高中数学 常见函数的导数

课题:常见函数的导数
一、教学目标：
掌握初等函数的求导公式；
二、教学重难点：
用定义推导常见函数的导数公式．
一、复习
1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x)
?

?x?x
?y
（3）取 极限，得导数
y

＝
f
?
(x)?
lim

?x?0
?x
（2）求平均变化率
本节课我们将学习常见函数的导数。首先我 们来求下面几个函数的导数。
23
（1）、y=x （2）、y=x （3）、y=x
问题：
y?x
?1
，
y?x
?2
，
y?x
?3
呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？
二、新授
1、基本初等函数的求导公式：
⑴
(kx?b)
?
?k
(k,b为常数) ⑵
(C)
?
?0
(C为常数)
⑶
(x)
?
?1
⑷
(x)
?
?2x

⑸
(x
3
)
?
?3x
2
⑹
()
?
??
⑺
(x)
?
?

??
?1
⑻
(x)
?
?
?
x
（
?
为常数）
2
1
x
1

2
x
1
2x
由⑶~⑹你能发现什么规律?
⑼
(a)
?
?alna (a?0，a?1)

xx
11
log
a
e? (a?0，且a?1)

xxlna
1
xx
⑾
(e)
?
?e
⑿
(lnx)
?
?

x
⑽
(log
a
x)
?
?
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⒀
(sinx)
?
?cosx
⒁
(cosx)
?
?－sinx

从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就
可以了。
例1、求下列函数导数。
（1）
y?x
?5
（2）
y?4
x
（3）
y?
（4）
y?log
3
x
（5）y=sin(
xxx

??
+x) (6) y=sin
23
（7）y=cos(2π－x) （8）y=
f
?
(1)


例2：已知点P在函数y=co sx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的
横坐标的取值范围。
例3.若直线
y??x?b
为函数
y?
1
图象的切线,求b的值 和切点坐标.
x

2
变式1.求曲线y=x在点(1,1)处的切线方程.
总结切线问题：找切点 求导数 得斜率

2
变式2:求曲线y=x过点(0,-1)的切线方程

3
变式3:求曲线y=x过点(1,1)的切线方程

变式4:已知直线< br>y?x?1
,点P为y=x上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.
2

三、小结
（1）基本初等函数公式的求导公式
（2）公式的应用

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