0，
当p＞0时，
，

，则φ（x）在x∈[1，e]上单调递增，φ（x）
＞0，lnx＞0，则φ（x ）＜0，（舍）；

，

＞0，

则φ（x）在x∈[1， e]上单调递增，φ（x）
max
=φ（e）=pe﹣
整理得p＞
综上，p∈ （
，

）．

第43页（共44页）

第44页（共44页）